ISCAE LFG1Corrigé TD N° 2 Taylor et applications .pdf



Nom original: ISCAE LFG1Corrigé TD N° 2 Taylor et applications.pdfAuteur: OMEGA-CENTER

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BEN AHMED MOHSEN
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ISCAE

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L1-S1
Licence Fondamentale en Sciences de Gestion

Mathématiques : Analyse
Corrigé TD N° 2 : Formule de Taylor et applications

Exercice 1 : (Enoncé)
Déterminer les dérivées nièmes des fonctions suivantes :

Corrigé


Calculons d’abord les dérivées successives de





Suggérons la propriété suivante, qu’on démontrera par le principe de raisonnement par récurrence :

-

1
Adresse : 38, av de l'environnement Manouba Centre, Manouba

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Conclusion :



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Calculons d’abord les dérivées successives de








Suggérons la propriété suivante, qu’on démontrera par le principe de raisonnement par récurrence :

Conclusion :

2
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Exercice 2 : (Enoncé)
Étudier la convexité de :

Corrigé


La convexité de

dépend du signe de

Le discriminant du trinôme

car

sera

-∞

+∞
+

Convexité de


0

Convexe

Le discriminant du trinôme

Concave

sera



La convexité de

dépend du signe de

3
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0

+
Convexe
donc

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-∞

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+∞
-

Convexité de

+

0

Concave

-

0

Convexe

Concave

Exercice 3 : (Enoncé)
Déterminer les extremums des fonctions suivantes :

Corrigé


et

dérivable sur

par :

-∞

+∞
0
1/2

-∞

-∞
admet un maximum absolu en


et

égal

dérivable sur

par :

-∞

+∞
-

-

+

0

-

-

0

+

0

0

+

+

-

0

+

-

0

+

1

1/2

4
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1/2

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;

et

admet un maximum absolu en

égal

admet un minimum local en

égal

admet un minimum local en


égal

Le discriminant du trinôme
et

sera

dérivable sur

prend le signe de

sur

donc

par :
car

-∞

+∞
0
0

admet un maximum absolu en


et

égal

dérivable sur

par :

-∞

+∞
+

0

-

0

0
4

admet un maximum absolu en

égal

admet un minimum absolu en

égal

Exercice 4 : (Enoncé)
Calculer une valeur approchée à

près de

Corrigé
5
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+

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Le DL(2,0) de :

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Exercice 5 : (Enoncé)
On donne le DL(3,1) :

Déterminer l’équation de la tangente à la courbe de

en

, préciser les positions relatives.

Corrigé

Soit

la droite tangente à

La position relative de
Or un DL(3,1) de

et

au point

donc

à pour équation :

dépend du signe de :
donne :

Donc

6
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-∞

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+∞
-

0

Position relative de
et

+
+

est située au-dessous
de

est située au-dessus
de

Exercice 6 : (Enoncé)
On donne le développement limité à l’ordre 1 en +∞ :

Déterminer l’équation de l’asymptote à la courbe de

en +∞, préciser les positions relatives.

Corrigé

Ainsi
Et comme on a

par la suite

et

est située au-

dessus de

Exercice 7 : (Enoncé)
Une entreprise produit un bien dont le coût moyen

est définie à partir de la quantité produite par :

Et dont le prix de vente est :
Déterminer le minimum du coût moyen et le maximum de profit.

7
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Corrigé
Etudions les variations de

:

0

+∞
0

15

On a
Et
Avec
:

Etudions les variations de

Le discriminant du trinôme

:

sera

8
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+∞
-

0

+

0

30,04

9
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-


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