Fichier PDF

Partage, hébergement, conversion et archivage facile de documents au format PDF

Partager un fichier Mes fichiers Convertir un fichier Boite à outils PDF Recherche PDF Aide Contact



maths .pdf



Nom original: maths.pdf
Titre: Devoirs Tunisie
Auteur: Tunisiecollege.net

Ce document au format PDF 1.6 a été généré par Microsoft® Office Word 2007, et a été envoyé sur fichier-pdf.fr le 24/03/2015 à 17:20, depuis l'adresse IP 197.27.x.x. La présente page de téléchargement du fichier a été vue 3082 fois.
Taille du document: 1.1 Mo (19 pages).
Confidentialité: fichier public




Télécharger le fichier (PDF)









Aperçu du document


‫‪9‬اساسي‬

‫الثبات في الرياضيات‬

‫‪‬‬
‫‪ )2‬الترتيب والضرب‬

‫‪)1‬الترتيب والجمع‬

‫‪5‬‬

‫‪ )3‬مقارنة المقلوب ومقارنة المربعين‬

‫الكتاب الموازي " الثبات في الرياضيات "‬
‫مرجع هذه السلسلة ‪:‬‬
‫" طارق الشتوي & كمال الغربي "‬
‫تأليف ‪ :‬االستاذان‬
‫االصالح على الموقع ‪l’apothème :‬‬

‫‪ – I‬مقارنة عددين حقيقيين ‪:‬‬
‫‪– (1‬خاصية ‪:‬‬

‫‪ a‬و ‪ b‬عددان حقيقيان ‪.‬‬
‫‪-‬‬

‫‪a b‬‬

‫‪+‬‬

‫‪a b‬‬

‫‪a b‬‬

‫يعني‬

‫‪a b‬‬

‫يعني‬

‫‪ – (2‬أمثلة ‪:‬‬

‫‪2 34‬‬

‫‪ -- (1‬لنقارن العددين ‪:‬‬

‫‪‬‬

‫‪3 5‬‬

‫و‬

‫‪3 5  2 2 4 3 5‬‬

‫‪ ‬‬

‫‪34 ‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ 2 3  3 54‬‬

‫لدينا ‪:‬‬

‫‪ 3 1‬‬

‫و بما أن ‪3  1  0 :‬‬

‫فإن ‪:‬‬

‫‪‬‬

‫‪3 5 0‬‬

‫‪ ‬‬

‫‪34 ‬‬

‫‪2‬‬

‫و منه فإن ‪:‬‬

‫‪2 3 4  3 5‬‬
‫‪ -- (2‬لنقارن العددين ‪:‬‬
‫لدينا ‪:‬‬

‫‪ x‬و ‪ y‬بحيث ‪. x  y  3 :‬‬

‫‪x y 3‬‬

‫و بما أن ‪ 3  0 :‬‬

‫فإن ‪:‬‬

‫‪x  y 0‬‬

‫~‪~1‬‬

‫وبالتالي ‪x  y :‬‬

‫‪9‬اساسي‬

‫الثبات في الرياضيات‬

‫‪ – II‬الترتيب و العمليات ‪:‬‬
‫‪ a‬و ‪ b‬و ‪ c‬أعداد حقيقية ‪.‬‬
‫‪ – (1‬الترتيب و الجمع ‪:‬‬

‫إذا كان ‪ a  b‬فإن ‪a  c  b  c‬‬

‫أ( ‪ -‬خاصية ‪: ‬‬

‫إذا كان ‪ a  c  b  c‬فإن ‪a  b‬‬
‫نعتبر ‪ x‬عددا حقيقيا بحيث ‪. x  3 :‬‬

‫* مثال ‪:‬‬

‫لنقارن العددين ‪  2‬و ‪. x  5‬‬
‫لدينا ‪:‬‬

‫‪x 3‬‬

‫‪x    5  3    5‬‬

‫يعني أن ‪:‬‬

‫‪x 5  35‬‬

‫و بالتالي فإن ‪x  5   2 :‬‬

‫ب( ‪ -‬خاصية ‪: ‬‬

‫‪ a‬و ‪ b‬و ‪ c‬و ‪ d‬أعداد حقيقية ‪.‬‬
‫إذا كان‬

‫‪a b‬‬

‫و ‪ c  d‬و فإن ‪a  c  b  d‬‬

‫* مثال ‪:‬‬
‫‪ x‬و ‪ y‬عددان حقيقيان بحيث ‪:‬‬

‫‪ x 3‬و‬

‫‪. 2y‬‬

‫لنبين أن ‪. x  y  5 :‬‬

‫‪x  3‬‬
‫لدينا ‪ :‬‬
‫‪2 y ‬‬

‫يعني أن ‪:‬‬

‫و باتالي فإن ‪:‬‬

‫‪x  y 5‬‬

‫‪x  3‬‬
‫‪‬‬
‫‪y  2‬‬

‫إذن ‪:‬‬

‫‪x  y 23‬‬

‫‪ – (2‬الترتيب و الضرب ‪:‬‬
‫أ( ‪ -‬خاصية ‪: ‬‬
‫‪ a‬و ‪ b‬و ‪ c‬أعداد حقيقية ‪.‬‬

‫‪ a b‬و ‪0‬‬

‫‪ c‬يعني ‪a  c  b  c‬‬

‫‪ a b‬و ‪0‬‬

‫‪ c‬يعني ‪a  c  b  c‬‬

‫~‪~2‬‬

‫‪9‬اساسي‬

‫الثبات في الرياضيات‬
‫* مثال ‪:‬‬

‫نفترض ‪a  5  1 :‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫لدينا‬

‫‪‬‬

‫‪5 1‬‬

‫‪ ‬‬

‫‪‬‬

‫‪5 1‬‬

‫برهن أن‬

‫و ‪a  5 1‬‬

‫‪5  1‬‬

‫‪‬‬

‫‪5 1 a  4‬‬

‫‪5 1 a ‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪.‬‬

‫اذن‬
‫ومنه‬

‫‪.‬‬

‫‪‬‬

‫‪5 1 a  4‬‬

‫‪‬‬

‫‪4‬‬

‫‪‬‬

‫نفترض ‪:‬‬
‫لدينا‬

‫‪6‬‬

‫برهن أن‬

‫‪2 3‬‬

‫‪a‬‬

‫‪3‬‬

‫و ‪2 3‬‬

‫‪ 32 3‬‬

‫اذن‬

‫‪a‬‬

‫‪ 3a‬‬
‫‪  3a‬ومنه‬

‫‪6‬‬

‫‪ 3a‬‬

‫‪6‬‬

‫‪ a‬و ‪ b‬و ‪ c‬و ‪ d‬أعداد حقيقية موجبة‪.‬‬

‫ب( ‪ -‬خاصية ‪: ‬‬

‫‪a b‬‬
‫إذا كان‬

‫فإن ‪a  c  b  d‬‬

‫و‬

‫‪c d‬‬
‫* مثال ‪:‬‬
‫‪ x‬و ‪ y‬عددان حقيقيان موجبان بحيث ‪ x  3 :‬و ‪. y  2 6‬‬
‫لنبين أن ‪:‬‬

‫‪. xy  6 3‬‬

‫لدينا ‪:‬‬

‫‪x  3 ‬‬
‫و‪‬‬
‫‪y  2 6 ‬‬

‫اذن ‪:‬‬

‫‪x  y  32 6‬‬
‫‪xy  2 3  6‬‬
‫‪xy  2 18‬‬
‫‪xy  2 9  2‬‬
‫‪xy  2 32  2‬‬
‫‪xy  2  3 2‬‬
‫‪xy  6 2‬‬

‫وبالتالي فإن ‪:‬‬

‫~‪~3‬‬

‫‪9‬اساسي‬

‫الثبات في الرياضيات‬
‫‪ – (3‬الترتيب و المقلوب ‪:‬‬
‫أ( ‪ -‬خاصية ‪:‬‬

‫‪ a‬و ‪ b‬عددان حقيقيان موجبان قطعا ‪.‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪‬‬
‫إذا كان ‪ a  b‬فإن‬
‫‪a b‬‬
‫‪1 1‬‬
‫إذا كان ‪‬‬
‫‪a b‬‬

‫ب( ‪ -‬مثال ‪:‬‬

‫لدينا ‪5  20 :‬‬

‫فإن ‪a  b‬‬

‫لكن‬
‫‪1‬‬
‫; ‪=0,05‬‬
‫‪20‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪‬‬
‫لكن‬
‫‪5 20‬‬

‫‪1‬‬
‫‪ 0,2‬‬
‫‪5‬‬

‫;‬

‫‪5  20‬‬

‫‪0,2  0,05‬‬

‫‪ – (4‬الترتيب و المربع ‪:‬‬

‫‪ a‬و‪b‬‬
‫أ( ‪ -‬خاصية ‪: ‬‬

‫إذا كان ‪a  b‬‬

‫‪ 50  49‬ولدينا‬

‫فإن ‪a 2  b 2‬‬

‫إذا كان ‪ a 2  b 2‬فإن ‪a  b‬‬

‫* مثال ‪:‬‬
‫‪ 5  11‬ولدينا‬

‫عددان حقيقيان موجبان ‪.‬‬

‫‪112  121‬‬
‫اي‬

‫‪52  25‬‬

‫;‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪ 5 2 ²  7²‬ومنه‬

‫ونالحظ ان‬

‫‪5 2 7‬‬

‫ب( ‪ -‬خاصية ‪: ‬‬

‫‪ a‬و‪b‬‬

‫عددان حقيقيان سالبان ‪.‬‬

‫إذا كان ‪a  b‬‬

‫فإن ‪a 2  b 2‬‬

‫إذا كان ‪ a 2  b 2‬فإن‬
‫* مثال ‪:‬‬
‫لنقارن العددين ‪  6 :‬و ‪.  3 2‬‬
‫لدينا ‪:‬‬
‫~‪~4‬‬

‫‪a b‬‬

‫‪25  121‬‬

‫‪9‬اساسي‬

‫الثبات في الرياضيات‬
‫‪2‬‬
‫‪6 6 ‬‬
‫‪‬‬
‫و‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3 2  18‬‬
‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪2‬‬

‫إذن‬

‫‪ ‬‬

‫‪2‬‬

‫‪6  3 2‬‬

‫و منه فإن ‪6  3 2‬‬

‫‪ .‬و بالتالي‬

‫فإن ‪ 6   3 2 :‬‬
‫‪ – (5‬الترتيب و الجذر التربيعي ‪:‬‬
‫أ( ‪ -‬خاصية ‪:‬‬

‫عددان حقيقيان موجبان ‪.‬‬

‫‪ a‬و‪b‬‬

‫إذا كان ‪a  b‬‬

‫فإن ‪a  b‬‬

‫إذا كان ‪a  b‬‬

‫فإن ‪a  b‬‬

‫* أمثلة ‪:‬‬

‫‪ – (1‬لنقارن العددين ‪10 :‬‬

‫و ‪.3 3‬‬

‫لدينا ‪:‬‬

‫‪‬‬
‫و‪‬‬
‫‪3 3  9 3  27 ‬‬
‫‪10  10‬‬

‫لدينا ‪10 27‬‬

‫و منه فإن‬

‫‪27‬‬

‫‪ 10‬اي‬

‫‪3 3‬‬

‫‪ – III‬الحصر ‪:‬‬
‫‪ – (1‬حصر مجموع عددين ‪:‬‬
‫‪ a‬و ‪ b‬و ‪ x‬و ‪ y‬و ‪ z‬و ‪ t‬أعداد حقيقية بحيث ‪:‬‬

‫‪ x a  y‬و ‪z  b t‬‬
‫‪x  z  a b  y t‬‬
‫* مثال ‪:‬‬

‫‪ x‬و ‪ y‬عددان حقيقيان بحيث ‪ 3  x  8 :‬و ‪ 4  y  2‬‬
‫لنحصر‬
‫لدينا ‪:‬‬

‫‪. x y‬‬
‫‪3   4  x  y  8  2‬‬

‫‪ 1  x  y  10‬‬

‫إذن ‪:‬‬
‫~‪~5‬‬

‫‪10‬‬

‫‪9‬اساسي‬

‫الثبات في الرياضيات‬
‫‪ – (2‬حصر مقابل عدد حقيقي ‪:‬‬

‫‪ a‬عدد حقيقي بحيث ‪x  a  y :‬‬

‫‪ y  a  x‬‬

‫سيكون لدينا ‪:‬‬
‫‪ – (3‬حصر فرق عددين حقيقيين ‪:‬‬

‫مالحظة هامة ‪ :‬لحصر ‪ ، a  b‬نكتب ‪ a  b  a   b ‬ثم نطبق القاعدتين أعاله‬
‫* مثال ‪:‬‬
‫لننحصر ‪. x  y‬‬

‫‪ x‬و ‪ y‬عددان حقيقيان بحيث ‪ 3  x  8 :‬و ‪  4  y  2‬؛‬
‫لدينا ‪:‬‬

‫‪2   y  4‬‬

‫و ‪3 x 8‬‬

‫إذن ‪:‬‬

‫‪3  2  x  y   8  4‬‬

‫‪1  x  y  12‬‬

‫و منه فإن ‪:‬‬

‫‪ – (4‬حصر جذاء عددين حقيقيين ‪:‬‬
‫‪ a‬و ‪ b‬و ‪ x‬و ‪ y‬و ‪ z‬و ‪ t‬أعداد حقيقية موجبة بحيث ‪:‬‬

‫‪ x a  y‬و ‪z  b t‬‬

‫‪x  z  a b  y t‬‬
‫* مثال ‪: 1‬‬
‫‪ x‬و ‪ y‬عددان حقيقيان بحيث ‪:‬‬

‫‪ 3 x  7‬و ‪ 1 y  3‬؛‬

‫لدينا ‪3 1  x  y  7  3 :‬‬

‫إذن ‪:‬‬

‫لنحصـر‬

‫‪. x y‬‬

‫‪3  x  y  21‬‬

‫* مثال ‪: 2‬‬
‫‪ x‬و ‪ y‬عددان حقيقيان بحيث ‪:‬‬
‫لدينا ‪:‬‬

‫‪2  x  5‬‬

‫‪ 5  x  2‬و ‪ 3  y  6‬؛ لنحصـر ‪. x  y‬‬
‫‪2  3   x   y  5  6‬‬

‫إذن ‪:‬‬

‫‪6  xy  30‬‬
‫و منه فإن ‪. 30  xy  6 :‬‬
‫~‪~6‬‬

‫أي‬

‫‪9‬اساسي‬

‫الثبات في الرياضيات‬
‫‪ – (5‬حصر مقلوب عدد حقيقي غير منعدم ‪:‬‬
‫استنتاج ‪:‬‬

‫‪a‬و ‪x‬و‪y‬‬

‫أعداد حقيقية غير منعدمة ولها نفس العالمة‬

‫حيث ‪x  a  y :‬‬

‫و‬

‫لدينا ‪:‬‬

‫‪1 1 1‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪y a x‬‬

‫‪ – (6‬حصر خارج عددين ‪:‬‬
‫‪a‬‬
‫‪1‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ a‬‬
‫مالحظة هامة ‪ :‬لحصر ‪ ،‬نكتب‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬

‫ثم نطبق القاعدتين أعاله‬

‫‪x‬‬
‫*مثال ‪ x :‬و ‪ y‬عددان حقيقيان بحيث ‪ 3  x  7 :‬و ‪ 5  y  9‬؛ لنحصر‬
‫‪y‬‬
‫‪1 1 1‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪9 y 5‬‬

‫لدينا ‪:‬‬

‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫إذن ‪:‬‬
‫‪3  x   7 ‬‬
‫‪9‬‬
‫‪y‬‬
‫‪5‬‬

‫‪.‬‬

‫‪3 x 7‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪9 y 5‬‬

‫أي‬

‫‪1 x 7‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪3 y 5‬‬

‫و بالتالي فإن ‪:‬‬
‫* تمرين تطبيقي محوصل ‪:‬‬

‫‪ a‬و ‪ b‬و ‪ c‬أعداد حقيقية بحيث ‪6  a  8 :‬‬
‫أحصر ‪:‬‬

‫‪ a 2‬و ‪ b 2‬و ‪a  2b  4c‬‬

‫و ‪4  b  2‬‬

‫و‬

‫‪3  c  5‬‬

‫‪a b‬‬
‫و‬
‫‪b2‬‬

‫الحــل ‪:‬‬
‫‪ – (1‬حصر ‪. a 2‬‬
‫لدينا ‪:‬‬

‫‪6 2  a 2  82‬‬

‫و منه فإن ‪:‬‬

‫‪36  a 2  64‬‬

‫‪ – (2‬حصر ‪. b 2‬‬
‫لدينا ‪:‬‬

‫‪ 2 2  b 2   4 2‬‬

‫و منه فإن ‪:‬‬

‫‪4  b 2  16‬‬

‫‪ – (3‬حصر ‪. a  2b  4c‬‬

‫لدينا ‪ 8  2b  4 :‬و ‪ 4   3   4c   4  5‬أي ‪12  4c  20‬‬
‫~‪~7‬‬

‫‪9‬اساسي‬

‫الثبات في الرياضيات‬
‫إذن ‪6   8  12  a  2b  4c  8   4   20 :‬‬

‫و منه فإن ‪10  a  2b  4c  24 :‬‬
‫‪a b‬‬
‫‪ – (4‬حصر‬
‫‪b2‬‬

‫‪.‬‬

‫لدينا ‪6   4  a  b  8   2  :‬‬

‫أي ‪2  a  b  6‬‬

‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫إذن ‪:‬‬
‫‪ a  b   2  6 ‬‬
‫‪16‬‬
‫‪4‬‬
‫‪b‬‬
‫و بالتالي فإن ‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫أي‬

‫‪1‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪ 2‬‬
‫و‬
‫‪16 b‬‬
‫‪4‬‬

‫‪2 a b 6‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪16 b 2‬‬
‫‪4‬‬

‫‪1 a b 3‬‬
‫‪ 2 ‬‬
‫‪8‬‬
‫‪2‬‬
‫‪b‬‬

‫خطأ شائع‬

‫‪)1‬‬
‫‪)2‬‬
‫‪)3‬‬
‫‪)4‬‬

‫‪12‬‬
‫‪ x  3‬‬
‫‪4‬‬

‫‪x y  x²y²‬‬

‫‪ 4x  12  x ‬اصلح الخطأ‬
‫مثال ‪ -52 :‬لكن ‪ 254‬اصلح الخطأ‬

‫‪a  x b ‬‬
‫' ‪  a  a'  x  x ' b b‬‬
‫‪a '  x '  b '‬‬

‫اصلح الخطأ ‪.‬‬

‫‪a  x b ‬‬
‫‪a x b‬‬
‫االعداد ‪ a‬و ‪ b‬و ’‪ a‬و ’‪ b‬موجبة قطعا ‪    :‬‬
‫‪a '  x '  b '‬‬
‫' ‪a' x ' b‬‬

‫الكتاب الموازي " الثبات في الرياضيات "‬
‫مرجع هذه السلسلة ‪:‬‬
‫" طارق الشتوي & كمال الغربي "‬
‫تأليف ‪ :‬االستاذان‬
‫االصالح على الموقع ‪l’apothème :‬‬

‫~‪~8‬‬

‫‪9‬اساسي‬

‫الثبات في الرياضيات‬

‫تمارين‬
‫‪ ‬تمرين‪:1‬‬
‫قارن العددين ‪ a‬و ‪ b‬في كل حالة من الحاالت اآلتية ‪:‬‬
‫‪52 2‬‬

‫‪a‬‬
‫‪b‬‬

‫‪5  10‬‬

‫المقارنة‬

‫‪...‬‬

‫‪5‬‬
‫‪11‬‬

‫‪15‬‬
‫‪14‬‬

‫‪7‬‬
‫‪8‬‬

‫‪11‬‬
‫‪6‬‬

‫‪‬‬

‫‪2 7‬‬

‫‪7 2‬‬

‫‪3 3‬‬

‫‪..... a b‬‬

‫‪......... ......... ........ .......‬‬

‫‪21‬‬
‫‪33‬‬

‫‪0,1‬‬

‫‪ 3‬‬
‫‪7‬‬

‫‪5  13‬‬

‫‪20‬‬
‫‪33‬‬

‫‪1‬‬
‫‪11‬‬

‫‪7‬‬
‫‪2‬‬

‫‪...‬‬

‫‪........‬‬

‫‪.....‬‬

‫‪......... ........ .......‬‬

‫‪52 2‬‬

‫‪a‬‬

‫‪b‬‬
‫المقارنة‬

‫‪21‬‬
‫‪3‬‬

‫‪12‬‬
‫‪17‬‬

‫‪6‬‬
‫‪5‬‬

‫‪16‬‬
‫‪11‬‬

‫‪‬‬

‫‪5 1‬‬

‫‪‬‬

‫‪1‬‬
‫‪2‬‬

‫‪‬‬

‫‪2‬‬
‫‪2‬‬

‫‪ 3‬‬
‫‪2‬‬

‫‪5‬‬
‫‪2‬‬

‫‪4 2‬‬

‫‪4 5 2 2  1‬‬

‫‪3 2 7  2‬‬

‫‪...........‬‬
‫‪2 7‬‬

‫‪5‬‬
‫‪2‬‬

‫‪a b‬‬

‫نعتبر عددين حقيقيين موجبين قطعا ‪ a‬و ‪ b‬حيث‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬

‫‪5‬‬
‫‪b 2‬‬
‫‪4‬‬

‫‪2‬‬
‫‪a 1‬‬
‫‪3‬‬

‫;‬

‫‪2a  6b‬‬

‫‪2,12‬‬
‫‪...........‬‬

‫‪........‬‬

‫‪b ² a‬‬
‫‪4a²+b ²‬‬

‫‪ .‬قارن بين ‪:‬‬

‫‪.‬‬

‫;‬
‫‪. 5a  3b‬‬
‫‪²‬‬
‫‪. a b‬‬
‫‪. 4ab 1‬‬

‫;‬
‫;‬

‫‪ ‬تمرين‪:3‬‬
‫‪ x .1‬و ‪ y‬عددان حقيقيان بحيث ‪ . x  y :‬أثبت أن ‪:‬‬

‫‪x 7  3y 2‬‬

‫;‬

‫‪x  11  y  2‬‬

‫~‪~9‬‬

‫;‬

‫‪3 2‬‬
‫‪5‬‬
‫‪7‬‬
‫‪5‬‬

‫‪ ‬تمرين‪:2‬‬
‫‪a b‬‬

‫‪........‬‬

‫‪x  5y  7‬‬

‫اساسي‬9

‫الثبات في الرياضيات‬
1
1
 3y 
7
5

2x 

x

;



2 5

y
3 2

: ‫ بين أن‬. a  b : ‫ عددان حقيقيان بحيث‬b ‫ و‬a

.2

7
‫ ؛‬5a  3a  2b ‫ ؛‬5a  4a  b
2

‫ ؛‬7a  4b  3b ‫ ؛‬a  b 

a 2 b b





2 1

:4‫ تمرين‬
: ‫ بين أن‬. b  5 ‫ و‬a  12 : ‫ عددان حقيقيان بحيث‬b ‫ و‬a

b

3 23

4 4

;

a  1,5  13,5

;

b  7  2

3a  36

;

7
b 7
5

4
20
 b 
3
3

;

b  a  17

a

;
;

1 23

2
2

1
a6
2

a  b  17

;

:5‫ تمرين‬

5  y 
y 

3
5

2
 x 1
5

6
11

;

;

1
2

x 

;

;

7
 x
5

;

3x  5 y

;

x y

;

;
;

y

: ‫ عددان حقيقيان بحيث‬y ‫ و‬x

2y

;

3x  5 y  11
x y
2

‫و‬

x 

;

3
y
2

x y

3
2

x  2 y  22
2x  y
1
3

~11~

;
;

7
5

: ‫أحصر ما يلي‬

5x
2x  3 y
3x  y 

3x  5 y  4
2

1
2

‫‪9‬اساسي‬

‫الثبات في الرياضيات‬

‫‪ ‬تمرين‪:6‬‬

‫‪x y‬‬
‫‪2x  3 y‬‬
‫‪ x‬و ‪ y‬عددان حقيقيان بحيث ‪ x  y :‬؛ أثبت أن ‪ y :‬‬
‫‪ x ‬و أن ‪ y :‬‬
‫‪5‬‬
‫‪2‬‬

‫‪ ‬تمرين‪:7‬‬
‫‪ a‬و ‪ b‬و ‪ c‬أعداد حقيقية بحيث ‪:‬‬

‫بين أن ‪a  b  c :‬‬

‫‪. a c b‬‬

‫و ‪a  2c  b  c‬‬

‫و ‪a c b  0‬‬

‫و‬

‫‪2a  a  b  c‬‬

‫‪ ‬تمرين‪:8‬‬
‫‪ x‬و ‪ y‬عددان حقيقيان بحيث ‪ x  5 :‬و ‪ y  2‬؛‬

‫أثبت أن ‪:‬‬

‫‪2x  1  9 ; 3x  5  1 ; 7  x  2 ; 11  2 y  7 ; 2x  4 y  2‬‬
‫‪5x  y  9‬‬
‫‪‬‬
‫‪6‬‬
‫‪2‬‬

‫‪6y  2‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪7‬‬

‫;‬

‫;‬

‫‪5x  1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬

‫‪ ‬تمرين‪:9‬‬
‫نعتبر عددين حقيقيين موجبين قطعا ‪ a‬و ‪ b‬حيث‬
‫‪- 1‬‬

‫‪- 3‬‬
‫‪- 4‬‬

‫‪ab‬‬
‫‪a b‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.‬‬
‫;‬
‫‪5a  3b‬‬
‫‪2a  6b‬‬
‫‪5‬‬
‫‪23‬‬
‫;‬
‫‪.‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪. a 13 b‬‬
‫‪; b 13  a‬‬
‫;‬

‫‪- 2‬‬

‫‪‬‬

‫‪a b‬‬
‫‪4‬‬

‫‪a b‬‬

‫‪ .‬قارن بين ‪:‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪.‬‬

‫‪‬‬

‫‪ ‬تمرين‪:11‬‬
‫نعتبر العددين الحقيقيين ‪ a‬و ‪ b‬التاليين ‪:‬‬

‫‪12 2 18‬‬
‫‪18‬‬
‫ا‪-‬‬

‫بين ان‬

‫=‪a‬‬

‫و‬

‫‪2 1,5 2‬‬

‫‪ a‬و‬

‫‪20 3 5‬‬

‫‪2 5‬‬

‫‪14‬‬

‫ب‪ -‬ماهي عالمة كل من ‪ a‬و ‪ b‬؟ علل جوابك‪.‬‬
‫~‪~11‬‬

‫‪45‬‬

‫=‪. b‬‬

‫‪. b= 14‬‬

‫‪.x ‬‬

‫‪9‬اساسي‬

‫الثبات في الرياضيات‬

‫ت‪ -‬احسب ‪ a2‬و ‪. b2‬‬
‫ج‪-‬‬

‫قارن بين ‪ a2‬و ‪ b2‬ثم استنتج مقارنة بين ‪ a‬و ‪. b‬‬

‫‪ ‬تمرين‪:11‬‬
‫‪ a‬و ‪ b‬و ‪ x‬أعداد حقيقية موجبة قطعا‪.‬‬

‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬

‫‪ – (1‬بين أن ‪:‬‬

‫‪.x ‬‬

‫‪a b‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪b a‬‬

‫‪ – (2‬استنتج أن ‪:‬‬

‫و أن‬

‫‪a  b   ‬‬

‫‪1 1‬‬
‫‪ 4‬‬
‫‪a b ‬‬

‫‪ ‬تمرين‪:12‬‬

‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ x‬و ‪ y‬عددان حقيقيان موجبان قطعا بحيث ‪ x   2 :‬و ‪ 2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪ – (1‬بين أن ‪.   3 :‬‬
‫‪x y‬‬
‫‪1‬‬
‫‪. xy ‬‬
‫‪ – (2‬استنتج أن ‪:‬‬
‫‪3‬‬

‫‪ ‬تمرين‪:13‬‬
‫‪ a‬و ‪ b‬عددان حقيقيان موجبان ‪.‬‬
‫‪2‬‬

‫‪ – (1‬بين أن ‪:‬‬

‫‪‬‬

‫‪a b‬‬
‫‪2‬‬

‫‪ – (2‬استنتج مقارنة العددين ‪:‬‬

‫‪‬‬

‫‪a b‬‬
‫‪ ab ‬‬
‫‪.‬‬
‫‪2‬‬

‫‪ab‬‬

‫‪a b‬‬
‫و‬
‫‪2‬‬

‫~‪~12‬‬

‫‪.‬‬

‫‪ y ‬و ‪.x  y 1‬‬

‫‪9‬اساسي‬

‫الثبات في الرياضيات‬

‫‪ ‬تمرين‪:14‬‬
‫‪ a‬و ‪ b‬عددان حقيقيان موجبان حيث‬

‫‪ . a b‬اختصر العبارات التالية ‪:‬‬
‫االختصار‬

‫العبارة‬
‫‪H  2 a  b   3  b  a  1‬‬

‫‪K  a  b  7  b  a‬‬

‫‪a  b  12  a  6‬‬

‫‪L‬‬

‫‪ ‬تمرين‪:15‬‬
‫‪ a‬و ‪ b‬و ‪ c‬أعداد حقيقية موجبة ‪.‬‬
‫‪ – (1‬بين أن ‪:‬‬
‫‪ – (2‬استنتج أن‬

‫‪. a  b  2 ab‬‬
‫‪:‬‬

‫‪. a  b b  c c  a   8abc‬‬

‫‪ ‬تمرين‪:16‬‬
‫‪ a‬و ‪ b‬عددان حقيقيان موجبان حيث‬
‫أ)‬

‫بين ان‬

‫‪b²‬‬

‫‪. a b‬‬

‫‪. a² ab‬‬

‫ب) استنتج ان ‪ab b‬‬
‫‪945‬‬
‫ت) بين اذن ان‬
‫‪113‬‬

‫‪. a‬‬

‫‪35‬‬

‫‪113‬‬
‫‪27‬‬

‫‪ ‬تمرين‪:17‬‬
‫‪ x‬عدد حقيقي ؛ اكمل الجدول التالي بــــ‬

‫‪x  2,3‬‬

‫‪...‬‬

‫‪x 7‬‬

‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪5‬‬
‫‪2‬‬

‫او‬
‫‪...‬‬

‫‪:‬‬

‫‪3‬‬
‫‪7‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪5‬‬
‫‪6‬‬

‫~‪~13‬‬

‫‪2‬‬
‫‪8‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪7‬‬

‫‪...‬‬

‫‪7 2‬‬
‫‪  x‬‬
‫‪2 3‬‬

‫‪9‬اساسي‬

‫الثبات في الرياضيات‬

‫‪ ‬تمرين‪:18‬‬

‫‪x 5‬‬

‫نعتبر ‪ x‬و ‪ y‬عددين حقيقيين بحيث ‪:‬‬

‫و ‪ y  1‬؛‬

‫‪x y‬‬
‫‪ 2x  7 y  3‬؛ ‪  5x  3 y   22‬؛ ‪ 2‬‬
‫‪2‬‬

‫أثبت أن ‪:‬‬

‫‪1‬‬
‫‪19‬‬
‫‪ 3x  y  5 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬

‫؛‬

‫‪ ‬تمرين‪:19‬‬
‫‪ a‬و ‪ b‬و ‪ c‬أعداد حقيقية بحيث ‪ 2  a  5 :‬و ‪  3  b   1‬و‬
‫العبارة‬

‫‪a2  b  c‬‬

‫‪3‬‬
‫‪4‬‬

‫‪4c  1 5a  2b  5c‬‬

‫‪2a ‬‬

‫‪ 2 c  3‬‬

‫‪3a  2b‬‬
‫‪3‬‬

‫‪a  b c  3‬‬
‫‪2‬‬

‫الحصر‬
‫‪ ‬تمرين‪:21‬‬

‫‪9  2x  3  7‬‬

‫نعتبر ‪ x‬و ‪ y‬عددين حقيقيين بحيث ‪:‬‬

‫‪ 6x 2‬‬

‫أثبت أن ‪:‬‬

‫و‬

‫‪ 2 y  1‬‬

‫‪ ‬تمرين‪:21‬‬
‫‪x 1‬‬

‫نعتبر ‪ x‬و ‪ y‬عددين حقيقيين بحيث ‪:‬‬
‫‪ – (1‬بين أن ‪:‬‬
‫‪ – (2‬استنتج أن ‪:‬‬
‫‪ – )3‬قارن اذن بين‬

‫‪xy  y‬‬

‫و‬

‫و ‪. y 1‬‬

‫‪. xy  x‬‬

‫‪. x  y  2xy‬‬
‫‪:‬‬

‫‪8  12‬‬

‫و ‪8 6‬‬

‫‪ ‬تمرين‪:22‬‬
‫‪ a‬و ‪ b‬عددان حقيقيان بحيث ‪. a  b :‬‬
‫‪ – (1‬أثبت أن ‪:‬‬
‫‪ – (2‬استنتج أن ‪:‬‬

‫‪. 2a  a  b  2b‬‬

‫‪a b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪2‬‬

‫و‬

‫‪. a‬‬
‫~‪~14‬‬

‫‪.‬‬

‫‪ 7 3y  1‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬

‫‪.‬‬

‫‪9‬اساسي‬

‫الثبات في الرياضيات‬

‫‪ ‬تمرين‪:23‬‬
‫‪. a b‬‬

‫‪ a‬و ‪ b‬و ‪ c‬أعداد حقيقية موجبة قطعا بحيث ‪:‬‬
‫‪a c‬‬
‫‪ – (1‬برهن أن ‪ 1 :‬‬
‫‪b c‬‬

‫‪.‬‬

‫‪ 4 2‬‬

‫‪ – (2‬قارن اذن بين ‪ 1 :‬و‬

‫‪5  32‬‬

‫‪ ‬تمرين‪:24‬‬
‫‪ a‬و ‪ b‬عددان حقيقيان‪.‬‬
‫‪ – (1‬قارن العددين ‪ 4ab :‬و ‪ ،  a  b ‬ثم استنتج أنه إذا كان ‪ a  b  1‬فإن ‪:‬‬

‫‪1‬‬
‫‪4‬‬

‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ – (2‬قارن العددين ‪ 4ab :‬و ‪ ،  a  b ‬ثم استنتج أنه إذا كان ‪ a  b  1‬فإن ‪:‬‬
‫‪4‬‬

‫‪. ab  ‬‬

‫‪2‬‬

‫‪‬‬

‫تمرين‪:25‬‬

‫نعتبر العددين الحقيقيين ‪ a‬و ‪ b‬التاليين ‪:‬‬
‫أ‪-‬‬

‫‪. ab ‬‬

‫‪ p‬و ‪4 2‬‬

‫بين ان ‪9‬‬

‫ب‪ -‬ليكن العدد الحقيقي‬
‫ج‪ -‬بين ان‬
‫د‪ -‬بين ان‬

‫‪2‬‬

‫‪1 2 2‬‬

‫‪13‬‬

‫‪‬‬

‫‪18‬‬

‫‪ q‬و ‪45‬‬

‫‪98‬‬

‫‪2. 2,5‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪3‬‬

‫‪. q‬‬

‫‪9 4 2‬‬

‫‪‬‬

‫‪ t‬؛ بين أن ‪2 1‬‬

‫‪‬‬

‫‪ t 13=4‬ثم استنتج أن ‪t 13‬‬

‫‪ t‬ثم استنتج مقارنة بين ‪ 1 2 2‬و ‪. 13‬‬

‫‪1 2 2‬‬
‫‪3‬‬

‫‪p‬‬

‫‪.‬‬

‫‪ ‬تمرين‪:26‬‬

‫‪ x‬و ‪ y‬و ‪ z‬أعداد حقيقية بحيث ‪2  x  7 :‬‬

‫و‬

‫اجب بـــــــــــ" خطأ " او " صواب "‬
‫~‪~15‬‬

‫‪7  y  1‬‬

‫و‬

‫‪5  z  3‬‬

‫‪.‬‬

‫‪9‬اساسي‬

‫الثبات في الرياضيات‬

‫‪49  xy  2 35  2x  3y  7 9  x  y  8 5  x  y  6‬‬
‫‪x  z  6‬‬
‫‪ 12,6‬‬
‫‪5‬‬

‫‪ ‬تمرين‪:27‬‬

‫‪ x‬و ‪ y‬عددان حقيقيان بحيث ‪ 6  x  8 :‬و ‪5  y  2‬‬
‫العبارة‬

‫الحصر‬

‫‪x y‬‬
‫‪x y‬‬

‫‪1 x  y  6‬‬

‫‪xy‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x2‬‬

‫‪y2‬‬
‫‪ 1²   x  y   6²‬أي ‪...................................................‬‬

‫‪ x  y 2‬‬
‫‪ x  y 2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ x  y  x  y ‬‬
‫‪ ‬تمرين‪:28‬‬
‫‪ x‬عدد حقيقي ؛ أوجد حصرا للعدد ‪ x‬في كل حالة من الحاالت اآلتية ‪:‬‬
‫‪; 11  5  2x  2‬‬

‫‪4x  1‬‬
‫‪7‬‬
‫‪2‬‬

‫‪1 ‬‬

‫;‬

‫‪4  2x  3  5‬‬

‫‪5  7x  1  12‬‬

‫‪ ‬تمرين‪:29‬‬

‫‪ a‬و ‪ b‬عددان حقيقيان بحيث ‪3  a  6 :‬‬

‫‪. 5  b  3‬‬

‫و‬

‫‪ – (1‬اوجد حصرا لــ ‪ a  b‬و ‪a²‬‬
‫‪ – )2‬بين أن ‪ 60  2ab  18 :‬وان‬
‫‪.‬‬

‫~‪~16‬‬

‫‪9  b ²  25‬‬

‫‪.‬‬

‫‪0,4 ‬‬

‫‪9‬اساسي‬

‫الثبات في الرياضيات‬
‫‪ – )3‬لماذا ال يمكن حصر‬

‫‪ a  b 2‬‬

‫؟‬

‫‪. 51  a 2  2ab  18‬‬

‫‪ – (4‬بين أن ‪:‬‬

‫‪ )2‬و ‪ )4‬أن ‪:‬‬

‫‪ – (5‬استنتج من خالل‬

‫‪2‬‬
‫‪. 0  a  b   43‬‬

‫‪. a2  b 2 :‬‬

‫‪ – (6‬أحصر‬

‫‪ ‬تمرين‪:31‬‬
‫‪:‬‬

‫‪ a‬و ‪ b‬عددان حقيقيان موجبان ‪ .‬برهن أن‬

‫‪. a b  a  b‬‬

‫‪ ‬تمرين‪:31‬‬

‫‪‬‬

‫نعتبر العددين الحقيقيين التاليين ‪20 1 :‬‬
‫أ‪-‬‬
‫ب‪-‬‬
‫ج‪-‬‬
‫د‪-‬‬
‫هـ‪-‬‬

‫‪‬‬

‫‪ a  45 ‬و‬

‫‪3 2  24‬‬
‫‪6‬‬

‫‪.b ‬‬

‫بين ان ‪ a  5  1:‬و ‪. b  3  2‬‬
‫احسب ‪ a 2‬و ‪. b 2‬‬
‫‪4 3‬‬
‫ثم استنتج مقارنة بين ‪ a 2‬و ‪. b 2‬‬
‫‪ 2 5‬و‬
‫قارن بين‬
‫‪2‬‬
‫‪5‬‬
‫‪.‬‬
‫بين أن ‪ a b :‬ثم استنتج مقارنة بين و‬
‫‪b ‬‬
‫‪a 1‬‬
‫‪. a  4  a b  b  3  1‬‬

‫بين ان ‪:‬‬

‫‪ ‬تمرين‪:32‬‬
‫نعتبر العدد الحقيقي ‪ a‬حيث ‪:‬‬
‫‪ .1‬بين ان ‪:‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1  a  3‬‬
‫‪a 5‬‬

‫‪a +4‬‬

‫‪.‬‬
‫‪.‬‬

‫‪ .2‬انشر العبارة ‪  a  4 a  5‬ثم استنتج حصرا لـ ‪. a 2  9a  20‬‬
‫‪ .3‬فكك العبارة ‪ a 2  4a  4‬ثم استنتج ان‪. -3  a 2  4a  21 :‬‬
‫‪2a 1‬‬
‫‪. A‬‬
‫‪ .4‬لتكن العبارة‬
‫‪a2‬‬
‫أ‪ -‬بين أن ‪. a +2  0‬‬
‫‪5‬‬
‫‪2‬‬
‫ب‪ -‬اثبت أن ‪ A‬‬
‫واستخلص حصرا للعبارة ‪. A‬‬
‫‪a2‬‬

‫~‪~17‬‬

‫‪9‬اساسي‬
‫‪‬‬

‫الثبات في الرياضيات‬

‫تمرين‪:33‬‬

‫ليكن ‪ a‬و ‪ b‬عددين حقيقيّين موجبين ‪.‬‬
‫‪2‬‬

‫أ) أنشر العبارة ‪:‬‬
‫ب) قارن‬

‫‪‬‬

‫‪a b‬‬

‫‪‬‬

‫‪2‬‬

‫‪a b‬‬
‫‪2‬‬

‫و‬

‫‪.‬‬

‫‪ab‬‬

‫ن‪:‬‬
‫ج) تحقّق من مقارنتك في حالة أ ّ‬

‫‪.‬‬
‫‪2 3‬‬
‫‪3‬‬

‫د) متى يكون ‪:‬‬

‫و‬

‫‪a‬‬

‫‪ab = a  b‬‬
‫‪2‬‬

‫‪3‬‬
‫‪2‬‬

‫‪b‬‬

‫‪.‬‬

‫؟‬

‫‪ ‬تمرين‪:34‬‬
‫‪ x‬عدد حقيقي موجب قطعا ‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫أ ‪ -‬قارن بين‬
‫‪2‬‬

‫‪1‬‬
‫‪x +2‬‬

‫و‬

‫ب ـ إستنتج أنّ‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬
‫‪3‬‬

‫ث ّم بين‬

‫و‬

‫‪1‬‬
‫‪x +3‬‬

‫‪6‬‬

‫‪ x +2  x  3‬‬

‫‪ ‬تمرين‪:35‬‬
‫نعتبر العددين الحقيقيين ‪ a‬و ‪ b‬بحيث ‪ a 1‬و ‪ b 1‬و ‪. a b‬‬
‫‪a‬‬
‫رتب تنازليا االعداد ‪:‬‬
‫‪b‬‬

‫و‬

‫‪a 1‬‬
‫‪b 1‬‬

‫و‬

‫‪a 1‬‬
‫‪b 1‬‬

‫‪ ‬تمرين‪:36‬‬
‫حقل مستطيل الشكــل طوله محصور بين ‪ 12 m‬و ‪ 14 m‬و عرضه محصور بين ‪ 7 m‬و ‪. 10 m‬‬
‫‪ – (1‬أعط حصرا لمحيط هذا المستطيل‪.‬‬
‫‪ – (2‬أعط حصرا لمساحة هذا المستطيل‪.‬‬

‫‪ ‬تمرين‪:37‬‬
‫‪1‬‬

‫نعتبر العددين الحقيقيين ‪ a‬و ‪ b‬التاليين ‪ a  3 20  54  2 24  125 :‬و‬
‫~‪~18‬‬

‫‪ 5 7 ‬‬
‫‪b  3 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 1 7 ‬‬

‫‪9‬اساسي‬

‫الثبات في الرياضيات‬

‫‪ 1‬بين ان ‪ a  5  6 :‬و ‪. b  2  7‬‬
‫‪ 2‬احسب ‪ a²‬و ‪ b²‬ثم قارنهما ‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪.‬‬
‫و‬
‫‪ 3‬استنتج مقارنة لـ ‪ a‬و ‪ b‬ثم لـ‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a b‬‬
‫‪4‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ 4‬قارن بين‪:‬‬
‫و‬
‫‪ab a  b‬‬
‫‪ ‬تمرين‪:38‬‬
‫‪ ABC‬مثلث متقايس االضالع طول ضلعه ‪ 5t 6 cm‬؛ ما هو الشرط على ‪ t‬حتى ال يتجاوز االرتفاع‬
‫القيمة ‪15 2 cm‬‬

‫؟‬

‫‪ ‬تمرين‪:39‬‬
‫‪ 5  r  7‬بالصم ‪.‬‬
‫دائرة شعاعها ‪ r‬بحيث‬
‫‪ )1‬اوجد حصرا لــــــــ ‪ L‬محيط الدائرة اذا افترضنا ان‬
‫‪ )2‬اوجد حصرا لــــــــ ‪ A‬مساحة الدائرة اذا افترضنا ان‬

‫‪3,14    3,15‬‬

‫‪3  4‬‬

‫‪.‬‬

‫‪.‬‬

‫‪ ‬تمرين‪:41‬‬
‫‪ a‬و ‪ b‬و ‪ c‬أعدد حقيقيان موجبان قطعا‪.‬‬
‫‪a b‬‬
‫‪ab‬‬
‫‪‬‬
‫‪ – (1‬برهن أن ‪:‬‬
‫‪4‬‬
‫‪a b‬‬

‫‪ – (2‬استنتج أن ‪:‬‬

‫‪.‬‬

‫‪ab‬‬
‫‪bc‬‬
‫‪ac‬‬
‫‪a b c‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪a b b c a c‬‬
‫‪2‬‬

‫الكتاب الموازي " الثبات في الرياضيات "‬
‫مرجع هذه السلسلة ‪:‬‬
‫" طارق الشتوي & كمال الغربي "‬
‫تأليف ‪ :‬االستاذان‬
‫االصالح على الموقع ‪l’apothème :‬‬

‫~‪~19‬‬


Documents similaires


Fichier PDF projet de constitution du doyen sadok belaed version en langue francaise
Fichier PDF avant projet de constitution pdf
Fichier PDF maths 1er annee college maths pdf biof club
Fichier PDF cgv anzin maths pdf
Fichier PDF devenir enseignant
Fichier PDF bacinfo2009sc corrige 1


Sur le même sujet..