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November 2011
Phys. Chem. News 62 (2011) 66-74

PCN

NUMERICAL SIMULATIONS OF SHALLOW WATER FLOWS WITH
PRESENCE OF RECIRCULATIONS
 

SIMULATIONS NUMERIQUES DES ECOULEMENTS A SURFACE LIBRE
EN PRESENCE DES RECIRCULATIONS
I. Al Korachi1, N. Salhi1*, M. Boulerhcha1, M. Benelmostafa2
1
Laboratoire de Mécanique et Energétique,
Laboratoire de physique théorique des particules et modélisation,
Faculté des Sciences, BP. 717 Boulevard Mohamed VI - 60000 Oujda, Maroc
* Corresponding author. E-mail: najim.salhi@yahoo.fr
Received: 28 October 2011; revised version accepted: 19 November 2011
2

Abstract
The turbulent flows are characterized by a wide range of spatial and temporal scales; this variety of
scales makes the numerical simulation of the turbulent flow sensitive to the mesh size, the time step as
well as the order of the discretization schemes, and also to the initial and boundary conditions. In this
work, we approach a detailed analysis of the numerical turbulence; we study the influence of the order of
the discretization schemes on the precision in the numerical solution of the shallow waters viscous flow
with presence of recirculation like the flows in cavity.
Keywords : Shallow water equations; Viscous scattering; Finite volume; Roe solve; Entailed cavity.

Résumé
Les écoulements turbulents sont caractérisés par une large gamme d’échelles spatiale et temporelle;
Cette variété d’échelle rend la simulation numérique des écoulements turbulents sensible vis-à-vis à la
taille des mailles, le pas du temps ainsi que l’ordre des schémas de discrétisations, voir les conditions aux
limites et initiales. Dans ce travail nous initialisons à une étude plus approfondie de la turbulence
numérique, nous étudions l’influence de l’ordre des schémas de discrétisations sur la précision dans les
simulations des écoulements visqueux à surface libre avec présence des structures tourbillonnaire et des
recirculations comme les écoulements dans une cavité entrainée.
Mots clés : Ecoulement à surface libre ; Equation de Saint-Venant ; Diffusion visqueuse ; Volumes finis ; Solveur de Roe ; Cavité
entrainée.

termes turbulents sont modélisés soit par des
modèles de type RANS à deux équations de
transport pour décrire la viscosité turbulente
horizontale [4, 5, 7] ou soit par des modèle de type
LES qui prennent en compte la dissipation
d’énergie turbulente sous l’effet du frottement
avec le fond [5, 6].
Les méthodes de
discrétisations volumes finis [3, 4, 5, 11, 12] et
éléments finis [8, 9] sont souvent utilisées pour
discrétiser les équations de Saint-Venant, mais la
technique des volumes finis reste la plus utilisée
en vertu de sa simplicité et sa propriété de
conservation des flux. Dans les méthodes volumes
finis, le choix des schémas numériques de
convections et de diffusion ainsi qu’un schéma
temporelle et un pas de temps précis restent une
étape crucial, surtout lorsqu'il
s’agit des
écoulements en présence des recirculations ou les
écoulements turbulents. Plusieurs schémas de
convection ont étés proposés : explicite ou
implicite TVD ou non. Les schémas classiques

1. Introduction
Les équations de Barré Saint-Venant restent les
plus pertinentes pour représenter les écoulements à
surface libre. Elles sont déduites en moyennant les
équations de Navier-Stokes 3D incompressibles
suivant la verticale limitée en bas par le fond et en
haut par la surface libre, sous les hypothèses dites
d’eau peu profonde. Ces équations sont
parachevées par la modélisation de l’action du
fond sur le fluide ainsi que les forces appliquées
par l’atmosphère sur la surface libre. Le fond peut
être variable même suivant le temps,
sa
modélisation est simple mais son traitement
numérique pose des difficultés [1]. La
modélisation de la diffusion visqueuse ou
turbulente est indispensable pour les simulations
d’écoulements avec recirculation ou les
écoulements à grand nombre de Reynolds, les
termes visqueux sont généralement représentés par
un coefficient de viscosité multiplié par le tenseur
des taux des déformations [2, 3, 4, 5, 6]. Les

 

66

I. Al Korachi et al, Phys. Chem. News 62 (2011) 66-74

contact avec l’air, généralement soumise à la
pression atmosphérique (Figure 1). Ces
écoulements sont gouvernés par les équations de
Saint-Venant (1) obtenues par intégration des
équations de Navier- Stokes 3D incompressibles
suivant la verticale sous les hypothèses dites d’eau
peu profonde (Ecoulement graduellement varié,
Accélération verticale négligeable et diffusion
verticale négligeable) [2, 3, 4, 5] :

sont inadaptés aux écoulements qui présentent des
discontinuités, alors que les schémas basés sur des
solveurs de type Roe décrivent bien les
discontinuités, l’extension au second ordre de ces
schémas est réalisée par une interpolation précise
des états gauche et droite du solveur,
malheureusement, cette interpolation n’est pas
toujours monotone et autorise la création
d’extrema entre nœuds ce qui favorise l’apparition
des oscillations, ce problème est pallié par des
limiteurs qui maintiennent une monotonie faible,
comme le limiteur de Van Leer [10]. Alcrudo et
al. [11] ont élaboré un schéma de type MUSCL du
second ordre basé sur le solveur de Roe pour
résoudre les équations de Saint-Venant.
Anastasiou et al. [12] ont généralisé ce schéma sur
les maillages non structurés, Fe et al. [3]
discrétisent les équations de Saint-Venant
visqueux par la méthode des volumes finis sur un
maillage triangulaire, ils réduisent l'excès de
viscosité numérique produite par le décentrage du
terme de flux évalué à l’aide d’un Q-schéma de
Van Leer, alors que Cea-Gómez [4] discrétise les
équations de Saint-Venant en régime turbulent sur
maillage triangulaire par la méthode des volumes
finis et calcule le flux par un solveur de Roe avec
limiteur de Van Leer. Dans ce papier, nous
présentons les équations de Saint-Venant avec
diffusion, puis nous explicitons les méthodes
numériques de discrétisation utilisées, nous
exposons, ensuite, les résultats obtenus pour une
cavité entrainée et enfin nous validons nos
résultats avec ceux trouvés dans la bibliographie
[3, 15, 16, 17].

∂U
∂t

+

∂F
∂x

+

∂G
∂y

= Sp + S f + D



hu




⎛ h ⎞
hv




⎜ ⎟
1
U = ⎜ hu ⎟ ; F = ⎜⎜ hu 2 + gh 2 ⎟⎟ ; G = ⎜ huv ⎟
2


⎜ ⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎜ 2 1 2⎟
⎝ hv ⎠
huv
+
hv
gh






2

avec h est la hauteur de l’écoulement, u et v sont
les
vitesses
suivant x et y
et g représente
l’accélération de la pesanteur.




0
⎛ 0 ⎞





∂b ⎟
S P = ⎜ − gh ⎟ ; S f = ⎜ − ghτ xb ⎟


∂x ⎟

b⎟


∂b ⎟
⎝ − ghτ y ⎠
⎜⎜ − gh ⎟⎟
∂y ⎠


Le terme S P représente la variation de pente, avec

b est la fonction qui décrit le fond.
S f représente les contraintes de frottement avec le
fond, définis par :
n2
n2
τ xb = 4 3 u 2 +v2 u et τ yb = 4 3 u 2 +v2 v
h
h
où n est le coefficient de Manning.

(

2. Modèle physique des écoulements à surface
libre
Les écoulements à surface libre ont la
particularité de comporter une surface libre en

)

Surface libre






Fond



 

(1)

 

Figure 1 : Géométrie des écoulements à surface libre.

67

(

)

I. Al Korachi et al, Phys. Chem. News 62 (2011) 66-74

ainsi que sur la thése de El Mahi [13], pour la
discretisation des termes sources. Le domaine de
calcul est décomposé en petits volumes de
contrôle triangulaires par la méthode de Delaunay
basée sur les polyèdres de Voronoi (Voir Figure
2). La vitesse et la hauteur sont calculées aux
barycentres des triangles (volumes de contrôle).
Notons par :
Ti le volume de contrôle.

Enfin, le terme de diffusion est défini par :






0


⎜ ∂ ⎛ ∂hu ⎞ ∂ ⎛ ⎛ ∂hu ∂hv ⎞ ⎞ ⎟
+ ⎜ϑ ⎜
+
D = ⎜ ⎜ 2ϑ
⎟⎟⎟
∂x ⎟⎠ ∂y ⎝⎜ ⎝ ∂y ∂x ⎠ ⎠⎟ ⎟
⎜ ∂x ⎝


⎜ ∂ ⎛ ⎛ ∂hu ∂hv ⎞ ⎞ ∂ ⎛ ∂hv ⎞ ⎟
+
⎟ ⎟⎟+ ⎜ 2ϑ

⎜ ⎜⎜ ϑ ⎜
∂y ⎠ ⎟⎠
⎝ ∂x ⎝ ⎝ ∂y ∂x ⎠ ⎠ ∂y ⎝

{

où ϑ est la viscosité cinématique.

}

∂Ti = Γi1 , Γi 2 , Γi 3 les interfaces de Ti .
{nri1 , nri 2 , nri 3} les vecteurs unitaires, normaux et

3. Modèle numérique des écoulements à surface
libre

sortants de ∂Ti , leurs coordonnées sont données

3.1 Maillage et volumes finis

Nous nous basons principalement sur les
travaux de Fe et al. [3] et Boushaba et al. [14]

⎛ ni1x ⎞ r ⎛ ni 2 x ⎞ r ⎛ ni 3 x ⎞
r
par : ni1 = ⎜
⎟ , ni 2 = ⎜ n ⎟ , ni 3 = ⎜ n ⎟
⎝ ni1 y ⎠
⎝ i2 y ⎠
⎝ i3 y ⎠



r
ni 2  






 

Γi 2  

 

 

 

 

r

Γi3• 

Ti Γi1  

r•  
ni 3  







 

• ni1   



 


Figure 2 : Maillage triangulaire.
∂ ⎛

∂t ⎜


U in +1 − U in
=
Aire
(
)
U
ds
T
= L(U )

i
∫∫T

t

⎝ i


La méthode des volumes finis repose sur
l’intégration des équations de Saint-Venant sur
chaque volume de contrôle en introduisant la
fonction du poids suivante :
⎧1 si ( x , y )∈Ti
ωi ( x, y ) = ⎪⎨
⎪⎩ 0 sinon
En utilisant le théorème de Green Gauss, nous
obtenons le système d’équations suivant :


⎞ 3

⎜ ∫∫ U ds ⎟ + ∑ ∫ ( Fnijx + Gnijy ) d Γ
∂t ⎜
⎟ j =1 Γ
⎝ Ti

ij
=

∫∫ S p ds + ∫∫ S f
Ti

Alors le schéma d’Euler explicite du premier ordre
s’écrit :
∆t
U in +1 = U in +
L Un
Aire(Ti )

( )

où Aire(Ti ) est la surface du triangle Ti .
3.3 Discrétisation des termes de convection

Les flux convectifs sont supposés constants sur
les interfaces :

(2)

ds + ∫∫ D ds

Ti

3

∑∫(

Ti

j =1 Γij

3.2 Discrétisation temporelle

r

3

r

∑ T (U , n )Γij
j =1

ij

T (U , nij ) = Fnijx + Gnijy : Flux à l’interface

La discrétisation temporelle se fait à l’aide d’un
schéma d’Euler explicite du premier ordre. Le
système (2) peut se mettre sous la forme suivante :

 

)

Fnijx + Gnijy d Γ =

Pour évaluer ces flux, nous utilisons un schéma
TVD explicite avec solveur de Roe du premier

68

I. Al Korachi et al, Phys. Chem. News 62 (2011) 66-74

⎧λ%1 = u%nijx + v%nijy + gh%
⎪ % %
⎨ λ2 = unijx + v%nijy
⎪λ% = u%n + v%n − gh%
ijx
ijy
⎩ 3

ordre. Le solveur de Roe est un solveur approché
de type Godounov, basé sur la résolution exacte
du problème de Riemann linéarisé suivant :
∂U
∂U
∂U
+ Ax (U% )
+ Ay (U% )
= 0 sur chaque
∂t
∂x
∂y

Les vecteurs propres à droite de la matrice de Roe
sont :

interface Γ ij dont les états gauche et droite sont
donnés par :



1


%
e1 = ⎜ u% + ghn
ijx ⎟ ; e2
⎜ v% + ghn
% ⎟
ijy ⎠


⎛ hj ⎞
⎛ hi ⎞




U G = U i = ⎜ hi ui ⎟ et U D = U j = ⎜ h j u j ⎟
⎜hv ⎟
⎜h v ⎟
⎝ i i⎠
⎝ j j⎠
Avec Ax (U% ) =

∂F
∂U

(U% )

et A

y

∂G

(U% ) =

∂U

r
A(U% , nij ) = Ax (U% ) nijx + Ay (U% ) nijy





⎛ h% ⎞ h + h ⎜ u
i
j
%%⎟ = i
U% = ⎜ hv

⎜% ⎟
2 ⎜
⎝ hv% ⎠
⎜v
⎜ i



U% étant l’état de Roe, définie de telle sorte que la

(

)

( 3)

soit vérifié.
r
A(U% , nik ) est la matrice Jacobiennes de Roe.

Ti

 

 

Γ ij



 

 
r

r

T (U i , U j , nij ) =
1

 
Figure
3 : Evaluation du flux à l’interface Γ ij  

2

Γ ij séparant les

1

r
T (U , n ) + T (U
(
2

1

i

ij

r

(

A(U% , nij ) U i − U j

r

)



0
nijx
nijy


⎜ ( gh% − u% 2 ) nijx − uvn

%% ijy 2un
% ijx + vn
% ijy
% ijy
un


⎜ gh% − v% 2 nijy − uvn
%% ijx
% ix1
% ijy + un
% ijx ⎟
vn
2vn



(

)

r
T (U , n ) + T (U
(
2

1

i

ij

j,

r
nij ) ) −

3

∑α
n =1

n

λn en

)

où Gi et G j sont les barycentres des triangles

Ti et T j

Les valeurs propres du système s’écrivent :

 

hi + h j

L’objectif de l’approche MUSCL est
d’augmenter l’ordre de précision à deux en espace
dans le schéma de Roe par une meilleure
estimation (interpolation linéaire d’ordre 2) des
états gauche et droite de l’interface :
uuuur
1
U G = U i + ( ∇U i ) Gi G j
(4)
2
uuuur
1
U D = U j + ∇U j Gi G j
(5)
2

)

j , nij ) −

2
La matrice Jacobiennes du flux à l’état de Roe
(Matrice de Roe) s’écrit :

(

hi + v j h j

3.4 Extension à l’ordre deux en espace par la
technique MUSCL

triangles Ti et T j (Figure 3), s’écrit :

r

hi + h j

suite :

 

T (U i , U j , nij ) =

hi + u j h j

la base des vecteurs propres ( e1 , e2 , e3 ) comme



nij  

Le flux numérique à l’interface

1













Le flux numérique peut donc se décomposer dans

Gj T j  
Gi




1



%
%
ijx ⎟ ; e3 = ⎜ u − ghnijx ⎟
⎜ v% − ghn
% ⎟
gh% nijy ⎟⎠
ijy ⎠

1
%
ghn

La relation du saut (3) permet de définir l’état de
Roe U% par :

(U% )

relation de Rankine-Hugoniot (3) :
r
r
r
T (U j , nij ) − T (U i , nij ) = A(U% , nij ) U i − U j



= ⎜−



Les gradients sont évalués par minimisation de la
fonction quadratique suivante :

69

I. Al Korachi et al, Phys. Chem. News 62 (2011) 66-74

⎛ ∂U ⎞
⎛ ∂U ⎞
U i + ( x j − xi ) ⎜

⎟ + ( y j − yi ) ⎜ ⎟ − U j
⎝ ∂x ⎠i
⎝ ∂y ⎠i
j∈V ( i )

⎛ hu j + hun ⎞
⎛ ∂hu ⎞ ⎛ hui + hun ⎞
⎟⎟ ∫ nxε1 dl + ⎜⎜
⎟⎟ ∫ nxε2 dl
⎜ ⎟ = ⎜⎜
2.
(
ε
)
Aire
⎝ ∂x ⎠ij ⎝ 2.Aire(εij ) ⎠ε1
ij ⎠ ε2


2

⎛ hu j + hus ⎞
⎛ hu + hu ⎞
⎜⎜
⎟⎟ ∫ nxε3 dl + ⎜⎜ s i ⎟⎟ ∫ nxε4 dl
⎝ 2.Aire(εij ) ⎠ε3
⎝ 2.Aire(εij ) ⎠ε4

où V (i ) est l’ensemble des triangles voisins de Ti

( xi , yi )

T

(x , y )

: Coordonnées du barycentre de Ti

T

j

j

: Coordonnées du barycentre de T j

⎛ hv j + hvn ⎞
⎛ ∂hv ⎞ ⎛ hvi + hvn ⎞
=
n
dl
+


⎟ ∫ nxε dl
⎜ ⎟ ⎜
∫ xε ⎜
⎝ ∂x ⎠ij ⎝ 2.Aire(εij ) ⎟⎠ε1 1 ⎜⎝ 2.Aire(εij ) ⎟⎠ε2 2

Pour limiter les oscillations aux bords des
discontinuités, nous utilisons le limiteur Minmod.
Les gradients dans (4) et (5) sont remplacés par les
gradients limités définis par :

⎛ hv j + hvs ⎞
⎛ hv + hv ⎞
⎜⎜
⎟⎟ ∫ nxε3 dl + ⎜⎜ s i ⎟⎟ ∫ nxε4 dl
⎝ 2.Aire(εij ) ⎠ε3
⎝ 2.Aire(εij ) ⎠ε4

Ui 1 ⎛
⎛ ∂U ⎞
⎛ ∂U ⎞ ⎞
= ⎜ Minj∈V (i)Sgn ⎜ ⎟ + Maxj∈V (i)Sgn ⎜ ⎟ ⎟
∂x
2 ⎜⎝
⎝ ∂x ⎠ j
⎝ ∂x ⎠ j ⎟⎠

lim



Minj∈V (i)

⎛ ∂U ⎞
⎜ ⎟
⎝ ∂x ⎠ j

la cellule duale de sommets

(Gi , n, G j ,s)

Aire(ε ij ) : Surface de ε ij

ε1 , ε 2 , ε 3 et ε 4 : interfaces de ε ij
r r r
r
nε1 , nε 2 , nε3 et nε 4 : Vecteurs unitaires, normaux et

3.5 Discrétisation des termes de diffusion

L’application de la formule de Green-Gauss
nous donne :



0

n
⎪3 ⎛
n

⎛ ∂hu ⎞
⎛ ∂hu ⎞

D ds = ⎨ ⎜ ⎜ϑ
n
ϑ
+
⎟ nijy ⎟ Γij
ikx ⎜

⎝ ∂y ⎠ij ⎟⎠
⎪ j =1 ⎜⎝ ⎝ ∂x ⎠ij
Ti

n

⎪ 3 ⎛ ⎛ ∂hv ⎞n
⎛ ∂hv ⎞
+
ϑ
n
n
⎪ ⎜ ⎜ϑ
⎟ ijx ⎜ ∂y ⎟ ijy ⎟⎟ Γij
⎪⎩ j =1 ⎝⎜ ⎝ ∂x ⎠ij

⎠ij ⎠

∫∫

ε ij est

Avec

de ε1 , ε 2 , ε 3 et ε 4 respectivement,
coordonnées sont données par :

r ⎛ nxε ⎞ r
nε1 = ⎜ 1 ⎟ , nε2
⎝ nyε1 ⎠



sont

Γij

⎛ nxε4 ⎞

⎝ nyε4 ⎠

=⎜

les quantités de

sont connus aux
Les états
hu et hv
barycentres Gi et G j alors que ceux sur les sommets

n et s doivent être calculés par une interpolation
linéaire sur tous les triangles entourant ces nœuds.
Les poids d’interpolation sont tels que le schéma
soit coercif et faiblement consistant, pour plus de
détails voir [13].

r
nε1  

n un

ε1
ε ij

Gi •
ui

r
nε 4  

ε4
 

ε2
Γij

ε3

r
nε 2  
G
•u j
j

Tj

r
nε 3  

s us

Figure 4 : Evaluation du flux diffusif à l’interface Γ ij  

 

⎛ nxε3 ⎞ r
⎟ , nε4
n
y
ε
⎝ 3⎠

=⎜

mouvement suivant les directions x et y , aux
nœuds n et s de l’arrêt Γij .

séparant les triangles Ti et T j (Figure 4), un
schéma de type Diamant, qui utilise une moyenne
des gradients sur l’arête autour de la cellule duale
centrée sur l’arrête est adopté :

Ti  

⎛ nxε2 ⎞ r
⎟ , nε3
⎝ nyε2 ⎠

=⎜

hun , hus , hvn et hvs



Pour calculer les gradients sur l’interface

leurs

sortants

70

I. Al Korachi et al, Phys. Chem. News 62 (2011) 66-74

4-Résultats numériques, interprétation et
validation
Dans cette partie, nous exposons les résultats
des simulations d’un écoulement à surface libre

dans une cavité entrainée. Nous comparons les
schémas de convection, nous étudions leurs
précisions et enfin nous validons notre modèle
avec les résultats bibliographiques.

4.1 Ecoulement dans une cavité carrée entrainée

le schéma de Roe avec et sans MUSCL. Les
courbes dévoilent une différence remarquable
entre les vitesses et les hauteurs calculées à travers
les deux schémas, cette différence est due
essentiellement à la dissipation numérique
produite par le schéma de Roe d’ordre 1,
l’extension
au
second
ordre
diminue
considérablement cette dissipation.

La géométrie de l’écoulement dans une cavité
entrainée est schématisée sur la figure 5, les
conditions aux limites choisies correspondent à
des conditions de non-glissement.
4.2 Influence de la discrétisation de la convection

La figure 6 représente une coupe de la
hauteur h et de la vitesse u à X=0.5 calculés par

VP Mobile = 1 m/s

u=0 et v=0 
1 m

y

1 m

Figure 5 : Géométrie et conditions aux limites de l’écoulement dans une cavité entrainée
4. 4 Validation

parvient pas à capter deux autres petits rouleaux
qui se forment à l’extrémité des coins inferieurs
gauche et droite lorsque le Reynolds est très
grand, la précision de la méthode multi-grille et le
pas du maillage très fin permettent à Ghia [15] de
prendre en compte ces petits rouleaux.

Nous nous référons
principalement aux
travaux de J. Fe [3] ainsi que ceux de Ghia [15]
qui résout la formulation vorticité des équations
de Navier-Stokes par une méthode Multi-grille et
ceux de Botella et Peyret [17] basés sur la
résolution des équations de Navier-Stokes par une
méthode spectrale avec traitement de la
singularité.
Lignes de courant : La paroi supérieure glisse et
entraîne le fluide. Il en résulte la formation d’un
tourbillon principal qui occupe la majeure partie
de la cavité, dans les coins inférieurs droit et
gauche, des tourbillons secondaires et ternaires
apparaissent et grandissent lorsqu’on augmente le
nombre de Reynolds (Figure 7).
Les lignes de courant de la figure 7 sont
parfaitement similaires à ceux de J.Fe [3], on ne

 

Position du centre du tourbillon principale : Les

positions du centre du tourbillon principal pour
différents auteurs sont données par le tableau 1 :
Auteur (Maillage)
X
Y
Thétis (512x512)
0.530
0.567
Ghia (128x128)
0.531
0.562
Botella (512x512)
0.530
0.565
Al Korachi (151x151)
0.535
0.571
Tableau 1 : Positions du centre du tourbillon principal
Re = 1000

71

I. Al Korachi et al, Phys. Chem. News 62 (2011) 66-74

(A)

(B)

 
(C)

(D)

Figure 6 : Coupe de la hauteur h et de la vitesse u à X=0.5
(A) et (B) : Re = 500 et maillage (61*61) ; (C) et (D) : Re = 1000 et maillage (61*61)
H1 et U1 : Schémas de Roe au premier ordre H2 et U2 : Extension au second ordre (MUSCL).
Comparaison des vitesses :

La comparaison entre les positions pour différents
nombre de Reynolds montre bien que le centre se
déplace vers le milieu de la cavité lorsqu’on
augmente le nombre de Reynolds. Pour les grands
nombre l’écoulement devient très instationnaire et
la position du centre ainsi que la taille des
rouleaux changent légèrement et périodiquement
au cours du temps.

Les vitesses u à X=0.5 calculés par le schéma
de Roe avec MUSCL, sur un maillage (151x151),
pour des nombres de Reynolds différent 100, 500,
1000 et 10000 sont représentées sur la figure 8, les
résultats sont semblable aux celles de la
bibliographie [3, 15,16].

 

 

72

I. Al Korachi et al, Phys. Chem. News 62 (2011) 66-74

(B)

(A)

(C)
(D)
Figure 7 : Lignes de courant de l’écoulement dans une cavité entrainée
(A) : Re = 100 ; (B) : Re = 500 ; (C) : Re = 1000 et (D) : Re = 10000.
(B)

Figure 8 : Coupe de la vitesse u à X=0.5, pour différents nombres de Reynolds.

 

73

I. Al Korachi et al, Phys. Chem. News 62 (2011) 66-74

simulations for quasi-2D turbulence in shallow
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5. Conclusion
L’article traite les étapes de simulation des
écoulements visqueux à surface libre, il présente
les équations de Saint-Venant qui gouvernent ces
écoulements puis il expose les différents schémas
de discrétisation utilisés, l’étude de l’influence de
l’ordre des schémas de discrétisations des termes
convectives sur la précision dans les simulations
des écoulements à surface libre avec présence des
structures tourbillonnaire et des recirculations à
été faite, par une comparaison entre les vitesses et
les hauteurs obtenus pour deux solveurs du
premiers et second ordre. Cette étude a montré
l’imprécision du solveur de Roe du premier ordre,
qui produit une dissipation numérique intolérable
et justifie l’obligation de l’extension au schéma
MUSCL du second ordre
qui améliore
considérablement la précision des simulations de
ces types d’écoulements, car lorsqu’ il s’agit des
simulations des écoulements dissipatifs, il se peut
qu’un schéma convectif
du premier ordre
reproduise, pour un nombre de Reynolds, des
lignes de courant très semblables à ceux obtenues
par un schéma du second ordre, mais pour un
nombre de Reynolds largement différents.
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