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Partie1 chap2 AD Euchi Jalel .pdf



Nom original: Partie1_chap2_AD_Euchi Jalel.pdf
Titre: PowerPoint Presentation
Auteur: Jalel ELEUCHI

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Institut Supérieur d’Administration des Entreprises de Gafsa

Analyse et traitement des données

Jalel EUCHI

Chapitre II: Analyse en
composantes principales (ACP)
dimanche 25 janvier 2015

Plan
1. Section 1. Introduction
2. Section 2. Analyse de l’inertie
3. Section 3. Détermination des axes factoriels
4. Section 4. Recherche du meilleur sous espace Fk de
dimension k<p.
5. Section 5. Interprétation du nuage des points projetés

Jalel EUCHI

2

1. Introduction
 L’ACP est la plus ancienne des méthodes descriptives
multidimensionnelles appelées méthodes factorielles. D’ailleurs, elle est
souvent considérée comme la méthode de base.
Ces méthodes, apparues au début des années 30, ont été surtout développées
en France dans les années 60, notamment par Jean-Paul Benzécri qui s’est
beaucoup basé sur les aspects géométriques et les représentations graphiques.
 Etant donné qu’il s’agit de méthodes descriptives, l’objectif est de
concevoir un modèle géométrique plutôt que probabiliste.
 En pratique, les mesures des variables révèlent une différence d’échelle ou
de grandeur. Il faut donc normaliser ces variables afin de les rendre
comparables. En général, on standardise les variables en les rendant centrées
et réduites.

Jalel EUCHI

3

1. Introduction
Exemple.
On veut passer de 2 variables à 1seule. On cherche la direction qui
différencie le plus les points entre eux.

Chercher la droite d’allongement maximum du nuage de points en rendant
minimale la somme des carrés des écarts entre l’individu et sa projection
sur l’axe factoriel.
Jalel EUCHI

5

1. Introduction

L’ACP suit quatre étapes à savoir:

1. Analyse de l’inertie
2. Détermination des axes factoriels
3. Recherche du meilleur sous espace Fk de dimension k<p
4. Interprétation du nuage des points projetés

Jalel EUCHI

5

2. Analyse de l’inertie

2.1. Théorème de Pythagore
2.2. Inertie totale du nuage
2.3. Inertie par rapport à une droite

Jalel EUCHI

6

2.1 Théorème de Pythagore
Supposons qu’on travaille avec
des données centrées réduites alors
le centre de gravité g du nuage
des individus est confondu avec l’origine
Considérons le plan (∆ µ , ∆ µ ) qui doit passer
obligatoirement par l’origine
1

2

 g1 
 2
g 

g= 0=  =

 
gp 
 

0
 
0

 
0

1/ n ∀=
1,..., n alors :
=
g 0.si p=
i
i
n

n
n
1 2
1 2
1 2
=
d ( xi , 0 ) ∑ d ( xi , hi ) + ∑ d ( hi , 0 )

n
n
i 1=
i 1=
i 1 n

Inertie totale du nuage
I g = I 0 (constante)
Jalel EUCHI

Inertie résiduelle
(à minimiser)

Inertie expliquée
(à maximiser)
7

1.2 inertie totale du nuage
n

∑ pi x i − g =
M

=
Ig

2

n

∑ pi x i − 0

i 1=
i 1
n

n

=
p x

∑p
2

i
i M
i 1=
i 1

i

2
M

x i ′M x i

Etant donné que la trace d’un nombre réel est égale à lui-même, alors:

(

)

=
xi M Tr
=
xi M Tr=
( xi′Mxi ) Tr ( xi xi′M )
2

n

Ig

2

n

p x
=

∑p
2

i
i M
i 1=
i 1

i

Tr ( x i x i ′M )

n


Tr
(V M ) Tr ( MV )
= Tr ∑ p i x=
=
ixi M
i =1

Jalel EUCHI

8

Calcul de l’inertie totale du nuage

=
I g Tr
=
( MV ) Tr (VM )
 Si M=I alors l’inertie totale est égale à la somme des variances des p

variables.




=
=
=
=
Tr
MV
Tr
D
V
Tr
D
VD
( R) P
 1 
 Si M = D 1 alors ( )
 1 1  Tr
 σ σ
 σ2 
σ2

L’inertie totale du nuage dépend du comportement des variables sur
les n individus.
Si les variables prennent des valeurs très différentes sur les individus,
elles vont finir par avoir des variances élevées et par suite la
dispersion du nuage autour de son centre de gravité sera importante.
Jalel EUCHI

9

1.3 Inertie par rapport à une droite

u1 est le vecteur directeur de la droite ∆ u
1
u 1 ∈ IR p

Ci1 est la projection orthogonale du ième
individu sur la droite ∆ u1
Par définition,
=
Ci1 M
=
( xi ; u1 ) xi′Mu1
La projection de tous les individus sera
donnée par le vecteur:
=
C 1 X M u 1 ∈ IR n

C 1 est le vecteur qui donne les composantes des n
individus sur la droite ∆ u
1
Jalel EUCHI

10

1.3.Inertie par rapport à une droite
L’inertie par rapport à une droite est égale à la somme pondérée des
coordonnées des projections des points du nuage sur cette droite.

I
I ∆
=
u1

=

∆ u1

∑ p (C )
n

i =1

i

1
i

1′
1
p
C
C
DC
=
=
(
)
∑ i
n

1 2
i

i =1

2

( X Mu1 )′ D ( X Mu1 )


′  Mu 1 u 1′MV Mu 1
u=
DX
1 M X

V

I

∆u1

= u 1′MV Mu 1

La dispersion du nuage projeté dépend du choix de son vecteur directeur u1

. On a intérêt à avoir la dispersion la plus grande autour de la droite
Jalel EUCHI

11


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