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10Produit Scalaire Espace.pdf


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Aperçu texte


‫اﻟﻤﻨﻈﻤﻴﺔ ﻋﻠﻴﻪ‪.‬‬
‫ﻣﺴﺘﻮى ﻳﻘﺒﻞ ﻣﺎ ﻻ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻟﻪ ﻣﻦ اﻟﻤﺘﺠﻬﺎت‬
‫ﻣﻼﺣﻈﺎت ‪ :‬أ‪ -‬آﻞ‬
‫‪JJG‬‬
‫‪JJG‬‬
‫ب‪ -‬إذا آﺎﻧﺖ ‪ n‬ﻣﺘﺠﻬﺔ ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻮى ) ‪ ، ( P‬ﻓﺈن ‪ n‬ﻣﺘﻌﺎﻣﺪة ﻣﻊ آﻞ ﻣﺘﺠﻬﺔ‬
‫‪JJJJG‬‬
‫‪ AB‬ﺣﻴﺚ ‪ A‬و ‪ B‬ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى ) ‪. ( P‬‬
‫‪ .2‬ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻣﺴﺘﻮى ﻣﺤﺪد ﺑﻨﻘﻄﺔ وﻣﺘﺠﻬﺔ ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬
‫ﻧﻌﺘﺒﺮ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء ) ‪ ، (E‬اﻟﻤﺴﺘﻮى ) ‪ ( P‬اﻟﻤﺎر ﻣﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ‬

‫)‬

‫‪JJG‬‬

‫(‬

‫‪ A x A , y A , z A‬ﺣﻴﺚ ) ‪ n ( a, b , c‬ﻣﺘﺠﻬﺔ‬

‫ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻋﻠﻴﻪ‪ . ( a, b , c ) ≠ ( 0, 0, 0 ) .‬ﻟﺘﻜﻦ ) ‪ M ( x , y , z‬ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء ) ‪ . (E‬ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪:‬‬
‫‪JJJJJG JG‬‬
‫⇔ ) ‪M ∈(P‬‬
‫‪AM ⊥ n‬‬
‫‪JJJJJG JG‬‬
‫⇔‬
‫‪AM .n = 0‬‬

‫‪⇔ a (x − x A ) +b ( y − y A ) +c (z − z A ) = 0‬‬
‫ﺣﻴﺚ ‪. d = − ( ax A + by A + cz A ) :‬‬
‫‪ax + by + cz + d = 0‬‬
‫⇔‬
‫أ‪ -‬ﺧﺎﺻﻴﺔ ‪:‬‬
‫‪JJG‬‬
‫اﻟﻤﺴﺘﻮى ) ‪ ( P‬اﻟﻤﺎر ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ ‪ A x A , y A , z A‬و ) ‪ n ( a , b , c‬ﻣﺘﺠﻬﺔ ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ‬

‫(‬

‫)‬

‫ﻋﻠﻴﻪ‪ ،‬ﻳﻘﺒﻞ ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ ‪:‬‬

‫‪. ax + by + cz + d = 0‬‬

‫‪JJG‬‬
‫ب‪ -‬ﻣﺜﺎل ‪ :‬أآﺘﺐ ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى ) ‪ ( P‬اﻟﻤﺎرﻣﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ )‪ E ( 2, −1,3‬و )‪ n ( 5, 2,1‬ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ‬

‫ﻋﻠﻴﻪ ‪.‬‬

‫‪ .3‬ﺗﻌﺎﻣﺪ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ ‪:‬‬

‫‪JJG‬‬

‫ﻟﻴﻜﻦ ) ‪ ( D‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎ ﻣﺎرا ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ ‪ A‬وﻣﻮﺟﻬﺎ ﺑﻤﺘﺠﻬﺔ ‪ u‬و ﻟﻴﻜﻦ ) ‪ ( D′‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎ ﻣﺎرا ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ ‪ B‬و‬
‫‪JJG JG‬‬
‫‪JG‬‬
‫ﻣﻮﺟﻬﺎ ﺑﻤﺘﺠﻬﺔ ‪ . v‬ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪:‬‬
‫‪(D ) ⊥ ( ∆) ⇔ u ⊥v‬‬
‫‪JJGJG‬‬

‫‪⇔ u .v = 0‬‬

‫‪ .4‬ﺗﻌﺎﻣﺪ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ وﻣﺴﺘﻮى ‪:‬‬
‫ﻟﻴﻜﻦ ) ‪ ( D‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎ ﻣﺎرا ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ ‪ A‬وﻣﻮﺟﻬﺎ ﺑﻤﺘﺠﻬﺔ ‪ u‬و ﻟﻴﻜﻦ ) ‪ ( P‬ﻣﺴﺘﻮى ﻣﺎرا ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ ‪ B‬و‬
‫‪JJG JJG‬‬
‫‪JJG‬‬
‫‪ n‬و ‪ u‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺘﺎن ⇔ ) ‪. ( D ) ⊥ ( P‬‬
‫‪ n‬ﻣﺘﺠﻬﺔ ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻋﻠﻴﻪ ‪ .‬ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪:‬‬

‫‪JJG‬‬

‫‪ .5‬ﺗﻌﺎﻣﺪ ﻣﺴﺘﻮﻳﻴﻦ ‪:‬‬

‫‪JJG‬‬

‫) (‬

‫ﻟﻴﻜﻦ ) ‪ ( P‬ﻣﺴﺘﻮى ﻣﺎرا ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ ‪ A‬و ‪ n P‬ﻣﺘﺠﻬﺔ ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻋﻠﻴﻪ وﻟﻴﻜﻦ ‪ Q‬ﻣﺴﺘﻮى ﻣﺎرا ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ‬
‫‪JJJJG JJJG‬‬
‫‪JJG‬‬
‫‪( P ) ⊥ Q ⇔ n P ⊥ nQ‬‬
‫‪ B‬و ‪ n Q‬ﻣﺘﺠﻬﺔ ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻋﻠﻴﻪ ‪ .‬ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪:‬‬
‫‪JJJJGJJJG‬‬

‫‪⇔ n P .nQ = 0‬‬

‫‪-4-‬‬

‫) (‬
‫) ‪( P ) ⊥ (Q‬‬

‫اﻷﺳﺘﺎذﻳﻦ اﻟﺤﻴﺎن – ﺑﻨﺰﻃﺎط ‪5‬‬