Fichier PDF

Partage, hébergement, conversion et archivage facile de documents au format PDF

Partager un fichier Mes fichiers Convertir un fichier Boite à outils PDF Recherche PDF Aide Contact



Chapitre 1 .pdf



Nom original: Chapitre 1.pdf
Titre: Chapitre 1 Systèmes de Numération + Représentation Interne des Données 2012-2013
Auteur: Aroussi

Ce document au format PDF 1.4 a été généré par PDFCreator Version 1.6.2 / GPL Ghostscript 9.05, et a été envoyé sur fichier-pdf.fr le 01/04/2015 à 23:30, depuis l'adresse IP 105.104.x.x. La présente page de téléchargement du fichier a été vue 963 fois.
Taille du document: 1.9 Mo (26 pages).
Confidentialité: fichier public




Télécharger le fichier (PDF)









Aperçu du document


1 M.I

Faculté des Sciences, Université SAAD DAHLAB de Blida

2012-2013

Sommaire
Partie I : Systèmes de Numération ................................................................................................................... 3
I.1. Système à base B ......................................................................................................................................... 3
Remarque I.1. Forme Polynomiale .............................................................................................................. 4
I.2. Conversion d’une base B à la base 10 (Développement Polynomial) ...................................................... 4
I.3. Conversion de la base 10 à la base B .......................................................................................................... 5
I.3.1. Conversion de la Partie Entière .......................................................................................................... 5
I.3.1.1. La Méthode des Soustractions Successives .................................................................................. 5
I.3.1.2. La Méthode des Divisions Successives ........................................................................................ 6
I.3.2. Conversion de la Partie Fractionnaire................................................................................................ 6
I.4. Conversion d’une base B1 à une base B2................................................................................................... 7
Remarque I.2: Cas des bases B et Bk ............................................................................................................. 8
I.4.1. Conversion Binaire↔Octal................................................................................................................ 8
I.4.2 Conversion Binaire↔ Hexadécimal ................................................................................................... 8
Remarque I.3: Conversion d’un grand nombre décimal en binaire ........................................................... 9
I.5. Opérations Arithmétiques en Binaire ...................................................................................................... 9
Remarque I.4: Opérations Arithmétiques dans un système de numération à base quelconque. ........... 11
Partie 2 : Représentation Interne des Données ............................................................................................. 13
II.1. Représentation des Entiers ..................................................................................................................... 13
II.1.1 Représentation des Entiers Positifs .................................................................................................. 13
II.1.1.1. Evaluation .................................................................................................................................. 14
II.1.1.2. Intervalle des valeurs ................................................................................................................ 14
II.1.2 Représentation Signe / Valeur Absolue (SVA) ................................................................................ 14
II.1.2.1. Evaluation .................................................................................................................................. 15
II.1.2.2. Intervalle des valeurs ................................................................................................................ 15
II.1.3. Représentation en complément à un (CA1) ................................................................................... 16
II.1.3.1. Evaluation .................................................................................................................................. 17
II.1.3.2. Intervalle des valeurs ................................................................................................................ 17
II.1.4. Représentation en complément à deux (CA2)................................................................................ 18
II.1.4.1. Evaluation .................................................................................................................................. 18
S. Aroussi

Page 1

1 M.I

Faculté des Sciences, Université SAAD DAHLAB de Blida

2012-2013

II.1.4.2. Intervalle des valeurs ................................................................................................................ 19
II.1.5. Représentation avec Excès............................................................................................................... 19
II.1.5.1. Evaluation .................................................................................................................................. 19
II.1.5.2. Intervalle des valeurs ................................................................................................................ 20
II.1.6. Opérations Arithmétiques sur les Nombres Signés ........................................................................ 20
II.2. Représentation des Réels ........................................................................................................................ 21
II.2.1. Présentation en Virgule Fixe ........................................................................................................... 21
II.2.2. Présentation en Virgule Flottante ................................................................................................... 21
II.2.2.1. Représentation Classique .......................................................................................................... 22
II.2.2.2. Représentation Normalisée : Standard IEEE 754 (1985) ......................................................... 22
II.3. Représentation des Décimaux ............................................................................................................ 24
II.3.1. Codage BCD (Binary Coded Decimal) ........................................................................................ 24
II.3.2. Codage EXCESS3 (BCD+3) .......................................................................................................... 24
II.4. Représentations des Caractères .............................................................................................................. 25
Références ....................................................................................................................................................... 26

S. Aroussi

Page 2

1 M.I

Faculté des Sciences, Université SAAD DAHLAB de Blida

2012-2013

Chapitre 1
Partie I : Systèmes de Numération
Nous avons pris l'habitude de représenter les nombres en décimal (système de numération décimal) en
utilisant dix chiffres différents (de 0 à 9). Cependant, il existe d'autres systèmes de numération comme:
-

Le système binaire qui utilise deux chiffres différents : 0, 1

-

Le système octal qui utilise huit chiffres différents : de 0 à 7

-

Le système hexadécimal qui utilise seize chiffres différents : de 0 à 9, en plus de cinq caractères A, B,
C, D, E, F

En fait, on peut utiliser n'importe quel nombre de symboles différents, pas nécessairement des chiffres
mais aussi des caractères alphabétiques.

I.1. Système à base B
Dans un système de numération, le nombre de symboles distincts est appelé la base. Ainsi, tout système
de numération est caractérisé par :
-

Une base B>1.

-

Des coefficients ou symboles différent ai tel que : 0 ≤

<

.

Et un nombre N dans un système de numération B s’écrit comme suit : N = (a n a n −1 a n− 2 ........a1 a 0 ) B
Exemples :
Binaire Octal
Décimal
Hexadécimal
Base
2
8
10
16
Coefficients 0, 1
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

Notons ici que les valeurs décimales des caractères alphabétiques (hexadécimaux) sont :
Caractère alphabétique A B C D E F
Valeur décimale
10 11 12 13 14 15

Exercice 1 de la série 1:
1:
Soit les nombre suivants : 1010, 1020, 108141, 2A0GF00, 01AFB, CEE, BAC.
-

Parmi ces nombre, quels sont ceux qui peuvent être la présentation d’un nombre en base 2, 8, 10 ou
16 ?

-

Donner la plus petite base dans laquelle chaque nombre peut être écrit.
Motif
1010
1020
108141
2A0GF00

S. Aroussi

Base 2
Oui
Non
Non
Non

Base 8
Oui
Oui
Non
Non

Base 10
Oui
Oui
Oui
Non

Base 16
Oui
Oui
Oui
Non

Plus petite Base
2
3
9
17

Page 3

1 M.I

Faculté des Sciences, Université SAAD DAHLAB de Blida

01AFB
CEE
BAC

Non
Non
Non

Non
Non
Non

Non
Non
Non

Oui
Oui
Oui

2012-2013

16
15
13

Remarque I.1.. Forme Polynomiale
Polynomial
Tout
out entier N peut s'écrire sous une forme polynomiale, comme suite :

i =n

N = a n B n + a n −1 B n −1 + ..... + a1 B 1 + a 0 B 0 = ∑ ai B i
i =0

Cette notation peut être étendue pour représenter des nombres réels en utilisant des puissances
négatives de la base comme suit :

N = a n B n + a n −1 B n −1 + ..... + a1 B 1 + a 0 B 0 + a −1 B −1 + a − 2 B − 2 + ..... + a − m B − m =

i=n

∑a B

i=− m

i

i

Exemples :

568.592 = 5x102 + 6x101 + 8x100 + 5x10-1 + 9x10-2

8592 = 8x10 + 5x10 + 9x10 + 2x10 .
3

2

1

0

+2x10-3.

I.2.. Conversion d’une base B à la base 10 (Développement
Développement Polynomial)
Cette conversion
rsion est assez simple puisqu’il
puisqu’i suffit d’écrire le nombre sous forme polynomiale dans la base
B, et ensuite d’additionner les différents termes de la forme polynomiale du nombre.
nombre
Exemples :
12

1

101101

S. Aroussi

3
1

2
2

3

3

0

2

2
1

5
2

1

2

0

2

1

2

32

8

4

1

45

Page 4

1 M.I

Faculté des Sciences, Université SAAD DAHLAB de Blida

111,01011
+

+

= 1 × 2 + 1 × 2 + 1 × 2 + 0 × 2

= (7, 34375

+ 0 × 2

(1254,1

= 1 × 8 + 2 × 8 + 5 × 8 + 4 × 8 + 1 × 8

( 5 ,6

= 10 × 16 + 5 × 16 + 15 × 16 + 6 × 16

+ 1 × 2

2012-2013

+ 1 × 2

=4+2+1+

= (684,125

= (2655,375

I.3. Conversion de la base 10 à la base B
Soit N, un nombre décimal dont la partie entière est PE et la partie fractionnaire est PF. Nous pouvons
convertir N dans le système de base B en utilisant la procédure suivante :

I.3.1. Conversion de la Partie Entière
Il existe deux méthodes pour convertir un entier exprimé en décimal à un nombre à base B :
I.3.1.1. La Méthode des Soustractions Successives
Chercher d'abord la puissance de B la plus proche du nombre décimal, ensuite la soustraire à ce nombre.
Puis, faire de même avec le résultat de la soustraction et ainsi de suite jusqu'à atteindre 0.
Exemples
xemples :
(5

= (?
5 − 4 = 1 − 1 = 0; $%&' 5 = 4 + 1

Essayant d’écrire le nombre sous forme polynomiale dans la base de 2
5 = 1 × 2 + 0 × 2 + 1 × 2 = (101
(45

= (?
45 − 32 = 13 − 8 = 5 − 4 = 1 − 1 = 0; $%&' 45 = 32 + 8 + 4 + 1

Essayant d’écrire le nombre sous forme polynomiale dans la base de 2
45 = 1 × 2 + 0 × 2 + 1 × 2 + 1 × 2 + 0 × 2 + 1 × 2 = (101101
(555

= (?
555 − 512 = 43 − 32 = 11 − 8 = 3 − 2 = 1 − 1 = 0; $%&' 555 = 512 + 32 + 8 + 2 + 1

Essayant d’écrire le nombre sous forme polynomiale dans la base de 2
555 = 1 × 2( + 0 × 2 + 0 × 2) + 0 × 2 + 1 × 2 + 0 × 2 + 1 × 2 + 0 × 2 + 1 × 2
+ 1 × 2 = (1000101011
(555

= (?

= (?

= (?

puissance
ssance 8, 16
Ce n’est pas évident de trouver le premier nombre de pui
ou 9 proche de 555 !!!;
l’inconvénient
!!!; C’est l’i
nconvénient principal de cette méthode. Au fait, cette
cette méthode est plus
pratique et plus uti
utilisé
plus,, on remarque que le nombre des opérations de
lisé dans le cas où B=2. De plus
(

soustraction faites correspond au nombre des bits à 1 dans le nombre binaire.
S. Aroussi

Page 5

1 M.I

Faculté des Sciences, Université SAAD DAHLAB de Blida

2012-2013

I.3.1.2. La Méthode des Divisions Successives
Diviser le nombre entier et chacun des quotients successifs par B jusqu'à obtenir un quotient nul. La
suite des restes, dans l'ordre inverse de leur obtention,
obtention donne la représentation du
d nombre décimal dans
le système de base B.
Exemples
Exemples:

On remarque que le nombre des opérations de divisions faites correspond au nombre des chiffres ou
coefficients dans le nombre (de chaque opération de division résulte un chiffre).
chiffre).

I.3.2.
.2. Conversion de la Partie Fractionnaire
Multiplier la partie fractionnaire et les parties fractionnaires des produits successifs par la base B jusqu'à
obtenir soit une partie fractionnaire nulle,
null soit une répétition d’une des parties
partie fractionnaires. La
S. Aroussi

Page 6

1 M.I

Faculté des Sciences, Université SAAD DAHLAB de Blida

séquence finie, ou

2012-2013

infiniment répétée, des parties entières des produits obtenus constitue la

représentation de la partie fractionnaire en base B.
Exemples:
Exemples:
(0,625)10=(0,101)2

(0.325)10=(?)2

(0,6)10=(?)2
0.6 * 2 = 1.2 ;
0.2 * 2 = 0.4 ;
0.4 * 2 = 0.8 ;
0.8 * 2 = 1.6 ;
0.6 * 2 = 1.2 ;
0.2 * 2 = 0.4 ;
0.4 * 2 = 0.8 ;
0.8 * 2 = 1.6 ; ………………..
On peut s’arrêter à la première boucle et on
écrit : (0.6)= (0.1001)2 ou bien (0.6)=
6)=

Ainsi, on peut écrire (0.325)
(0.325 10=(0101001)2 ou

(0.10011001)2

bien (0.325)10=(01010011001
01010011001)2.

Au fait, lee nombre de bits après la virgule va déterminer la précision.
précision

I.4.. Conversion d’une base B1 à une base B2
En général, pour passer d’une base B1
B à une autre base B2,, on passe par la base décimale ; L’idée est de
convertir le nombre de la base B1 à la base 10, ensuite
en
convertir le résultat de la base 10 à la base B2
comme indiqué dans la figure suivante :

Exemples
Exemples :
32,4
32,4
S. Aroussi

3

5

3
3

5

3

?
5

17,8

10001,1100
1100 … …


Page 7

1 M.I

Faculté des Sciences, Université SAAD DAHLAB de Blida

2012-2013

Remarque I.2: Cas des bases B et Bk
En particulier, il existe des passages « directe » d’une base B à une base Bk (sans passer de la base
décimale), et vice versa. Le cas le plus courant est celui ou il s’agit de passer d’une représentation binaire
à une représentation octale ou hexadécimale, et vice versa :

I.4.1. Conversion Binaire↔
↔Octal
En octal, chaque symbole de la base s’écrit sur 3 bits en binaire :
Octal
Binaire

0
000

1
001

2
010

3
011

4
100

5
101

6
110

7
111

Pour convertir un nombre en octal au binaire, il suffit de replacer1 chaque symbole octal par sa valeur
en binaire sur 3 bits (faire des éclatements sur 3 bits).
Pour convertir un nombre en binaire à l’octal, on doit, d’abord, faire des regroupements2 de 3 bits à
partir du poids faible, ensuite, remplacer chaque regroupement par la valeur octal correspondante.
Exemples
Exemples :
(37)8 = (011 111)2= (11 111)2
(1254 ,1)8 = (001 010 101 100, 001)2= (1 010 101 100, 001)2
(1000101011)2 = (001 000 101 011)2 = (1053)8
(1111000,01)2 = (001 111 000, 010)2 = (170,2)8

I.4.2 Conversion Binaire↔
↔ Hexadécimal
En Hexadécimal, chaque symbole de la base s’écrit sur 4 bits :
Hexa
Binaire

0
0000

1
0001

2
0010

3
0011

4
0100

5
0101

6
0110

7
0111

8
1000

9
1001

A
1010

B
1011

C
1100

D
1101

E
1110

F
1111

De même que la conversion Binaire↔Octal :
-

Pour convertir un nombre en hexadécimal au binaire, il suffit de replacer chaque symbole
hexadécimal par sa valeur en binaire sur 4 bits (faire des éclatements sur 4 bits).

-

Pour convertir un nombre en binaire à l’hexadécimal, on doit, d’abord, faire des regroupements de
4bits à partir du poids faible, ensuite, remplacer chaque regroupement par la valeur hexadécimal
correspondante.

Exemples
Exemples :
(A2)16 =(1010 0010)2

1
2

Le remplacement se fait de droit à gauche pour la partie entière et de gauche à droite pour la partie fractionnaire.
Le regroupement se fait de droit à gauche pour la partie entière et de gauche à droite pour la partie fractionnaire.

S. Aroussi

Page 8

1 M.I

Faculté des Sciences, Université SAAD DAHLAB de Blida

2012-2013

(A5F,6)16 = (1010 0101 1111, 0110)2
(1000101011)2 = (0010 0010 1011)2 = (22B)16
(1111000,01)2 = (0111 1000, 0100)2 = (78,4)2

Remarque I.3: Conversion d’un grand nombre décimal en binaire
Pour convertir un grand nombre décimal en binaire, il est conseillé de le convertir d’abord en octal ou
en hexadécimal et ensuite de passer au binaire.
Par exemple
exemple : (25693)10 = (110010001011101)2
-

Méthode 1 : Divisions successives par 2

-

Méthode 2 : Soustractions successives
Méthode 3 : Passer d’abord à la base 8

-

15 opérations de divisions
8 opérations de soustractions

(25693)10 = (62135)8 = (110 010 001 011 101)2
Divisions successives par 8
-

5 opérations de divisions

Méthode 4 : Passer d’abord à la base 16
(25693)10 = (645D)16 = (0110 0100 0101 1101)2
Divisions successives par 16

4 opérations de divisions

En général:
Méthodes
Nombre des Opérations
Arithmétiques

Divisions
Successives par 2
Nombre des bits

Soustractions
Successives
Nombre des bits à
1

Divisions
Successives par 8
Nombre des bits
sur 3

Soustractions
Successives par 16
Nombre des bits sur
4

I.5. Opérations Arithmétiques en Binaire
D’une façon générale, les opérations binaires obéissent aux mêmes règles des opérations décimales :
-

Addition Binaire : Tout résultat supérieur à 1 génère un report dans la colonne suivante de poids
immédiatement supérieure.
A + B = 203 + 158 = 361

S. Aroussi

Page 9

1 M.I

Faculté des Sciences, Université SAAD DAHLAB de Blida

2012-2013

-

Soustraction Binaire : Si le chiffre soustrait a une valeur numérique plus faible que celle du chiffre
soustracteur, il y a emprunt au terme soustrait de la colonne de poids supérieur.

-

Multiplication Binaire : Addition successive du multiplicande tel que laa multiplication par 0 entraîne
un résultat égal à 0, et laa multiplication par 1 entraîne la recopie du multiplicande.

-

Division Binaire : Soustraction successive
succes
de diviseur du dividende

S. Aroussi

Page 10

1 M.I

Faculté des Sciences, Université SAAD DAHLAB de Blida

2012-2013

Remarque I.4: Opérations Arithmétiques dans un système de numération à
base quelconque.
Il n’est pas si évident d’effectuer les quatre opérations arithmétiques dans un système de numération à
base B différente de 10 ou 2. Pour cela, si on a deux nombres N1, N2 de base différente B1, B2
respectivement, il est conseillé de les convertir d’abord soit en décimal soit en binaire et ensuite
effectuer l’opération demandé.
Exercice 8 de la Série 1
On a deux nombres A et B représentés sur trois positions comme suite :
A = (a3 a2 a1)5 ;

B = (b3 b2 b1)7

1. Quelles sont les valeurs possibles pour les coefficients ai, bi ?
2. Sachant que A + B = (138)9, A - B = (200)6, Trouver les valeurs des coefficients ai, bi.
3. Transformer A et B en binaire puis calculer A+B, A-B, A * (B/100), A/B.
Solution :
1. ai<5 donc ∈ { 0, 1, 2, 3, 4} ; bi<7 donc . ∈ { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} ;
+ = (138 ( 0
2. /
La somme de ces deux équations, nous donne :
− = (200
2 = (138

+ (200 !!!!!
!!!!! Il faut convertir les deux opérandes en même base pour effectuer
l’opération. Le meilleur choix, est de les convertir en base décimale.
(138 ( = 1 × 9 + 3 × 9 + 8 × 9 = (116
(200 = 2 × 6 + 0 × 6 + 0 × 6 = (72
+ = 116
$%&' ∶ 3
↔ 2 = 116 + 72 ↔ = (94 0
− = 72
$ 5 %ù = 116 − = 116 − 94 = 22
= (94
= (? 0
/
= (22
= (? )
= (334 0
Par la méthode de divisions successives, on trouve : /
;
= (031 )
Par identification : a3 = 3 ; a2 = 3 ; a1 = 4 ; b3 = 0 ; b2 = 3 ; b1 = 1 ;
3.

(

= (94
= (1011110
= (22
= (10110

A 1 10 11 11 11 1 0
+
B 0 0 1 0 1 1 0
= 1 1 1 0 1 0 0

S. Aroussi

A 1 0 1 1 1 1 0
B 0 0 1 0 1 1 0
= 1 0 0 1 0 0 0

Page 11

1 M.I

Faculté des Sciences, Université SAAD DAHLAB de Blida

2012-2013

B
1 0 1 1 0. 0 1 0 0
1 1
1 0 1. 1
1 1 0
1 0. 0

A
*
B/100
=

1

1 0 1,, 1
1 00
0 1
0 0
1 1
0 0
11

+
+
+
=

0 1 1 1 1 0

1
110 0
1
11 0
1
1 0 0 0
0

1
1
0
1
0
1

1
1
0
0
1
1

1
1
0
.
0

1
0
.
.
1,,

0
.
.
.
0

A
B
1 0 1 1 1 1 0, 0 0 1 0 1 1 0
1
1 0 0, 0 0 1
1 1
1 1 10 10 0
- 1 10 11 1 0
0 0 0 1 0
Ainsi de suite ….

S. Aroussi

Page 12

1 M.I

Faculté des Sciences, Université SAAD DAHLAB de Blida

2012-2013

Partie 2 : Représentation Interne des Données
Pour être traité par l’ordinateur, l’information est codée en séquences de bits.
bits L’utilisation du système
binaire est en effet due principalement à la facilité technique liée à sa réalisation:
réalisation
-

Les deux états d’un bit correspond en électronique à l'existence ou non d'une tension (+5V=1 et
0V=0).

-

L’arithmétique
rithmétique binaire peut être réalisée à partir de la logique symbolique (circuits logiques).

De plus, comme
omme la mémoire de l'ordinateur est limitée, la séquence de bit qui représente l’information
l
l'est aussi. Ainsi, quand on parle de représentation interne des données,, on parle généralement de
donnéess.
nombre de bits sur lesquels on doit représenter ces donnée

II.1. Représentation des Entiers
Il existe deux types d’entiers : less entiers non signés (positifs)
(positifs et les entiers signés (positifs ou négatifs).
négatifs
Le problème
roblème consiste à savoir comment indiquer à la machine qu’un nombre est positif ou négatif. En
général, un entier non signé est présenté en machine par son équivalent binaire,
binaire comme nous avons vu
dans la première partie de ce chapitre.
chapitre Par contre, pour présenter les entiers signes, il
i existe plusieurs
méthodes de représentation.. Dans ce cours,
cours nous nous intéressons particulièrement aux méthodes
suivantes:
1. Signe/ Valeur Absolue (SVA
SVA)
SVA)
2. Complément à 1(CA1
CA1)
CA1
CA2)
3. Complément à 2 (CA2
CA2
4. Par excès

II.1.1 Représentation des Entiers Positifs
Soit une séquence de n bits, dans cette méthode, un entier positif est représenté par son équivalent
binaire et les bits non significatifs sont remplacés par des zéros.
Exemples : Sur
ur des séquences de 8 bits:
S. Aroussi

Page 13

1 M.I

8

Faculté des Sciences, Université SAAD DAHLAB de Blida

est représenté par

00001000

138

est représenté par

2012-2013

10001010

II.1.1.1. Evaluation
L'évaluation d'un nombre représenté en binaire se fait par la conversion de la représentation du système
binaire au système décimal (développement polynomial).
II.1.1.2. Intervalle des valeurs
Soient Ng et Np le plus grand et le plus petit nombre qu'on peut représenter sur n bits.
Ng = (1 1 1 1 ......... 1 1 1)2 = ( ?)10
1ère méthode
Ng = (1 * 2n-1 + 1 * 2n-2 + 1 * 2n-3+ 1 * 22 + 1 * 21 + 1* 20)10
Donc N g =

i = n −1

∑ 2i =
i =0

2n − 1
= 2n − 1
2 −1

2ème Méthode
On remarque que Ng + 1 = (1 1 1 1 ......... 1 1 1)2 + 1 = (1 0 0 0 ………0 0 0)2 = 2n
Donc Ng = 2n - 1
Np = (00000 ......... 0000)2 = 0
D'ou la plage des nombres qu'on peut représenter en binaire sur n bits est entre Np et Ng :
70, 28 − 19
Exemple : Sur 3 bits, on obtient :
Valeur
Binaire

Valeur
décimal

000
001
010
011

+0
+1
+2
+3

100
101
110
111

+4
+5
+6
+7

en

Les valeurs sont comprises entre 0 et +7
0 ≤ N ≤ +7
↔ 0 ≤ N ≤ + (8 -1 )
↔ 0 ≤ N ≤ +(23-1 )

II.1.2 Représentation Signe / Valeur Absolue (SVA)
Soit une séquence de n bits, dans cette méthode, un entier est représenté par l'équivalent binaire de sa
valeur absolue sur (n-1) bits et le nième bit représente le signe du nombre. Par convention, le signe positif
est représenté par le bit 0 et le signe négatif est représenté par le bit 1.

S. Aroussi

Page 14

1 M.I

Faculté des Sciences, Université SAAD DAHLAB de Blida

2012-2013

Exemple : Si on travail sur 4 bits.

II.1.2.1. Evaluation
Soit N un nombre décimal tel que A = (a
( n an-1 .... a2 a1)2 est sa représentation SVA sur n bits. L'évaluation
du nombre représenté N se fait en respectant l'algorithme suivant:
suivant
Si an=0 alors (* le nombre est positif *)
N

+ Conversion-Décimal (A)
(A

Sinon (* le nombre est négatif *)
an

0;

N

- Conversion-Décimal (A)

FSI
II.1.2.2.
.2. Intervalle des valeurs
Soient Ng et Np le plus grand et le plus petit nombre qu'on peut représenter sur n bits.
Ng = (0 1 1 1 ......... 1 1 1)SVA = (00 1 1 1 ......... 1 1 1)
1 2 = ( ?)10
1ère méthode
n + 1 * 22 + 1 * 21 + 1* 20)10
Ng = (0 * 2n-1 + 1 * 2n-2 + 1 * 2n-3
Donc N g =

i =n−2

∑ 2i =
i=0

2n −1 − 1
= 2n −1 − 1
2 −1

2ème Méthode
On remarque que Ng + 1 = (00 1 1 1 ......... 1 1 1)
1 2 + 1 = (1 0 0 0 ………0 0 0)2 = 2n-1
Donc Ng = 2n-1 - 1
Np = (11111 ......... 1111)SVA = - (0
( 1 1 1 ......... 1 1 1)2 = - Ng = - (2n-1 – 1)
D'ou
'ou la plage des nombres qu'on peut représenter
représenter en SVA sur n bits est entre Np et Ng :
7" 28
S. Aroussi

" 1 , 28

" 19
Page 15

1 M.I

Faculté des Sciences, Université SAAD DAHLAB de Blida

2012-2013

Exemple : Sur 3 bits, on obtient :
Valeur
SVA

en Valeur
Binaire

000
001
010
011
100
101
110
111

en Valeur
décimal

+ 000
+ 001
+ 010
+ 011
- 100
- 101
- 110
- 111

en

Les valeurs sont comprises entre -3 et +3

+0
+1
+2
+3
-0
-1
-2
-3

-3 ≤ N ≤ +3
- ( 4-1 ) ≤ N ≤ + (4 -1 )
-(22 -1) ≤ N ≤ +(22-1 )
-(2 (3 -1) -1) ≤ N ≤ +(2 (3 -1) -1 )

Symétrie : autant de négatifs

que de positifs
Deux représentations
repré
du zéro 0 : + 0 (000…0000) et -0
- (1000…0000).

II.1.3. Représentation en complément à un (CA1)
Soit une séquence de n bits, dans cette méthode, un entier positif est représenté par son équivalent
binaire sur (n-1) bits le nième bit représente le signe du nombre qui est 0. Un entier négatif est représenté
par son complément à un.
un
On appelle le complément à un d’un nombre N,
N le nombre N’ tel que : N+N’=2n-1 où n est le nombre de
bits dee la représentation du nombre N.
N
Exemple :
Soit N=1010 sur 4 bitss donc son complément à un de N:
N N’= (24 - 1)-N
N’=(16-1)10-(1010)2= (15)10 - (1010)2 = (1111)2 – (1010)2 = 0101 = (5)10
Remarques Importantes :
Pour trouver le complément à un d’un nombre, il suffit :
1. D’abord d’écrire la valeur absolue du nombre (|N|)
(
sur n bits
2. Ensuite d’inverser tous les bits de ce nombre : si le bit est un 0 mettre à sa place un 1 et si c’est
c’e un
1 mettre à sa place un 0.

S. Aroussi

Page 16

1 M.I

Faculté des Sciences, Université SAAD DAHLAB de Blida

2012-2013

Dans cette représentation, le bit du poids fort nous indique le signe du nombre (0 : positif, 1 :
négatif).
Le complément à un du complément à un d’un nombre est égale au nombre lui-même :
CA1(CA1(N))= N
II.1.3.1. Evaluation
Soit N un nombre décimal tel que A = (an an-1 .... a2 a1)2 est sa représentation CA1 sur n bits. L'évaluation
du nombre représenté N se fait en respectant l'algorithme suivant:
Si an=0 alors (* le nombre est positif *)
N

+ Conversion-Décimal (A)

Sinon (* le nombre est négatif *)
A

CA1 (A) ;

N

- Conversion-Décimal (A)

FSI
II.1.3.2. Intervalle des valeurs
Soient Ng et Np le plus grand et le plus petit nombre qu'on peut représenter sur n bits.
Ng = (0 1 1 1 ……. 1 1 1)CA1 = (0 1 1 1 ......... 1 1 1)2 = ( ?)10
On a Ng + 1 = (0 1 1 1 ......... 1 1 1)2 + 1 = (1 0 0 0 ………0 0 0)2 = 2n-1. Donc Ng = 2n-1 - 1
Np = (1 0 0 0 ……….0 0 0)CA1 = - (0 1 1 1 ......... 1 1 1)2 = - Ng = - (2n-1 – 1)
D'ou la plage des nombres qu'on peut représenter en CA1 sur n bits est entre Np et Ng :
7" 28

− 1 , 28

− 19

Exemple : Sur 3 bits, on obtient :
Valeur en CA1 Valeur en binaire Valeur en
décimal

Les valeurs sont comprises entre -3 et +3

000

+ 000

+0

-3 ≤ N ≤ +3

001

+ 001

+1

- ( 4-1 ) ≤ N ≤ + (4 -1 )

010
011

+ 010
+ 011

+2
+3

-(22 -1) ≤ N ≤ +(22-1 )

100

- 011

-3

101

- 010

-2

110

- 001

-1

111

- 000

-0

-(2 (3 -1) -1) ≤ N ≤ +(2 (3 -1) -1 )

Symétrie : autant de négatifs que de positifs.
S. Aroussi

Page 17

1 M.I

Faculté des Sciences, Université SAAD DAHLAB de Blida

2012-2013

Deux représentations du 0 : +0 (000…..0000) et -0 (111…..11111)

II.1.4. Représentation
eprésentation en complément à deux (CA2)
Soit une séquence de n bits, dans cette méthode, un entier positif est représenté par son équivalent
binaire sur (n-1) bits le nième bit représente le signe du nombre qui est 0. Un entier négatif est représenté
par son complément à deux.
deux
On appelle le complément à deux d’un nombre N,
N le nombre N’ tel que : N’=CA1
CA1 (N) + 1
Exemple :
Soit N=1010 sur 4 bits donc CA1(N)=0101 et CA2(N) = CA1(N)+1 = 0101 + 1 = 0110
Remarques Importantes :
Pour trouver le compétemment à deux d’un nombre : il suffit :
1. D’abord d’écrire
écrire la valeur absolue du nombre (|N|) sur n bits
2. Ensuite, de parcourir les bits de ce nombre à partir du poids faible et de garder tous les bits avant
le premier 1 et inverser les autres bits qui viennent après.

Dans cette représentation,, le bit du poids fort nous indique le signe du nombre (0 : positif, 1 :
négatif).
Le complément à deux du complément à deux d’un nombree est égale au nombre lui-même
lui
:
CA2(CA2(N))= N
II.1.4.1. Evaluation
Soit N un nombre décimal tel que A = (a
( n an-1 .... a2 a1)2 est sa représentation CA2
CA sur n bits. L'évaluation
du nombre représenté N se fait en respectant l'algorithme suivant:
suivant
Si an=0 alors (* le nombre est positif *)
N

+ Conversion-Décimal (A)
(A

Sinon (* le nombre est négatif *)
A

CA2 (A) ;

N

- Conversion-Décimal (A)

FSI
S. Aroussi

Page 18

1 M.I

Faculté des Sciences, Université SAAD DAHLAB de Blida

2012-2013

II.1.4.2. Intervalle des valeurs
Soient Ng et Np le plus grand et le plus petit nombre qu'on peut représenter sur n bits.
Ng = (0 1 1 1 ......... 1 1 1)CA2 = (0 1 1 1 ......... 1 1 1)2 = ( ?)10
On a Ng + 1 = (0 1 1 1 ......... 1 1 1)2 + 1 = (1 0 0 0 ………0 0 0)2 = 2n-1. Donc Ng = 2n-1 - 1
Np = (1 0 0 0 ……….0 0 0)CA2 = - (1 0 0 0 ......... 0 0 0)2 = - 2n-1
D'ou la plage des nombres qu'on peut représenter en CA2 sur n bits est entre Np et Ng :
7" 28 , 28

− 19

Exemple : Sur 3 bits, on obtient :
Valeur en CA2 Valeur en binaire Valeur en
décimal
000
+ 000
+0
001
+ 001
+1
010
+ 010
+2
011
+ 011
+3
100
101
110
111

- 100
- 011
- 010
- 001

-4
-3
-2
-1

Les valeurs sont comprises entre -4 et +3
-4 ≤ N ≤ +3
- 4 ≤ N ≤ + (4 -1 )
-22 ≤ N ≤ +(22-1 )
-2 (3 -1) ≤ N ≤ +(2 (3 -1) -1 )

Dissymétrie : plus de négatifs que de positifs
Une seule représentation du zéro

II.1.5. Représentation avec Excès
Soit une séquence de n bits, dans cette méthode, tout nombre N est représenté par l’équivalent binaire
de la caractéristique C tel que : C = N + Excès. L’excès E est choisi de manière à ce que la somme C soit
toujours positive. En général, cette représentation est utilisée pour présenter les exposants des nombres
réels (Norme IEEE 754) avec Excès = 2n-1 -1.
Exemples :
Sur des séquences de 8 bits : 27-1=127
10 est représenté par 10+127= (137)10 = (10001001)2
-10 est représenté par -10+127= (117)10 = (01110101)2
II.1.5.1. Evaluation
L'évaluation d'un nombre représenté avec excès se fait en utilisant la relation suivante: C = N + 2n-1 - 1
↔ N = C - 2n +1

S. Aroussi

Page 19

1 M.I

Faculté des Sciences, Université SAAD DAHLAB de Blida

2012-2013

II.1.5.2. Intervalle des valeurs
Soient Ng et Np le plus grand et le plus petit nombre qu'on peut représenter sur n bits.
Comme la représentation de C se fait en binaire sur n bits, donc : Cg = 2n-1 ; Cp = 0
D'où Cg = Ng + 2n-1 – 1↔ Ng = 2n-1 - 2n-1 + 1 = 2n-1
Cp = Np + 2n-1 -1 ↔ Np = 0 - 2n-1 + 1= - (2n-1 -1)
Exemple : Sur 3 bits, on obtient : C = N + 3

N=C-3

Valeur C en binaire Valeur C en Décimal Valeur N
000
001
010
011

0
1
2
3

-3
-2
-1
-0

100
101
110
111

4
5
6
7

+1
+2
+3
+4

Les valeurs sont comprises entre -3 et +4 :

- (2 (3 -1) - 1) ≤ N ≤ + (2 (3 -1))

Dissymétrie : plus de positifs que de négatifs
Une seule représentation du zéro

II.1.6. Opérations Arithmétiques sur les Nombres Signés
Exemple : Effectuer l’opération suivante : 7 – 6 = 7 + (-6) sur 4 bits
Décimal
(+ 7)
0111
+ (-6)
+ 1110
= (+ 1)
= ?111

SVA

CA1

est la plus facile à lire,
mais le bit de signe doit
être traité de façon
particulière.

0111
+ 1001
=10000
+
1
= 0001
on effectue l'addition du
complément, y compris le
bit de signe, avec report de
la retenue ;

(+ 1)

CA2
0111
+ 1010
= 10001

0001
on effectue une
addition, y
compris le bit de
signe, mais sans
report de la
retenue.

Excès 7
1110
+0001
= 1111
+ 0010
0010
= 0001
On effectue une
addition des
caractéristiques avec la
valeur 2

En effet, avec :
-

SVA : Les opérations arithmétiques sont non aisées
CA1 : Une soustraction se réduit à l'addition de son complément à 1
a – b = a + 2n – b= a + (2n – 1) – b + 1= a + CA1(b) + 1.

S. Aroussi

Page 20

1 M.I


-

2012-2013

Bit de retenue à reporter lors de l'addition

CA2 : Une soustraction se réduit à l'addition de son complément à 2
a – b = a + 2n – b= a + (2n – 1) – b + 1= a + CA1(b) + 1 = a + CA2(b)


-

Faculté des Sciences, Université SAAD DAHLAB de Blida

Pas de report du bit de retenue pour l'addition

Excès 2n-1 - 1
Une addition se réduit à l’addition des deux caractéristiques avec deux.
C1 + C2 = (N1 + 2n-1 - 1) + (N2 + 2n-1 - 1) = N1 + N2 + 2n - 2= N1 + N2 – 2 donc N1 + N2 = C1 + C2 + 2
Une soustraction se réduit à la soustraction des caractéristiques
C1 – C2 = (N1 + 2n-1 -1) – (N2 + 2n-1 -1) = N1 – N2
« La représentation en complément à deux est la représentation la plus utilisée pour la représentation
des entiers négatifs dans la machine ».

II.2. Représentation des Réels
Un nombre réel est constitué de deux parties : la partie entière et la partie fractionnaire (les deux parties
sont séparées par une virgule). Le problème consiste à savoir comment indiquer à la machine la position
de la virgule. Il existe deux méthodes pour représenter les nombre réel :
-

Virgule fixe : la position de la virgule est fixe

-

Virgule flottante : la position de la virgule change (dynamique)

II.2.1. Présentation en Virgule Fixe
Dans cette représentation, la Partie Entière (PE) est représentée sur e bits et la Partie Fractionnaire (PF)
sur f bits, en plus un bit est utilisé pour le signe.
Signe (1 bit) PE (e bits) PF (f bits)
Exemple : si e=3 et f=2 on va avoir les valeurs suivantes :
Valeur en Binaire
Signe PE PF
0
000 00
0
000 01
0
000 10
0
000 11
0
001 00
…… ….. ….

Valeur en Décimal
+ 0,0
+ 0,25
+ 0,5
+ 0,75
+ 1,0
….

Dans cette représentation les valeurs sont
limitées et nous n’avons pas une grande
précision !!!

II.2.2. Présentation en Virgule Flottante
Chaque nombre réel peut s’écrire de la façon suivante :
"1 : × (0, ; ×

<

Où S : Signe (positif = 0, négatif = 1), M : Mantisse, B : Base, E: Exposant.

S. Aroussi

Page 21

1 M.I

Faculté des Sciences, Université SAAD DAHLAB de Blida

2012-2013

Par exemple :
15.6 = + 0.156 * 10+2 = (-1)0 * 0.156 * 10+2
- (110,101)2 = - (0,110101)2 * 2+3 = (-1)1 * (0,110101)2 * 2+3
(0,00101)2= + (0,101)2 * 2-2 = (-1)0 * (0,101)2 * 2-2
II.2.2.1. Représentation Classique
En virgule flottante, le nombre réel est représenté sous sa forme exponentielle sur trois champs.
Signe (1 bit) Exposant (e bits) Mantisse (m bits)
En général, avec la représentation classique, on doit préciser le nombre de bits sur lequel sont codés
l’exposant (e) et la mantisse (m). De plus, l’exposant est un entier signé, ainsi, on doit spécifier la
méthode de représentation utilisée (CA2, Avec Excès,…).
Par exemple :
N = (93,625)10 en virgule flottante sur 24 bits tel que :
1 bit est réservé pour le signe.
7 bits réservés pour l'exposant qui est codé avec excès 63.
12 bits réservés pour la mantisse.
Solution :
1. Conversion de A en binaire : N = 1011101,101
2. Forme exponentielle de N : N = 0,1011101101 x 27


Bit de signe S = 0



Mantisse = 101110110100



Représentation de l’exposant par excès C : C = E + 26 – 1= 7 + 63 = (70)10 = (1000110)2

3. Représentation globale :
En binaire (0 1000110 101110110100)
En hexadécimal (0100 0110 1011 1011 0100)2 = (47BB4)16
II.2.2.2. Représentation Normalisée : Standard IEEE 754 (1985)
Dans cette présentation, le nombre réel peut s’écrire de la façon suivante :
"1 : × (0, ; × 2< = (−1 : × (1, ;8 × 2<
-

S (1 bit) E (e bits) Mn (m bits)
Mn : Mantisse normalisée en base 2 avec un bit caché. En effet, la virgule est placée après le bit à 1
ayant le poids fort, par exemple : 11,01

-

1,101

Mn= 101

E : Exposant codé avec excès 2p-1 -1.

S. Aroussi

Page 22

1 M.I

Faculté des Sciences, Université SAAD DAHLAB de Blida

2012-2013

Le tableau suivant résume les caractéristiques des nombres flottants au standard IEEE

Nombre de bit de Signe (S)
Nombre de bits de l’exposant
(Eb)
Nombre de bits de la mantisse
(Mn)
Codage de l’exposant
Variation de l’exposant
Plus petit nombre
Plus grand nombre
Echelle des nombres décimaux

Simple Précision
32 bits
1
8

Double Précision
64 bits
1
11

23

52

Avec Excès 27 – 1 = 127
-126 à +127
2-126
Environ 2+128
Environ 10-38 à 10+38

Avec Excès 210 – 1 = 1023
-1022 à +1023
2-1022
Environ 2+1024
Environ 10-308 à 10+308

Exemple 1:
Coder le nombre N = (35,5)10 selon la IEEE 754-32 :
1. Conversion de N en binaire : N = 100011.1
2. Forme exponentielle de N : N = 1,000111 x 25


Bit de signe S = 0



Mantisse = 00011100000000000000000



Codage de l’exposant: C = E + 127 = 5 + 127 = 132 = (10000100)2

3. Représentation globale :
En binaire (0 10000100 00011100000000000000000)
En hexadécimal (0100 0010 0000 1110 0000 0000 0000 0000)2 = (420E0000)16
Exemple 2:
Soit la représentation (en hexadécimale) d’un nombre réel sous format IEEE 754-32 : 40F00000. Donner
le nombre décimal correspondant.
1. Représentation globale en binaire
(40F00000)16 = (0100 0000 1111 0000 0000 0000 0000 0000)2
S C
M
0 10000001 11100000000000000000000



Bit de signe S = 0 ⇒ nombre positif



Décodage de l’exposant: E = C - 127 = (10000001)2 - 127 = 129 – 127 = 2



Mantisse = 111

2. Forme exponentielle du nombre: + 1,111 x 22
3. Conversion en Décimal : + 1,111 x 22 = + (111,1)2 = + (7,5)10

S. Aroussi

Page 23

1 M.I

Faculté des Sciences, Université SAAD DAHLAB de Blida

2012-2013

II.3. Représentation des Décimaux
Travailler sur des nombres en binaire naturel est intéressant dans les calculateurs, car ces nombres sont
pondérés. Mais lorsqu’on veut une image rapide de l’équivalent décimal, on est amené à effectuer un
transcodage long et fastidieux. Il est plus commode dans certaines applications, comme par exemple
l’affichage
’affichage en décimal du contenu de compteurs, d’utiliser la représentation BCD. Le BCD (Binary
Coded Decimal, ou Décimal Codé en Binaire en français) est le code décimal le plus utilisé en
électronique. Il contient des mots-code
code qui sont la traduction en binaire naturel (sur 4 bits) de chacun
des dix chiffres du système décimal.
II.3.1.
.1. Codage BCD (Binary Coded Decimal)
En BCD, chaque chiffre décimal est codé individuellement en son équivalent binaire sur 4 bits.
Décimal 0
BCD
0000

1
0001

2
0010

3
0011

4
0100

5
0101

6
0110

7
0111

8
1000

9
1001

Pour convertir un nombre décimal au BCD, il suffit de replacer chaque symbole décimal par sa valeur en
binaire sur 4 bits (faire des éclatements sur 4 bits).
bits
Exemple :
129 = (000100101001)BCD

Pour convertir un nombre en BCD au décimal, on doit, d’abord, faire des regroupements de 4bits à
partir du poids faible, ensuite, remplacer chaque regroupement par la valeur décimal correspondante.
correspondante
Exemple :
(0101 0110 0010)BCD= (562)10
II.3.2.
.2. Codage EXCESS3 (BCD+3)
(BCD+3
En EXCESS3 (lee code à excès de trois),
trois , chaque chiffre décimal est codé individuellement sur 4 bits en
son équivalent binaire additionné à trois, autrement dit, EXCESS3 est égal à BCD+3 :
Décimal 0
BCD
0000
EXCESS3 0011

1
0001
0100

2
0010
0101

3
0011
0110

4
0100
0111

5
0101
1000

6
0110
1001

7
0111
1010

8
1000
1011

9
1001
1100

De même que BCD, pour convertir un nombre décimal au EXCESS 3, il suffit de replacer chaque
symbole décimal par sa valeur en binaire sur 4 bits (faire des éclatements sur 4 bits).
bits

S. Aroussi

Page 24

1 M.I

Faculté des Sciences, Université SAAD DAHLAB de Blida

2012-2013

Exemple :
129 = (010001011100)EXCESS3

Pour convertir un nombre en EXCESS3 au décimal, on doit, d’abord, faire des regroupements de 4bits à
partir du poids faible, ensuite, remplacer chaque regroupement par la valeur décimal correspondante.
correspondante
Exemple :
(0101 0110 0011)EXCESS3= (230)10

II.4.. Représentations des Caractères
Les caractères englobent : les lettres alphabétiques majuscules et minuscules
inuscules (A, a, B, B,..), les chiffres (0,
..9), ponctuation (, . ! …), caractères spéciaux (&, $, %, ….) et les autres symboles ( > , ; / : …. ) . Le
codage le plus utilisé est le ASCII (American Standard Code for Information Interchange).
Interchange) Dans ce
codage chaque caractère
ctère est représenté sur 8 bits, donc on peut avoir 28 = 256 combinaisons. Chaque
combinaison représente un caractère comme le montre la figure suivante :

S. Aroussi

Page 25

1 M.I

Faculté des Sciences, Université SAAD DAHLAB de Blida

2012-2013

Références
Cours d’Architecture des ordinateurs, Ecole nationale Supérieure d’Informatique (ESI), Alger, Année
universitaire 2011/2012.
Cours d’Architecture des ordinateurs (Benali Ahmed), Ecole Préparatoire en Sciences et Techniques
d’Alger (EPSTA), Année universitaire 2011/2012.
Rappel sur les opérations de bases, http://daniel.robert9.pagesperso-orange.fr/Digit/Digit_7TS.html
Cours Architecture des ordinateurs, Pr Clément Joncquet, Université de Monpellier II, Disponible sur
http://cours-examens.org/index.php/etudes-superieures/5-ingeniorat-informatique/402-3-cours-et-92sujets-darchitecture-des-ordinateurs

S. Aroussi

Page 26


Documents similaires


Fichier PDF chapitre 1
Fichier PDF electronique numerique ge fst
Fichier PDF relations binaires et applications
Fichier PDF relations binaires et applications
Fichier PDF numeration prof v1 6
Fichier PDF rattrapage


Sur le même sujet..