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Formulation mathématique des problèmes aux limites
Merouani
2015

mécanique des solides déformables,un certain ‘bon sens mécanique ’aide intuitivement à
éviter ce problème.

3.1.

HISTORIQUE DES C.L DEPLACEMENT-TRACTION ???:

Les conditions aux limites ‘déplacement-traction’ sont des conditions imposées à un probléme
d’évolution où statique.
GALILEE EN 1638 :
Considérons une barre élastique homogène de longueur unitaire, suspendue verticalement.
Elle est encastrée à l'extrémité x=0 et, soumise à un chargement de force qui correspond à un
certain poids à l'autre extrémité x=1.

3.2.

CONDITION AUX LIMITES DE DEPLACEMENT-TRACTION EN
DIMENTION 1 :

Soit : Ω = ] 𝑎 , 𝑏[ , telle que : 𝜕Ω = Γ .
(2.4) devient :

𝑑𝜎
𝑑𝑥

𝑑𝑢

+ 𝑓 = 0 𝑒𝑛 dim 1. 𝑎𝑣𝑒𝑐 ∶ 𝜎 = 𝐹 ( 𝑑𝑥 ) .

On suppose Γ = Γ1 ∪ Γ2 , Γ1 ∩ Γ2 = ∅ une partition de Γ , telle que : Γ1 = {𝑎} 𝑒𝑡 Γ2 =
{𝑏}.
-Sur Γ1 on impose un déplacement 𝑔: Γ1 ⟶ 𝑅 .
-Sur Γ2 on applique une force de traction ℎ ∶ Γ2 ⟶ 𝑅 .
Les conditions aux limites dans le cas unidimensionnelle sont données par :

3.3.

(3.1)

𝑢 = 𝑔 𝑠𝑢𝑟 Γ1 𝑜𝑢 𝑢(𝑎) = 𝑔 𝑠𝑢𝑟 Γ1 .

(3.2)

𝜎𝜈 = ℎ 𝑠𝑢𝑟 Γ2 𝑜𝑢 𝜎(𝑏) = ℎ .

INTERPRETATION MECANIQUE :

Une tige unidimensionnelle de longueur 𝑎𝑏 , ( Ω =]𝑎 , 𝑏[ ) ayant une loi de comportement
𝑑𝑢

élastique non linéaire : ( 𝜎 = 𝐹 ( 𝑑𝑥 ) ).

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