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Lycée de Médenine

Mr : HADJ SALEM Habib

Série n°19

4ème Maths

Equations différentielles

2014- 2015

Exercice n°1 : Parmi les quatre réponses proposés , indiquer la (les) réponses exactes . attention , il peut n’y avoir
aucune réponse exacte.
1) Soit l’équation différentielle (E) : y’ +3y=0
a) La fonction x a 2e -3x est une solution de (E).
b) La fonction x a 2e3x est une solution de ( E).

1 -3x
e est une solution de E telle que f’(0)=3.
3
d) La fonction x a 2e3(1- x) est une solution de E telle que f(1)=2.
c) La fonction x a

2) Soit l’équation différentielle ( E) : y’= -3y et f la solution de ( E ) sur IR telle que f(1)=5.
a) F’(1)=5
;
b) f est décroissante sur IR
c) f(0)=5 e3

; d) lim f (x) = 0
x ®+¥

Exercice n°2 Résoudre les équations différentielles suivantes :
3

*/ y’+y=1

*/y’’+2y=0

*/ y’- 4y = -5 */ 2y’- 3y =4 e 2

*/ y”+6y=0

*/y”+y=0

Exercice n°3 : Soit l’équation différentielle ( E) : y’-y=2sinx
1)
2)
3)
4)

Résoudre l’équation différentielle sans second membre ( E0) : y’-y=0
Déterminer les réels a et b pour que la fonction g définie par g(x)= a sinx +b cosx soit solution de ( E).
Démontrer qu’une fonction f est solution de ( E) si et seulement si la fonction f-g est solution de (E0).
a) En déduire l’ensemble des solutions de l’équation différentielle ( E) .
b) Déterminer la solution de (E ) vérifiant la condition initiale f( p )=0.

Exercice n°4 : Soit l’équation différentielle ( E) : y’’+y =sinx
1) montrer que cette équation admet une solution g de la forme g(x) = axcosx.
2) Résoudre l’équation (E’) : y’’+y=0
3) Montrer que f est solution de ( E ) si et seulement si f-g est solution de ( E’) .
4) En déduire les solutions de E , puis déterminer la fonction f dont la courbe représentative C passe par le
point D(0,1) et admet en ce point une tangente parallèle à la droite d’équation y=x.
Exercice n°5 : Soit l’équation différentielle ( E) :9 y’’+y =0
a) Résoudre (E ).
b) Déterminer la solution f de cette équation différentielle dont la courbe représentative, dans un plan
rapporté à un repère , passe par l’origine de ce repère et admet en ce point une tangente de coefficient
directeur 3.
c) Déterminer la solution g de (E ) vérifiant :

p
2
0

ò

g(x)dx =0 et

Exercice n°6 Soit 1’ équation différentielle suivante (E) : y’ + 2y =

ò

2/On pose z=y. e 2x

b) En déduire les solutions de (E)
c)Déterminer la solution f de ( E ) telle que f( O)= ln2

g(x)dx =3

1
1 + e2 x

1/Résoudre l’équation différentielle : y’ + 2 y =0

a)Montrer que y est une solution de (E ) si et seulement si z’=

p

0

e 2x
e 2x + 1

Exercice n°7 : PARTIE I On donne un entier naturel n strictement positif , et on considère l’équation
différentielle
( En) : y’+y =

xn -x
e
n!

1) On fait l’hypothèse que deux fonctions g et h définies et dérivables sur IR vérifiant , pour tout réel x :
g(x)=h(x)e-x .
a) Montrer que g est une solution de (En) si et seulement pour tout réel x : h’(x)=

xn
n!

b) En déduire la fonction h associée à une solution g de (E n) , sachant h(0)=0. Quelle est alors la fonction g ?
2) Soit j une fonction dérivable sur IR.
a) Montrer que j est une solution de (En) si et seulement j -g est solution de l’équation F : y’ +y= 0.
b) Résoudre (F).
c) Déterminer la solution générale j de l’équation (En).
d) Déterminer la solution f de l’équation (En) vérifiant f(0)=0
n

Partie II ) Le but de cet paragraphe est de montrer que : lim

n ®+¥

-x

1

å k! =e
k =0

-x

1) On pose , pour tout réel x , f0(x)= e , f1(x)= x e
a) Vérifier que f1 est solution de de l’équation différentielle : y’ +y= f0
b) Pour tout entier strictement positif n , on définit la fonction fn comme la solution de l’équation
différentielle y’ +y = fn-1 vérifiant fn(0)=0

xn -x
En utilisant la partie I , montrer par récurrence que pour tout réel x et tout entier n ³ 1 : fn(x)=
e
n!
1

òf

2) Pour tout entier naturel n , on pose In=

0

n

(x)dx

xn
a) Montrer que pour tout entier naturel n et pour tout x Î [ 0,1] , on a : 0 £ f n (x) £
n!
1
En déduire que 0 £ In £
, puis déterminer la limite de la suite ( In)
(n + 1)!
1
b) Montrer que pour tout entier naturel k non nul , l’égalité : Ik – Ik-1 = - e -1
k!
-1
n
e
c) Calculer I0 et déduire de ce qui précède que In = 1- å
k = 0 k!
n

d) En déduire , finalement que lim

n ®+¥

1

å k! =e
k =0

Exercice n°8
A- On se propose de résoudre dans IR l’équation différentielle ( E) : y’ – 2y = 2( e 2x-1)
1) Montrer que la fonction h définie sur IR par h(x)= 2xe2x +1 est solution de l’équation différentielle (E).
2) On pose : y= z+h
a) Montrer que y est solution de E si et seulment si z est solution de l’équation différentielle ( E 0) : z’-2z=0.
b) Résoudre l’équation différentielle ( E0) et en déduire les solutions de (E).
3) Déterminer la solution de (E) qui s’annule en 0.
B- On considère la fonction g définie sur IR par g(x)= (2x-1)e2x +1 .
1) a) Dresser le tableau de variation de g.
b)En déduire le signe de g sur IR.
2) a) Résoudre dans IR l’inéquation : 1-g(x)>0.
b) Calculer l’intégrale : I=

1
2
0

ò [1 - g(x)]dx .

c) Interpreter graphiquement les résultats des questions a) et b).

Exercice n °9 Soit l’ équation différentielle suivante (E) : y’ + 3y = e -3x Logx
1/Résoudre l’équation différentielle : y’ + 3 y=0
2/On pose z = y e3x
a)Montrer que y est une solution de (E ) si et seulement si z’= ln(x)
b) En déduire les solutions de (E)
Exercice n°10 ( Dc 3 2009 ) :
Soit l’équation différentielle (E) : y ’+ 2y = (x2+4x +3)e-x
1) Résoudre l’équation différentielle ( E’) : y ’+2y=0.
2) a- Vérifier que la fonction g :x a (x+1)2e-x est une solution particulière de ( E ).
b- Montrer que f est une solution de ( E) si et seulement si f-g est solution de ( E ‘ ).
c-En déduire la résolution de ( E).
3) Vérifier que : lim g(x) =0.
x ®+¥

4) Dresser le tableau de variations de g.

(

r r

)

5) On désigne par Cg la courbe représentative de g dans un repère orthonormé O, i , j (Unité : 2 cm).
a) Calculer lim

x ®-¥

g(x)
.Que peut-on conclure pour Cg.
x

b) Tracer Cg.
6) a- A l’aide d’une intégration par parties, calculer

ò

1
0

(2x + 2)e- x dx

b- Vérifier que : g ’(x ) + g(x)= ( 2x+2) e- x .
c- En déduire l’aire de la partie du plan limité par la courbe Cg , l‘axe des abscisses et les droites :

x=0 et x=1.

Exercice n°11 ( bac 2009 prin) :
1) Résoudre l’équation différentielle : y’’ + y=0 .
2) Soit E l’ensemble des fonctions définies et deux fois dérivables sur IR telles que pour tout réel x on a :

æp
ö
f ’(x)+ f ç - x ÷ =0 ; où f’ est la fonction dérivée de f.
è2
ø
a) Soit g la fonction sur IR par g(x)=cosx . Vérifier que g est un élément de E.
æp
ö
b) Soit f un élément de E. Vérifier que pour tout réel x ; f’’(x) = f’( ç - x ÷ .
è2
ø
c) En déduire que si f est un élément de E alors f est une solution de l’équation différentielle : y’’ + y=0 .
d) Déterminer alors l’ensemble E.
Exercice 12 : ( dc 3 2012)
Soit f la fonction définie sur IR par f(x)=

ex
1 + ex

1) On se propose de résoudre l’équation différentielle (E ) : y’-y =

-e2x

(1 + e )

x 2

a) Vérifier que f est une solution de ( E ).
b) Soit h une fonction dérivable sur IR .
Montrer que h est une solution de ( E) si et seulement si h-f est une solution de l’équation ( E0) : y’-y=0.
c) Résoudre l’équation ( E0) et en déduire les solutions de (E).
2) a. Dresser le tableau de variation de f.

b. Le tableau ci-dessous est celui de la fonction g définie sur IR par g(x)= f(x)-x.

Montrer que l’équation f(x)=x admet dans IR une unique solution a et que

1
< a < 1.
2

3) Sur la page donnée en annexe on a tracé les courbes de f et f2 dans un repère orthonormé.
a) Identifier ces deux courbes ( sur la feuille annexe à rendre)
b) Vérifier que pour tout réel x , on a : f(x)-f2(x)=f’(x).
c) Calculer l’aire de la partie du plan hachurée.
4) Pour tout n ³ 1 ; on pose In =

a

ò f ( x ) dx .
n

0

a) Montrer que pour tout n ³ 1 , In+1-In=

1æ 1

ç n -a ÷
nè2
ø

b) Montrer que ( In) est décroissante et qu’elle est convergente.
c) Montrer que pour tout n ³ 1

a
£ In £ an+1 et en déduire lim In
n ®+¥
2n

Exercice ( Dc 3 2014) :

On considère l’équation différentielle (E) : . y' = 2 y - 4 y2
1) On pose z =

1
y

a) Montrer que y est une solution de (E) si et seulement si z est une solution de l’équation
différentielle (E’) : z' = 4 - 2 z .
b) Résoudre l’équation différentielle (E’) et déterminer la solution f de (E) tel que f(0) =

1
2 + e -2x
ù 1é
a) Montrer que l’équation f(x) = x admet dans ú 0, ê une solution unique α.
û 2ë

1
.
3

2) Soit f la fonction définie sur IR par f ( x ) =

b) Calculer I =

ln2

ò f ( x ) dx
0

c) Déduire le volume V du solide engendré par la rotation autour de l’axe des abscisses du
domaine A du plan compris entre la courbe Cf , l’axe des abscisses et les droites d’équations respectives :
x = 0 et x = ln2.
3) Dans le graphique ci-dessous (C) et (Γ) sont les courbes représentatives de f et de sa fonction dérivée f ’.
Soit u la suite définie

ì
é 1ù
ïU0 Î ê 0, ú
sur par : í
; U0 ¹ a
ë 2û
ïU = f(U ) ; n Î IN
î n +1
n
Utiliser le graphique pour :
a) Montrer que (C) est la courbe de f.
b) Montrer que pour tout n ∈ IN ; 0 £ Un £

1
2

c) Montrer que pour tout n ∈IN , Un+1 - a £
d) Déterminer alors lim Un
n®+¥

n

1
æ1ö
Un - a et que Un - a £ ç ÷ .
2
è2ø

Exercice (Dc 3 2013 ) :
Soit l’équation différentielle ( E ) : y-y’=

ex
; x Î ]0, +¥[ et la
x2

courbe( C ) ci contre d’une solution f de E définie sur ]0,+¥[ .
1) a) Résoudre l’équation différentielle

( E’ ) : y-y’=0.

æ x +1 ö x
÷e .
è x ø

b) On donne pour tout x Î ]0, +¥[ g(x)= ç
Montrer que g est une solution de E.

2) Montrer que f est une solution de E si et seulement si f-g est
une solution de ( E’) .
3) En déduire les solutions f de ( E ) sur ]0,+¥[ .
4) Expliciter alors f(x).


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