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10Produit Scalaire Espace.pdf


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Aperçu texte


‫‪JG JJG JJG‬‬
‫‪ 9‬إذا آﺎن ‪ i , j , k‬أﺳﺎﺳﺎ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪا ﻣﻤﻨﻈﻤﺎ ﻟﻠﻔﻀﺎء ‪ ، U3‬ﻓﺈﻧﻨﺎ ﻧﻘﻮل ‪:‬‬
‫‪JG JJG JJG‬‬
‫إن اﻟﻤﺮﺑﻮع ‪ O , i , j , k‬ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ﻟﻠﻔﻀﺎء ) ‪. (E‬‬

‫)‬

‫(‬

‫)‬

‫(‬

‫‪ .2‬اﻟﺼﻴﻐﺔ اﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻴﺔ ﻟﻠﺠﺪاء اﻟﺴﻠﻤﻲ ‪:‬‬
‫ﻓﻲ آﻞ ﻣﺎ ﻳﻠﻲ ‪ ،‬اﻟﻔﻀﺎء ) ‪ (E‬ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ‪. O , i , j , k‬‬

‫)‬

‫ﻟﺘﻜﻦ‬

‫)‬

‫‪JG JJG JJG‬‬

‫‪JG‬‬
‫‪JJG‬‬
‫‪ u ( x , y , z‬و ) ‪ v ( x ′, y ′, z ′‬ﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء ‪ . U3‬ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪:‬‬
‫‪JG‬‬
‫‪JJG‬‬
‫‪JJG‬‬
‫‪JG‬‬
‫‪JJG‬‬
‫‪JJG‬‬

‫‪JJG2‬‬

‫‪JJGJG‬‬

‫‪JJGJJG‬‬

‫) ‪( x i + y j + z k ).( x ′i + y ′ j + z ′k‬‬
‫‪JJG JJG‬‬

‫‪JJGJG‬‬

‫‪JJG2‬‬

‫‪JGJJG‬‬

‫(‬

‫=‬
‫‪JGJJG‬‬

‫‪JG2‬‬

‫‪JJG JG‬‬

‫‪u .v‬‬

‫‪JJG JG‬‬

‫‪u .v = xx ′i + xy ′i . j + xz ′i .k + yx ′ j .i + yy ′ j + yz ′ j .k + zx ′k .i + zy ′k . j + zz ′k‬‬
‫‪JJG JG‬‬
‫= ‪u .v‬‬
‫‪xx ′ + yy ′ + zz ′‬‬
‫‪JGJJG JJGJJG JJGJG‬‬

‫ﻷن ‪i . j = j .k = k .i = 0 :‬‬
‫ﺧﻼﺻﺔ ‪:‬‬

‫‪JG‬‬
‫‪JJG‬‬
‫‪JJG‬‬
‫‪. i = j = k =1‬‬

‫و‬

‫‪JG‬‬
‫‪JJG‬‬
‫إذا آﺎﻧﺖ ) ‪ u ( x , y , z‬و ) ‪ v ( x ′, y ′, z ′‬ﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء ‪ ، U3‬ﻓﺈن ‪:‬‬
‫‪JJGJJG‬‬

‫‪u .v = xx ′ + yy ′ + zz ′‬‬

‫‪ .3‬ﻧﺘﺎﺋﺞ ‪:‬‬

‫‪G‬‬
‫‪G2‬‬
‫‪GG‬‬
‫‪JJG‬‬
‫أ‪ -‬ﻟﻜﻞ ﻣﺘﺠﻬﺔ ) ‪ u ( x , y , z‬ﻣﻦ ‪ ، U3‬ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪ . u = u = u .u :‬وﻣﻨﻪ ﻓﺈن ‪:‬‬

‫‪JJG‬‬

‫‪u = x 2 + y 2 +z 2‬‬

‫ب‪ -‬ﻟﻜﻞ ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ ‪ A x A , y A , z A‬و ) ‪ B ( x B , y B , z B‬ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء ) ‪ ، (E‬ﻟﺪﻳﻨﺎ‪:‬‬
‫‪JJJJG‬‬
‫‪JJJJG‬‬
‫‪ . AB x B − x A , y B − y A , z B − z A‬وﻣﻨﻪ ﻓﺈن ﻣﻨﻈﻢ اﻟﻤﺘﺠﻬﺔ ‪ A B‬هﻮ‪:‬‬
‫‪JJJJJG‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬

‫)‬

‫)‬

‫)‬

‫(‬

‫(‬

‫‪+ z B −z A‬‬

‫(‬

‫) ‪(x B − x A ) + ( y B − y A‬‬

‫= ‪AB = AB‬‬

‫ﻣﺜﺎل ‪ :‬ﻟﺘﻜﻦ )‪ A (1,0,1‬و ) ‪ B (1,0,0‬و )‪ C (1,1,1‬ﺛﻼث ﻧﻘﻂ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء ) ‪ . (E‬ﺑﻴﻦ أن ‪ ABC‬ﻣﺜﻠﺚ‬
‫ﻗﺎﺋﻢ اﻟﺰاوﻳﺔ وﻣﺘﺴﺎوي اﻟﺴﺎﻗﻴﻦ ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪. A‬‬

‫‪ .III‬ﺗﻄﺒﻴﻘﺎت ‪:‬‬
‫‪ .1‬ﻣﺘﺠﻬﺔ ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻮى ‪:‬‬
‫‪JG JJG‬‬
‫ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء ) ‪ ، (E‬ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻤﺴﺘﻮى ) ‪ ( P‬اﻟﻤﻮﺟﻪ ﺑﻤﺘﺠﻬﺘﻴﻦ ﻏﻴﺮ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺘﻴﻦ ‪ u‬و ‪ v‬ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء ‪. U3‬‬
‫‪JJG‬‬
‫‪JJG‬‬
‫آﻞ ﻣﺘﺠﻬﺔ ﻏﻴﺮ ﻣﻨﻌﺪﻣﺔ ‪ n‬ﻣﻦ ‪ U3‬ﻣﺘﻌﺎﻣﺪة ﻣﻊ ‪ u‬و‬

‫‪-3-‬‬

‫‪JG‬‬

‫‪ ، v‬ﺗﺴﻤﻰ ﻣﺘﺠﻬﺔ ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻋﻠﻰاﻟﻤﺴﺘﻮى ) ‪( P‬‬

‫اﻷﺳﺘﺎذﻳﻦ اﻟﺤﻴﺎن – ﺑﻨﺰﻃﺎط ‪5‬‬