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Formulation mathématique des problèmes aux limites
Merouani
2015

𝑣=Φ=

(1.2)
(1.3)

d(Φ(X, t))
= u̇
dt

𝑎 = 𝑣̇ = 𝑢̈ =

𝑑 2 (Φ(𝑋, 𝑡))
𝑑𝑡 2

Nous introduisons les notations suivantes :
(1.4)

𝐹 = ∇𝑋 Φ = 𝐼𝑁 + 𝐻 (𝑎𝑣𝑒𝑐 𝐻 = ∇𝑋 𝑢).

(1.5)

𝐶 = 𝐹𝐹 𝑇 = (𝐼𝑁 + 𝐻 + 𝐻 𝑇 + 𝐻𝐻 𝑇 ).

(1.6)

𝐺 = 2 (𝐶 − 𝐼𝑁 ) = 2 (𝐻 + 𝐻 𝑇 + 𝐻𝐻 𝑇 ).

1

1

Ou ∇𝑋 Φ désigne le gradient de Φ par rapport au coordonnées de la variable 𝑋 , 𝐻 𝑇 est la
transposée de 𝐻 , 𝐹 𝑇 est la transposée de 𝐹 et 𝐼𝑁 est la matrice unité d’ordre 𝑁 , le
tenseur 𝐹 est le tenseur gradient de la déformation , 𝐶 est le tenseur des dilatations ou tenseur
des déformations de Cauchy tandis que le tenseur 𝐺 est le tenseur des déformations ;en
composantes, on a :
(1.7)

1 𝜕𝑢𝑖 𝜕𝑢𝑗 𝜕𝑢𝑘 𝜕𝑢𝑘
𝐺𝑖𝑗 = (
+
+
.
).
2 𝜕𝑋𝑗 𝜕𝑋𝑖 𝜕𝑋𝑖 𝜕𝑋𝑗

On remarque que le tenseur des déformations 𝐺 s’exprime d’une façon non linéaire par
rapport aux composantes du vecteur déplacement 𝑢 .
Précisions maintenant un peu plus le cadre de notre étude afin d’apporter quelques
simplifications aux notions introduites, récemment.

Remarque 1.1 : Nous intéressons aux mouvements qui ont un vecteur de déplacement
𝜕𝑢𝑖

𝑢(𝑋, 𝑡) qui varie lentement avec 𝑋 .Alors les dérivées partielles

𝜕𝑋𝑗

sont petites, on dit alors

qu’on est dans l’hypothèse des petites transformations (H.P.T).Dans ce cas, les termes
𝜕𝑢

𝜕𝑢

( 𝜕𝑋𝑘 . 𝜕𝑋𝑘) sont négligés et l’expression de 𝐺 se linéarisé en ℇ :
𝑖

𝑗

1

(1.8)

ℇ = 2 (𝐻 + 𝐻 𝑇 ).

(𝟏. 𝟗)

ℇ𝒊𝒋 = 𝟐 ( 𝝏𝑿𝒊 + 𝝏𝑿 ) .

Ou en composantes :
𝟏

𝝏𝒖𝒋

𝝏𝒖

𝒋

Le tenseur ℇ s’appelle le tenseur des déformations linéarisé.

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𝒊