DM04 2014 2015 dimension fini .pdf


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Institut Préparatoire aux Études
d’Ingénieurs
de
Tunis.

Année universitaire 2014/2015

DM d’Algèbre N◦ 4
Avril 2015 - Classes MP
Problème :
L’objet du problème est de poursuivre l’étude de l’ensemble des polynômes d’endomorphismes avec
une attention particulière portée à un certain polynôme annulateur, dit Polynôme Minimal.
Les différentes parties du problème sont largement indépendantes mais le résultat essentiel de chacune
d’entre elles pourra être (sera !) utilisé dans les suivantes.
Dans tout le problème, E désigne un espace vectoriel sur C de dimension finie n ∈ N∗ et f un endomorphisme de E.

Partie 1 : Endomorphismes nilpotents - Indice de nilpotence.
Soit u un endomorphisme nilpotent 1 de E. On appelle indice de nilpotence de u le plus petit entier
p ∈ N∗ tel que up−1 6= 0 et up = 0.
On note aussi pour chaque k ∈ N, dk = dim(Ker(u)).
1. Dans cette question -et seulement dans celle-ci- on ne suppose pas que u est nilpotent.
(a) Montrer que pour tout k ∈ N, Ker(uk ) ⊂ Ker(uk+1 ).
(b) Montrer que s’il existe k0 ∈ N tel que Ker(uk0 ) = Ker(uk0 +1 ), alors pour tout m ∈ N,
Ker(uk0 ) = Ker(uk0 +m ).
(c) Montrer qu’un tel k0 existe.
2. (a) Montrer que pour tout k ∈ N, dim(Im(uk+1 )) = dim(Im(uk )) − dim(Im(uk ) ∩ Ker(u)).
(b) En déduire que la suite (dk+1 − dk )k est décroissante 2 .
3. (a) Montrer qu’il existe x ∈ E tel que up−1 (x) 6= O et up (x) = 0 où p est ici l’indice de nilpotence
de u.
(b) Montrer que (x, u(x), . . . , up−1 (x)) est une famille libre de E.
(c) En déduire que p ≤ n . 3
4. En raisonnant sur la suite (dk )k , trouver une autre manière de voir que p ≤ n.

Partie 2 : Algèbre des polynômes en f - Polynômes annulateurs - Définition du polynôme
minimal.
On note :
— C[f ] = {P (f ), P ∈ C[X]} l’ensemble des polynômes en f .
— Ann(f ) = {P ∈ C[X], P (f ) = 0} l’ensemble des polynômes qui annulent f .
1. (a) Quelle est la dimension de L(E) ?
(b) En déduire qu’il existe P ∈ Cn2 [X] tel que P (f ) = 0.
1. Nième rappel : u est nilpotent s’il existe m ∈ N tel que um = 0
2. On dit que la suite (Ker(uk ))k est une suite qui s’essoufle. Essayez de voir pourquoi !
3. C’est à dire que l’indice de nilpotence dun endomorphisme nilpotent est toujours iinférieur à la dimension de l’espace.

1

2. (a) Justifier l’existence d’un polynôme non nul, unitaire et qui soit de degré minimal dans Ann(f ).
On le notera Πf et on notera d son degré.
(b) Soit λ ∈ C. Montrer que λ est une valeur propre 4 de f si et seulement si λ est une racine de
Πf .
3. Montrer que Ann(f ) = Πf .C[X] = {Πf Q, Q ∈ C[X]} . 5
Indication : Effectuer une certaine division euclidienne...
4. (a) Montrer que C[f ] est une sous-algèbre de L(E).
(b) Par le même procédé qu’en 3. Montrer que (IdE , f, . . . , f d−1 ) est une famille génératrice de
C[f ].
(c) En déduire que dim(C[f ]) = d.

Partie 3 : Le lemme de décomposition des noyaux.
1. Montrer que si P1 et P2 sont deux polynômes premiers entre eux, alors :
Ker((P1 P2 )(f )) = Ker(P1 (f )) ⊕ P2 (f ). 6
2. En déduire le résultat suivant, dit Lemme de décomposition des noyaux : Si P1 , . . . , Pk sont des
polynômes deux à deux premiers entre eux, alors
Ker((P1 . . . Pk )(f )) = Ker(P1 (f )) ⊕ · · · ⊕ Ker(Pk (f ))

Partie 4 : Le polynôme minimal.
1. Justifier qu’on peut écrire Πf =

k
Y

ai

(X − λi )

où k, a1 , . . . , ak ∈

N∗ ,

λ1 , . . . , λk ∈ C et d =

k
X

ai .

i=1

i=1

On note, pour chaque i ∈ {1, . . . , k}, Fi = Ker((f − λIdE )ai ).
2. Montrer que :
(a) E = F1 ⊕ · · · ⊕ Fk .
(b) Pour tout i ∈ {1, . . . , k}, Fi est stable par f .
3. On fixe i ∈ {1, . . . , k}. Fi étant stable par f , f y induit un endomorphisme qu’on note fi . En
d’autres termes, fi est l’endomorphisme de Fi défini par :
fi : Fi −→ Fi
x 7−→ f (x)
(a) Montrer que l’endomorphisme gi = fi − λi IdFi est nilpotent.
(b) Montrer que gi est d’indice de nilpotence ai .
(c) En déduire que ai ≤ dim(Fi )
4. Montrer alors que d ≤ n.
On a ainsi montré que tout endomorphisme f d’un espace vectoriel sur C de dimension finie n ∈ N∗
est annulé par un polynôme de degré inférieur ou égal à n.
4. Un scalaire λ est dit valeur propre de f s’il existe un vecteur x ∈ E non nul tel que f (x) = λx.
5. En d’autres termes, Πf divise tout polynôme annulateur de f
6. Penser à quelqu’un dont le nom commence par "Be" et finit par "zout"...

2


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