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0.1.2

Formes usuelles
Forme

Primitive

x 7→ u ′ (x ) · u (x )m , m ∈ R\{−1}

Primitive

x 7→

u (x )

x 7→ u ′ (x ) · e u (x )

x 7→ e u (x ) + C

x 7→ u ′ (x ) · cos u (x )

x 7→ sin u (x ) + C

x 7→ u ′ (x ) · sin u (x )

x 7→ − cos u (x ) + C

x 7→

x 7→ arctan u (x ) + C

x 7→ p

x 7→ arcsin u (x ) + C

x 7→ p

0.1.3

u ′ (x )

+C
m +1
p
x→
7 2 u (x ) + C

u ′ (x )

u ′ (x )

1 + u (x )2

x 7→

Forme

u (x )m +1

u (x )

u ′ (x )

1 − u (x )2

x 7→ ln |u (x )| + C

Techniques fondamentales

Théorème (Intégration par parties). Soit u et v deux fonctions de classe C 1 sur [a ,b ]. Alors
Z

b

Z


u (x )v (x ) dx = u (x )v (x )


a

b
a



b

u (x )v ′ (x ) dx
a

π/2

Z
Exercice. Calculer

x cos x dx .
0

Théorème (Changement de variables). Soit φ : [α, β ] → R une application injective et de classe
C 1 sur [α, β ] et f une application à valeurs réelles définie et continue sur φ([α, β ]). Alors
Z

φ(β )

Z

β

f (x ) dx =
φ(α)
1

Z
Exercice. Calculer
0

0.2
0.2.1

α


f φ(t ) · φ ′ (t ) dt

ex
dx .
1 + e 2x

Formes particulières
Primitives de x 7→ (sinp x ) (cosq x )

Règle 0.1. Soit p et q deux entiers naturels. Pour calculer la primitive de f : x 7→ (sinp x ) (cosq x ),
on distingue trois cas :
– si p est impair, alors on effectue le changement de variable t = cos x ;
– si q est impair, alors on effectue le changement de variable t = sin x ;
– si p et q sont pairs tous les deux, on effectue une linéarisation.
Exercice. Déterminer une primitive de x 7→ (sin3 x ) (cos4 x ), x 7→ (cos5 x ) et x 7→ (cos4 x ).

Romain Dujol

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