10Produit Scalaire Espace.pdf


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‫اﻷﺳﺘﺎذﻳﻦ‪ :‬اﻟﺤﻴﺎن ‪ -‬ﺑﻨﺰﻃﺎط‬

‫اﻟﺠﺪاء اﻟﺴﻠﻤﻲ ﻓﻲ ‪U3‬‬

‫اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﺑﻜﺎﻟﻮرﻳﺎ ﻋﻠﻮم ﺗﺠﺮﻳﺒﻴﺔ‬
‫ﺗﻌﺮﻳﻒ ‪:‬‬
‫‪.I‬‬
‫‪ .1‬ﻣﺜﺎل ‪ :‬ﻟﻴﻜﻦ ‪ OIAJKBCD‬ﻣﻜﻌﺒﺎ ﺣﻴﺚ ‪ . OI = 1‬اﻟﻔﻀﺎء ) ‪ (E‬ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ‬
‫‪JJG JJJJG JJG JJJJG JG JJJG‬‬
‫‪JG JJG JJG‬‬
‫ﻣﻤﻨﻈﻢ ‪ ، O , i , j , k‬ﺣﻴﺚ ‪ i = OI :‬و ‪ j = OJ‬و ‪. k = OK‬‬

‫)‬

‫(‬

‫‪ .1‬أﻋﻂ ﻣﺜﻠﺜﻮث إﺣﺪاﺛﻴﺎت ‪:‬‬
‫أ‪ -‬اﻟﻨﻘﻂ ‪ O :‬و ‪ I‬و ‪ J‬و ‪ K‬و ‪ A‬و ‪ B‬و ‪ C‬و ‪. D‬‬
‫‪JJJJG‬‬
‫‪JJJJG‬‬
‫ب‪ -‬اﻟﻤﺘﺠﻬﺘﻴﻦ ‪ AB :‬و ‪. OC‬‬
‫‪ .2‬ﻧﻌﺘﺒﺮ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء ) ‪ ، (E‬اﻟﻨﻘﻄﺔ ) ‪. E (1, 2,0‬‬

‫‪ .2‬ﺗﻌﺮﻳﻒ ‪:‬‬

‫أ‪ -‬ﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ أن اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ A‬ﻣﻨﺘﺼﻒ اﻟﻘﻄﻌﺔ ⎦⎤ ‪ ⎡⎣ IE‬؛ ﺛﻢ أﻧﺸﺊ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪. E‬‬
‫‪JJJGJJJG‬‬
‫ب‪ -‬أﺣﺴﺐ اﻟﺠﺪاء اﻟﺴﻠﻤﻲ ‪. IC .IE‬‬
‫‪JJG‬‬

‫‪JG‬‬

‫أ‪ -‬ﻟﺘﻜﻦ ‪ u‬و ‪ v‬ﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ ﻏﻴﺮ ﻣﻨﻌﺪﻣﺘﻴﻦ ﻣﻦ ‪ ، U3‬وﻟﺘﻜﻦ ‪ A‬ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء ) ‪. (E‬‬
‫‪JG JJJJJG‬‬
‫‪JJG JJJJG‬‬
‫ﺗﻮﺟﺪ ﻧﻘﻄﺘﺎن وﺣﻴﺪﺗﺎن ﻣﻦ ) ‪ (E‬ﺑﺤﻴﺚ ‪ u = A B :‬و ‪. v = A C‬‬

‫‪JG JJG‬‬
‫اﻟﺠﺪاء اﻟﺴﻠﻤﻲ ﻟﻠﻤﺘﺠﻬﺘﻴﻦ ‪ u‬و ‪ v‬هﻮ اﻟﻌﺪد اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪:‬‬

‫‪JJGJJG JJJJJJGJJJJJJG‬‬

‫‪u .v = AB .AC = AB × AH‬‬

‫ﺣﻴﺚ ‪ H‬هﻮ اﻟﻤﺴﻘﻂ اﻟﻌﻤﻮدي ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ‪ C‬ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪. ( A B‬‬
‫‪JJGJJG‬‬
‫‪JG JG‬‬
‫‪JJG JG‬‬
‫ب‪ -‬إذا آﺎن ‪ u = 0‬أو ‪ ، v = 0‬ﻓﺈن ‪. u .v = 0‬‬

‫‪.‬‬

‫‪ JG‬اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﻠﺠﺪاء اﻟﺴﻠﻤﻲ ‬
‫‪ .3‬ﺧﺎﺻﻴﺔ ‪ :‬اﻟﺼﻴﻐﺔ‬
‫‪JJG‬‬
‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ u‬و ‪ v‬ﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ ﻏﻴﺮ ﻣﻨﻌﺪﻣﺘﻴﻦ ﻣﻦ ‪ ، U3‬وﻟﺘﻜﻦ ‪ A‬و ‪ B‬و ‪ C‬ﺛﻼث ﻧﻘﻂ ﻣﻦ‬
‫‪JJG JJJJG‬‬

‫‪JG JJJJJG‬‬

‫اﻟﻔﻀﺎء ) ‪ (E‬ﺑﺤﻴﺚ ‪ u = A B :‬و ‪ ، v = A C‬وﻟﻴﻜﻦ ‪θ‬‬

‫‪. ⎡⎢ B m‬‬
‫ﻗﻴﺎﺳﺎ ﻟﻠﺰاوﻳﺔ اﻟﻬﻨﺪﺳﻴﺔ ⎥⎤ ‪AC‬‬
‫⎣‬
‫⎦‬

‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪:‬‬

‫) ‪u .v = AB × AC × cos (θ‬‬

‫‪JJGJJG‬‬

‫‪G‬‬

‫) ‪× v × cos (θ‬‬

‫‪G‬‬
‫‪u‬‬

‫‪JJGJJG‬‬

‫= ‪u .v‬‬

‫‪-1-‬‬

‫اﻷﺳﺘﺎذﻳﻦ اﻟﺤﻴﺎن – ﺑﻨﺰﻃﺎط ‪5‬‬