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10Produit Scalaire Espace.pdf


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Aperçu texte


‫ﺗﻤﺮﻳﻦ ﺗﻄﺒﻴﻘﻲ ‪:‬‬
‫ﻧﻌﺘﺒﺮ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء ) ‪ ، (E‬اﻟﻤﺴﺘﻮى ) ‪ ( P‬واﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪ ( D‬ﺣﻴﺚ ‪:‬‬

‫‪: x − 3z + 4 = 0‬‬

‫) ‪(P‬‬

‫و‬

‫‪⎧x = 1 − 2t‬‬
‫⎪‬
‫‪: ⎨y = 5‬‬
‫‪⎪z = −1 + 6t‬‬
‫⎩‬

‫‪/ t ∈R‬‬

‫أ‪ -‬ﺑﻴﻦ أن ‪. ( D ) ⊥ ( P ) :‬‬

‫) ‪(Q‬‬

‫ب‪ -‬ﻧﻌﺘﺒﺮ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء ) ‪ ، (E‬اﻟﻤﺴﺘﻮى ‪: 3x + y + z + 1 = 0‬‬

‫)‪(D‬‬

‫‪ .‬ﺑﻴﻦ أن ‪. ( P ) ⊥ (Q ) :‬‬

‫‪ .6‬ﻣﺴﺎﻓﺔ ﻧﻘﻄﺔ ﻋﻦ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ‪:‬‬
‫ﺧﺎﺻﻴﺔ ‪:‬‬
‫ﻧﻌﺘﺒﺮ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء ) ‪ ، (E‬اﻟﻨﻘﻄﺔ ) ‪ A ( x A , y A , z A‬واﻟﻤﺴﺘﻮى‬
‫‪ax + by + cz + d = 0‬‬

‫‪(P ) :‬‬

‫‪ .‬ﻣﺴﺎﻓﺔ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ A‬ﻋﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى ) ‪ ( P‬هﻲ ‪:‬‬

‫‪ax A + by A + cz A + d‬‬
‫‪a2 + b 2 +c 2‬‬

‫(‬

‫)‬

‫= ) ‪d A ,(P‬‬

‫ﺑﺮهﺎن ‪:‬‬
‫ﻧﻌﺘﺒﺮ ) ‪ H ( x , y , z‬اﻟﻤﺴﻘﻂ اﻟﻌﻤﻮدي ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ‪ A‬ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى ) ‪ . ( P‬ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪:‬‬
‫‪JJJJJJG‬‬
‫‪JJG‬‬
‫‪ AH x − x A , y − y A , z − z A‬و ) ‪ n (a,b ,c‬ﻣﺘﺠﻬﺘﺎن ﻣﻨﻈﻤﻴﺘﺎن ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى ) ‪ . ( P‬إذن ‪:‬‬

‫(‬

‫)‬

‫‪⎧x − x A = ta‬‬
‫‪JJJJJJG JJG‬‬
‫‪JJG JJJJJJG‬‬
‫⎪‬
‫‪ AH‬و ‪ n‬ﻣﺘﺠﻬﺘﺎن ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺘﺎن‪ .‬أي ‪ . ∃t ∈ \ / AH = t n :‬وﻣﻨﻪ ﻓﺈن ‪⎨ y − y A = tb :‬‬
‫‪⎪z − z = tc‬‬
‫‪A‬‬
‫⎩‬
‫‪⎧x = x A + t .a‬‬
‫⎪‬
‫أي ‪ . ⎨ y = y A + t .b :‬وﺑﻤﺎ أن ) ‪ ، H ∈ ( P‬ﻓﺈن‪a ( x A + t .a ) + b ( y A + t .b ) + c ( z A + t .c ) + d = 0 :‬‬
‫‪⎪z = z + t .c‬‬
‫‪A‬‬
‫⎩‬
‫‪ax + by + cz A + d‬‬
‫‪.t = − A 2 A 2‬‬
‫ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ ﻣﻦ ذﻟﻚ أن ‪ ax A + by A + cz A + t ( a 2 + b 2 + c 2 ) + d = 0 :‬أي ‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪a +b +c‬‬
‫وﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﺈن ﻣﺴﺎﻓﺔ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ A‬ﻋﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى ) ‪ ( P‬هﻲ ‪:‬‬

‫‪ax A + by A + cz A + d‬‬
‫‪a2 +b 2 +c 2‬‬
‫ﻣﺜﺎل ‪:‬‬

‫= ‪a2 + b 2 + c 2‬‬

‫)‬

‫(‬

‫‪ . d A , ( P ) = AH‬وﻟﺪﻳﻨﺎ ‪:‬‬

‫‪JJJJJG‬‬
‫‪JJG‬‬
‫‪JJG‬‬
‫‪ax + by + cz A + d‬‬
‫‪. AH = AH = t n = t n = − A 2 A 2‬‬
‫‪2‬‬

‫‪a +b +c‬‬

‫(‬

‫)‬

‫ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء ) ‪ ، (E‬ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻨﻘﻄﺘﻴﻦ ‪ A −1, 2, 5‬و ) ‪ B ( 3,1,0‬واﻟﻤﺴﺘﻮى‬
‫‪ . ( P ) : 4x + 2 y + 5z −14 = 0‬أﺣﺴﺐ ‪:‬‬

‫)‬

‫(‬

‫أ‪ -‬اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ) ‪. d A , ( P‬‬

‫)‬

‫(‬

‫ب‪ -‬اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ) ‪ . d B , ( P‬ﻣﺎذا ﺗﺴﺘﻨﺘﺞ ؟‬
‫‪-5-‬‬

‫اﻷﺳﺘﺎذﻳﻦ اﻟﺤﻴﺎن – ﺑﻨﺰﻃﺎط ‪5‬‬