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MODELES DE TURBULENCE (E.C.S.M) POUR LES ECOULEMENTS TURBULENTS PEU
PROFONDS
A. Abakouy1, I. Al Korachi1, N. Salhi1
1
Laboratoire de Mécanique et Energétique,
Faculté des Sciences, BP. 717 Boulevard Mohamed VI - 60000 Oujda, Maroc
Corresponding author. E-mail: abakouy2012@gmail.com
Résumé
Les modèles de turbulence RANS sont les modèles de
turbulence les plus utilisés pour décrire la turbulence dans
les écoulements peu profonds, mais malgré ces
inconvénients, le modèle de Smagorinsky reste le seul
modèle LES utilisé pour décrire la turbulence dans ces
écoulements. Dans ce papier nous proposons deux
nouveaux modèles LES pour les écoulements turbulents
peu profonds, ces modèles sont basés sur la résolution
d’une équation d’évolution de l’énergie cinétique sous
maille (E.C.S.M) de ces écoulements. Le premier modèle
est établi en s’appuyant sur les travaux de RASTOGI et
RODI [1] tandis que le deuxième modèle est construit à
partir des travaux de BABARUTSI et CHU [2]. L’objectif
de notre travail est d’établir de nouveaux modèles LES qui
prennent en compte la variation de l’énergie cinétique sous
maille dans les écoulements turbulents peu profonds.
1. Introduction vers la turbulence dans les écoulements
peu profonds
Les écoulements turbulents peu profonds connaissent
l’existence de deux types de structures turbulentes. Au
niveau vertical il y a des petites structures turbulentes dont
les échelles de longueur reste inférieures à la profondeur,
ces structures crées principalement par le frottement avec le
fond, ont un mécanisme énergétique similaire à celui de la
turbulence réelle 3D, l’énergie cinétique turbulente se
transmet des grandes vers les petites échelles jusqu’aux les
échelles de dissipation qui transforment cette énergie en
chaleur (cascade énergétique de Kolmogorov). Au niveau
horizontal, on observe des structures cohérentes 2D assez
stables qui possèdent des échelles de longueur supérieures
à la profondeur de l’écoulement et des échelles de temps
relativement grandes, elles sont générées par amplification
des instabilités dues à un forçage topographique ou
simplement au cisaillement transversal, ces structures
turbulentes sont cohérentes est assez stables car l’énergie
cinétique turbulente reste conservé au niveau des grandes
structures, cette situation est similaire à celle de la
turbulence 2D [3]. Le frottement avec le fond convertit la
turbulence horizontale 2D directement en turbulence 3D
verticale, dans quelques situations il empêche même ces
structures cohérentes de se former. Le frottement avec le
fond implique donc une nouvelle cascade autre que celles
de 2D et 3D, appelée cascade de raccourcie, car il converti
une partie de l’énergie cinétique turbulente 2D directement
en 3D et agit comme source de turbulence 3D [4].
2. Modélisation de la turbulence dans les écoulements
peu profond
L’intégration selon la verticale des équations de NavierStokes peut être interprétée comme une moyenne
d’ensemble selon la verticale ou un filtrage qui supprime
toute les échelles verticales, soit Zs est le niveau de surface
libre et Zf est celui du fond :

1
1 Zs
̃f = ∫ f dx3 ou ̃f = f⨂G Avec G= { ⁄h si Zf ≤ x3 ≤Zs
h Zf
0 si Non
̅f = limT→∞ ∫∞ f dt ou f̅ = f⨂E Avec E est un filtre spatial
0
Dans le cadre de l’approche RANS, deux démarches
différentes ont été envisagé pour passer des équations de
Navier-stokes aux équations qui gouvernent les
écoulements turbulents peu profonds :
1-Soit directement par intégration selon la verticale des
équations de Reynolds.
2-Soit par intégration des équations de Navier-Stokes en
premier temps puis par décomposition du mouvement
résultant de cette intégration en un mouvement moyen et
fluctuant.
Le tenseur de turbulence résultant représente l’effet des
échelles de fluctuation sur le mouvement moyen, il inclut
l’effet de la turbulence verticale de petite échelle (moyenne
selon la verticale) et l’effet de la turbulence horizontale de
grande échelle (moyenne d’ensemble), notons aussi que ce
tenseur joue un rôle dissipatif dans les équations du
mouvement, on fait souvent appel à l’hypothèse de
BOUSSINESQ pour le modéliser.
La première démarche a été adoptée par RASTOGI et
RODI [1], le tenseur résultant est modélisé par une seule
viscosité qui s’écrit :
3
k̃ 2
1 Zs
1 ′ 2
(u )
ϑ̃t = C
avec ̃k = ∫ k dx3 ; k = ∑ ̅̅̅̅̅̅̅
ε̃
h Zf
2 i
i=1

u′i = ui − u̅i
k est l’énergie cinétique turbulente, ui est la vitesse
instantané, u̅i la vitesse moyenne, u′i est la fluctuation de
vitesse et C est un coefficient sans dimension.
RASTOGI et RODI [1] ont établit deux équations de
transport de ̃k et ε̃ par intégration selon la verticale des
équations de transport de k et ε du modèle standard (k − ε ;
3-D). Les équations d’évolution de ̃k et ε̃ contiennent de
nouveaux termes qui reproduisent l’effet de la turbulence
3D verticale sur le mouvement moyen.
BABARUTSI et CHU [2] ont envisagé la deuxième
démarche, la séparation entre les échelles verticales et
horizontales ainsi que la modélisation du mouvement
turbulent verticale se font en premier temps, puis ils
décomposent le mouvement horizontal en un mouvement
moyen et un mouvement fluctuant. Le tenseur résiduel
résultant est la somme de deux tenseurs : un tenseur
purement due à la turbulence horizontale et un tenseur qui
représente l’effet des échelles turbulentes verticales sur le
mouvement, la viscosité totale est la somme de deux
viscosités, horizontale et verticale :
ϑ̃t = ϑ2D + ϑ3D
ϑ3D = Ch u̅̃ ∗ h̅

̃k
et u∗ = √Cf √̅̅̅

u
k ̅̅̅

u̅̃ ∗ est la vitesse de friction, Ch est un coefficient sans
dimension et Cf est le coefficient de frottement.
La viscosité turbulente horizontale est modélisée comme
suite :
2

2

ϑ2D = C

k′
1 ′ 2
̅i − ũi
(u ) et u′i = ũ
avec k ′ = ∑ ̅̅̅̅̅̅̅
ε′
2 i
i=1

Les équations de transport de u′i sont obtenues par
̅i et
soustraction entre les équations de transport de h̅ũ
de hũi , ces équations permet d’obtenir deux équations de
transport de k ′′ et ε′′ .
Dans le cadre de l’approche LES, c’est la première
démarche qui est adoptée, selon cette approche u̅i est la
vitesse filtrée et u′i est la vitesse sous maille, le tenseur
résiduel issu de ce double filtrage est décomposé
par Hinterberger [5]:
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
̃
′ ′
̃′ ̌′
̅̅̅̅̅
Tij = ⏟
(u̅̃
̅J − ũ
̅i ũ
̅j ) + ⏟
(u
̃i ũi − u̅
̃i u̅
̃j ) + (u
iu
⏟ i uj − ui uj )
A

B

C

A est le tenseur de dispersion moyen (négligé), B est le
tenseur 2D sous maille et C est le tenseur 3D sous maille.
Le tenseur 3D sous maille représente l’effet de la
turbulence 3D (turbulence verticale), il est modélisé dans la
plupart des publications par un modèle standard de
viscosité turbulente purement dissipatif [6, 7] :
ϑ3D = Ch u̅̃ ∗ h̅

̃k
et u∗ = √Cf √̅̅̅

u
k ̅̅̅

u̅̃ ∗ est la vitesse de friction, Ch est un coefficient sans
dimension et Cf est le coefficient de frottement.
Le modèle de Smagorinsky à été parmi les premiers
modèles qui ont été adoptés pour exprimer la viscosité
turbulente 2D du tenseur 2D sous maille, ce dernier
représente l’effet de la turbulence horizontale, l’expression
de la viscosité est simple [6, 7] :
ϑ2D = (Cs ∆2 )√S̅̃ij . S̅̃ij
En général ce modèle à la réputation d’être trop dissipatif
et il demande des méthodes dynamiques ainsi que
l’introduction d’une fonction d’amortissement pour
diminuer la viscosité sous maille prés des parois.
UITTENBOGAARD a élaboré un modèle qui est moins
dissipatif, il a aussi apporté d’autres modifications sur la
viscosité turbulente pour prendre en compte la cascade de
raccourcie et pour corriger la dissipation numérique. La
viscosité sous maille est modélisée comme suite [8]:
∆2
ϑ2D = 2 2 (√γ2 Sijf Sijf + b 2 − b)
π flp
̃k ̅̅̅
̃k
3 √u
̅̅̅
u
̃i − u̅̃temp
b = Cf
et ufi = u̅
i
4

∆t⁄
∆t⁄
temp
temp


τ) u
u̅̃n+1 = (1 − e
̅̃ n+1 + e τ u̅̃n
∆t et ∆ sont respectivement le pas du temps et la taille du
filtre et Cf est le coefficient de frottement. f et γ des
constantes qui dépends des schémas de discrétisation.
3. Premier modèle E.C.S.M pour les écoulements
turbulents peu profonds
En adoptons la première approche, les équations des
écoulements turbulents peu profonds, s’écrivent :
∂h̅ ∂h̅Uj
+
=0
∂t
∂xj

∂2h̅ϑS̃ij ∂h̅(Tij )
∂h̅Ui ∂h̅Ui Uj
∂b
b
+
= − gh̅
−gh̅τi +

∂t
∂xj
∂xi
∂xj
∂xj
i; j = 1 ; 2
Avec h̅ est la hauteur de l’écoulement filtrée implicitement,
̃i est la vitesse selon l’axe xi et u′i = ui − u̅i
Ui = u̅
1 Zs
ũi = ∫ ui dx3
h Zf
Zs est le niveau de surface libre et Zf est celui du fond.
u̅i = G⨂ ui
G est un filtre spatiale et b est la fonction qui décrit le fond.
τbi = Cf (√Uk . Uk )Ui sont les contraintes au fond et
√Uk . Uk est la norme de vitesse.
∂Ui ∂Uj
S̅̃ij = 1⁄2 (
+
)
∂xj ∂xi
′ u′ = ̅̅̅̅̅
T = ̅̅̅̅̅

ũu − u̅̃u̅ est le tenseur des contraintes
ij

i j

i j

i j

résiduelles du double filtrage (ici, le tenseur de dispersion
est négligé), Tij inclut les échelles turbulentes verticales et
horizontales, selon l’hypothèse de BOUSSINESQ :
̅j
∂ũ
̅i ∂ũ
2
Tij = −2ϑ̃t (
+
) + ̃kδij
∂xj ∂xi
3
Par analogie à la procédure adoptée par RASTOGI et
RODI, nous posons :
3

1 Zs
1 ′ 2
(u )
ϑ̃t = Ck ∆√ ̃k avec ̃k = ∫ k dx3 et k = ∑ ̅̅̅̅̅̅̅
h Zf
2 i
i=1
L’équation d’évolution de l’énergie cinétique sous maille ̃k
pour les écoulements peu profonds est obtenue par
intégration selon la verticale de l’équation d’évolution de
l’énergie cinétique sous maille k des écoulements
turbulents tridimensionnels suivante [9]:
3
∂k ∂(u̅j k)

ϑt ∂k
k ⁄2
2
̅
+
= 2ϑ
⏟ t Sij + ∂x ((ϑ + σ ) ∂x ) − C⏟ε ∆
∂t
∂xj
k
j

⏟j
I

II

IV

III

ϑt = Ck ∆√k est la viscosité turbulente, ∆ est la taille des
mailles. Ck = 0.05, Cε = 1.0 et σk = 1.0.
En utilisant la règle de Leibnitz suivante :
Zs
∂ Zs
∂f
∂Zs
∂Zf
∫ f dz = ∫
dz +
f(Zs ) −
f(Zf )
∂xi Zf
∂x
∂x
∂xi
i
i
Zf
Ainsi que les conditions cinématiques au fond et à la
surface libre, nous trouvons pour I :
Zs
′′ q)
∂(hũ
∂hk̃ ∂(hk̃Uj )
j
∫ I dx3 =
+
+ AI avec AI =
∂t
∂xj
∂xj
f
̃i et q = k − k̃
u′′i = u̅i − u̅
En négligeant l’effet du frottement à la surface libre :
S̅11 (Zs ) ≈ S̅12 (Zs ) ≈ S̅12 (Zs ) ≈ S̅22 (Zs ) ≈ 0
Et en considérant que les accélérations verticales sont
négligeables (approximation d’eau peu profonde) :
∂u̅3 ∂u̅3 ∂u̅3 ∂u̅3



∂t
∂x3 ∂x2 ∂x1
Le terme de production devient :
Zs

∫ II dx3 = 2ϑ̃t (S̅̃ij2 )
Zs

i,j=1,2
Zs

+ 2 ∫ ̅̅̅̅̅̅
u′2 u′3 S̅13 + ̅̅̅̅̅̅
u′2 u′3 S̅23 dx3 + AII
2
Avec AII = (2ϑt (S̅̃
ij )

Zs

i,j=1,2

− 2ϑ̃t (S̅̃ij2 )

i,j=1,2

)

Les termes de diffusion III et de dissipation IV deviennent :

Zs

∫ III dx3 =
Zs

AS = ((ϑ +


ϑ̃t ∂k̃
(h (ϑ + ) )
∂xj
σk ∂xj

i,j=1,2

ϑ̃t ∂k̃
ϑ̃t ∂k̃
)
) et Ab = ((ϑ + )
)
σk ∂x3
σk ∂x3
Zs

Zs

+ AS + Ab

∫ IV dx3 = hCε

Zb

3
3
̃
(k ⁄2 − k̃ ⁄2 )

3
k̃ ⁄2

+ A IV avec AIV = hCε


Les termes AII et AIV sont négligés, les termes qui restent
sont modélisés de la même façon que RASTOGI et RODI
[2] :

̅i , le nouveau terme qui apparait dans
Avec Ui = ũ
̅i représente le tenseur sous
l’équation de conservation de h̅ũ
maille horizontal, il est modélisé par l’hypothèse de
BOUSSINESQ :
∂ũi ∂ũj
∂u
̃k
̅̅̅̅̅
′ u′ = ϑ
−hu
+
) − ϑ2D
δ − k ′ δij
i j
2D (
∂xj ∂xi
∂xk ij
La viscosité ϑ2D est modélisée comme suite :
2

1 ̅̅̅̅̅
′ u′
ϑ2D = Ck ∆√k ′ avec et k ′ = ∑ u
2 i j

Zs

Zs

(2 ∫ ̅̅̅̅̅̅
u′2 u′3 S̅13 + ̅̅̅̅̅̅
u′2 u′3 S̅23 dx3 + AS + Ab + AI )
Zs

3

= Ch u̅̃ ∗
Finalement nous trouvons l’équation de transport de
l’énergie cinétique sous maille pour les écoulements
turbulents peu profonds k̃ :
∂h̅k̃ ∂h̅k̃Uj

ϑ̃t ∂k̃
+
= 2h̅ϑ̃t (S̅̃ij2 ) +
(h̅ (ϑ + ) )
∂t
∂xj
∂xj
σk ∂xj
̃k 3⁄2
3
− h̅Cε
+ Ch u̅̃ ∗

5. Deuxième modèle E.C.S.M pour les écoulements
turbulents peu profonds
Pour établir ce modèle, nous adoptons la deuxième
démarche, nous commençons par l’intégration des
équations de Navier-Stokes selon la verticale, puis nous
modélisons le tenseur résiduel de l’intégration (du filtrage)
′′ u′′ , ce tenseur représente l’effet de la
suivant la verticale hũ
i j
turbulence verticale sur le mouvement horizontal, selon
l’hypothèse de BOUSSINESQ, il s’écrit :
∂ũi ∂ũj
∂u
̃k
′′ u′′ = ϑ
−ũ
+
) − ϑ3D
δ − k ′′ δij
i j
3D (
∂xj ∂xi
∂xk ij
i = 1 ; 2 et j = 1 ; 2 ,u′′i = ui − ũi
C

1

′′ u′′
ϑ3D = Cv hũ∗ avec ũ∗ = √ f √ũk . ũk et k ′′ = ∑2i=1 ũ
2
2 i i

k ′′ est modélisée par le terme 0,5Cf′ ũk . ũk [2]
Nous obtenons les équations de transport de hũj suivantes :
∂S̃ij
∂hũi ∂hũi ũj
∂b
+
= −gh
−ghτbi + 2h(ϑ + ϑ3D )
∂t
∂xj
∂xi
∂xj

∂ũk Cf′

(h(ϑ + ϑ3D )
+ ũ . ũ )
∂xj
∂xk 2 k k
Avec Zs est le niveau de surface libre et Zf est celui du fond.
b est la fonction qui décrit le fond.
∂ũi ∂ũj
S̃ij = 1⁄2 (
+
)
∂xj ∂xi
τbi = Cf (√ũk . ũk )ũi sont les contraintes au fond. En suite
nous décomposons le mouvement horizontal en un
écoulement à grande échelle et un écoulement sous maille
̅i + u′i , nous obtenons les équations de conservation
ũi = ũ
̅i suivantes :
de h̅ũ
∂S̅̃ij
∂hUi ∂hUi Uj
∂b
+
= − gh
– ghτbi + 2h(ϑ + ϑ3D )
∂t
∂xj
∂xi
∂xj


∂Uk Cf

(h(ϑ + ϑ3D )
+ U .U )
∂xj
∂xk 2 k k
̅̅̅̅̅
′ u′ )
∂(hu
i j

∂xj

i=1

i = 1 ; 2 et j = 1 ; 2
Les équations de transport de u′i sont obtenues par
̅i et
soustraction entre les équations de transport de h̅ũ
de h̅ũi , ce qui nous permet d’obtenir une équation de
transport de l’énergie cinétique sous maille du mouvement
horizontal d’un écoulement turbulent peu profond k ′′ :
∂h̅k ′ ∂h̅k ′ Uj

ϑ̃t ∂k ′
+
= 2h̅ϑ̃t (S̅̃ij2 ) +
(h̅ (ϑ + )
)
∂t
∂xj
∂xj
σk ∂xj
3⁄

k′ 2
− h̅Cε
− Cf h̅F ′

ϑ̃t = ϑ2D + ϑ3D
ϑ3D = Ch u̅̃ ∗ h̅

F′ =

̃k
et u∗ = √Cf √̅̅̅

u
k ̅̅̅

ϑ2D = Ck ∆√k ′
2
̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
2
2
̅̅̅̅̅̅
′ ′
′ 2
u1′ (2U1 2 + U2 2 ) + 2u
1 u2 U1 U2 + u2 (U1 + 2U2 )

h̅√U1 2 + U2 2
∂ũi ∂ũj
∂u
̃k
̅̅̅̅̅
′ u′ = ϑ
−hu
+
) − ϑ2D
δ − k ′ δij
i j
2D (
∂xj ∂xi
∂xk ij
[1] RASTOGI, A.K., AND RODI, W. "Predictions of heat
and mass transfer in open channels." Journal of the
Hydraulics Division HY3 (1978), 397–420.
[2] BABARUTSI, S., AND CHU, V. H. "A two-lengthscale model for quasi-two-dimensional turbulent shear
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Spain (1991), Int. Assoc. for Hydr. Res., pp. 51–60.
[3] G.H. Jirka. "Large scale flow structures and mixing
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(2001) 567-573.
[4] BABARUTSI, S., AND CHU, V. H. Computation of
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Hydraul. Eng. 122, 7 (1996), 367–372.
[5] C. Hinterberger, J. Frohlich, and W. Rodi. "Threedimensional and depth-averaged Large Eddy Simulation of
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Symposium on Shallow Flows, (2003) 567-574.
[6] H. Talstra "Large-scale turbulence structures in shallow
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Netherlands.
[7] M. Nassiri, "Two-dimensional Simulation Models of
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University of Montreal.
[8] R.E. Uittenbogaard and B. van Vossen. "Subgrid-scale
model for quasi-2d turbulence in shallow water".
Proceedings of the International Symposium on Shallow
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[9] P. Sagaut. "Introduction à la simulation des grandes
échelles pour les écoulements de fluide incompresssible"
Mathématiques et Applications. Springer-Verlag, Vol. 30,
1998.


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