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– Si X 2 + pX + q = (X − a)(X − a), on peut multiplier la d´ecomposition par (X 2 + pX + q)k et faire x = a,
puis x = a ;
– Utiliser les remarques pr´ec´edentes pour trouver des relations entre coefficients.
Exercice 21-6
D´ecomposer dans R (X) les fractions rationnelles F (X) =
X
.
2
(X + 1)2 (X − 1)2
Exercice 21-7
Utiliser la d´ecomposition de la fraction F (X) =

1
X 2n

−1

, G(X) =

(X 2

1
et H(X) =
+ X + 1)2

1
pour trouver la limite de la suite de terme
X(X + 1)(X + 2)

g´en´eral
Sn =

n
X

k=1

1
k(k + 1)(k + 2)

Exercice 21-8
Soit f la fonction arctan. D´ecomposer f 0 (x) dans C(X), puis utiliser cette d´ecomposition pour calculer explicitement f (n) (x). En d´eduire les z´eros de f (n) .
Exercice 21-9
Soit un polynˆ
ome P de degr´e n a
` coefficients r´eels n’admettant que des racines simples.
P0
a. D´ecomposer en ´el´ements simples la fraction rationnelle F =
.
P
00
0
2
b. En d´eduire que ∀x ∈ R, P (x)P (x) ≤ P (x) .

21.2.4

Primitives de fractions rationnelles.

Pour calculer une primitive d’une fraction rationnelle, on la d´ecompose en ´el´ements simples dans R(X). La
partie enti`ere et les ´el´ements simples de premi`ere esp`ece se primitivent imm´ediatement. Pour primitiver un
R
ax + b
´el´ement simple de deuxi`eme esp`ece:
dx,
(x2 + px + q)n
– Faire apparaˆıtre en haut la d´eriv´ee de x2 + px + q, et la partie en x se primitive en ln ou en une fraction ;
R
1
. Pour cela, on r´eduit le trinˆ
ome sous forme canonique et on
– On se ram`ene a
` primitiver
(x2 + px + q)n
effectue les changements de variables appropri´es ;
R
dx
– Pour calculer In =
, on int`egre In−1 par parties. On obtient une relation entre In et In−1 .
(x2 + a2 )n
R
R dx
dx
Par exemple, pour calculer
, on int`egre par parties arctan x =
.
2
2
(x + 1)
x2 + 1
Exercice 21-10
R
dx
Calculer
2
(x + x + 1)2
Exercice 21-11
R
dx
Calculer
x3 (x2 + 1)
Exercice 21-12
R dx
Calculer
x3 + 1
Exercice 21-13
R
dx
Calculer
x(x6 − 1)