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Cycle préparatoire 2ème année

Analyse dans Rn – Notes de cours

Romain Dujol
2013 – 2014

Table des matières
1 Espaces vectoriels normés
1.1 Espace vectoriel normé . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Norme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Espace métrique . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Boule ouverte, boule fermée, sphère .
1.1.4 Voisinage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.5 Partie ouverte, partie fermée . . . . . . .
1.1.6 Intérieur, adhérence . . . . . . . . . . . . .
1.2 Suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Suite convergente . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Valeur d’adhérence et point adhérent
1.2.3 Suite de CAUCHY . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2 Applications continues
2.1 Limite. Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Structure algébrique de l’ensemble des fonctions continues .
2.1.3 Caractérisations séquentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Images de sous-ensembles particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Continuité uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3 Compacité
3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Lien avec les suites . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Lien avec les applications continues . .
Équivalence des normes en dimension finie
Théorème de BOLZANO-WEIERSTRASS . . . . . .

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4 Calcul différentiel
4.1 Dérivée partielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Fonctions de classe C 1 sur un ouvert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.3 Structure algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.4 Inégalité des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 C 1 -difféomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2 Applications : changement de variables et équations aux dérivées partielles
4.4 Fonctions différentiables sur un ouvert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Fonctions implicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Changement de variables en coordonnées polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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5 Calcul différentiel d’ordre supérieur
5.1 Différentiation d’ordre supérieur . . . . . . . . .
5.1.1 Dérivées partielles d’ordre supérieur .
5.1.2 Fonctions de classe C k sur un ouvert
5.1.3 Ordre de dérivation . . . . . . . . . . . . .
5.1.4 C k -difféomorphismes . . . . . . . . . . .
5.2 Extrema de fonctions à valeurs réelles . . . . .
5.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.2 Condition nécessaire d’ordre un . . . .
5.2.3 Conditions d’ordre deux . . . . . . . . . .
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Chapitre 1

Espaces vectoriels normés
Dans ce chapitre, E , F et G désignent des R-espaces vectoriels. En pratique, on aura souvent
E = Rp , F = Rn , p et n désignant deux entiers naturels non nuls.

1.1
1.1.1

Espace vectoriel normé
Norme

Définition 1.1 (Norme). Une norme sur E est une application k · k de E dans R qui vérifie les
trois propriétés suivantes :
1. ∀x ∈ E , (kx k = 0 ⇐⇒ x = 0E )

2. ∀λ ∈ R, ∀x ∈ E , kλx k = |λ| kx k

3. ∀x ∈ E , ∀y ∈ E , kx + y k ≤ kx k + ky k (« inégalité triangulaire »)

Si il existe une telle application, alors le couple (E , k · k) est un espace vectoriel normé.
Remarque. Donc k0E k = 0 et k − x k = | − 1| · kx k = kx k.
Exemple.
• E = Rn est un espace vectoriel normé. Citons trois normes à connaître :
n
X
– ∀x = (x 1 , . . . , x n ) ∈ Rn , kx k1 =
|x i |
– ∀x = (x 1 , . . . , x n ) ∈ Rn , kx k2 =

i =1
s
n
X

x i2 (norme « euclidienne »)

i =1

– ∀x = (x 1 , . . . , x n ) ∈ Rn , kx k∞ = max |x i |
1≤i ≤n

Romain Dujol

3

• E = C ([0, 1], R) l’ensemble des applications continues de [0, 1] dans R est un espace vectoriel normé avec :
Z
1

– ∀ f ∈ C ([0, 1], R), k f k1 =

s0

| f (x )| dx
1

Z
– ∀ f ∈ C ([0, 1], R), k f k2 =

[ f (x )]2 dx
0

– ∀ f ∈ C ([0, 1], R), k f k∞ = max | f (x )|
x ∈[0, 1]

Proposition 1.1. Une norme est toujours positive.
Démonstration. Soit x ∈ E , alors 0 = k0E k = kx + (−x )k ≤ kx k + k − x k = 2kx k. Donc kx k ≥ 0.

Corollaire (Deuxième inégalité triangulaire).

Soit k · k une norme sur E .
Alors pour tous vecteurs x et y de E , kx k − ky k ≤ kx − y k.
Démonstration. On a kx k = k(x − y ) + y k ≤ kx − y k + ky k, donc kx k − ky k ≤ kx − y k

et ky k = k(y − x ) + x k ≤ ky − x k + kx k, donc ky k − kx k ≤ ky − x k = kx − y k


On peut alors conclure que kx k − ky k = max{kx k − ky k, ky k − kx k} ≤ kx − y k.

Définition 1.2 (Normes équivalentes). Soit k · ka et k · kb deux normes sur E .
On dit que k · ka et k · kb sont équivalentes si et seulement si il existe deux réels
strictement positifs α et β tels que
∀x ∈ E , αkx ka ≤ kx kb ≤ β kx ka
Remarque. Les coefficients α et β doivent être indépendants de x .
Proposition 1.2. La relation ainsi définie est une relation d’équivalence sur l’ensemble des normes
sur E .
Exemple. Les trois normes k · k1 , k · k2 et k · k∞ sont équivalentes :

∀x ∈ Rn , kx k∞ ≤ kx k2 ≤ kx k1 ≤ n kx k∞

Théorème 1.1 (Équivalence des normes en dimension finie). Si E est un espace vectoriel
de dimension finie, alors toutes les normes sur E sont équivalentes entre elles.

Démonstration. Voir démonstration en fin de chapitre 3, page 29.

Remarque. Dans le cas de la dimension finie uniquement, toutes les définitions ultérieures
seront donc indépendantes de la norme utilisée et celle-ci sera alors omise.

Romain Dujol

4

1.1.2

Espace métrique

Définition 1.3 (Distance). Soit X un ensemble quelconque. Une distance sur X est une application d de X 2 = X × X dans R qui vérifie les trois propriétés suivantes :

1. ∀x ∈ X , ∀y ∈ X , d (x , y ) = 0 ⇐⇒ x = y
2. ∀x ∈ X , ∀y ∈ X , d (x , y ) = d (y , x )

3. ∀x ∈ X , ∀y ∈ X , ∀z ∈ X , d (x , z ) ≤ d (x , y ) + d (y , z ) ( inégalité triangulaire)

Si il existe une telle application, alors le couple (X , d ) est un espace métrique.
Proposition 1.3. Une distance est toujours positive.

Démonstration. Soit x ∈ E et y ∈ E , alors 0 = d (x , x ) ≤ d (x , y ) + d (y , x ) = 2 d (x , y ). Donc d (x , y ) ≥ 0.

Proposition 1.4 (Distance associée à une norme). Soit k · k une norme sur E .
Alors l’application d :
E2
→ R
est une distance sur E et est appelée distance
(x , y ) 7→ kx − y k
associée à la norme k · k.
Remarque. Toutes les distances sur E ne sont
( pas associées à des normes de E , comme la dis0 si x = y
.
tance δ définie par ∀x ∈ E , ∀y ∈ E , δ(x , y ) =
1 si x 6= y

1.1.3

Boule ouverte, boule fermée, sphère

Définition 1.4 (Boule ouverte. Boule fermée. Sphère).
Soit k · k une norme sur E , a ∈ E et r un réel positif. On définit :

– la boule ouverte de centre a et de rayon r , notée B (a , r ) ou Bo (a , r ) par
B (a , r ) = {x ∈ E , kx − a k < r }
– la boule fermée de centre a et de rayon r , notée B (a , r ) ou B f (a , r ) par
B (a , r ) = {x ∈ E , kx − a k ≤ r }
– la sphère de centre a et de rayon r , notée S (a , r ) par
S(a , r ) = {x ∈ E , kx − a k = r }

On parle de boule unité ou de sphère unité lorsque a = 0E et r = 1.
Remarque. On a évidemment B (a , r ) = B (a , r ) ∪ S(a , r ) de sorte que B (a , r ) et S(a , r ) sont des
sous-parties de B (a , r ).

Romain Dujol

5

ATTENTION. La définition de la boule ou de la sphère change selon la norme utilisée !
Représentez les boules unité de E = R2 pour les trois normes k · k1 , k · k2 et k · k∞ :

1.1.4

Voisinage

Définition 1.5 (Voisinage). Soit k · k une norme sur E , a ∈ E et V une partie de E .
On dit que V est un voisinage de a si et seulement si V contient une boule ouverte de centre a
de rayon non nul, c’est-à-dire si et seulement si
∃r > 0, B (a , r ) ⊂ V
On notera alors V(E , k·k) (a ) — ou V (a ) lorsqu’il n’y a pas d’ambigüité — l’ensemble des voisinages de a pour la norme k · k.
Exemple.

Romain Dujol

6

Proposition 1.5 (Opérations sur les voisinages). Soit k · k une norme sur E et a ∈ E .
1. a est toujours un élément de ses voisinages : ∀V ∈ V(E , k·k) (a ), a ∈ V .

2. Toute réunion de voisinages de a est un voisinage de a .

3. Toute intersection finie de voisinages de a est un voisinage de a .
4. Toute boule (ouverte ou fermée) de centre a et de rayon non nul est un voisinage de a .
Remarque. La proposition 3 ne peut pas s’étendre à une intersection infinie de voisinages.
Exemple. On considère E = R muni de la
valeur absolue.
1
1 1
Pour n ∈ N∗ , on définit Vn = B 0,
= − ,
qui est un voisinage de 0.
n
n n
\
Or
Vn = {0} = B (0, 0) n’est pas un voisinage de 0.
n≥1

Proposition 1.6 (Espace séparé). Tout espace vectoriel normé (E , k · k) est un espace séparé, i.e. :

∀a ∈ E , ∀b ∈ E , (a 6= b ) ⇒ ∃Va ∈ V(E , k·k) (a ), ∃Vb ∈ V(E , k·k) (b ), Va ∩ Vb = ∅
Démonstration. Soit a ∈ E et b ∈ E tels que a 6= b . On note δ = ka − b k =
6 0 et on définit Va = B (a , δ/2) et
Vb = B (b, δ/2). Va est bien un voisinage de a et Vb est bien un voisinage de b .
Supposons par l’absurde que Va ∩ Vb 6= ∅. Alors il existe x ∈ Va ∩ Vb = B (a , δ/2) ∩ B (b, δ/2), c’est-àdire que ka − x k < δ/2 et que kb − x k < δ/2. En utilisant l’inégalité triangulaire, il vient que δ = ka − b k ≤
ka − x k + kx − b k < δ/2 + δ/2 = δ, ce qui est absurde.
On en conclut que Va ∩ Vb = ∅ puis que E est séparé.

Remarque. Un espace non séparé est un objet mathématique très particulier (pour ne pas dire
pathologique) qui ne sera jamais traité : dans un tel espace, une suite convergente pourrait avoir
deux limites distinctes !

1.1.5

Partie ouverte, partie fermée

Définition 1.6 (Partie ouverte). Soit k · k une norme sur E et U une partie de E .
On dit que U est un ouvert de E si et seulement si U est un voisinage de chacun de ses
éléments, c’est-à-dire que
∀x ∈ U , ∃r > 0, B (x , r ) ⊂ U
Par convention, ∅ est un ouvert de E .

Remarque. Le rayon r de la boule est dépendant de x .
Exemple. ]0, 1[ est un ouvert de (R, | · |), mais pas [0, 1[.

Romain Dujol

7

Proposition 1.7 (Opérations sur les ouverts).
1. Une boule ouverte est un ouvert.
2. Toute réunion d’ouverts est un ouvert.
3. Toute intersection finie d’ouverts est un ouvert.
Remarque. La proposition 3 ne peut pas s’étendre à une intersection infinie d’ouverts. (Il suffit
de reprendre l’exemple utilisé pour les voisinages, car ceux-ci sont en fait des ouverts.)
Démonstration. Soit k · k une norme sur E .

1. Soit a ∈ E et r > 0. Soit x ∈ B (a , r ) et δ = ka −x k : alors r −δ > 0. Montrons que B (x , r −δ) ⊂ B (a , r ).
Soit y ∈ B (x , r − δ) : alors ky − x k < r − δ et
ky − a k ≤ ky − x k + kx − a k < (r − δ) + δ = r

Donc y ∈ B (a , r ) et l’inclusion est bien montrée.
On en conclut que B (a , r ) est voisinage de chacun de ses points et que c’est donc un ouvert.
[
2. Soit (Ui )i ∈I une famille d’ouverts et U = Ui .
i ∈I

Soit x ∈ U : alors il existe un indice i de I tel que x ∈ Ui . Comme Ui est un ouvert, c’est un voisinage
de x : donc il existe r > 0 tel que B (x , r ) ⊂ Ui ⊂ U et U est bien un voisinage de x . On en conclut
que U est ouvert.
n
\
3. Soit U1 , . . . , Un des ouverts et U = Ui . Si U est vide, U est un ouvert par convention.
i =1

Soit x ∈ U , alors pour tout i entier entre 1 et n, x ∈ Ui et il existe ri > 0 tel que B (x , ri ) ⊂ Ui (car Ui
est un ouvert).
Soit r = min ri , alors r > 0 et B (x , r ) ⊂ B (x , ri ) ⊂ Ui pour tout entier i entre 1 et n : donc B (x , r ) ⊂ U
1≤i ≤n

et U est bien un voisinage de x . On en conclut que U est ouvert.

Définition 1.7 (Partie fermée). Soit k · k une norme sur E et F une partie de E . On dit que F
est un fermé de E si et seulement si le complémentaire ∁E F de F dans E est un ouvert de E .
Par convention, ∅ est un fermé de E .

Exemple. [0, 1] est un fermé de (R, | · |), mais pas [0, 1[.
Proposition 1.8 (Opérations sur les fermés).
1. Une boule fermée est un fermé.
2. Toute intersection de fermés est un fermé.
3. Toute réunion finie de fermés est un fermé.

Romain Dujol

8

Démonstration. Soit k · k une norme sur E .

1. Soit a ∈ E et r > 0. Soit x ∈ ∁E B (a , r ) = {y ∈ E , ky −a k > r } et δ = ka −x k : alors δ −r > 0. Montrons
que B (x , δ − r ) ⊂ ∁E B (a , r ).
Soit y ∈ B (x , δ − r ) : alors ky − x k < δ − r et
δ = kx − a k ≤ kx − y k + ky − a k < (δ − r ) + ky − a k

Donc ky − a k > δ − (δ − r ) = r et y ∈ ∁E B (a , r ) et l’inclusion est bien montrée.
On en conclut que ∁E B (a , r ) est voisinage de chacun de ses points et que c’est un ouvert, puis que
B (a , r ) est un fermé.
\
2. Soit (Fi )i ∈I une famille de fermés et F = Fi . Alors (∁E Fi )i ∈I est une famille d’ouverts : donc ∁E F =
[

i ∈I

(∁E Fi ) est un ouvert et F est un fermé.

i ∈I

3. Même principe que précédemment.

1.1.6

Intérieur, adhérence

Définition 1.8 (Point intérieur. Intérieur).
Soit k · k une norme sur E , A une partie de E et a ∈ E .
On dit que a est intérieur à A si et seulement si A est un voisinage de a , c’est-à-dire si et
seulement si
∃r > 0, B (a , r ) ⊂ A

L’ensemble des points intérieurs à A est appelé intérieur de A et noté A.


Théorème 1.2 (Caractérisation de A).
L’intérieur de A est le plus grand (au sens de l’inclusion des ensembles) ouvert contenu
⊂ A.
dans A. Notamment A
= A.
A est un ouvert de E si et seulement si A
Remarque. Donc l’intérieur d’une partie est toujours un ouvert.
Exemple.
– Dans R, ]a
,b [ = [a
,b ] = ]a
,b ] = [a
,b [ = ]a ,b [.
– L’intérieur de Q dans R est vide.
Supposons par l’absurde que ce ne soit pas le cas : alors il existe un intervalle ouvert de R
constitué exclusivement de nombres rationnels, ce qui est impossible.
On montre de même que l’intérieur de R\Q est également vide.

Romain Dujol

9

Définition 1.9 (Point adhérent. Adhérence).
Soit k · k une norme sur E , A une partie de E et a ∈ E .
On dit que a est adhérent à A si et seulement si tout voisinage de a rencontre A, c’est-à-dire
si et seulement si
∀V ∈ V(E , k·k) (a ), A ∩ V 6= ∅
L’ensemble des points adhérents à A est appelé adhérence de A ou fermeture de A est noté A.

Théorème 1.3 (Caractérisation de A).
L’adhérence de A est le plus petit (au sens de l’inclusion des ensembles) fermé contenant A.
Notamment A ⊂ A.
A est un fermé de E si et seulement si A = A.

Remarque. Donc l’adhérence d’une partie est toujours un fermé.
Exemple.
– Dans R, ]a ,b [ = [a ,b ] = ]a ,b ] = [a ,b [ = [a ,b ].
– Q = R\Q = R

Définition 1.10 (Partie dense). Soit k · k une norme sur E et A une partie de E .
On dit que A est dense dans E si et seulement si A = E .

Exemple. Q et R\Q sont denses dans R.

Définition 1.11 (Frontière). Soit k · k une norme sur E et A une partie de E et a ∈ E . On appelle
frontière de A, noté Fr A ou ∂A l’ensemble

Fr A = ∂A = A\A

Remarque. On peut montrer que Fr A = A ∩∁E A : c’est-à-dire que la frontière de A est constituée
de l’ensemble des points dont tous les voisinages rencontrent à la fois A et ∁E A.

Romain Dujol

10

1.2

Suites

Définition 1.12 (Suite). Une suite de E est une application de N dans E .
Si x est une suite de E de terme général x n , on note x = (x n )n∈N .

Définition 1.13 (Suite bornée). Soit k · k une norme sur E .
La suite (x n )n∈N de E est bornée si et seulement si la suite numérique réelle (kx n k)n∈N est
bornée, c’est-à-dire si et seulement si
∃M ≥ 0, ∀n ∈ N, kx n k ≤ M
le réel M étant indépendant de n.

1.2.1

Suite convergente

Définition 1.14 (Suite convergente). Soit k · k une norme sur E et ℓ ∈ E .
La suite (x n )n∈N de E converge vers ℓ si et seulement si l’une des trois propriétés équivalentes
est vérifiée :
1. ∀ǫ > 0, ∃N ∈ N, ∀n ≥ N , kx n − ℓk < ǫ

2. ∀ǫ > 0, ∃N ∈ N, ∀n ≥ N , x n ∈ B (ℓ, ǫ)

3. ∀V ∈ V(E , k·k) (ℓ), ∃N ∈ N, ∀n ≥ N , x n ∈ V

On dit alors que ℓ est limite de la suite (x n )n∈N .

Remarque. La propriété 1 est équivalente à lim kx n − ℓk = 0.
n →+∞

Remarque. On peut également formuler la propriété 1 avec une inégalité large, et donc la propriété 2 avec des boules fermées.
Remarque. Si E est un espace vectoriel normé de dimension finie, le caractère convergent ou
non d’une suite est totalement indépendant de la norme. On ne précisera alors pas la norme
utilisée.

Romain Dujol

11

Proposition 1.9. Si une suite (x n )n∈N converge, alors elle admet une unique limite ℓ.
On note alors ℓ = lim x n .
n→+∞

Démonstration. Supposons la suite (x n )n ∈N converge. Supposons par l’absurde qu’elle converge vers
deux éléments ℓ1 et ℓ2 tels que ℓ1 6= ℓ2 .
Comme E est un espace séparé, il existe un voisinage V1 de ℓ1 et V2 un voisinage de ℓ2 tels que
V1 ∩ V2 = ∅. En utilisant la propriété de la limite avec les voisinages (propriété 3 de la définition 1.14 page
précédente), il vient que
∃N 1 ∈ N, ∀n ≥ N 1 , x n ∈ V1

et

∃N 2 ∈ N, ∀n ≥ N 2 , x n ∈ V2

Donc ∀n ≥ max{N 1 , N 2 }, x n ∈ V1 ∩ V2 = ∅, ce qui est absurde. On conclut donc que ℓ1 = ℓ2 et que la limite
d’une suite convergente est unique.

Remarque. Cette propriété n’est pas garantie si E n’est pas séparé (cas qui est en dehors de notre
étude).

Théorème 1.4 (Linéarité de la limite).
Soit k · k une norme sur E , et deux suites convergentes de E (x n )n∈N et (y n )n∈N .
Pour tout λ ∈ R, la suite (x n + λy n )n∈N est convergente et




lim (x n + λy n ) = lim x n + λ lim y n
n→+∞

n→+∞

Proposition 1.10. On suppose ici que E = Rp .
Alors une suite (x n )n∈N = (x n,1 , . . . , x n,p )

n∈N

n→+∞

de E est convergente si et seulement si pour

tout entier i entre 1 et p , chaque suite réelle (x n,i )n∈N converge. Auquel cas,
lim x n = (ℓ1 , . . . , ℓp ) avec ℓi = lim x n,i

n→+∞

n→+∞

Remarque. L’étude de la convergence d’une suite vectorielle se réduit donc à l’étude de la convergence des suites composantes.


1 1 1
3
Exemple. On considère la suite (x n )n≥1 de R telle que pour tout n ≥ 1, x n =
,
,
.
n n2 n3



1
1
1
et (x n,3 )n≥1 =
.
, (x n,2 )n≥1 =
Alors (x n,1 )n≥1 =
2
n n≥1
n n≥1
n 3 n≥1
Ces trois suites numériques convergent respectivement vers ℓ1 = 0, ℓ2 = 0 et ℓ3 = 0.
Donc (x n )n≥1 converge vers ℓ = (ℓ1 , ℓ2 , ℓ3 ) = (0, 0, 0).

Romain Dujol

12

1.2.2

Valeur d’adhérence et point adhérent

Définition 1.15 (Valeur d’adhérence). Soit k · k une norme sur E et (x n )n∈N une suite de E .
On dit que ℓ ∈ E est une valeur d’adhérence de la suite (x n )n ∈N si et seulement si l’une des
trois propriétés équivalentes est vérifiée :
1. il existe une suite extraite de la suite (x n )n∈N qui converge vers ℓ.
2. ∀ǫ > 0, {n ∈ N, kx n − ℓk < ǫ} = {n ∈ N, x n ∈ B (ℓ, ǫ)} est infini
3. ∀V ∈ V(E , k·k) (ℓ), {n ∈ N, x n ∈ V } est infini

Exemple. La suite (x n )n∈N n’est pas nécessairement convergente. Ainsi 1 est une valeur d’ad
hérence dans R de la suite (−1)n n∈N qui n’est pas convergente.
Proposition 1.11 (Valeur d’adhérence d’une suite convergente).
Si une suite (x n )n∈N est convergente, sa limite ℓ est l’unique valeur d’adhérence de la suite.
Démonstration. Remarquons tout d’abord que ℓ est évidemment une valeur d’adhérence.
De plus, si ℓ′ est une autre valeur d’adhérence, alors elle est la limite d’une suite extraite. Or cette
suite extraite converge également vers ℓ comme sous-suite d’une suite convergente. Par unicité de la
limite, on en conclut que ℓ′ = ℓ et que ℓ est l’unique valeur d’adhérence.

ATTENTION. Une suite possédant une seule valeur d’adhérence n’est pas forcément convergente.
En effet, la suite réelle (x n )n∈N définie par x 2n = 2n et x 2n+1 = 1 admet 1 pour seule valeur d’adhérence mais ne converge pas.
Proposition 1.12 (Point adhérent comme valeur d’adhérence).
Soit k · k une norme sur E , A une partie de E et a ∈ E . Alors les trois propositions suivantes
sont équivalentes :
1. a est adhérent à A
2. il existe une suite (x n )n∈N d’éléments de A dont a est une valeur d’adhérence
3. il existe une suite (x n )n∈N d’éléments de A qui converge vers a
Démonstration.
1 ⇒ 3 : Soit a un point adhérent à A. Alors, pour tout entier naturel non nul n,
A ∩ B (a , 1/n) 6= ∅ : on choisit alors x n ∈ A ∩ B (a , 1/n).
On a, par construction, kx n − a k < 1/n : donc lim kx n − a k = 0 et lim x n = a . On en conclut que
n →+∞

n →+∞

(x n )n ∈N est une suite d’éléments de A qui converge vers a .
3 ⇒ 1 : Soit (x n )n ∈N une suite d’éléments de A qui converge vers a .
Soit V un voisinage de a . Alors il existe un entier naturel N tel que pour tout n ≥ N , x n ∈ V . De
plus, x n ∈ A : on en conclut que x n ∈ A ∩ V et que A ∩ V 6= ∅, puis que a est adhérent à A.
2 ⇒ 3 : Il suffit de choisir la suite extraite convergente.
3 ⇒ 2 : La limite d’une suite convergente est une valeur d’adhérence.

Romain Dujol

13

Proposition 1.13 (Caractérisation séquentielle de l’adhérence).
Soit k · k une norme sur E et A une partie de E .
Alors l’adhérence de A est l’ensemble des valeurs d’adhérences de suites d’éléments de A ou
encore l’ensemble des limites de toutes les suites convergentes d’éléments de A.
Corollaire (Caractérisation séquentielle d’un fermé).
Soit k · k une norme sur E et A une partie de E .
A est fermé si et seulement si toute suite d’éléments de A convergente dans E admet une limite
!
dans A.
n
X
1
Exemple. La suite réelle
est une suite d’éléments de Q qui converge vers e ∈
/ Q.
k!
k =0

Donc Q n’est pas un fermé de R.

1.2.3

n∈N

Suite de CAUCHY

Définition 1.16 (Suite de CAUCHY). Soit k · k une norme sur E et (x n )n∈N une suite de E .
On dit que (x n )n∈N est une suite de CAUCHY si et seulement si
∀ǫ > 0, ∃N ∈ N, ∀n ≥ N , ∀p ≥ N , kx n − x p k < ǫ
Proposition 1.14 (Valeur d’adhérence d’une suite de CAUCHY).
Si une suite de CAUCHY admet une valeur d’adhérence, alors elle est convergente (et la valeur
d’adhérence est donc sa limite).
Démonstration. Soit (x n )n ∈N une suite de CAUCHY de E et a une valeur d’adhérence de la suite.
Soit ǫ > 0. Alors il existe N C ∈ N tel que pour tout n ≥ N C et p ≥ N C , on ait kx n − x p k < ǫ/2.
Soit (x ϕ(n ) )n ∈N une suite extraite convergente
vers la valeur d’adhérence a . Alors il existe N 1 ∈ N tel

que pour tout n ≥ N 1 , on ait x ϕ(n ) − a < ǫ/2.
On note N = max{N C , N 1 }. Pour tout n ≥ N , on a ϕ(n) ≥ n ≥ N ≥ N C .
Donc kx n − a k ≤ kx n − x ϕ(n ) k + kx ϕ(n ) − a k < ǫ. On vient de montrer que :
∀ǫ > 0, ∃N ∈ N, ∀n ≥ N , kx n − a k < ǫ
On conclut donc que (x n )n ∈N converge vers la valeur d’adhérence a .

Définition 1.17 (Espace complet. Espace de BANACH).
Un espace vectoriel normé (E , k · k) est dit complet si et seulement si toute suite de CAUCHY
d’éléments de E est convergente.
Un espace vectoriel normé complet est appelé espace de BANACH.
Remarque. Dans un espace complet, le critère de suite de CAUCHY est donc une condition suffisante de convergence.

Romain Dujol

14

Espaces vectoriels normés : Exercices

Exercice 1.1. Dans cet exercice, E = C ([0, 1], R) est l’ensemble des fonctions à valeurs réelles
définies et continues sur [0, 1].
On définit également les applications N ∞ , N 1 et N 2 par
N∞ :

E
f

→ R
7

sup | f (x )|
x ∈[0,1]

,

N1 :

E

→ R
Z1

f

7→

et

N2 = N∞ + N1

f (x ) dx
0

1. Montrer que les applications N ∞ , N 1 et N 2 sont des normes sur E .
2. Montrer que N ∞ et N 2 sont des normes équivalentes.
3. Pour tout entier naturel n , on définit l’application f n : [0, 1] → R .
x
7→ x n
En utilisant la suite d’applications ( f n )n∈N , montrer que N ∞ et N 1 ne sont pas des normes
équivalentes.
4. Montrer que E n’est pas de dimension finie.

Exercice 1.2. Soit n un entier naturel non nul et E = Rn [X ].
On définit les applications k · k : E → R

et N :
P 7→
sup P (k ) (0)
k ∈J0,n K

1. Vérifier que N est bien définie.

E
P

→ R

|P(x )|
7

sup
n
x ∈R 1 + |x |

2. Montrer que k · k et N sont des normes sur E .

3. Montrer qu’il existe un réel strictement positif C tel que
∀P ∈ E , kPk ≤ C · N (P)

Romain Dujol

15

.

Exercice 1.3. Parmi ces applications de R2 dans R, lesquelles sont des distances sur (R, | · |) ?
1. d 1 :

2. d 2 :
3. d 3 :
4. d 4 :
5. d 5 :

R2
→ R
(x , y ) 7→ (x − y )2

R2
→ R
p
|x − y |
(x , y ) 7→
R2
→ R
(x , y ) 7→ |x 2 − y 2 |

R2
→ R
(x , y ) 7→ |x − 2y |
R2

.

→ R

(x , y ) 7→


|x − y |
1 + |x − y |



Indication : On pourra commencer par montrer que : ∀(a ,b, c ) ∈ R3+ , (a ≤ b + c ) =⇒

6. d 6 :
7. d 7 :

R2
→ R
(x , y ) 7→ |x 3 − y 3 |
R2

→ R
(

(x , y ) 7→

e −1/|x −y |
0

si x 6= y

si x = y

Exercice 1.4. Pour chaque sous-ensemble suivant de R2 :
– le représenter graphiquement ;
– dire si c’est un ouvert de R2 , un fermé de R2 , ou ni l’un l’autre.
1. A 1 = {(x , y ) ∈ R2 | 0 ≤ y ≤ x et 0 ≤ x ≤ 3}

2. A 2 = {(x , y ) ∈ R2 | 0 < y < x et 0 < x < 3}




1
2
3. A 3 = (x , y ) ∈ R 0 < x et 0 < y <
x

Romain Dujol

16

a
b
c

+
1+a
1+b 1+c



Chapitre 2

Applications continues
Dans ce chapitre, E , et F désignent des R-espaces vectoriels.

2.1
2.1.1

Limite. Continuité
Définition

Définition 2.1 (Limite d’une fonction en un point).
Soit (E , k · kE ) et (F, k · kF ) deux espaces vectoriels normés et A une partie de E .
Soit f une application de A dans F , a ∈ A et ℓ ∈ F . On dit que f admet ℓ comme limite
lorsque x tend vers a si et seulement si l’une des trois propriétés équivalentes est vérifiée :

1. ∀ǫ > 0, ∃η > 0, ∀x ∈ A, kx − a kE < η ⇒ k f (x ) − ℓkF < ǫ

2. ∀ǫ > 0, ∃η > 0, ∀x ∈ A, x ∈ B E (a , η) ⇒ f (x ) ∈ B F (ℓ, ǫ)

3. ∀VF ∈ V(F, k·kF ) (ℓ), ∃VE ∈ V(E , k·kE ) (a ), x ∈ VE ⇒ f (x ) ∈ VF
On écrit alors ℓ = lim f (x ).
x →a

Remarque. On peut également formuler la propriété 1 avec une inégalité large, et donc la propriété 2 avec des boules fermées.

Remarque. Dans la définition 3, « x ∈ VE ⇒ f (x ) ∈ VF » peut être remplacé par « f (VE ) ⊂ VF ».
Proposition 2.1 (Définition avec des normes équivalentes).
Changer une des deux normes k · kE ou k · kF par une norme équivalente ne change pas le fait
que la limite existe ou non. Si de plus la limite existe, elle reste inchangée.
Remarque. Dans le cas de la dimension finie, l’existence et la valeur éventuelle de lim f (x ) ne
x →a

dépend donc pas de la norme utilisée.

Romain Dujol

17

Proposition 2.2. On suppose que E = Rn et F = Rp .
Alors une application f de E dans F admet ℓ = (ℓ1 , . . . , ℓp ) ∈ F comme limite lorsque x tend
vers a ∈ E si et seulement si pour tout entier i entre 1 et p , la i ème application composante
f i : E → R de f admet ℓi pour limite lorsque x tend vers a .

Définition 2.2 (Application continue en un point, sur une partie).
Soit (E , k · kE ) et (F, k · kF ) deux espaces vectoriels normés et A une partie de E .
Soit f une application de A dans F et a ∈ A. On dit que f est continue en a si et seulement
si f admet f (a ) pour limite lorsque x tend vers a , c’est-à-dire si et seulement si


∀ǫ > 0, ∃η > 0, ∀x ∈ A, kx − a k < η ⇒ k f (x ) − f (a )k < ǫ
f est dite continue sur A si et seulement si elle est continue en tout point de A.

2.1.2

Structure algébrique de l’ensemble des fonctions continues

Théorème 2.1. Soit (E , k · kE ) et (F, k · kF ) deux espaces vectoriels normés et A une partie de
E . L’ensemble des applications de A dans F continues sur A est un sous-espace vectoriel de
l’ensemble des applications de A dans F .
Notamment si f et g sont deux fonctions de A dans F continues sur A, alors pour tout réel
λ, f + λg est une application de A dans F continue sur A.

Proposition 2.3. La composition d’applications continues (lorsqu’elle est définie) est continue.

Théorème 2.2. Soit (E , k · kE ) un espace vectoriel normé et A une partie de E . L’ensemble des
applications de A dans R continues sur A est un sous-algèbre de l’ensemble des applications
de A dans R.
Notamment si f et g sont deux fonctions de A dans R continues sur A, alors f · g est une
application de A dans R continue sur A.

Proposition 2.4. Soit (E , k · kE ) un espace vectoriel normé et A une partie de E .
Si f et g sont deux fonctions de A dans R continues sur A telles que g ne s’annule jamais sur
A, alors f /g est une application de A dans R continue sur A.

Romain Dujol

18

2.1.3

Caractérisations séquentielles

Théorème 2.3 (Caractérisation séquentielle de la limite).
Soit (E , k · kE ) et (F, k · kF ) deux espaces vectoriels normés et A une partie de E .
Soit f une application de A dans F et a ∈ A. Alors f admet une limite ℓ en a si et seule
ment si pour toute suite (x n )n∈N d’éléments de A convergente vers a , la suite f (x n ) n∈N converge vers ℓ.

Démonstration.
– Supposons que f admette une limite ℓ en a . Soit (x n )n ∈N une suite d’éléments de A convergente
vers a .
Soit ǫ > 0, alors il existe η > 0 tel que si kx − a kE < η, alors k f (x ) − ℓkF < ǫ. Pour ce réel η, il existe
un entier naturel N tel que pour tout n ≥ N , kx n −a kE < η : alors pour tout n ≥ N , k f (x n )−ℓkF < ǫ.
On vient de montrer que :
∀ǫ > 0, ∃N ∈ N, ∀n ≥ N , k f (x n ) − ℓk < ǫ

On conclut donc que la suite f (x n ) n ∈N converge vers ℓ.
– On raisonne par contraposée en supposant donc que f n’admet pas ℓ comme limite en a , c’est-àdire :

∃ǫ > 0, ∀η > 0, ∃x ∈ A, kx − a k < η et k f (x ) − ℓk ≥ ǫ
Pour ce réel ǫ, en prenant η = 1/n, on choisit pour tout entier naturel n un élément x n de A tel que
kx n − a k < 1/n et k f (x n ) − ℓk ≥ ǫ
Alors (x n )n ∈N est une suite d’éléments de A qui converge vers a . De plus, comme k f (x n ) − ℓk ≥ ǫ, il

est impossible que la suite f (x n ) n ∈N ait ℓ pour limite (si elle converge).
On en conclut qu’il existe une suite (x n )n ∈N d’éléments de A qui converge vers A telle que la suite

f (x n ) n ∈N ne converge pas vers ℓ, ce qu’il nous fallait.

Corollaire (Caractérisation séquentielle de la continuité).
Soit (E , k · kE ) et (F, k · kF ) deux espaces vectoriels normés et A une partie de E .
Soit f une application de A dans F et a ∈ A. Alors f est continue en a si et seulement si pour

toute suite (x n )n∈N d’éléments de A convergente vers a , la suite f (x n ) n∈N converge vers f (a ).
Démonstration. On applique le théorème précédent avec ℓ = f (a ).

Remarque. Ce corollaire est souvent utilisé pour montrer qu’une applicationo n’est pas continue en un point.

Romain Dujol

19

Exemple. On considère l’application f :

R2

→ R


xy
2 +y2
x
(x , y ) →
7

0


1 1
et la suite (x n )n∈N de A définie par x n =
:
,
n n
1
– kx n − (0, 0)k∞ = −−−→ 0, donc lim x n = (0, 0) ;
n→+∞
n n→+∞


– f (x n ) =

si (x , y ) 6= (0, 0)
si (x , y ) = (0, 0)

1
1/n 2 1
= , donc lim f (x n ) = 6= f (0, 0).
n→+∞
2/n 2 2
2

Alors f n’est pas continue en (0, 0).

2.2

Images de sous-ensembles particuliers

Théorème 2.4 (Images réciproques d’ouvert, de fermé).
1. L’image réciproque d’un ouvert par une application continue est un ouvert.
2. L’image réciproque d’un fermé par une application continue est un fermé.

Démonstration. Soit f une application continue de (E , k · kE ) dans (F, k · kF ).
1. Soit U un ouvert de F .

Soit x ∈ f −1 (U ) : alors f (x ) ∈ U . U étant un ouvert, c’est un voisinage de f (x ). Par continuité de f ,
∃V ∈ V(E , k·kE ) (x ), ∀y ∈ V, f (y ) ∈ U
Donc V ⊂ f −1 (U ). Comme V est un voisinage de x , il vient alors que f −1 (U ) l’est aussi.

On en conclut que f −1 (U ) est voisinage de chacun de ses points et que c’est un ouvert de E .

2. Soit A un fermé de F . On montre aisément que ∁E f −1 (A) = f −1 ∁F A .
Comme A est un fermé de F , ∁F A est un ouvert de F . D’après ce que l’on vient de montrer, ∁E f −1 (A) =

f −1 ∁F A est donc un ouvert de E . On en conclut que ∁E ∁E f −1 (A) = f −1 (A) est un fermé de E .

Romain Dujol

20

2.3

Continuité uniforme

Définition 2.3 (Continuité uniforme).
Soit (E , k · kE ) et (F, k · kF ) deux espaces vectoriels normés et A une partie de E .
Soit f : A 7→ F , a ∈ A. On dit que f est uniformément continue sur A si et seulement si
∀ǫ > 0, ∃η > 0, ∀a ∈ A, ∀x ∈ A, kx − a k < η ⇒ k f (x ) − f (a )k < ǫ



Proposition 2.5. Toute application uniformément continue est continue.
Démonstration. Comparons la continuité sur A et la continuité uniforme sur A :

– continuité uniforme sur A : ∀ǫ > 0, ∃η > 0, ∀a ∈ A, ∀x ∈ A, kx − a k < η ⇒ k f (x ) − f (a )k < ǫ

– continuité
sur A : ∀a ∈ A, ∀ǫ > 0, ∃η > 0, ∀x ∈ A, kx − a k < η ⇒ k f (x ) − f (a )k < ǫ
Autrement dit, les coefficients ǫ et η ne dépendent plus de a lorsque la continuité est uniforme (mais η
dépend toujours de ǫ).

Exemple. Toute application continue n’est pas uniformément continue.
Montrons que l’application f : R → R n’est pas uniformément continue sur R,
x 7→ x 2
c’est-à-dire que

∃ǫ > 0, ∀η > 0, ∃a ∈ A, ∃x ∈ A, |x − a | < η et | f (x ) − f (a )| ≥ ǫ
Prenons ǫ = 1. Soit η > 0, on pose a = 1/η et x = a + η/2. Alors |x − a | = η/2 < η et


‹
‹
η

η2
η
η2
η 2
2

−a =
=1+
≥1=ǫ
2a +
= aη+
| f (x ) − f (a )| = a +
2
2
2
4
2

Définition 2.4 (Application lipschitzienne).
Soit (E , k · kE ) et (F, k · kF ) deux espaces vectoriels normés.
Une application f : E → F est dite lipschitzienne si et seulement si
∃κ ≥ 0, ∀x ∈ E , ∀y ∈ E , k f (x ) − f (y )kF ≤ κkx − y kE
le réel κ étant indépendant de x et y .
Dans un tel cas, on dit que f est κ-lipschitzienne. Si 0 < κ < 1, f est dite contractante.

Remarque. Une application 0-lipschitzienne est une application constante.

Romain Dujol

21

Proposition 2.6. Toute application lipschitzienne est uniformément continue.
Démonstration. Soit f une application κ-lipschitzienne de (E , k · kE ) dans (F, k · kF ). Soit ǫ > 0.
– Si κ = 0, f est constante. Donc pour tout a ∈ E et x ∈ E , k f (x ) − f (a )kF = 0 < ǫ. On en conclut que
f est uniformément continue.
– Si κ 6= 0, alors on pose η = ǫ/κ > 0. Soit a ∈ E et x ∈ E tels que kx − a kE < η. Alors k f (x ) − f (a )kF ≤
κkx − a kE < κη = ǫ. On vient de montrer que :
∀ǫ > 0, ∃η > 0, ∀a ∈ E , ∀x ∈ E , kx − a kE < η ⇒ k f (x ) − f (a )kF < ǫ



On en conclut donc que f est uniformément continue.

Proposition 2.7. Soit k · k une norme sur E . Alors l’application k · k est 1-lipschitzienne de (E , k · k)
dans (R, | · |) (et donc uniformément continue).


Démonstration. On rappelle que pour tous vecteurs x et y de E , on a kx k − ky k ≤ kx − y k.

Définition 2.5 (Isométrie). Soit k · kE une norme sur E et k · kF une norme sur F .
Une application f : E → F est une isométrie de l’espace vectoriel normé (E , k · kE ) dans
l’espace vectoriel normé (F, k · kF ) si et seulement si
∀x ∈ E , ∀y ∈ E , k f (x ) − f (y )kF = kx − y kE

Remarque. Autrement dit, une isométrie conserve les distances.
ATTENTION. Changer de norme — même équivalente — ne conserve pas automatiquement la
propriété d’isométrie.
Remarque. Une isométrie est une application 1-lipschitzienne, donc uniformément continue.

Romain Dujol

22

Applications continues : Exercices
Exercice 2.1.
.
→ R
1+x2 +y 2
sin y
(x , y ) 7→
y
Déterminer si f 1 admet une limite en (0, 0).

1. On considère la fonction f 1 : R × R∗

2. On note D = {(x , y ) ∈ R2 , x 2 −y 2 6= 0} et on considère la fonction f 2 : R2 \D
(x , y )
Déterminer si f 2 admet une limite en (0, 0).

→ R
.
1+x +y
7→
x2 −y 2

Exercice 2.2. Reprendre l’exercice 1.4 du chapitre 1.
Exercice 2.3. On considère la fonction f :

R2

.

→ R


(x , y ) 7→

 |y | e −|y |/x 2
x2

0

si x 6= 0
si x = 0

1. Soit λ un nombre réel et A λ = {(x , λx ), x ∈ R}. On note f λ = f |A λ la restriction de f à A λ .
Calculer la limite de f λ en (0, 0).
2. Soit B = {(x , x 2 ), x ∈ R}. On note g = f |B la restriction de f à B .
Calculer la limite de g en (0, 0).
3. Que peut-on dire de la continuité de f en (0, 0) ?
Exercice 2.4. Pour chacune des fonctions suivantes, étudier sa continuité en (0, 0).
1.

f :

R2

.

→ R


+ y )2

(x
x2 +y 2
(x , y ) →
7

0


2.

f :

R2

→ R


(x , y ) 7→
3.

f :

R2

si (x , y ) = (0, 0)
.

x3 +y 3

si (x , y ) 6= (0, 0)



x2 +y 2

0

si (x , y ) = (0, 0)
.

→ R



(x , y ) 7→

Romain Dujol

si (x , y ) 6= (0, 0)



e

0



y
x

+ yx

2

si x 6= 0 et y 6= 0

sinon

23

Exercice 2.5.
1. Peut-on prolonger f 1 : {(x , y ) ∈ R2 | x y > 0} → R
par continuité en (0, 0) ?
p
1 − cos( x y )
(x , y )
7→
y
2. Peut-on prolonger f 2 : {(x , y ) ∈ R2 | x 6= y } → R
cos x − cos y
(x , y )
7→
x −y

par continuité sur R ?

Exercice 2.6. Trouver les éventuels points de discontinuité des fonctions suivantes.
1.

f :

R2

x +y
2 +y2
x
(x , y ) →
7

0


2.

f :

.

→ R


si (x , y ) 6= (0, 0)
si (x , y ) = (0, 0)

R2
→ R
.
(x , y ) 7→ y sin x

Romain Dujol

24

Chapitre 3

Compacité
Dans ce chapitre, E , et F désignent des R-espaces vectoriels.

3.1

Définition

Définition 3.1 (Recouvrement, recouvrement ouvert). Soit A une partie de E .
[
Une famille (A i )i ∈I de parties de E est un recouvrement de A si et seulement si A ⊂ A i .
i ∈I

Si de plus, pour tout i ∈ I , A i est un ouvert de l’espace vectoriel normé (E , k · k), alors (A i )i ∈I
est un recouvrement ouvert de A.

Définition 3.2 (Partie compacte). Soit k · k une norme sur E et A une partie de E .
On dit que A est un compact de E si et seulement si de tout recouvrement ouvert de A, on
peut extraire un recouvrement fini de A.
Exemple. R n’est pas un compact de lui-même. En effet, (]n − 1, n + 1[)n ∈Z est un recouvrement ouvert
de R, mais aucune sous-famille finie ne peut recouvrir R tout entier.

Proposition 3.1.
1. Tout compact est un fermé.
2. Toute partie fermée d’un compact est elle-même compacte.
Corollaire.
1. Tout compact est borné.
2. Tout espace compact est complet.
Théorème 3.1 (Caractérisation en dimension finie). Soit E un espace vectoriel de dimension finie. Alors A est une partie compacte de E si et seulement si elle est fermée et bornée.

Romain Dujol

25

3.2

Lien avec les suites

Proposition 3.2. Soit (x n )n∈N une suite convergente de E de limite ℓ.
Alors {x n , n ∈ N} ∪ {ℓ} est un compact de E .
Démonstration. On note A = {x n , n ∈ N} ∪ {ℓ}.
Soit (Ui )i ∈I un recouvrement ouvert de A : alors il existe un indice j ∈ I tel que ℓ ∈ U j . Comme U j est
un ouvert, c’est un voisinage de ℓ : donc il existe un entier naturel N tel que pour tout n ≥ N , x n ∈ U j .
Soit k un entier entre 0 et n : alors il existe un indice i k de I tel que x k ∈ Ui k car x k ∈ A. Alors
!
N[
−1
A⊂
Ui k ∪ U j
k =0

qui est un recouvrement fini extrait ouvert de A. On en conclut que A est un compact.

Théorème 3.2 (BOLZANO-WEIERSTRASS). Soit A une partie de E .
A est un compact de E si et seulement si toute suite d’éléments de A admet une valeur
d’adhérence dans A, c’est-à-dire que de toute suite d’éléments de A on peut extraire une soussuite convergente dans A.

Démonstration. Voir en fin de chapitre

3.3

Lien avec les applications continues

Théorème 3.3 (Image directe de compact). L’image d’un compact par une application continue est un compact.

Démonstration. Soit f une application continue de E dans F et A un compact de E .
Soit (Ui )i ∈I un recouvrement[ouvert de f (A).
Si x ∈ A, alors f (x ) ∈ f (A) ⊂ Ui : donc il existe un indice i ∈ I tel que f (x ) ∈ Ui , c’est-à-dire tel que
i ∈I

x ∈ f −1 (Ui ). On vient alors de montrer que A ⊂

[

f −1 (Ui ).

i ∈I

Comme Ui est un ouvert de F pour tout i ∈ I et que f est continue, il vient que f −1 (Ui ) est un ouvert

de E . Donc f −1 (Ui ) i ∈I est un recouvrement ouvert de A. Comme A est compact, il existe U1 , . . . , Un tel
n
[
f −1 (Uk ).
que A ⊂
k =1

Romain Dujol

26

Si y ∈ f (A), alors il existe x ∈ A ⊂

n
[

f −1 (Uk ) tel que y = f (x ) : donc il existe un indice i entre 1 et n

i =1

tel que x ∈ f −1 (Uk ), c’est-à-dire que y = f (x ) ∈ Uk . On vient alors de montrer que f (A) ⊂

n
[

Uk .

k =1

On en conclut que f (A) admet un recouvrement extrait fini puis que f (A) est un compact de F .

Corollaire. Soit k · k une norme sur E et f une application continue de (E , k · k) dans (R, | · |).
Si A est un compact de E , alors f est bornée sur A et f atteint ses bornes.
Démonstration. D’après le théorème précédent, f (A) est un compact donc :
– f (A) est borné, donc il existe M ∈ R tel que pour tout x ∈ A, | f (x )| ≤ M ;
– sup f (A) ∈ f (A) = f (A) : donc il existe x ∈ A tel que f (x ) = sup f (A) ;
– inf f (A) ∈ f (A) = f (A) : donc il existe x ∈ A tel que f (x ) = inf f (A).
On en conclut que f est bornée et atteint ses bornes.

Théorème 3.4 (HEINE).
Toute application continue définie sur un compact y est uniformément continue.

Démonstration. Montrons le résultat par contraposée en supposant que f n’est pas uniformémment
continue, c’est-à-dire que
∃ǫ > 0, ∀η > 0, ∃a ∈ A, ∃x ∈ A, |x − a | < η et | f (x ) − f (a )| ≥ ǫ



Pour le réel ǫ cité, en prenant η = 1/n, on choisit pour tout entier naturel n des éléments a n et x n de a
tels que
kx n − a n k < 1/n et k f (x n ) − f (a n )k ≥ ǫ
Comme (a n )n ∈N est une suite d’éléments de A, qui est un compact, il existe une suite extraite (a ϕ(n ) )n ∈N
qui converge vers ℓ ∈ A (car A est fermé). De plus, pour tout entier naturel n, on a :
kx ϕ(n ) − ℓk ≤ kx ϕ(n ) − a ϕ(n ) k + ka ϕ(n ) − ℓk ≤ ka ϕ(n ) − ℓk + 1/n
Donc lim kx ϕ(n ) − ℓk = 0 et on en déduit que la suite (x ϕ(n ) )n ∈N converge également vers ℓ.
n →+∞

En utilisant l’inégalité triangulaire, on a que pour tout entier naturel n,

ǫ ≤ k f (x ϕ(n ) ) − f (a ϕ(n ) )k ≤ k f (x ϕ(n ) ) − f (ℓ)k + k f (ℓ) − f (a ϕ(n ) )k
Donc, nécessairement, l’un des deux termes est supérieur ou égal à ǫ/2.
On définit la suite (y n )n ∈N de la manière suivante :
(
a ϕ(n ) si k f (a ϕ(n ) ) − f (ℓ)k ≥ ǫ/2
∀n ∈ N, y n =
x ϕ(n ) sinon

Romain Dujol

27

de sorte que ∀n ∈ N, k f (y n ) − f (ℓ)k ≥ ǫ/2. De plus
ky n − ℓk ≤ max{ka ϕ(n ) − ℓk, kx ϕ(n ) − ℓk} −−−→ 0
n →+∞

On en conclut que (y n )n ∈N est une suite qui converge vers ℓ telle que la suite ( f (y n ))n ∈N ne converge
pas vers f (ℓ). Donc f n’est pas continue en ℓ et donc sur A.

Théorème 3.5 (Produit cartésien compact).
Soit (E i )1≤i ≤p des espaces vectoriels normés et A i une partie de E i pour tout i entier entre
1 et p .
p
p
Y
Y
Alors
A i est un compact de
E i si et seulement si pour tout entier i entre 1 et p , A i
i =1

est un compact de E i .

Romain Dujol

i =1

28

Équivalence des normes en dimension finie

Théorème 3.6. Si E est un espace vectoriel de dimension finie, alors toutes les normes sont
équivalentes entre elles.

Démonstration.
– On se place dans le cas particulier E = Rn . On note (e 1 , . . . , e n ) la base canonique de Rn . On rappelle que
n
X
x i e i ∈ Rn , kx k∞ = max |x i |
∀x = (x 1 , . . . , x n ) =
i =1

1≤i ≤n

Soit k · k une norme sur Rn . Montrons qu’elle est équivalente à k · k∞ .
n
X
x i e i ∈ Rn . Alors
• Soit x = (x 1 , . . . , x n ) =
i =1



!

n
n
n
n
n
X
X
X
X
X


kx k =
xi ei ≤
kx i e i k ≤
|x i |ke i k ≤
max |x i | ke i k =
ke i k kx k∞
1≤i ≤n
i =1
i =1
i =1
i =1
i =1
Si on note κ =

n
X
i =1

ke i k > 0, alors ∀x ∈ Rn , kx k ≤ κkx k∞ , d’où
∀x ∈ Rn , ∀y ∈ Rn , |kx k − ky k| ≤ kx − y k ≤ κkx − y k∞

Donc k · k est une application κ-lipschitzienne de (Rn , k · k∞ ) dans (R, | · |), donc continue.
• Soit S = S ∞ (0, 1) = {x ∈ Rn , kx k∞ = 1} la sphère unité de Rn pour la norme k·k∞ : on a S ⊂ B ∞ (0, 1).
Or x = (x 1 , . . . , x n ) ∈ B ∞ (0, 1) ⇐⇒ max |x i | ≤ 1
1≤i ≤n

⇐⇒ |x i | ≤ 1 pour tout 1 ≤ i ≤ n

⇐⇒ x i ∈ [−1, 1] pour tout 1 ≤ i ≤ n

⇐⇒ x ∈ [−1, 1]n
Or [−1, 1] est un compact de (R, | · |), donc B ∞ (0, 1) = [−1, 1]n est un compact de (Rn , k · k∞ ). De
plus S = (k · k∞ )−1 ({1}) est un fermé inclus dans un compact, donc S est un compact de (Rn , k · k∞ ).
Comme k · k est continue de (Rn , k · k∞ ) dans (R, | · |) et que S est un compact de (Rn , k · k∞ ), il vient
que k · k est bornée sur S et atteint ses bornes :
– il existe deux réels m et M , tel que pour tout x ∈ S, on a m ≤ kx k ≤ M ;
– il existe x m ∈ S tel que kx m k = m . Comme kx m k∞ = 1 6= 0, il vient que x m 6= 0Rn puis kx m k =
6 0:
donc m est un réel strictement positif.
Soit x ∈ Rn . Si x = 0, alors m kx k∞ = 0 ≤ 0 = kx k. Sinon, soit x 1 = x /kx k∞ : alors x 1 ∈ S et


x
= kx k , soit m kx k∞ ≤ kx k

m ≤ kx 1 k =
kx k∞ kx k∞

Romain Dujol

29

Donc ∀x ∈ Rn , m kx k∞ ≤ kx k.
Donc k · k et k · k∞ sont équivalentes. Par transitivité de la relation d’équivalence, on en conclut que
toutes les normes sur Rn sont équivalentes entre elles.
– Soit E un espace vectoriel de dimension n. Alors il existe un isomorphisme ϕ (c’est-à-dire une
application linéaire bijective) de Rn dans E . Soit k · ka et k · kb deux normes sur E .
Vérifions que N a : x 7→ kϕ(x )ka est une norme sur Rn :
– soit x ∈ Rn , alors
N a (x ) = 0 ⇐⇒ kϕ(x )ka = 0 ⇐⇒ ϕ(x ) = 0 ⇐⇒ x = 0 (car ϕ est bijective)
– soit x ∈ Rn et λ ∈ R, alors
N a (λx ) = kϕ(λx )ka = kλϕ(x )ka = |λ|kϕ(x )ka = |λ|N a (x )
– soit x ∈ Rn et y ∈ Rn , alors
N a (x + y ) = kϕ(x + y )ka = kϕ(x ) + ϕ(y )ka ≤ kϕ(x )ka + kϕ(y )ka = N a (x ) + N a (y )
On vérifie également que N b : x 7→ kϕ(x )kb est une norme sur Rn .
D’après ce qui précède, N a et N b sont équivalentes. Donc il existe deux réels strictements positifs
α et β tels que
∀x ∈ Rn , αN a (x ) ≤ N b (x ) ≤ β N a (x )
Soit y ∈ E et x = ϕ −1 (y ) ∈ Rn : alors y = ϕ(x ). Donc N a (x ) = kϕ(x )ka = ky ka et N b (x ) = kϕ(x )kb =
ky kb : d’où αky ka ≤ ky kb ≤ β ky ka .
On vient de montrer qu’il existe deux réels strictement positifs α et β tels que
∀y ∈ E , αky ka ≤ ky kb ≤ β ky ka
c’est-à-dire que k · ka et k · kb sont équivalentes.

Romain Dujol

30

Théorème de BOLZANO-WEIERSTRASS

Théorème 3.7 (BOLZANO-WEIERSTRASS). A est un compact de E si et seulement si toute suite
d’éléments de A admet une valeur d’adhérence dans A, c’est-à-dire que de toute suite d’éléments de A on peut extraire une sous-suite convergente dans A.

Démonstration.
– On suppose que A est un compact de E .
Soit (x n )n ∈N une suite d’éléments de A : on suppose par l’absurde qu’elle n’admet aucune valeur
d’adhérence dans A. Donc
∀a ∈ A, ∃ǫa > 0, {n ∈ N, x n ∈ B (a , ǫa )} est fini
Or B (a , ǫa )

est un recouvrement ouvert de A. Comme A est compact, il existe un entier naN
[
B (a k , ǫa k ). Mais :
turel N et N éléments a 1 , . . . , a N de A tels que A ⊂


a ∈A

k =1

• A contient toutes les valeurs de la suite, c’est-à-dire un nombre infini ;
• chaque B (a k , ǫa k ) contient un nombre fini de valeurs de la suite : donc une réunion finie de ces
B (a k , ǫa k ) contient aussi un nombre fini de valeurs de la suite.
On aboutit donc à une contradiction et on conclut que (x n )n ∈N admet une valeur d’adhérence.
– On suppose que toute suite d’éléments de A admet une valeur d’adhérence dans A.
Soit (Ui )i ∈I un recouvrement ouvert de A.
• On va d’abord montrer que
∃r > 0, ∀x ∈ A, ∃i ∈ I , B (x , r ) ⊂ Ui
(r n’est donc pas dépendant de x , mais i l’est).
Raisonnons par l’absurde en supposant que ∀r > 0, ∃x ∈ A, ∀i ∈ I , B (x , r ) 6⊂ Ui .
En prenant r = 1/n, on choisit pour tout entier naturel n un élément x n de A tel que
∀i ∈ I , B (x n , 1/n) 6⊂ Ui . La suite (x n )n ∈N étant une suite d’éléments de A, elle admet une suite
extraite (x ϕ(n ) )n ∈N qui converge vers a ∈ A.
Comme (Ui )i ∈I un recouvrement de A, il existe un indice j de I tel que a
U j est un ouvert, donc c’est un voisinage de a et il existe ǫ > 0 tel que B (a , ǫ) ⊂ U j .

∈ Uj .

Or lim kx ϕ(n ) − a k + 1/n = 0 : donc
n →+∞

∃N ∈ N, ∀n ≥ N , kx ϕ(n ) − a k + 1/ϕ(n) < ǫ
Soit n ≥ N : si y ∈ B (x ϕ(n ) , 1/ϕ(n)), alors
ky − a k ≤ ky − x ϕ(n ) k + kx ϕ(n ) − a k < 1/ϕ(n) + kx ϕ(n ) − a k < ǫ
On vient de montrer que B (x ϕ(n ) , 1/ϕ(n)) ⊂ B (a , ǫ) ⊂ U j , ce qui est impossible par construction
de la suite (x n )n ∈N .
On en conclut donc que ∃r > 0, ∀x ∈ A, ∃i ∈ I , B (x , r ) ⊂ Ui .

Romain Dujol

31

• On montre ensuite qu’il existe un recouvrement fini de A constitué uniquement de boules ouvertes de rayon r .
Raisonnons par l’absurde en supposant qu’un tel recouvrement est impossible. On construit alors
une suite (x n )n ∈N de la manière suivante :
– on choisit x 0 de manière arbitraire dans A ;
– si x 0 , . . . , x n sont définis, alors (B (x i , r ))0≤i ≤n ne peut constituer un recouvrement de A, donc on
n
[
choisit un élément x n +1 dans A\ B (x i , r ).
i =0

La suite ainsi construite est une suite d’éléments de A telle que
∀n ∈ N, ∀p ∈ N, (n 6= p ⇒ kx n − x p k ≥ r )
Or, par hypothèse, il existe une sous-suite (x ϕ(n ) )n ∈N qui converge vers ℓ ∈ A. Donc il existe un
entier naturel N tel que pour tout n ≥ N , kx ϕ(n ) − ℓk < r /2. Donc, si n ≥ N et p ≥ N avec n 6= p , on
a
kx ϕ(n ) − x ϕ(p ) k ≤ kx ϕ(n ) − ℓk + kℓ − x ϕ(p ) k < r
avec
ϕ(n) ≥ n ≥ N ,

ϕ(p ) ≥ p ≥ N

et

ϕ(n) 6= ϕ(p )

ce qui est impossible par construction de la suite (x n )n ∈N .
Donc A admet un recouvrement fini constitué uniquement de boules ouvertes de rayon r .
• Il existe alors un entier naturel m et x 1 , . . . , x m des élements de A tels que
A⊂

m
[

B (x k , r )

k =1

Or pour tout entier naturel k entre 1 et m , il existe un indice i k ∈ I tel que B (x k , r ) ⊂ Ui k . Donc
m
[
Ui k , qui est un recouvrement extrait fini.
A⊂
k =1

On en conclut donc que A est un compact.

Romain Dujol

32

Chapitre 4

Calcul différentiel
Dans ce chapitre, E et F désignent des R-espaces vectoriels normés. En pratique, on aura
souvent E = Rp et F = Rn munis d’une norme quelconque, p et n désignant deux entiers naturels non nuls.

4.1

Dérivée partielle

Définition 4.1 (Dérivée directionnelle).
Soit U un ouvert de E et f une application de U dans F .
Soit a un point de U et v un vecteur non nul de E . On dit que f admet une dérivée première
en a suivant v si et seulement si l’application φv : t 7→ f (a + t v ) est définie au voisinage de 0 et
dérivable en 0.
Auquel cas, on définit la dérivée première de f en a suivant v , notée Dv f (a ), par
Dv f (a ) = φv′ (0) = lim
t →0

f (a + t v ) − f (a )
t

Sauf mention contraire, on suppose que E = Rp dans toute la suite du chapitre.
Définition 4.2 (Dérivée partielle).
Soit U un ouvert de Rp , a un point de U et f une application de U dans F .
Soit j ∈ J1, p K. On dit que f admet une dérivée partielle en a par rapport à la j ème variable
si et seulement si f admet une dérivée première en a suivant le j ème vecteur e j de la base canonique de Rp .
Auquel cas, on définit la dérivée partielle en a par rapport à la j ème variable, notée D j f (a )
∂f
ou
(a ), par D j f (a ) = De j f (a ).
∂xj

Romain Dujol

33

Définition 4.3 (Fonctions dérivées partielles).
Soit U un ouvert de Rp et f une application de U dans F .
Pour tout j ∈ J1, p K, on définit — lorsque c’est possible — la j ème fonction dérivée partielle
∂f
, par D j f : a 7→ D j f (a ).
première, notée D j f ou
∂xj

Proposition 4.1. On suppose ici que F = Rn .
Soit U un ouvert de Rp et f une application de U dans Rn .
Soit j ∈ J1, p K. Alors f admet une dérivée partielle par rapport à la j ème variable si et seulement
pour tout i ∈ J1, n K, la i ème application composante f i : U → R admet une dérivée partielle par
rapport à la j ème variable. Auquel cas :
∀j ∈ J1, p K, D j f (a ) = D j f 1 (a ), . . . , D j f p (a )

4.2
4.2.1



Fonctions de classe C 1 sur un ouvert
Définition

Définition 4.4 (Fonction de classe C 1 ).
Soit U un ouvert de Rp et f une application de U dans F .
Alors f est dite de classe C 1 sur U si et seulement si toutes les fonctions dérivées partielles
premières de f sont définies et continues sur U .

Proposition 4.2 (Développement limité à l’ordre un).
Soit U un ouvert de Rp et f une application de U dans F de classe C 1 sur U . On munit Rp
d’une norme k · k.
Soit a un point de U et U0 = {h ∈ Rp , a + h ∈ U }. Alors il existe une application ǫ : U0 → F
telle que lim ǫ(h) = 0 et :
p
h→0Rp
X
∀h = (h 1 , . . . , h p ) ∈ U0 , f (a + h) = f (a ) +
h j · D j f (a ) + khkǫ(h)
j =1

Cette dernière relation est appelée développement limité de f à l’ordre un en a .
Corollaire. Soit U un ouvert de Rp et f une application de U dans F .
Si f est de classe C 1 sur U , alors f est continue sur U .

Romain Dujol

34

Démonstration. Si f est de classe C 1 sur U , alors elle admet un développement limité à l’ordre un en
tout point a de U :
∀h = (h 1 , . . . , h p ) ∈ U0 , f (a + h) = f (a ) +

Alors k f (a + h) − f (a )kF ≤

p
X
j =1
p
X



j =1

p
X
j =1

h j · D j f (a ) + khkǫ(h)

|h j | · kD j f (a )k + khk · kǫ(h)kF
khk∞ kD j f (a )k + khk · kǫ(h)kF = khk∞

p
X
j =1

kD j f (a )k + khk · kǫ(h)kF

Or lim khk∞ = lim khk·kǫ(h)kF = 0. Par encadrement des limites, il vient que lim k f (a +h)− f (a )kF = 0,
h→0

h→0

h→0

puis que lim f (a + h) = f (a ).
h→0

On conclut que f est continue en a , puis qu’elle est continue sur U .

4.2.2

Différentielle

Définition 4.5 (Différentielle).
Soit U un ouvert de Rp et f une application de U dans F de classe C 1 sur U .
On définit la différentielle de f en a , notée d f (a ), l’application
d f (a ) :

Rp



h = (h 1 , . . . , h p ) 7→

F
p
X
j =1

h j · D j f (a )

Remarque. Pour tout point a de U , l’application d f (a ) est linéaire.
Remarque. On peut donc réécrire le développement limité d’une application de classe C 1 :
f (a + h) = f (a ) + d f (a )[h] + khkǫ(h)

Théorème 4.1. Soit U un ouvert de Rp et f une application de U dans F .
Alors f est de classe C 1 sur U si et seulement si l’application d f : U
a
est continue.

Romain Dujol

→ L (Rp , F )
7→ d f (a )

35

Proposition 4.3 (Différentielle d’une application linéaire).
Toute application ϕ linéaire de Rp dans F est de classe C 1 sur Rp . De plus :
∀a ∈ Rp , dϕ(a ) = ϕ
Démonstration. Soit j ∈ J1, p K et e i le i ème vecteur de la base canonique de Rp . Alors :

‹
ϕ(a + t e i ) − ϕ(a ) ϕ(a + t e i − a )
a + t ei − a
=

= ϕ(e i )
t
t
t
Donc ϕ admet des derivées partielles premières par rapport à toutes les variables.
De plus, pour tout j ∈ J1, p K, D j ϕ : a 7→ ϕ(e i ) est constante, donc continue sur Rp .
On en déduit que ϕ est de classe C 1 sur Rp et que pour tout point a de Rp :
∀h ∈ Rp , dϕ(a )[h] =

p
X

h j D j ϕ(a ) =

p
X

h j ϕ(e j ) = ϕ(h)

j =1

j =1

c’est-à-dire dϕ(a ) = ϕ.

Définition 4.6. Pour tout entier j entre 1 et p , on définit la j ème projection canonique,
notée π j , par π j :
Rp
→ R .
x = (x 1 , . . . , x p ) 7→ x j

Remarque. En remarquant que dπ j (h) = π j (h) = h j , il vient que
d f (a )[h] =

p
X
j =1

h j · D j f (a ) =

p
X
j =1

D j f (a ) · dπ j (h)

Si on note abusivement dx j = dπ j , il vient que :
d f (a ) =

p
X
j =1

D j f (a ) · dπ j =

p
X
j =1

D j f (a ) · dx j

Définition 4.7. On suppose ici que F = Rn .
Soit U un ouvert de Rp et f une application de U dans Rn .
On définit la matrice jacobienne de f en a , notée J f (a ), la matrice à n lignes et p colonnes
de d f (a ) relativement aux bases canoniques de Rn et Rp .
Si n = p , on appelle jacobien de f en a le déterminant de la matrice jacobienne J f (a ) de f
en a .

Romain Dujol

36

ème application comProposition 4.4. Avec les notations précédentes,
en notant f i : U

 → R la i
∂ f1
∂ f1
(a ) · · ·
(a )

Œ
‚
 ∂ x1

∂ xp


∂ fi
..
..
.

.
.
=
(a )
posante de f , J f (a ) =
.
.
.

∂xj
1≤i ≤n


1≤j ≤p
 ∂ f n (a ) · · · ∂ f n (a )
∂ x1
∂ xp

Définition 4.8 (Gradient). On suppose ici que F = R.
Soit U un ouvert de Rp et f une application de classe C 1 de U dans R.
−−→
Pour tout point a de U , on définit le gradient de f en a , noté grad ( f )(a ), par

∂f
(a
)

 ∂x

 1
−−→


.
t
.
grad ( f )(a ) = J f (a ) = 

.



 ∂f
(a )
∂ xp


4.2.3

Structure algébrique

Théorème 4.2. Soit U un ouvert de Rp .
L’ensemble des applications de classe C 1 sur U est un sous-espace vectoriel de l’ensemble
des applications continues sur U .
Notamment, si f et g sont de classe C 1 sur U , alors pour tout réel λ, f + λg est de classe
1
C sur U .

Théorème 4.3. On suppose ici que F = Rn .
Soit U un ouvert de Rp et f une application de classe C 1 de U dans Rq .
Soit V un ouvert de Rq et g une application de classe C 1 de V dans Rn .
Si f (U ) ⊂ V , alors g ◦ f est de classe C 1 sur U et
∀a ∈ U , d(g ◦ f )(a ) = dg ( f (a )) ◦ d f (a )
J g ◦ f (a ) = J g ( f (a )) · J f (a )

Romain Dujol

37

4.2.4

Inégalité des accroissements finis

Théorème 4.4 (Inégalité des accroissements finis). On suppose ici que F = R.
Soit U un ouvert de Rp et f une application de U dans R de classe C 1 sur U .
Soit a et b deux points de U tels que [a ,b ] = {(1 − λ)a + λb, λ ∈ [0, 1]} ⊂ U .
Si il existe un réel M tel que

p


X
∂f

−−→


≤M
∀x ∈ [a ,b ], grad ( f )(x ) =
(x
)
∂x

1
j
j =1
alors | f (b ) − f (a )| ≤ M kb − a k∞ .

Définition 4.9 (Partie convexe). Soit E un espace vectoriel quelconque.
Une partie C de E est dite convexe si et seulement si :
∀(x , y ) ∈ C 2 , ∀λ ∈ [0, 1], (1 − λ)x + λy ∈ C
Remarque. Une partie C est convexe si et seulement si tout segment dont les extrêmités sont
dans C est entièrement inclus dans C .
Corollaire (Cas d’un ouvert convexe). On suppose ici que F = R.
Soit U un ouvert convexe de Rp et f une application de U dans R de classe C 1 sur U .

p


X
∂f


−−→

(a ) ≤ M ,
Si il existe un réel M tel que pour tout point a de U on a grad ( f )(a ) =

∂xj
1
j =1
alors f est M -lipschitzienne sur U .
Corollaire (Cas de l’adhérence d’un ouvert convexe). On suppose ici que F = R.
Soit U un ouvert convexe de Rp et f une application de U dans R continue sur U et de classe
1
C sur U .

p


X
∂f

−−→


(a ) ≤ M ,
Si il existe un réel M tel que pour tout point a de U on a grad ( f )(a ) =

∂xj
1
j =1
alors f est M -lipschitzienne sur U .
Remarque. Compte tenu de l’équivalence des normes sur Rp , l’inégalité des accroissements
finis et ses corollaires peuvent être étendus à n’importe quelle norme définie sur Rp .

Romain Dujol

38

Corollaire (Caractérisation d’une application constante sur un ouvert convexe).
On suppose ici que F = R.
Soit U un ouvert convexe de Rp et f une application de U dans R de classe C 1 sur U .
−−→
Alors f est constante sur U si et seulement si grad ( f ) est nul sur U , c’est-à-dire :
∀j ∈ J1, p K, ∀a ∈ U ,

4.3
4.3.1

∂f
(a ) = 0
∂xj

C 1 -difféomorphismes
Définition

Définition 4.10 (C 1 -difféomorphisme). On suppose ici que F = Rn .
Soit U un ouvert de Rp et V un ouvert de Rn . Une application φ de U dans V est un C 1 difféomorphisme de U sur V si et seulement si les propriétés suivantes sont vérifiées :
1. φ est de classe C 1 sur U ;

2. φ réalise une bijection de U dans V ;
3. φ −1 est de classe C 1 sur V .

Remarque. Si ϕ est une application linéaire bijective de Rp dans Rn , alors φ : U
x
est un C 1 -difféomorphisme de U sur ϕ(U ).
Exemple. φ :

→ ϕ(U )
7→ φ(x )

R2
→ R2
est un C 1 -difféomorphisme de R2 sur R2 .
(x , y ) 7→ (x + y , x − y )

Proposition 4.5. On suppose ici que F = Rn .
Soit U un ouvert de Rp et V un ouvert de Rn . Si l’application φ de U dans V est un C 1 difféomorphisme de U sur V , alors p = n .
De plus, pour tout point a de U , dφ(a ) est une application linéaire bijective de Rp dans Rn et

[dφ(a )]−1 = d(φ −1 ) φ(a ) .

Théorème 4.5 (Théorème de l’inverse local). On suppose ici que F = Rn .
Soit U un ouvert de Rp et φ une application de U dans Rn de classe C 1 sur U .
Si a est un point de U tel que dφ(a ) est une application linéaire bijective de Rp dans
n
R , alors p = n et il existe un voisinage V de a ouvert dans E tel que φ soit un C 1 diff´’eomorphisme de V sur φ(V ).

Romain Dujol

39

Corollaire (Caractérisation rapide d’un C 1 -difféomorphisme). On suppose ici que F = Rn .
Soit U un ouvert de Rp et V un ouvert de Rn . Si l’application φ de U dans V vérifie les trois
propriétés suivantes :
1. φ est de classe C 1 sur U ;

2. φ réalise une bijection de U dans V ;
3. pour tout point a de U , dφ(a ) est une application linéaire bijective de Rp dans Rn ;
alors p = n et φ est un C 1 -difféomorphisme de U sur V .
Remarque. Il est donc possible d’établir que φ est un C 1 -difféomorphisme sans effectivement
évaluer φ −1 .
Remarque. Si φ est une application affine bijective de Rn dans lui-même, alors φ est une C 1 difféomorphisme de Rn sur lui-même.
~ qui est bijective. Ici φ
~ est la partie linéaire de φ
En effet, pour tout point a de Rn , dφ(a ) = φ
~
définie par φ = φ − φ(0).
Exemple. φ :

R2
→ R2
est un C 1 -difféomorphisme de R2 sur R2 .
(x , y ) 7→ (3 + x + y , 2 + x − y )

Exemple (Passage en coordonnées
sphériques).
•
˜
π π

et V = R3 \(R− × {0} × R) et l’application
Soit U = R+ ×] − π, π[× − ,
2 2
F:

U
→ V
(ρ, θ , ϕ) 7→ (ρ cos θ cos ϕ, ρ sin θ cos ϕ, ρ sin ϕ)

On montre que F est bijective et de classe C 1 sur U . De plus, pour tout (ρ, θ , ϕ) ∈ U , on a :


cos θ cos ϕ −ρ sin θ cos ϕ −ρ cos θ sin ϕ


det dF (ρ, θ , ϕ) = det J F (ρ, θ , ϕ) = sin θ cos ϕ ρ cos θ cos ϕ −ρ sin θ sin ϕ = ρ 2 cos ϕ 6= 0

sin ϕ
0
ρ cos ϕ
Donc pour tout (ρ, θ , ϕ) de U , det dF (ρ, θ , ϕ) 6= 0, c’est-à-dire que dF (ρ, θ , ϕ) est bijective.
On conclut que F est un C 1 -difféomorphisme de U sur V .
Exercice. On considère l’application φ :

R3
→ R3
.
(x , y , z ) 7→ (x + y 2 , y + z 2 , z + x 2 )

1. Montrer qu’il existe un voisinage U ouvert de (1, 1, 1) et un voisinage V ouvert de (2, 2, 2)
tel que φ(U ) = V et que φ1 :
U
→ V
soit un C 1 -difféomorphisme de U
(x , y , z ) 7→ φ(x , y , z )
sur V .
2. Calculer la matrice jacobienne de φ −1 en (2, 2, 2) sans calculer φ −1 .

Romain Dujol

40

Exercice.
1. Montrer que φ :
même.
2. Montrer que φ :
lui-même.

R2
→ R2
est un C 1 -difféomorphisme de R2 sur lui(x , y ) 7→ (e x − e y , x + y )
R2
→ R2
est un C 1 -difféomorphisme de R2 sur
(x , y ) 7→ (x 3 + 3x e y , y − x 2 )

Exercice. On considère l’application φ :
1. Montrer que φ n’est pas injective.

R2
→ R2
.
x
x
(x , y ) 7→ (e cos y , e sin y )

2. Montrer que pour tout point (x , y ) de R2 , il existe un voisinage U ouvert de (x , y ) tel que φ|U
est injective.
Remarque. On dit alors que φ est localement injective.

4.3.2

Applications : changement de variables et équations aux dérivées partielles

Exercice. Trouver toutes les applications f de R2 dans R de classe C 1 sur R2 telles que :
∀(x , y ) ∈ R2 , 2

∂f
∂f
(x , y ) −
(x , y ) = x 2 y
∂x
∂y

On utilisera le changement de variables (X , Y ) = (x , x + 2y ).

4.4

Fonctions différentiables sur un ouvert

Définition 4.11 (Fonction différentiable).
Soit E est un espace vectoriel normé quelconque, U un ouvert de E et f une application de
U dans F .
Soit a un point de U et U0 = {h ∈ Rp , a + h ∈ U }. On dit que f est différentiable en a si et
seulement si il existe une application linéaire ℓ de E dans F et une application ǫ : U0 → F telles
que :
1. lim ǫ(h) = 0 ;
h→0E

2. ∀h ∈ U0 , f (a + h) = f (a ) + ℓ(h) + khkǫ(h).

On dit que f est différentiable sur U si et seulement si f est différentiable en tout point de U .

Romain Dujol

41

Proposition 4.6.
Soit E est un espace vectoriel normé quelconque, U un ouvert de E et f une application de U
dans F . Si f est différentiable en un point a de U , alors :
1. f est continue en a ;
2. f admet une dérivée première en a suivant tout vecteur non nul v .
Démonstration.
1. On reprend la démonstration du corollaire 6 page 34.
|t |
f (a + t v ) − f (a ) ℓ(t v ) + kt v kǫ(t v )
=
= ℓ(v ) + kv kǫ(t v ).
2. Soit v un vecteur non nul de E , alors
t
t
t
Or lim(t v ) = 0E , donc lim ǫ(t v ) = lim ǫ(h) = 0.
t →0

t →0

h→0E

|t |
f (a + t v ) − f (a )
|t |
= ℓ(v ).
De plus t 7→ kv k est borée, donc lim kv kǫ(t v ) = 0 et lim
t →0 t
t →0
t
t
On en déduit que f admet une dérivée première en a suivant v et que Dv f (a ) = ℓ(v ).

Théorème 4.6 (Unicité de l’application linéaire tangente).
Soit E est un espace vectoriel normé quelconque.
Soit U un ouvert de E , a un point de U et f une application de U dans F . Si f est différentiable en a , alors l’application ℓ définie précédemment est unique. L’application linéaire ℓ est
alors appelée application linéaire tangente à f en a et notée Ta f .

Démonstration. Supposons qu’il existe deux applications linéaires ℓ1 et ℓ2 ainsi que deux applications ǫ1
et ǫ2 telles que :
lim ǫ1 (h) = 0

et

∀h ∈ U0 , f (a + h) = f (a ) + ℓ1 (h) + khkǫ1 (h)

lim ǫ2 (h) = 0

et

∀h ∈ U0 , f (a + h) = f (a ) + ℓ2 (h) + khkǫ2 (h)

h→0E
h→0E

Alors ∀h ∈ U0 , 0 = (ℓ1 − ℓ2 )(h) + khk(ǫ1 − ǫ2 )(h).
Comme U est ouvert, il existe r > 0 tel que B (a , r ) ⊂ U . Soit h 0 ∈ B (0E , r ) et x 0 = a + h 0 : alors
x 0 = a + h 0 ∈ B (a , r ) ⊂ U et h 0 ∈ U0 . De plus kh 0 k < r , donc pour tout t ∈ [0, 1], k(a + t h 0 ) − a k = kt h 0 k =
t kh 0 k < r : il vient alors que a + t h 0 ∈ B (a , r ) ⊂ U puis que t h 0 ∈ U0 .
Donc pour tout t ∈ [0, 1], 0 = (ℓ1 − ℓ2 )(t h 0 ) + kt h 0 k(ǫ1 − ǫ2 )(t h 0 ) = t (ℓ1 − ℓ2 )(h 0 ) + t kh 0 k(ǫ1 − ǫ2 )(t h 0 ).
En simplifiant par t , il vient que 0 = (ℓ1 − ℓ2 )(h 0 ) + kh 0 k(ǫ1 − ǫ2 )(t h 0 )
Comme lim(t h 0 ) = 0E , il vient que lim ǫ1 (t h 0 ) = lim ǫ1 (h) = 0. De même, lim ǫ1 (t h 0 ) = 0 : en passant
t →0

t →0

h→0E

t →0

à la limite lorsque t tend vers 0, il vient que 0 = (ℓ1 − ℓ2 )(h 0 ) et ce, pour tout point h 0 de B (0E , r ).

Romain Dujol

42

Soit h ∈ E . Si h = 0, alors h ∈ B (0E , r ) et (ℓ1 − ℓ2 )(0) = 0.




r h
2khk ˜
˜ = r · h = r · khk = r < r .
Si h 6= 0, on note h˜ = ·
. Alors h =
· h et khk

2 khk
r
2 khk 2 khk 2

2khk ˜
2khk
˜ = 0.
Donc (ℓ1 − ℓ2 )(h) = (ℓ1 − ℓ2 )
·h =
· (ℓ1 − ℓ2 )(h)
r
r
On en déduit que ℓ1 − ℓ2 est l’application linéaire nulle, puis que ℓ1 = ℓ2 . On conclut donc à l’unicité
de la différentielle.

Corollaire. Soit U un ouvert de Rp et f une application de U dans F .
Si f est différentiable en a , alors elle admet des dérivées partielles premières par rapport à
toutes les variables et l’application linéaire tangente à f en a est
Ta f :

Rp



h = (h 1 , . . . , h p ) 7→

F
p
X
j =1

h j · D j f (a )

Remarque. Il existe des applications admettant des dérivées partielles par rapport à toutes les
variables en un point sans qu’elles n’y soient différentiables (voire même continues !).
Exemple. On considère l’application f :

R2

→ R
(

(x , y ) 7→

. Alors :
0
1

si x y 6= 0

si x y = 0

f (t , 0) − f (0, 0) 1 − 1
=
= 0 : donc D1 f (0, 0) = lim 0 = 0 ;
t →0
t
t
f (0, t ) − f (0, 0) 1 − 1
=
= 0 : donc D2 f (0, 0) = lim 0 = 0 ;
– on a
t →0
t
t


1 1
1 1
– on a lim f
,
,
= 0 6= 1 = f (0, 0) : comme lim
= (0, 0), il vient que f n’est
n→+∞
n→+∞ n n
n n
pas continue en 0, donc pas différentiable en 0.

– on a

Théorème 4.7. Soit U un ouvert de Rp et f une application de U dans F .
Si f admet des dérivées premières par rapport à toutes les variables en tout point de U et
qu’elles sont continues en a ∈ U , alors f est différentiable en a .

Proposition 4.7 (Lien avec la différentielle).
Soit U un ouvert de Rp et f une application de U dans F .
Si f est dite C 1 sur U , alors elle est différentiable sur U et d f (a ) = Ta f pour tout point a de U .
Remarque. Le terme différentielle désignera désormais aussi bien la différentielle d’une application de classe C 1 que l’application linéaire tangente d’une application différentiable.
La notation d f (a ) sera donc privilégiée par rapport à la notation Ta f .

Romain Dujol

43

4.5

Fonctions implicites

Théorème 4.8 (Théorème des fonctions implicites). Soit W un ouvert de Rp ×Rn , (a ,b ) un
point de W et f une application de W dans Rn telle que :
1. f (a ,b ) = 0 ;
2. f est de classe C 1 sur W ;


∂ f1
∂ f1
(a ,b ) · · ·
(a ,b )


 ∂ x p +1
∂ x p +n


.
.
.
 est inversible où f i : W → R est la
..
..
..
3. la matrice 



 ∂f

f
n
n

(a ,b ) · · ·
(a ,b )
∂ x p +1
∂ x p +n
i ème application composante de f ;
alors :
1. il existe un voisinage U ouvert de a et un voisinage V ouvert de b tels que U × V ⊂ W ;

2. il existe une unique application ϕ de U dans V de classe C 1 sur U telle que

∀x ∈ U , f x , ϕ(x ) = 0

De plus il existe un voisinage U ′ de a inclus dans U tel que pour tout point x de U ′ , on ait :
∂ f1

 ∂ x p +1

J ϕ (x ) = 

 ∂f
n

∂ x p +1


x , ϕ(x )



..
.
x , ϕ(x )

···
..



.

···

−1 


∂ f1
∂ f1
x , ϕ(x )  
x , ϕ(x )
  ∂ x1
∂ x p +n
 
..
..
 
.
.
 
∂ f


∂ fn
n


x , ϕ(x )
x , ϕ(x )
∂ x p +n
∂ x1

···
..

.

···



∂ f1
x , ϕ(x ) 

∂ xp

..

.


∂ fn
x , ϕ(x ) 
∂ xp

Exercice.
1. Montrer que la relation ln(1 + x + y ) − x 2 + y 3 = 0 définit implicitement y en fonction de y
au voisinage de (0, 0).
2. Déterminer le développement limité à l’ordre deux de la fonction φ : x 7→ y au voisinage
de 0.

Romain Dujol

44

Calcul différentiel : Exercices
Fonctions de classe C 1

R2

2
→ R
.
p
p
p
p
2
2
2
2
(x , y ) 7→
x 1 + y + y 1 + x , (x + 1 + x )(y + 1 + y )

Exercice 4.1. On considère l’application f :
1. Montrer que f est de classe C 1 sur R2 .

2. Calculer le jacobien de f en tout point (x , y ) de R2 .

Exercice 4.2.
1. Etudier la continuité des fonctions suivantes ainsi que l’existence et la continuité de leurs
dérivées partielles premières.
(a)

f1 :

R2

→ 
R

(x + y )2
x2 +y 2
(x , y ) →
7

0

si (x , y ) 6= (0, 0)



(b)

f2 :

R2

→ 
R

(x , y ) 7→
(c)

f3 :

R2

si (x , y ) = (0, 0)

(x 2 + y 2 ) sin


1
p
x2 +y 2

0

→ 
R

x sin y − y sin x
x2 +y 2
(x , y ) →
7

0
f4 :

R2

si (x , y ) 6= (0, 0)
si (x , y ) = (0, 0)



(d)

!

→ 
R

4

si (x , y ) 6= (0, 0)
si (x , y ) = (0, 0)

4

x
y
 e −e
(x 2 + y 2 )2
(x , y ) →
7

0

si (x , y ) 6= (0, 0)
si (x , y ) = (0, 0)

2. Que pouvez-vous en conclure pour chaque fonction ?

Romain Dujol

45

Exercice 4.3.
1. Soit a un réel non nul. Étudier la différentiabilité au point (a , 0) de f : R2 \{(0, 0)} → R
(x , y )
2. Discuter suivant la valeur du réel α de la différentiabilité au point (0, 0) de
f :

R2

7→

x 2y
2
x + |y |

→ R


x αy
x 2 + |y |
(x , y ) →
7

0


si (x , y ) 6= (0, 0)
si (x , y ) = (0, 0)

Exercice 4.4. Étudier la continuité et la différentiabilité puis calculer le gradient (lorsqu’il existe)
des fonctions suivantes.
R2
→ R
(x , y ) 7→ x 3 + x y

1.

f1 :

2.

f2 :

3.

f 3 : {(x , y ) ∈ R2 , x 2 + y 2 < 1} → R
(x , y )
7→ ln(1 − x 2 − y 2 )

R2
→ R
2
2
(x , y ) 7→ e −x −y

4.

f 4 : {(x , y ) ∈ R2 , x 2 + y 2 ≥ 1} → R
p
x2 −y 2 −1
(x , y )
7→

5.

f5 :

6.

f6 :

7.

f7 :

R2

où a et b sont deux nombres réels
→ R
p
2
2
(x , y ) 7→
(a − x ) + (b − y )
R2

→ R
p
p
(x , y ) 7→
x 2 + (1 − y )2 + x 2 + (1 + y )2
R2

→ R


x3 −y 3
x2 +y 2
(x , y ) →
7

0


8.

f8 :

R2

si (x , y ) 6= (0, 0)
si (x , y ) = (0, 0)

→ R


sin x − sin y
x −y
(x , y ) →
7

cos x


Romain Dujol

si x 6= y
si x = y

46

.

Exercice 4.5. On considère la fonction f :

R2

2
→ R


(x , y ) 7→

.
x2 −y 2

x y
x2 +y 2

0

si (x , y ) 6= (0, 0)
si (x , y ) = (0, 0)

1. Déterminer l’ensemble de continuité de la fonction f .
2. Montrer que f est différentiable sur R2 \{(0, 0)} et calculer sa différentielle.

3. La fonction f est-elle différentiable en (0, 0) ? Si oui, indiquer l’expression de la différentielle
en (0, 0).

C 1 -difféomorphismes. Équations aux dérivées partielles
Exercice 4.6. On cherche toutes les fonctions f de R2 dans R telles que
(E )
On considère l’application ϕ :

∂f
∂f
(x , y ) + 2x
(x , y ) = 0 ∀(x , y ) ∈ R2
∂x
∂y
R2
→ R2
.
2
(x , y ) 7→ (x , y + x )

1. Montrer que ϕ est bijective et de classe C 1 sur R2 .

2. Définir ϕ −1 et montrer que ϕ −1 est de classe C 1 sur R2 .

3. Que peut-on en déduire pour ϕ ?

4. Soit ψ une application de R2 dans R de classe C 1 sur R2 . On pose g = ψ ◦ ϕ.
(a) Montrer que la fonction g est de classe C 1 sur R2 .

(b) Montrer que ψ est solution de (E ) si et seulement si
∂g
(x , y ) = 0 ∀(x , y ) ∈ R2
∂x

5. Soit f une application de R2 dans R de classe C 1 sur R2 . Montrer que f vérifie (E ) si et
seulement s’il existe une application h de R dans R de classe C 1 sur R telle que
∀(x , y ) ∈ R2 , f (x , y ) = h(y − x 2 )

Romain Dujol

47

Exercice 4.7. Résoudre les équations aux dérivées partielles du premier ordre suivantes d’inconnue f : U → R à l’aide du changement de variables fourni.
1. Sur U = R∗+ × R, résoudre

∂f
∂f
+y
=0
∂x
∂y

‹
y
avec le changement de variables (u , v ) = x ,
.
x

2. Sur U = R+ × R, résoudre
∂f p 4
∂f
+y
= x +y4
x
∂x
∂y

‹
y 2
,x + y 2 .
avec le changement de variables (u , v ) =
x
3. Sur U = R∗+ × R, résoudre
∂f
∂f
x
−y
= xy 2
∂x
∂y
x

avec le changement de variables (u , v ) = (x , x y ).
4. Sur U = R∗+ × R, résoudre pour a réel fixé
x

∂f
∂f
−y
=a f
∂x
∂y

avec le changement de variables en coordonnées polaires.
Exercice 4.8. Soit U = {(x , y ) ∈ R2 , x > y } et V = {(x , y ) ∈ R2 , y 2 − 4x > 0}. On cherche toutes les
applications f de U dans R de classe C 1 sur U telles que
(E )

∂f
∂f
(x , y ) −
(x , y ) + 3(x − y ) f (x , y ) = 0 ∀(x , y ) ∈ U
∂x
∂y

1. Montrer que si (x , y ) ∈ U alors (x y , x + y ) ∈ V .

2. On considère l’application ϕ :

U
→ V
.
(x , y ) 7→ (x y , x + y )

(a) Montrer que ϕ est bijective et de classe C 1 sur U .

(b) Définir ϕ −1 et montrer que ϕ −1 est de classe C 1 sur V .
(c) Que peut-on en déduire pour ϕ ?

3. Soit ψ une application de U dans R une fonction de classe C 1 sur U . On pose g = ψ ◦ ϕ −1 .
(a) Montrer que la fonction g est de classe C 1 sur V .

(b) Montrer que ψ est solution de (E ) si et seulement si
∂g
(x , y ) − 3g (x , y ) = 0 ∀(x , y ) ∈ V
∂x

4. Déterminer toutes les fonctions f : U → R de classe C 1 sur U vérifiant (E ).

Romain Dujol

48

Exercice 4.9. Soit f une application de R dans R de classe C 1 sur R telle que
∃k ∈ [0, 1[, ∀t ∈ R, | f ′ (t )| ≤ k
On définit l’application ϕ :

R2
→ R2
.

(x , y ) 7→ x + f (y ), y + f (x )

1. Montrer que la fonction ϕ est de classe C 1 sur R2 .

2. Ecrire la jacobienne de ϕ en tout point (x , y ) de R2 et montrer qu’elle est inversible.
3. Montrer que ϕ est injective.

4. Soit y un réel fixé. On pose g (x ) = x + f y − f (x ) pour tout réel x . Montrer que l’on définit
ainsi une fonction strictement croissante et que l’on a g (R) = R.
1
[Indication : On
Z rappelle que pour toute application h de R dans R de classe C sur R, on a
x

h(x ) − h(0) =

h ′ (t ) dt pour tout réel x .]
0

5. En déduire que ϕ est bijective.
Exercice 4.10. Soit E = {(x , y ) ∈ R2 , x 3 − y 2 = 0} et g une application de R2 dans R de classe C 1
sur R2 qui s’annule en tout point de E .
1. Montrer que g (t 2 , t 3 ) = 0 pour tout réel t .
2. On pose ϕ = g ◦ h avec h : R → R2
.
t 7→ (t 2 , t 3 )

(a) Calculer la dérivée de ϕ.
∂g
(b) En déduire que l’on a
(0, 0) = 0.
∂x
(c) Montrer que pour tout réel t strictement positif, il existe un réel v (t ) ∈] − t 3 , t 3 [ tel que

∂g 2
t , v (t ) = 0.
l’on ait
∂y
[Indication : On pourra utiliser l’application ψ : [−t 3 , t 3 ] → R
de classe
u
7→ g (t 2 , u )
C 1 sur [−t 3 , t 3 ] et évaluer ψ(t 3 ) et ψ(−t 3 ).]
∂g
(0, 0) = 0.
(d) En déduire que l’on a
∂y

Romain Dujol

49


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