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Formulation mathématique des problèmes aux limites
Merouani
2015

1. GEOMETRIE DE LA DEFORMATION :
1.1.

DEFINITION D’UN MILIEU CONTINU :

Un milieu continu est un corps qui occupe à chaque instant un ouvert borné connexe de
ℝ (𝑁 = 1,2,3 ) en respectant la continuité de la matière (ni interpénétration, ni formation de
cavités).
𝑁

1.2.

NOTATION DE LA DEFORMATION :

La déformation élastique est une déformation réversible :le milieu retourne à son état initial lorsqu’on
supprime les sollicitations.
L’élasticité linéaire concerne les petites déformations proportionnelles à la sollicitation.Aux plus
grandes déformations ,l’élasticité devient non linéaire pour certains matériaux.Pour d’autre,la fracture
où le fluage interviennent.

-Le corps que nous étudions ici est déformable et en mouvement.
-On désigne par Ω le domaine occupé par le corps à l’instant 𝑡 = 0 (Ω s’appelle la
configuration de référence), et par Ω𝑡 le domaine occupé par le même corps à l’instant 𝑡 >
0 (Ω𝑡 =configuration déformée).
-Χ = (𝑋𝑖 ) désigne les composantes de la position d’une particule 𝑝 du corps à l’instant 𝑡 =
0.
-𝑥 = 𝑥𝑖 désigne les composantes de la position de la même particule 𝑝 à l’instant 𝑡 > 0 .

1.3. DESCRIPTION ANALITIQUE DE LA DEFORMATION :
Le lien entre Χ ∈ Ω , et 𝑥 ∈ Ω𝑡 est donné par une application vectorielle :
Φ(. , 𝑡): Ω ⟶ Ω𝑡 , ∀ 𝑡 > 0.
Χ ⟼ Φ(𝑋, 𝑡).
(1.1)

𝑥 = Φ(𝑋, 𝑡) = 𝑥 + 𝑢(𝑋, 𝑡), 𝑡 > 0, 𝑋 ∈ Ω.

Avec 𝑢(𝑋, 𝑡) le vecteur de déplacement.
Φ(. , 𝑡) est appelé application de la déformation .En particulier la vitesse et l’accélération,
sont définis respectivement par :

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