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10Produit Scalaire Espace .pdf



Nom original: 10Produit-Scalaire-Espace.pdf
Titre: Microsoft Word - Produit-Scalaire-Espace.doc
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‫اﻷﺳﺘﺎذﻳﻦ‪ :‬اﻟﺤﻴﺎن ‪ -‬ﺑﻨﺰﻃﺎط‬

‫اﻟﺠﺪاء اﻟﺴﻠﻤﻲ ﻓﻲ ‪U3‬‬

‫اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﺑﻜﺎﻟﻮرﻳﺎ ﻋﻠﻮم ﺗﺠﺮﻳﺒﻴﺔ‬
‫ﺗﻌﺮﻳﻒ ‪:‬‬
‫‪.I‬‬
‫‪ .1‬ﻣﺜﺎل ‪ :‬ﻟﻴﻜﻦ ‪ OIAJKBCD‬ﻣﻜﻌﺒﺎ ﺣﻴﺚ ‪ . OI = 1‬اﻟﻔﻀﺎء ) ‪ (E‬ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ‬
‫‪JJG JJJJG JJG JJJJG JG JJJG‬‬
‫‪JG JJG JJG‬‬
‫ﻣﻤﻨﻈﻢ ‪ ، O , i , j , k‬ﺣﻴﺚ ‪ i = OI :‬و ‪ j = OJ‬و ‪. k = OK‬‬

‫)‬

‫(‬

‫‪ .1‬أﻋﻂ ﻣﺜﻠﺜﻮث إﺣﺪاﺛﻴﺎت ‪:‬‬
‫أ‪ -‬اﻟﻨﻘﻂ ‪ O :‬و ‪ I‬و ‪ J‬و ‪ K‬و ‪ A‬و ‪ B‬و ‪ C‬و ‪. D‬‬
‫‪JJJJG‬‬
‫‪JJJJG‬‬
‫ب‪ -‬اﻟﻤﺘﺠﻬﺘﻴﻦ ‪ AB :‬و ‪. OC‬‬
‫‪ .2‬ﻧﻌﺘﺒﺮ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء ) ‪ ، (E‬اﻟﻨﻘﻄﺔ ) ‪. E (1, 2,0‬‬

‫‪ .2‬ﺗﻌﺮﻳﻒ ‪:‬‬

‫أ‪ -‬ﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ أن اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ A‬ﻣﻨﺘﺼﻒ اﻟﻘﻄﻌﺔ ⎦⎤ ‪ ⎡⎣ IE‬؛ ﺛﻢ أﻧﺸﺊ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪. E‬‬
‫‪JJJGJJJG‬‬
‫ب‪ -‬أﺣﺴﺐ اﻟﺠﺪاء اﻟﺴﻠﻤﻲ ‪. IC .IE‬‬
‫‪JJG‬‬

‫‪JG‬‬

‫أ‪ -‬ﻟﺘﻜﻦ ‪ u‬و ‪ v‬ﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ ﻏﻴﺮ ﻣﻨﻌﺪﻣﺘﻴﻦ ﻣﻦ ‪ ، U3‬وﻟﺘﻜﻦ ‪ A‬ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء ) ‪. (E‬‬
‫‪JG JJJJJG‬‬
‫‪JJG JJJJG‬‬
‫ﺗﻮﺟﺪ ﻧﻘﻄﺘﺎن وﺣﻴﺪﺗﺎن ﻣﻦ ) ‪ (E‬ﺑﺤﻴﺚ ‪ u = A B :‬و ‪. v = A C‬‬

‫‪JG JJG‬‬
‫اﻟﺠﺪاء اﻟﺴﻠﻤﻲ ﻟﻠﻤﺘﺠﻬﺘﻴﻦ ‪ u‬و ‪ v‬هﻮ اﻟﻌﺪد اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪:‬‬

‫‪JJGJJG JJJJJJGJJJJJJG‬‬

‫‪u .v = AB .AC = AB × AH‬‬

‫ﺣﻴﺚ ‪ H‬هﻮ اﻟﻤﺴﻘﻂ اﻟﻌﻤﻮدي ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ‪ C‬ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪. ( A B‬‬
‫‪JJGJJG‬‬
‫‪JG JG‬‬
‫‪JJG JG‬‬
‫ب‪ -‬إذا آﺎن ‪ u = 0‬أو ‪ ، v = 0‬ﻓﺈن ‪. u .v = 0‬‬

‫‪.‬‬

‫‪ JG‬اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﻠﺠﺪاء اﻟﺴﻠﻤﻲ ‬
‫‪ .3‬ﺧﺎﺻﻴﺔ ‪ :‬اﻟﺼﻴﻐﺔ‬
‫‪JJG‬‬
‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ u‬و ‪ v‬ﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ ﻏﻴﺮ ﻣﻨﻌﺪﻣﺘﻴﻦ ﻣﻦ ‪ ، U3‬وﻟﺘﻜﻦ ‪ A‬و ‪ B‬و ‪ C‬ﺛﻼث ﻧﻘﻂ ﻣﻦ‬
‫‪JJG JJJJG‬‬

‫‪JG JJJJJG‬‬

‫اﻟﻔﻀﺎء ) ‪ (E‬ﺑﺤﻴﺚ ‪ u = A B :‬و ‪ ، v = A C‬وﻟﻴﻜﻦ ‪θ‬‬

‫‪. ⎡⎢ B m‬‬
‫ﻗﻴﺎﺳﺎ ﻟﻠﺰاوﻳﺔ اﻟﻬﻨﺪﺳﻴﺔ ⎥⎤ ‪AC‬‬
‫⎣‬
‫⎦‬

‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪:‬‬

‫) ‪u .v = AB × AC × cos (θ‬‬

‫‪JJGJJG‬‬

‫‪G‬‬

‫) ‪× v × cos (θ‬‬

‫‪G‬‬
‫‪u‬‬

‫‪JJGJJG‬‬

‫= ‪u .v‬‬

‫‪-1-‬‬

‫اﻷﺳﺘﺎذﻳﻦ اﻟﺤﻴﺎن – ﺑﻨﺰﻃﺎط ‪5‬‬

‫ ﻣﺜﻠﺜﺎ ﻣﺘﺴﺎوي اﻷﺿﻼع‬ABC ‫ ﻟﻴﻜﻦ‬: ‫ﻣﺜﺎل‬
. AB = 3 : ‫ﺣﻴﺚ‬
JJJG JJJJG
AB .AC
(a
JJJG JJJJG
AB .AD
(b : ‫أﺣﺴﺐ‬
JJJJG JJJJG
AC .AC
(c
JJJJJG2
JJJJJGJJJJJG
AC ‫ ﻳﺮﻣﺰ ﻟﻪ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ‬AC .AC ‫ اﻟﺠﺪاء اﻟﺴﻠﻤﻲ‬: ‫ﻣﻼﺣﻈﺔ‬
JJJJJG 2 JJJJJG2
JJJJJG2
. AC = AC : ‫ أي‬. AC 2 = AC : ‫وﻟﺪﻳﻨﺎ‬

: ‫ ﺧﺎﺻﻴﺎت‬.4
JJJJG
JJJJG2
. AB = AB = AB

JJJJG2
: ‫ وﻣﻨﻪ‬. AB 2 = AB : ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ‬، (E ) ‫ ﻣﻦ‬B ‫ و‬A ‫ ﻟﻜﻞ‬-‫أ‬

JJG
JJG2
JJG 2 JJG2
JJG
. u = u
: ‫ وﻣﻨﻪ‬. u = u :‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ‬، U3 ‫ ﻣﻦ‬u ‫ ﻟﻜﻞ ﻣﺘﺠﻬﺔ‬-‫ب‬
JJJGJJG
JJG JJG
JJG JJG
JJG JJG
JG JJG
. u .v = 0 ⇔ u = 0 ‫ أو‬v = 0 ‫ أو‬u ⊥ v
‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ‬، U3 ‫ ﻣﻦ‬v ‫ و‬u ‫ ﻟﻜﻞ ﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ‬-‫ﺟـ‬
JJG
JG JJG
: ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ‬، \ ‫ ﻣﻦ‬α ‫ وﻟﻜﻞ‬، U3 ‫ ﻣﻦ‬w ‫ و‬v ‫ و‬u ‫ ﻟﻜﻞ‬-‫د‬
JJG JG
JGJJG

u .v

JJG JG JJG

(

u . v +w

)

JJG JG JJG

(u +v ).w
JJG JG
u .(αv )
JG JG

=

=
=
=

(u +v )
JG JG
u
( −v )
JG JG JG JG
(u +v ) .(u −v )

JJGJG

v .u

JJGJJG

( ) ( )
JJGJJG
JGJJG
(u .w ) + (v .w )
JJG JG
α (u .v )
u .v + u .w

JG 2

JG JJG
: ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ‬، U3 ‫ ﻣﻦ‬v ‫ و‬u ‫ ﻟﻜﻞ ﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ‬-‫هـ‬
JG JG JG 2

2

= u + 2u .v + v

2

= u − 2u .v + v

JG2

=

JG JG JG 2

JG 2 JG 2

u −v

JJGJG
JG
JJG
JG JJG
. u .v = −5 ‫ و‬v = 3 ‫ و‬u = 3 : ‫ ﺑﺤﻴﺚ‬، U3 ‫ ﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ ﻣﻦ‬v ‫ و‬u ‫ ﻟﻜﻞ‬: ‫ﻣﺜﺎل‬

JJG JG
. u +v ‫ﺛﻢ اﺳﺘﻨﺘﺞ‬
JJG JG
‫ ﻣﺎذا ﺗﺴﺘﻨﺘﺞ ؟‬-‫ب‬
. u + 2v .

JJG JG

( ) ‫ أﺣﺴﺐ‬.1
JJG JG
) (u +v ) ‫ أﺣﺴﺐ‬-‫ أ‬.2

(

u +v

2

: ‫ اﻟﺼﻴﻐﺔ اﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻴﺔ ﻟﻠﺠﺪاء اﻟﺴﻠﻤﻲ‬.II
: ‫ اﻷﺳﺎس واﻟﻤﻌﻠﻢ‬.1
: ‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬
. (E ) ‫ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء‬O ‫ و ﻟﺘﻜﻦ‬U3 ‫ ﺛﻼث ﻣﺘﺠﻬﺎت ﻏﻴﺮ ﻣﺴﺘﻮاﺋﻴﺔ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء‬k ‫ و‬j ‫ و‬i ‫ﻟﺘﻜﻦ‬
JG JJG JJG
: ‫ إذا آﺎن‬، U3 ‫ أﺳﺎس ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ﻟﻠﻔﻀﺎء‬i , j , k ‫ ﻧﻘﻮل إن اﻟﻤﺜﻠﻮث‬9
JJG JG JG JJG JG JJG
JG
JJG
JJG
i = j = k =1 ‫ و‬k ⊥ i ‫ و‬j ⊥ k ‫ و‬i ⊥ j
JJG

(

5 ‫اﻷﺳﺘﺎذﻳﻦ اﻟﺤﻴﺎن – ﺑﻨﺰﻃﺎط‬

-2-

)

JJG

JG

‫‪JG JJG JJG‬‬
‫‪ 9‬إذا آﺎن ‪ i , j , k‬أﺳﺎﺳﺎ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪا ﻣﻤﻨﻈﻤﺎ ﻟﻠﻔﻀﺎء ‪ ، U3‬ﻓﺈﻧﻨﺎ ﻧﻘﻮل ‪:‬‬
‫‪JG JJG JJG‬‬
‫إن اﻟﻤﺮﺑﻮع ‪ O , i , j , k‬ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ﻟﻠﻔﻀﺎء ) ‪. (E‬‬

‫)‬

‫(‬

‫)‬

‫(‬

‫‪ .2‬اﻟﺼﻴﻐﺔ اﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻴﺔ ﻟﻠﺠﺪاء اﻟﺴﻠﻤﻲ ‪:‬‬
‫ﻓﻲ آﻞ ﻣﺎ ﻳﻠﻲ ‪ ،‬اﻟﻔﻀﺎء ) ‪ (E‬ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ‪. O , i , j , k‬‬

‫)‬

‫ﻟﺘﻜﻦ‬

‫)‬

‫‪JG JJG JJG‬‬

‫‪JG‬‬
‫‪JJG‬‬
‫‪ u ( x , y , z‬و ) ‪ v ( x ′, y ′, z ′‬ﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء ‪ . U3‬ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪:‬‬
‫‪JG‬‬
‫‪JJG‬‬
‫‪JJG‬‬
‫‪JG‬‬
‫‪JJG‬‬
‫‪JJG‬‬

‫‪JJG2‬‬

‫‪JJGJG‬‬

‫‪JJGJJG‬‬

‫) ‪( x i + y j + z k ).( x ′i + y ′ j + z ′k‬‬
‫‪JJG JJG‬‬

‫‪JJGJG‬‬

‫‪JJG2‬‬

‫‪JGJJG‬‬

‫(‬

‫=‬
‫‪JGJJG‬‬

‫‪JG2‬‬

‫‪JJG JG‬‬

‫‪u .v‬‬

‫‪JJG JG‬‬

‫‪u .v = xx ′i + xy ′i . j + xz ′i .k + yx ′ j .i + yy ′ j + yz ′ j .k + zx ′k .i + zy ′k . j + zz ′k‬‬
‫‪JJG JG‬‬
‫= ‪u .v‬‬
‫‪xx ′ + yy ′ + zz ′‬‬
‫‪JGJJG JJGJJG JJGJG‬‬

‫ﻷن ‪i . j = j .k = k .i = 0 :‬‬
‫ﺧﻼﺻﺔ ‪:‬‬

‫‪JG‬‬
‫‪JJG‬‬
‫‪JJG‬‬
‫‪. i = j = k =1‬‬

‫و‬

‫‪JG‬‬
‫‪JJG‬‬
‫إذا آﺎﻧﺖ ) ‪ u ( x , y , z‬و ) ‪ v ( x ′, y ′, z ′‬ﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء ‪ ، U3‬ﻓﺈن ‪:‬‬
‫‪JJGJJG‬‬

‫‪u .v = xx ′ + yy ′ + zz ′‬‬

‫‪ .3‬ﻧﺘﺎﺋﺞ ‪:‬‬

‫‪G‬‬
‫‪G2‬‬
‫‪GG‬‬
‫‪JJG‬‬
‫أ‪ -‬ﻟﻜﻞ ﻣﺘﺠﻬﺔ ) ‪ u ( x , y , z‬ﻣﻦ ‪ ، U3‬ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪ . u = u = u .u :‬وﻣﻨﻪ ﻓﺈن ‪:‬‬

‫‪JJG‬‬

‫‪u = x 2 + y 2 +z 2‬‬

‫ب‪ -‬ﻟﻜﻞ ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ ‪ A x A , y A , z A‬و ) ‪ B ( x B , y B , z B‬ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء ) ‪ ، (E‬ﻟﺪﻳﻨﺎ‪:‬‬
‫‪JJJJG‬‬
‫‪JJJJG‬‬
‫‪ . AB x B − x A , y B − y A , z B − z A‬وﻣﻨﻪ ﻓﺈن ﻣﻨﻈﻢ اﻟﻤﺘﺠﻬﺔ ‪ A B‬هﻮ‪:‬‬
‫‪JJJJJG‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬

‫)‬

‫)‬

‫)‬

‫(‬

‫(‬

‫‪+ z B −z A‬‬

‫(‬

‫) ‪(x B − x A ) + ( y B − y A‬‬

‫= ‪AB = AB‬‬

‫ﻣﺜﺎل ‪ :‬ﻟﺘﻜﻦ )‪ A (1,0,1‬و ) ‪ B (1,0,0‬و )‪ C (1,1,1‬ﺛﻼث ﻧﻘﻂ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء ) ‪ . (E‬ﺑﻴﻦ أن ‪ ABC‬ﻣﺜﻠﺚ‬
‫ﻗﺎﺋﻢ اﻟﺰاوﻳﺔ وﻣﺘﺴﺎوي اﻟﺴﺎﻗﻴﻦ ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪. A‬‬

‫‪ .III‬ﺗﻄﺒﻴﻘﺎت ‪:‬‬
‫‪ .1‬ﻣﺘﺠﻬﺔ ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻮى ‪:‬‬
‫‪JG JJG‬‬
‫ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء ) ‪ ، (E‬ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻤﺴﺘﻮى ) ‪ ( P‬اﻟﻤﻮﺟﻪ ﺑﻤﺘﺠﻬﺘﻴﻦ ﻏﻴﺮ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺘﻴﻦ ‪ u‬و ‪ v‬ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء ‪. U3‬‬
‫‪JJG‬‬
‫‪JJG‬‬
‫آﻞ ﻣﺘﺠﻬﺔ ﻏﻴﺮ ﻣﻨﻌﺪﻣﺔ ‪ n‬ﻣﻦ ‪ U3‬ﻣﺘﻌﺎﻣﺪة ﻣﻊ ‪ u‬و‬

‫‪-3-‬‬

‫‪JG‬‬

‫‪ ، v‬ﺗﺴﻤﻰ ﻣﺘﺠﻬﺔ ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻋﻠﻰاﻟﻤﺴﺘﻮى ) ‪( P‬‬

‫اﻷﺳﺘﺎذﻳﻦ اﻟﺤﻴﺎن – ﺑﻨﺰﻃﺎط ‪5‬‬

‫اﻟﻤﻨﻈﻤﻴﺔ ﻋﻠﻴﻪ‪.‬‬
‫ﻣﺴﺘﻮى ﻳﻘﺒﻞ ﻣﺎ ﻻ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻟﻪ ﻣﻦ اﻟﻤﺘﺠﻬﺎت‬
‫ﻣﻼﺣﻈﺎت ‪ :‬أ‪ -‬آﻞ‬
‫‪JJG‬‬
‫‪JJG‬‬
‫ب‪ -‬إذا آﺎﻧﺖ ‪ n‬ﻣﺘﺠﻬﺔ ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻮى ) ‪ ، ( P‬ﻓﺈن ‪ n‬ﻣﺘﻌﺎﻣﺪة ﻣﻊ آﻞ ﻣﺘﺠﻬﺔ‬
‫‪JJJJG‬‬
‫‪ AB‬ﺣﻴﺚ ‪ A‬و ‪ B‬ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى ) ‪. ( P‬‬
‫‪ .2‬ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻣﺴﺘﻮى ﻣﺤﺪد ﺑﻨﻘﻄﺔ وﻣﺘﺠﻬﺔ ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬
‫ﻧﻌﺘﺒﺮ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء ) ‪ ، (E‬اﻟﻤﺴﺘﻮى ) ‪ ( P‬اﻟﻤﺎر ﻣﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ‬

‫)‬

‫‪JJG‬‬

‫(‬

‫‪ A x A , y A , z A‬ﺣﻴﺚ ) ‪ n ( a, b , c‬ﻣﺘﺠﻬﺔ‬

‫ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻋﻠﻴﻪ‪ . ( a, b , c ) ≠ ( 0, 0, 0 ) .‬ﻟﺘﻜﻦ ) ‪ M ( x , y , z‬ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء ) ‪ . (E‬ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪:‬‬
‫‪JJJJJG JG‬‬
‫⇔ ) ‪M ∈(P‬‬
‫‪AM ⊥ n‬‬
‫‪JJJJJG JG‬‬
‫⇔‬
‫‪AM .n = 0‬‬

‫‪⇔ a (x − x A ) +b ( y − y A ) +c (z − z A ) = 0‬‬
‫ﺣﻴﺚ ‪. d = − ( ax A + by A + cz A ) :‬‬
‫‪ax + by + cz + d = 0‬‬
‫⇔‬
‫أ‪ -‬ﺧﺎﺻﻴﺔ ‪:‬‬
‫‪JJG‬‬
‫اﻟﻤﺴﺘﻮى ) ‪ ( P‬اﻟﻤﺎر ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ ‪ A x A , y A , z A‬و ) ‪ n ( a , b , c‬ﻣﺘﺠﻬﺔ ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ‬

‫(‬

‫)‬

‫ﻋﻠﻴﻪ‪ ،‬ﻳﻘﺒﻞ ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ ‪:‬‬

‫‪. ax + by + cz + d = 0‬‬

‫‪JJG‬‬
‫ب‪ -‬ﻣﺜﺎل ‪ :‬أآﺘﺐ ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى ) ‪ ( P‬اﻟﻤﺎرﻣﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ )‪ E ( 2, −1,3‬و )‪ n ( 5, 2,1‬ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ‬

‫ﻋﻠﻴﻪ ‪.‬‬

‫‪ .3‬ﺗﻌﺎﻣﺪ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ ‪:‬‬

‫‪JJG‬‬

‫ﻟﻴﻜﻦ ) ‪ ( D‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎ ﻣﺎرا ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ ‪ A‬وﻣﻮﺟﻬﺎ ﺑﻤﺘﺠﻬﺔ ‪ u‬و ﻟﻴﻜﻦ ) ‪ ( D′‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎ ﻣﺎرا ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ ‪ B‬و‬
‫‪JJG JG‬‬
‫‪JG‬‬
‫ﻣﻮﺟﻬﺎ ﺑﻤﺘﺠﻬﺔ ‪ . v‬ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪:‬‬
‫‪(D ) ⊥ ( ∆) ⇔ u ⊥v‬‬
‫‪JJGJG‬‬

‫‪⇔ u .v = 0‬‬

‫‪ .4‬ﺗﻌﺎﻣﺪ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ وﻣﺴﺘﻮى ‪:‬‬
‫ﻟﻴﻜﻦ ) ‪ ( D‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎ ﻣﺎرا ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ ‪ A‬وﻣﻮﺟﻬﺎ ﺑﻤﺘﺠﻬﺔ ‪ u‬و ﻟﻴﻜﻦ ) ‪ ( P‬ﻣﺴﺘﻮى ﻣﺎرا ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ ‪ B‬و‬
‫‪JJG JJG‬‬
‫‪JJG‬‬
‫‪ n‬و ‪ u‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺘﺎن ⇔ ) ‪. ( D ) ⊥ ( P‬‬
‫‪ n‬ﻣﺘﺠﻬﺔ ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻋﻠﻴﻪ ‪ .‬ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪:‬‬

‫‪JJG‬‬

‫‪ .5‬ﺗﻌﺎﻣﺪ ﻣﺴﺘﻮﻳﻴﻦ ‪:‬‬

‫‪JJG‬‬

‫) (‬

‫ﻟﻴﻜﻦ ) ‪ ( P‬ﻣﺴﺘﻮى ﻣﺎرا ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ ‪ A‬و ‪ n P‬ﻣﺘﺠﻬﺔ ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻋﻠﻴﻪ وﻟﻴﻜﻦ ‪ Q‬ﻣﺴﺘﻮى ﻣﺎرا ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ‬
‫‪JJJJG JJJG‬‬
‫‪JJG‬‬
‫‪( P ) ⊥ Q ⇔ n P ⊥ nQ‬‬
‫‪ B‬و ‪ n Q‬ﻣﺘﺠﻬﺔ ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻋﻠﻴﻪ ‪ .‬ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪:‬‬
‫‪JJJJGJJJG‬‬

‫‪⇔ n P .nQ = 0‬‬

‫‪-4-‬‬

‫) (‬
‫) ‪( P ) ⊥ (Q‬‬

‫اﻷﺳﺘﺎذﻳﻦ اﻟﺤﻴﺎن – ﺑﻨﺰﻃﺎط ‪5‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ ﺗﻄﺒﻴﻘﻲ ‪:‬‬
‫ﻧﻌﺘﺒﺮ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء ) ‪ ، (E‬اﻟﻤﺴﺘﻮى ) ‪ ( P‬واﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪ ( D‬ﺣﻴﺚ ‪:‬‬

‫‪: x − 3z + 4 = 0‬‬

‫) ‪(P‬‬

‫و‬

‫‪⎧x = 1 − 2t‬‬
‫⎪‬
‫‪: ⎨y = 5‬‬
‫‪⎪z = −1 + 6t‬‬
‫⎩‬

‫‪/ t ∈R‬‬

‫أ‪ -‬ﺑﻴﻦ أن ‪. ( D ) ⊥ ( P ) :‬‬

‫) ‪(Q‬‬

‫ب‪ -‬ﻧﻌﺘﺒﺮ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء ) ‪ ، (E‬اﻟﻤﺴﺘﻮى ‪: 3x + y + z + 1 = 0‬‬

‫)‪(D‬‬

‫‪ .‬ﺑﻴﻦ أن ‪. ( P ) ⊥ (Q ) :‬‬

‫‪ .6‬ﻣﺴﺎﻓﺔ ﻧﻘﻄﺔ ﻋﻦ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ‪:‬‬
‫ﺧﺎﺻﻴﺔ ‪:‬‬
‫ﻧﻌﺘﺒﺮ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء ) ‪ ، (E‬اﻟﻨﻘﻄﺔ ) ‪ A ( x A , y A , z A‬واﻟﻤﺴﺘﻮى‬
‫‪ax + by + cz + d = 0‬‬

‫‪(P ) :‬‬

‫‪ .‬ﻣﺴﺎﻓﺔ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ A‬ﻋﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى ) ‪ ( P‬هﻲ ‪:‬‬

‫‪ax A + by A + cz A + d‬‬
‫‪a2 + b 2 +c 2‬‬

‫(‬

‫)‬

‫= ) ‪d A ,(P‬‬

‫ﺑﺮهﺎن ‪:‬‬
‫ﻧﻌﺘﺒﺮ ) ‪ H ( x , y , z‬اﻟﻤﺴﻘﻂ اﻟﻌﻤﻮدي ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ‪ A‬ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى ) ‪ . ( P‬ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪:‬‬
‫‪JJJJJJG‬‬
‫‪JJG‬‬
‫‪ AH x − x A , y − y A , z − z A‬و ) ‪ n (a,b ,c‬ﻣﺘﺠﻬﺘﺎن ﻣﻨﻈﻤﻴﺘﺎن ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى ) ‪ . ( P‬إذن ‪:‬‬

‫(‬

‫)‬

‫‪⎧x − x A = ta‬‬
‫‪JJJJJJG JJG‬‬
‫‪JJG JJJJJJG‬‬
‫⎪‬
‫‪ AH‬و ‪ n‬ﻣﺘﺠﻬﺘﺎن ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺘﺎن‪ .‬أي ‪ . ∃t ∈ \ / AH = t n :‬وﻣﻨﻪ ﻓﺈن ‪⎨ y − y A = tb :‬‬
‫‪⎪z − z = tc‬‬
‫‪A‬‬
‫⎩‬
‫‪⎧x = x A + t .a‬‬
‫⎪‬
‫أي ‪ . ⎨ y = y A + t .b :‬وﺑﻤﺎ أن ) ‪ ، H ∈ ( P‬ﻓﺈن‪a ( x A + t .a ) + b ( y A + t .b ) + c ( z A + t .c ) + d = 0 :‬‬
‫‪⎪z = z + t .c‬‬
‫‪A‬‬
‫⎩‬
‫‪ax + by + cz A + d‬‬
‫‪.t = − A 2 A 2‬‬
‫ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ ﻣﻦ ذﻟﻚ أن ‪ ax A + by A + cz A + t ( a 2 + b 2 + c 2 ) + d = 0 :‬أي ‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪a +b +c‬‬
‫وﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﺈن ﻣﺴﺎﻓﺔ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ A‬ﻋﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى ) ‪ ( P‬هﻲ ‪:‬‬

‫‪ax A + by A + cz A + d‬‬
‫‪a2 +b 2 +c 2‬‬
‫ﻣﺜﺎل ‪:‬‬

‫= ‪a2 + b 2 + c 2‬‬

‫)‬

‫(‬

‫‪ . d A , ( P ) = AH‬وﻟﺪﻳﻨﺎ ‪:‬‬

‫‪JJJJJG‬‬
‫‪JJG‬‬
‫‪JJG‬‬
‫‪ax + by + cz A + d‬‬
‫‪. AH = AH = t n = t n = − A 2 A 2‬‬
‫‪2‬‬

‫‪a +b +c‬‬

‫(‬

‫)‬

‫ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء ) ‪ ، (E‬ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻨﻘﻄﺘﻴﻦ ‪ A −1, 2, 5‬و ) ‪ B ( 3,1,0‬واﻟﻤﺴﺘﻮى‬
‫‪ . ( P ) : 4x + 2 y + 5z −14 = 0‬أﺣﺴﺐ ‪:‬‬

‫)‬

‫(‬

‫أ‪ -‬اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ) ‪. d A , ( P‬‬

‫)‬

‫(‬

‫ب‪ -‬اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ) ‪ . d B , ( P‬ﻣﺎذا ﺗﺴﺘﻨﺘﺞ ؟‬
‫‪-5-‬‬

‫اﻷﺳﺘﺎذﻳﻦ اﻟﺤﻴﺎن – ﺑﻨﺰﻃﺎط ‪5‬‬


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