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Nom original: S 14 Similitudes.pdfTitre: Lycée Médenine Série d’exercices ( Similitudes) 4 Maths 08-09 Auteur: .

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Lycée de Médenine

Mr : HADJ SALEM Habib

Série n°14

4ème Maths

Similitudes

2014 - 2015

Exercice 1 :
Soit ABCD un carré direct de centre O . Soit s la similitude directe qui transforme O en B et D en C.
1. Déterminer le rapport et l’angle de s.
2. Montrer que s a pour centre A.
3. Montrer que, pour tout point M distinct de A d’image M ’ par s, le triangle AMM ’ est un triangle isocèle,
indirect et rectangle en M.
Exercice 2 :

uuuuur

uuuur

Soit ABA’ un triangle équilatéral direct et B’ le point tel que A 'B' = 2AA ' . On considère la similitude directe s qui
envoie A sur A’ et B sur B’ .
1. Déterminer le rapport et l’angle de s.
2. Déterminer et placer le centre I de s.
3. Construire A’’=s(A’).
Exercice 3 :
Soit ABC un triangle direct. A’ , B’ et C’ sont les points situés à l’extérieur du triangle ABC tels que les triangles A’BC,
B’CA et C’AB soient équilatéraux. On désigne par I, J et K les centres de gravité respectifs des triangles A’BC, B’CA et
C’AB . On note SA la similitude directe de centre A qui transforme J en C et SB celle de centre B et qui transforme C
en I.
1. Déterminer le rapport et une mesure de l’angle de SA .
2. Déterminer le rapport et une mesure de l’angle de SB .
3. a) Montrer que SB o SA est une rotation dont on précisera une mesure de son angle.
b) Prouver que K est le centre de SB o SA .
4. Déduire de la question 3. Que le triangle IJK est équilatéral direct.

(

rr

Exercice 4: Le plan est rapporté à un repère orthonormé O,i , j

)

1) Déterminer l’ensemble des points M(z) du plan tel que : 2iz - 1 - i = 2
2) On considère l’application : T :P ® P ; M(z) a M’(z’) tel que z’=2i z -1-i
a- Montrer que T est une similitude .
b- Montrer que T admet un unique point invariant w à préciser .

{

uuuur

uuuur

}

c- Déterminer l’ensemble D = M Î P tel que wM ' = 2wM .
d- Déduire des questions précédentes la nature et les éléments caractéristiques de T.
e- Caractériser l’application ToT.

3) Utiliser la question 2 pour retrouver les résultats de la question 1) par la méthode géométrique.
Exercice 5 : Soit ABC un triangle équilatéral direct et G son centre de gravité . D la parallèle à (BC) en G coupe (AC)
en W .On pose I=SC(A)
uuur 1 uuur
1) Vérifier que CW = CA
3
2) Soit s la similitude indirecte qui envoie A en I et C en A.
a- Quel est le rapport de s .
b- Prouver que W est le centre de s .
3) Montrer que l’axe de s est la droite perpendiculaire à (AC)passant par W .

(

uuur uuur

)

Exercice 6 : On considère un triangle ABC tel que AB,$ AC º

p
[ 2p] et AB=2AC . Soit
2

s la similitude indirecte tel que

s (C) =A et s (A)=B. On pose h= s o s , W le centre de la similitude s et D l’axe de s .
1) Déterminer le rapport de s .

2) Montrer que W est la barycentre des points pondérés (B,1) et (C,-4).
3) Soit J le milieu du segment [WB] .Montrer que D est la médiatrice du segment [ AJ ]

rr

(

)

Exercice 7 (bac 2005) : Dans le plan complexe P rapporté à un repère orthonormé direct O,i , j . On donne le
point A(1) Soit l’application f de P dans P qui à tout point M ( z) associe le point M’ ( z’ ) tel que z’ =

1+ i
2

z +1 -

1+ i
2

.

1) Déterminer la nature de f et préciser ses éléments caractéristiques .
2) Soit le point M0 (2) .On pose pour tout entier naturel n , Mn+1=f(Mn) .On désigne par zn l’affixe de Mn et par Zn
uuuuur
l’affixe du vecteur AM n .
i

p

a- Montrer que Z1= e 4 .
i

np

b- Montrer que pour tout n Î IN , Zn= e 4 .
c- En déduire ‘ensemble des valeurs de n pour les quelles les points A, M0 et Mn sont alignés.

(

uuur uuur

)

Exercice 8(bac 1995) Dans le plan orienté , on considère un carré ABCD de centre O tel que AB,$ AD º
On désigne par I et J les milieux respectifs de [ AB] et [ BC] .

p
[ 2 p]
2

1) a- Montrer qu’il existe un unique déplacement f qui envoie A sur C et B sur D. Caractériser f.
b-Soit g l’antidéplacement qui envoie A sur C et B sur D. Déterminer (gof)( C) et (gof)( D). Caractériser gof.
c-En déduire la forme réduite de l’antidéplacement g.
2) soit S la similitude directe qui envoie A sur B et D sur I.
a- Déterminer le rapport et l’angle de la similitude S. Construire son centre W de S.
b- Déterminer les images des droites (AC) et (CD) par S. En déduire la nature du triangle O W C.
c- Déterminer l’image du carré ABCD par la similitude S.
d- Montrer que les points A, W et J sont alignés.
Exercice 9 ( dc2 2009) :
Soit ABCD un carré direct de centre I .On désigne par E ,J et K les milieux respectifs de [ AB] , [ AD] et [ DI] .
1) Soit S la similitude directe telle que S(A) =I et S(E)=D .
a) Déterminer le rapport et l’angle de S.

(

uuur uur

)

b) On munit le plan du repère orthonormé direct A, AE, AJ et on désigne par Ω le centre de S .
Déterminer l’écriture complexe de S et déduire l’affixe de Ω.
2) On désigne par f la similitude indirecte de centre A telle que f(I)=E et j = Sof .
a) Déterminer le rapport de f et construire son axe.
b) Déterminer j(A) et j(I) .
c) Montrer que j est une symétrie glissante dont on précisera le vecteur et l’axe.

(

uuur uur

)

3) a) Dans le même repère A, AE, AJ , montrer que l’écriture complexe de la similitude indirecte f définie en

æ 1+ i ö
2) est : z’= ç
÷z
è 2 ø
b) Trouver une équation cartésienne de l’axe ∆ de f.

Exercice 10( Ds 2 2009 )
uuurÙ uuur p
Dans le plan orienté P , on considère un losange ABCD de centre O tel que (AB, AD) º [ 2p ] et on pose I = SA(B).
3
1/ Montrer qu’il existe un seul déplacement f , que l’on caractérisera, qui envoie A sur C et B sur D.
2/ Soit g l’antidéplacement qui envoie A sur C et B sur D.
a) Montrer que g = S(CD) o f.
b) Soit O ’= g(O). Montrer que O’ est le projeté orthogonal de C sur (AD).
c) Montrer que g est une symétrie glissante que l’on caractérisera.
3/ Soit S la similitude directe qui envoie B sur D et D sur I. On désigne par H le centre de S.
a) Montrer que le rapport de S est 3 . Déterminer l’angle de S.
b) Montrer que S o S = h(H, –3). En déduire que H est le milieu du segment [AB].
4/ Soit s la similitude indirecte qui envoie B sur D et D sur I. On note W son centre.
a) Montrer que W Î(AB).
b) Prouver que s = S(ID) o S puis construire le point H ’= s (H).
c) Montrer que W Î(DH ’).Construire W et l’axe de s .
5/ Soit j = g o s –1 o S o f.
a) Caractériser s –1 o S .

b)Préciser j (A) et j (D).Caractériser alors j .

Exercice 11 ( Ds2 2010 ):

uuur uuur p
Soit ABC un triangle rectangle en A tels que AB=2AC et AB;$ AC º [ 2p] . I le milieu de [ AB] et J le symétrique de
2
C par rapport à A et D le symétrique de J par rapport à C .
1) Soit S la similitude directe qui envoie I sur C et A sur J. Déterminer le rapport et l’angle de S
2) On pose K=S(C) .
uur uur p
$
a) Montrer que JC=JK et JC;JK
º [ 2p] . Construire K.
2
b) Soit W le centre de S .
i) Déterminer SoS(I) et vérifier que SoS est une homothétie de rapport -4.
ii)Construire alors W .
3) Montrer que S(B)=D.
uur uuur
4) On rapporte le plan au repère orthonormé direct (A, AI,AC )

(

(

)

)

a) Déterminer les affixes des points A,C,I et J.
b) Soit s la similitude indirecte telle que s (I)=C et s (A)=J
Donner l’écriture complexe de s
c) Déterminer le rapport et l’affixe de centre w de s .
d) Déterminer une équation cartésienne de l’axe D de s .
Exercice 12 ( dc 2 fév 2011 ):
Soit ABCD un carré direct de centre I . On désigne par J et K les milieux respectifs de [AB] et [AD].
On note f la similitude directe de centre W telle que f( D)= I et f( C)=J.
1) Déterminer le rapport et une mesure de l’angle de f.
2) a) Préciser l’image des droites ( BD) et (BC ) par f.
b) En déduire que f(B)= A puis vérifier que f(A)=K
c) Déterminer la nature de fof.
En déduire que W est le barycentre des points pondérés ( B,1) et (K,4).
uuur uuur
3) On munit le plan du repère orthonormé direct A, AB, AD .

(

a) Donner l’écriture complexe de f.
b) Déduire l’affixe de W .

)

4) Soit g la similitude indirecte telle que g(D)=I et g( C) =J.
a) Vérifier que g=S(IJ)of.
b) Déterminer g(B).
c) Déduire que (IB) est l’axe de g.
Exercice 13 ( dc2 2012 ) :

uuur uuur p
Dans le plan orienté , on considère un triangle ABC rectangle et isocèle tel que AB,$ AC º [ 2 p] .
2
On pose D=SA(C) et E=SB(D) .

(

)

1) Soit f la similitude directe qui envoie A en B et B en C.
a) Déterminer le rapport de f et une mesure de son angle.
b) Montrer que f(C ) =D
uuur uuur
WC
p
c) Soit W le centre de f, montrer W vérifie
= 2 et WA,$WC º - [ 2 p]
WA
2
uuur uuur
2) Le plan est rapporté au repère orthonormé A, AB, AC

(

(

)

)

a) Donner l’écriture complexe de f.
b) Déterminer l’affixe de W
3) Soit g la similitude indirecte qui envoie A en B et B en C.
a) Montrer que D est le centre de g.
b) Vérifier que z’=(-1+i) z +1 est l’écriture complexe de g.
c) Donner une équation cartésienne de l’axe D de g.
4) On pose s =gof-1
a) Montrer que s est une symétrie orthogonale dont on déterminera son axe.
b) Déterminer alors g ( C ).

Exercice 14 ( Dc 2 2013) :

uur uur p
$
Soit ABCD un carré de centre I tel que : AB;AD
º [2p ] . On désigne par J est le milieu de [ AB] et par K le
2

(

)

milieu de [ AD] . Soit f la similitude directe telle que f(D)=I et f( C)=J.
1) Déterminer le rapport et l’angle de f.
2) a) Préciser les images respectives des droites (BD) et (BC) par f.
b) Déterminer alors f(B) , f(A) et fof(B).

3) Soit W le centre de f .
a) Caractériser fof et en déduire que W appartient à la droite (BK) .
b) Montrer que W appartient au cercle circonscrit au triangle JBC.
uur uur
4) On suppose dans la suite que A,AJ,AK est un repère orthonormé direct du plan.

(

)

a) Déterminer l’écriture complexe de f .
b) En déduire l’affixe z0 de W .
5) Soit g la transformation qui à tout point M(z) associe le point M’(z’) tel que z' = -2z + 1 - i .
a) Caractériser g.
b) On pose S=gof .
Montrer que S a pour écriture complexe z' = -iz + 1 + i puis que S est la symétrie orthogonale d’axe (JK).

Exercice 15 (bac 2011 prin)

(

uuur uuur

)

Dans la figure ci-contre, ABF est un triangle rectangle isocèle tel que AB $;AF º

p
[ 2 p]
2

I est le milieu de [AF]. Les droites (IB) et (AE) se coupent en G et EGB est un triangle rectangle isocèle en
G.
1) Soit f la similitude directe de centre B, d'angle
Déterminer les images des points E et F par f.

p
2
et de rapport
.
4
2

2) Soit g la similitude directe qui envoie A en F et F en B.
a) Montrer que g est de rapport

2 et d'angle

3p
4

b) Déterminer la nature de gog et préciser son rapport et son angle.

( )

· = 1 . En déduire que GB = 2 GA.
c) Montrer que tan ABI
2

d) En déduire que G est le centre de g.
3) Soit r = gof.
p
2

a) Montrer que r est la rotation de centre F et d’angle - .
b) Déterminer r(E). En déduire que EFGH est un carré, où H est le milieu de [EB].

Exercice 16(bac 2012 contrôle)

(

uur uur

)

On considère dans le plan orienté un carré ABCD de centre O tel que AB$,AD º

On note I, J et K les milieux respectifs des segments [AB], [CD] et [AD].
Soit S la similitude directe qui transforme A en O et B en J.

p
[2 p ]
2

1 ) Montrer que S est de rapport

1
p
et d'angle
.
2
2

2) a) Déterminer les images des droites (BC) et (AC) par S.
b) En déduire S(C).
3) a) Déterminer l'image du carré ABCD par S.
b) En déduire que S(D) = K.
c) Soit W le centre de S. Montrer que W est le barycentre des points pondérés (C,1)et(K,4).
d) Soit E le milieu du segment [OD]. Montrer que SoS(A) = E.
e) Construire W .
4) Montrer que les droites (AE), (CK) et (Dl) sont concourantes.

Exercice 17
Le plan est orienté dans le sens direct.
Dans la figure (1) de l'annexe ci-jointe, [AB] et [IJ] sont deux diamètres perpendiculaires
uuur uuur p
du cercle (C ), M est un point variable du cercle (C ) tel que MA $,MB º [2p] [2TI] et MBEN et MKFA sont
2
des carrés de sens direct.

(

1) Montrer que les points E, F et M sont alignés.
2) On désigne par r1 et r2 les rotations d'angle

)

p
et de centres respectifs A et B.
2

a) Montrer que r1or2 est la symétrie centrale de centre I.
b) Déterminer r2 (E). En déduire que lorsque M varie, la droite (EF) passe par un point fixe que I' on
déterminera.
p
3) Soit S la similitude directe de centre A, d'angle 2 et de rapport .
4
a) Déterminer S (M).
b) Construire le point G image de F par S.
c) Montrer que F est le milieu du segment [KG].
d) En déduire que lorsque M varie, la droite (KF) passe par un point fixe P. Construire P.


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