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Recherche des coefficients associ´
es aux pˆ
oles multiples
On suppose que F (X) =
F s’´ecrit alors

P
avec deg F < 0 et Q(X) = (X − a)n V (X) avec (V (a) 6= 0). La d´ecomposition de
Q
F =

λ1
λ2
λn
U (X)
+
+···+
+
(X − a) (X − a)2
(X − a)n
V (X)

(21.2)

– En multipliant (21.2) par (X − a)n et en faisant x = a, on trouve λn ;
λn
a
` F , et on recommence pour trouver λn−1 etc ;
– Si n est petit, (n ≤ 2), on retranche
(X − a)n
P1 (Y )
, et on effectue une division
– Si n ≥ 3, on fait le changement de variables Y = X − a, F (Y ) = n
Y V1 (Y )
selon les puissances croissantes (ou un DL(0,n − 1)) a
` l’ordre n − 1 :
P1 = V1 (a0 + a1 Y + · · · + an−1 Y n−1 ) + R avec val(R) ≥ n
On a alors :

a0
a1
an−1
+ n−1 + · · · +
+...
Yn
Y
Y
et on trouve les coefficients λ1 = an−1 , λ2 = an−2 , . . . .
F (Y ) =

Exercice 21-4
D´ecomposer dans C (X) la fraction rationnelle G(X) =

X+1
.
(X − 1)4 X

Remarque 228. Trois astuces a
` retenir pour obtenir des relations entre coefficients :
p
– multiplier par x et faire x → +∞ (ou prendre la partie enti`ere des fractions r´esultantes) ;
– Utiliser la parit´e ´eventuelle de la fraction ;
– Donner une valeur particuli`ere a
` x (x = 0).
Exercice 21-5
D´ecomposer dans C (X) la fraction rationnelle G(X) =

21.2.3

X
.
(X 2 − 1)2


ecomposition en ´
el´
ements simples dans R(X)

Th´
eor`
eme 21.7 : D´
ecomposition dans R(X)
P
Soit F =
∈ R(X), o`
u la d´ecomposition en facteurs irr´eductibles dans R[X] du d´enominateur
Q
s’´ecrit :
Q = (X − a1 )α1 . . . (X − an )αn (X 2 + b1 X + c1 )β1 . . . (X 2 + bp X + cp )αp
Alors la fraction F s’´ecrit de fa¸con unique :


λ11
λ12
λ1α1
F =E+
+ ···+
+
+···+
X − a1
(X − a1 )2
(X − a1 )α1


λn2
λnαn
λn1
+
+··· +
+
+
X − an
(X − an )2
(X − an )αn


µ11 X + δ11
µ12 X + δ12
µ1β1 X + δ1β1
+···+
+
+
+
·
·
·
+
X 2 + b1 X + c1
(X 2 + b1 X + c1 )2
(X 2 + b1 X + c1 )β1


µpβp X + δpβp
µp2 X + δp2
µp1 X + δp1
+
+
·
·
·
+
+
X 2 + bp X + cp
(X 2 + bp X + cp )2
(X 2 + bp X + cp )βp
o`
u la partie enti`ere E ∈ R[X] est un polynˆ
ome nul ou de degr´e deg P −deg Q, et tous les λ ij , µij , δij
sont des r´eels.
Le premier groupe est form´e d’´el´ements simples de premi`ere esp`ece et le second groupe d’´el´ements
simples de seconde esp`ece.
– La recherche de la partie enti`ere et des coefficients des ´el´ements simples de premi`ere esp`ece se fait comme
pr´ec´edemment ;
– On peut utiliser une d´ecomposition dans C(X) et regrouper les ´el´ements simples correspondant aux pˆ
oles
conjugu´es pour obtenir les ´el´ements simples de seconde esp`ece ;