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1.1.2

Représentations d’un nombre réel positif

Définition 1.1 (Partie entière. Partie fractionnaire). Soit x un nombre réel.
On appelle partie entière de x , notée ⌊x ⌋, le plus grand entier relatif inférieur ou égal à x :
⌊x ⌋ = max{n ∈ Z, n ≤ x }
On appelle partie fractionnaire de x , notée [x ], le nombre réel défini par [x ] = x − ⌊x ⌋.

Remarque. Pour tout réel positif x , [x ] ∈ [0, 1[.
ATTENTION. ⌊2,5⌋ = 2, mais ⌊−2,5⌋ = −3
Pour représenter un nombre réel positif x dans une base b :
— on calcule la représentation de la partie entière ⌊x ⌋ de x (voir sous-section précédente) ;
— on calcule la représentation de la partie fractionnaire [x ] de x ;
— on combine les deux représentations.

Théorème 1.2 (Numération d’un réel de [0, 1[).
Soit β un entier naturel supérieur ou égal à deux.
N
Pour tout nombre réel x de [0, 1[, il existe une unique suite (bk )k ≥1 ∈ J0, β − 1K tels que
x=

+∞
X

bk β −k

k =1

La donnée de (bk )k ≥1 est appelée représentation de x en base β et on écrira :
x = (0,b1 b2 · · · )β

IMPORTANT. Cela suggère donc qu’une représentation peut être infinie.
ATTENTION. Si bk = β − 1 pour tout entier naturel non k , alors (0,b1 b2 · · · )b = 1.
Démonstration. (0,b1 b2 · · · )β =

+∞
X
k =1

(β − 1)β −k = (β − 1)

+∞
X

1
β − 1 X −1 k β − 1
(β ) =
= 1.
β k =0
β 1 − β −1
+∞

β −k −1 =

k =0

Romain Dujol, Laurence Lamoulie, Chrysostome Baskiotis

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