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1. Questions de cours
(a) Formule de Taylor avec reste int´egral
(b) Continuit´e et d´erivabilit´e d’une int´egrale d´ependant d’un param`etre
(c) Sommes de Riemann d’une fonction continue
P
2. Soit
un une s´erie r´eelle semi-convergente (ie convergente P
sans ˆetre absolument convergente). Soit l ∈ R.
Montrer qu’il existe une permutation ϕ : N → N telle que
uϕ(n) converge vers l.
3. Faire un d´eveloppement asymptotique `a l’ordre 3 des nombres harmoniques Hn = 1 + 21 + . . . + n1 .
4. In´
egalit´
e de Jensen
R1
Soit ϕ : R → R une fonction convexe continue, f : [0,1] → R une fonction continue. Comparer 0 ϕ(f (t))dt
R1
et ϕ( 0 f (t)dt).
Rb
5. Soit n ∈ N∗ et f ∈ C 0 ([a,b[,R) telle que : ∀k ∈ N, k ≤ n, on ait : a tk f (t)dt = 0. Montrer que f admet au
moins n + 1 z´eros sur ]a,b[.
6. Lemme d’Hadamard
(0)
Soit f ∈ C ∞ (R,R). On d´efinit g par : ∀x ∈ R∗ , g(x) = f (x)−f
, g(0) = f 0 (0). Montrer que g est de classe
x

C sur R, et pr´eciser les d´eriv´eees successives en 0.
7. Pour tout a ∈] − 1, + ∞[, calculer :
F (a) =

Z
0

π
2

ln(1 + a cos x)
dx.
cos x

8. Irrationnalit´
e de π 2
(a) Soit g : R → R une fonction polynˆ
ome `a coefficients entiers. On consid`ere la fonction polynˆ
ome
n
g(x)
h : x 7→ x n!
. Montrer que : ∀k ∈ N, h(k) (0) est entier.
(b) On suppose que π 2 est rationnel, ie π 2 = a/b, o`
u a et b sont des entiers. On pose :
fn : [0,1] → R
n
n .
x 7→ x (1−x)
n!
R1
Pour tout n ∈ N∗ , montrer que In = πan 0 fn (x) sin(πx)dx est un entier. Conclure.
9. Etude d’une fonction d´
efinie par une int´
egrale
R x2 dt
On pose f (x) = x ln t .
- Domaine de d´efinition de f ?
- D´eriv´ee de f , sens de variation.
- Etude au voisinage du point 1 : continuit´e? d´erivabilit´e?
- Mˆeme ´etude en 0.
- Limite de f en +∞.
- Graphe de la fonction f .

1

10. Th´
eor`
eme de Weierstrass : une preuve par la convolution
On note E l’ev des fonction continues de R dans R et nulles en dehors d’un compact. On munit E du produit
de convolution ? en d´efinissant, pour tout (f,g) ∈ E 2 la convol´ee :
f ?g : R → R
R +∞
x 7→ −∞ f (x − t)g(t)dt
(on pourra remarquer que l’int´egrale est en fait `a borne finies)
(a) Montrer que la loi ? est commutative, et distributive par rapport `a l’addition.
(b) Que dire de la r´egularit´e de f ? g si :
- f et g sont continues.
- Une des deux fonctions est continue, et l’autre est C k .
(c) On appelle approximation de l’identit´e toute suite (χn ) de fonctions de E positives v´erifiant :
Z

+∞

χn (t)dt = 1, et ∀α > 0

−∞

lim

n→+∞

Z

χn (t)dt = 0.

|t|>α

Soit f ∈ E. Montrer que la suite de fonctions (f ? χn ) converge uniform´ement vers f sur R.
(d) Pour tout n ∈ N, on pose :
an =

Z

1
2 n

(1 − t ) dt, pn : R → R t 7→

−1



(1 − t2 )n /an
0

si |t| < 1
sinon.

Montrer que pn est une approximation de l’identit´e. Montrer que si f est nulle en dehors de I =
[−1/2,1/2], f ? pn est une fonction polynˆ
ome sur I.
(e) En d´eduire le th´eor`eme de Weierstrass : si J est un segment de R et si f : J → R est continue, alors f
est limite uniforme sur J d’une suite de fonctions polynˆ
omes.
R1
(f) Application : Soit f : [0,1] → R une fonction continue, telle que, ∀n ∈ N, 0 f (t)tn dt = 0. Montrer que
f est la fonction nulle.
(g) Que dire d’une fonction f qui serait limite uniforme d’une suite de fonctions polynˆ
omes sur R.

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