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21.2.5

Primitives rationnelles en sin , cos

On s’int´eresse aux primitives de la forme

R

F (sin x, cos x) dx o`
u F est une fraction rationnelle dans les deux

arguments.
R
1. P (sin x, cos x) dx, o`
u P est
ome dans les deux variables.
R un polynˆ
On se ram`ene au calcul de sinp x cosq x dx.
R
– Si p est impair : sin2k x cosq x sin x dx, faire le changement de variables y = cos x ;
– Si q est impair : faire le changement de variables y = sin x ;
– Si p et q sont pairs, on lin´earise (cf r`egles de Bioche).
Exercice
21-14
R
Calculer sin2 x cos3 x dx.

2. R`egles de Bioche pour calculer

R

F (sin x, cos x) dx:

On ´etudie l’´el´ement diff´erentiel ω(x) = F (sin x, cos x) dx.
– Si ω(x) est invariant par la transformation x 7→ −x, on pose t = cos x ;
– Si ω(x) est invariant par la transformation x 7→ π − x, on pose t = sin x ;
– Si ω(x) est invariant par la transformation x 7→ π + x, on pose t = tan x ;
– Si aucune transformation de marche, on pose t = tan x2 .
Exercice 21-15
R
R
R cos3 x + cos5 x
R
dx
sin x
dx
dx,
.
Calculer
,
dx,
2
2
4
2
1 + cos x
2 + cos x
1 + sin x
sin x + sin x

21.2.6

Primitives rationnelles en sh , ch

On veut calculer des primitives de la forme

R

F (sh x, ch x) dx o`
u F est une fraction rationnelle dans les deux

variables. On a l’analogie des r`egles de Bioche :
On ´etudie l’´el´ement diff´erentiel ω(x) = F (sin x, cos x) dx (en rempla¸cant les fonctions hyperboliques par les
fonctions trigonom´etriques associ´ees).





Si
Si
Si
Si

ω(x) est invariant par la transformation x 7→ −x, on pose t = ch x :
ω(x) est invariant par la transformation x 7→ π − x, on pose t = sh x ;
ω(x) est invariant par la transformation x 7→ π + x, on pose t = th x ;
aucune transformation ne marche, on pose t = th x2 ou alors t = ex .

Exercice 21-16
R
R
R ln 2
R
sh3 x
dx
dx
dx, th3 x dx, 0
Calculer
2
2 ,
2
5
sh
x
− 4 ch x
ch x sh x
ch x(2 + sh x)

21.2.7

Primitives avec des racines.

Il y en a de deux sortes qu’on sait traiter (F (λ,µ) est une fraction rationnelle dans les deux arguments).



R
R

r

F (x, n

ax + b
) Poser y =
cx + d

r
n

ax + b
.
cx + d


F (x, ax2 + bx + c) : r´eduire le trinˆ
ome et poser y un sin, un ch ou un sh pour faire disparaˆıtre la

racine.
Exercice
r 21-17
R 1 + x dx
Calculer
1−x x