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Cycle préparatoire 2ème année

Séries – Notes de cours

Romain Dujol
2013 – 2014

Table des matières
0 Comparaison locale des fonctions réelles
0.1 Négligeabilité. Domination . . . . . . . . . . .
0.1.1 Négligeabilité . . . . . . . . . . . . . . . .
0.1.2 Domination . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.1.3 Comparaisons de référence . . . . .
0.2 Équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.2.2 Règles opératoires . . . . . . . . . . . .
0.2.3 Lien avec oa et Oa . . . . . . . . . . . .
0.2.4 Équivalents usuels . . . . . . . . . . . .
0.3 Développements limités au voisinage de 0
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1 Séries numériques
1.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Condition nécessaire de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Reste d’une série convergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.4 Structure algébrique de l’ensemble des séries numériques convergentes
1.2 Séries à termes réels positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Lemme fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Théorèmes de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Séries de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4 Règles de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Séries numériques à termes quelconques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Convergence absolue. Semi-convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Règles de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Séries alternées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.4 Calculs par regroupement de termes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.4 Méthodes d’évaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Évaluation de la somme d’une série convergente
1.4.2 Évaluation du reste d’une série convergente . . .
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Comparaison série-intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Suites et séries d’applications
2.1 Suites d’applications . . . . . . . . . .
2.1.1 Convergence simple . . . . .
2.1.2 Convergence uniforme . . .
2.1.3 Théorèmes d’interversion .
2.2 Séries d’applications . . . . . . . . . .
2.2.1 Types de convergence . . .
2.2.2 Théorèmes d’interversion .
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3 Séries entières
3.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Rayon de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Méthodes d’évaluation du rayon de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Règles de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Règles de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Structure algébrique sur l’ensemble des séries entières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Structure vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.3 Produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Convergence et régularité de la somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Développement en série entière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2 Structure algébrique de l’ensemble des fonctions développables en série
entière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.3 Utilisation des équations différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Développements en série entière en 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Romain Dujol

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72
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4 Séries de FOURIER
4.1 Séries trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Développement en série de FOURIER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Développement en série de FOURIER d’une fonction périodique
4.2.2 Fonctions périodiques de classe C 1 par morceaux sur R . . . . .
4.3 Théorème de DIRICHLET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Série trigonométrique complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Formule de PARSEVAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Romain Dujol

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Chapitre 0

Comparaison locale des fonctions
réelles
0.1

Négligeabilité. Domination

0.1.1

Négligeabilité

Définition 0.1 (Négligeabilité). Soit I un intervalle de R et a un point de I .
Soit f et ϕ deux fonctions réelles définies sur I telles que ϕ ne s’annule pas sur I \{a }.
On dit que f est négligeable devant ϕ au voisinage de a si et seulement si il existe une
fonction réelle ǫ définie sur I telle que
lim ǫ(x ) = 0

x →a

et

∀x ∈ I , f (x ) = ǫ(x )ϕ(x )

Cette relation se note
f = oa (ϕ)

ou

f (x ) = ox →a ϕ(x )



(notation de L ANDAU)

ou
f ≪ϕ

ou

a

f (x ) ≪ ϕ(x )
x →a

(notation de HARDY)

(Si il n’y a pas d’ambigüité, on omettra d’indiquer le point a .)
Remarque. La notation f = oa (ϕ) est impropre, car plusieurs fonctions différentes peuvent être
négligeables devant une même fonction ϕ au voisinage de a , c’est-à-dire
f 1 = oa (ϕ)
Exemple.

Romain Dujol

x = ox →+∞ (x 2 )

,

, f 2 = oa (ϕ)
avec f 1 6= f 2
p
x = ox →+∞ (x 2 )
,
sin3 x = ox →0 (x )
4

Proposition 0.1 (Négligeabilité devant une constante non nulle). Soit I un intervalle de R, a
un point de I et f une fonction réelle définie sur I . Alors
f = oa (1) ⇐⇒ lim f (x ) = 0
x →a

Proposition 0.2 (Caractérisation rapide). Soit I un intervalle de R et a un point de I .
Soit f et ϕ deux fonctions réelles définies sur I telles que ϕ ne s’annule pas sur I \{a }.


f (x )
 lim
=0
x
→a
ϕ(x )
f = oa (ϕ) ⇐⇒

ϕ(a ) = 0 =⇒ f (a ) = 0
Proposition 0.3 (Règles opératoires de oa ). Soit I un intervalle de R et a un point de I .
Soit f , g et ϕ, ψ des fonctions réelles définies sur I telles que ϕ et ψ ne s’annulent pas sur I \{a }.
1. Si f = oa (ϕ) et g = oa (ϕ), alors f + g = oa (ϕ).

2. Si f = oa (ϕ) alors pour tout réel λ, λ f = oa (ϕ).
3. Si f = oa (ϕ) et g = oa (ψ), alors f g = oa (ϕψ).
4. Si f = oa (ϕ) et ϕ = oa (ψ), alors f = oa (ψ).
5. Si h est une fonction réelle définie au voisinage de b ∈ R, alors :

 lim h(x ) = a
x →b

 f = o (ϕ)
a

0.1.2

f ◦ h = ob (ϕ ◦ h)

=⇒

Domination

Définition 0.2 (Domination). Soit I un intervalle de R et a un point de I .
Soit f et ϕ deux fonctions réelles définies sur I telles que ϕ ne s’annule pas sur I \{a }.
On dit que f est dominée par ϕ au voisinage de a si et seulement si il existe une fonction
réelle χ définie sur I telle que
χ est bornée au voisinage de a

et

∀x ∈ I , f (x ) = χ(x )ϕ(x )

Cette relation se note
f = Oa (ϕ)

ou

f (x ) = Ox →a ϕ(x )



(notation de L ANDAU)

ou
f ´ϕ
a

ou

f (x ) ´ ϕ(x )
x →a

(notation de HARDY)

(Si il n’y a pas d’ambigüité, on omettra d’indiquer le point a .)

Romain Dujol

5

Remarque. La notation f = Oa (ϕ) est impropre, car plusieurs fonctions différentes peuvent être
dominées par une même fonction ϕ au voisinage de a , c’est-à-dire
f 1 = Oa (ϕ)
Exemple.

x = Ox →+∞ (x 2 )

,

,

f 2 = Oa (ϕ)

avec f 1 6= f 2

2x 2 = Ox →+∞ (x 2 )

,

x 2 = Ox →0 (x )

Proposition 0.4 (Domination devant une constante non nulle). Soit I un intervalle de R, a un
point de I et f une fonction réelle définie sur I . Alors
f = Oa (1) ⇐⇒ f est bornée au voisinage de a
Proposition 0.5 (Règles opératoires de Oa ). Soit I un intervalle de R et a un point de I .
Soit f , g et ϕ, ψ des fonctions réelles définies sur I telles que ϕ et ψ ne s’annulent pas sur I \{a }.
1. Si f = Oa (ϕ) et g = Oa (ϕ), alors f + g = Oa (ϕ).
2. Si f = Oa (ϕ) alors pour tout réel λ, λ f = Oa (ϕ).
3. Si f = Oa (ϕ) et g = Oa (ψ), alors f g = Oa (ϕψ).
4. Si f = Oa (ϕ) et ϕ = Oa (ψ), alors f = Oa (ψ).
5. Si h est une fonction réelle définie au voisinage de b ∈ R, alors :

 lim h(x ) = a
x →b

 f = O (ϕ)
a

=⇒

f ◦ h = Ob (ϕ ◦ h)

Proposition 0.6 (Régles opératoires communes). Soit I un intervalle de R et a un point de I .
Soit f , g et ϕ, ψ des fonctions réelles définies sur I telles que ϕ et ψ ne s’annulent pas sur I \{a }.
1. Si f = oa (ϕ) alors f = Oa (ϕ).
2. Si f = Oa (ϕ) et g = oa (ψ), alors f g = oa (ϕψ).
3. Si f = oa (ϕ) et ϕ = Oa (ψ), alors f = oa (ψ).
4. Si f = Oa (ϕ) et ϕ = oa (ψ), alors f = oa (ψ).

0.1.3

Comparaisons de référence

Proposition 0.7 (Puissances). Soit α et β deux nombres réels. Alors
€ Š
α < β ⇐⇒ x α = ox →+∞ x β
€ Š
α > β ⇐⇒ x α = ox →0+ x β

Romain Dujol

6

Proposition 0.8 (Comparaisons logarithmes/puissances). Pour tout réel α, on a :
€ Š
∀β > 0, (ln x )α = ox →+∞ x β

∀γ < 0, (ln x )α = ox →0+ x γ
Proposition 0.9 (Comparaisons puissances/exponentielles). Pour α ∈ R et a > 1, on a :

x α = ox →+∞ a x

a x = ox →−∞ |x |α

0.2

Équivalence

On rappelle ici l’intérêt des équivalents pour déterminer rapidement certaines limites dans
le cas de formes indéterminées. . . à condition de les utiliser correctement !

0.2.1

Définition

Définition 0.3 (Équivalence). Soit I un intervalle de R et a un point de I .
Soit f et ϕ deux fonctions réelles définies sur I qui ne s’annulent pas sur I \{a }.
On dit que f est équivalente à ϕ au voisinage de a si et seulement si il existe une fonction
réelle η définie sur I telle que
lim η(x ) = 1

et

x →a

∀x ∈ I , f (x ) = η(x )ϕ(x )

Cette relation se note
f ∼ϕ

ou

a

f (x ) ∼ ϕ(x )
x →a

(Si il n’y a pas d’ambigüité, on omettra d’indiquer le point a .)
Exemple.
x2 +x



x →+∞

x2

,

sin x ∼ x
x →0

Proposition 0.10 (Équivalence devant une constante non nulle). Soit I un intervalle de R, a
un point de I et f une fonction réelle définie sur I . Alors
∀ℓ ∈ R∗ , f ∼ ℓ ⇐⇒ lim f (x ) = ℓ
a

x →a

Remarque. f ∼ 0 impliquerait que f s’annule sur I , ce qui est impossible par hypothèse.
a

f ∼ 0 N’A AUCUN SENS !
a

Romain Dujol

7

Proposition 0.11 (Caractérisation rapide). Soit I un intervalle de R et a un point de I .
Soit f et ϕ deux fonctions réelles définies sur I qui ne s’annulent pas sur I \{a }.


f (x )
 lim
=1
f ∼ ϕ ⇐⇒ x →a ϕ(x )

a
ϕ(a ) = 0 =⇒ f (a ) = 0

0.2.2

Règles opératoires

Cas général
Proposition 0.12 (Règles opératoires de ∼). Soit I un intervalle de R et a un point de I .
a

Soit f , g et ϕ, ψ des fonctions réelles définies sur I qui ne s’annulent pas sur I \{a }.
1. Si f ∼ ϕ et g ∼ ψ, alors f g ∼ ϕψ.
a

a

2. Si f ∼ ϕ alors
a

a

1
1
∼ .
f a ϕ

ϕ
f
∼ .
a
a
g a ψ
4. Si f ∼ ϕ et ϕ ∼ ψ, alors f ∼ ψ.
3. Si f ∼ ϕ et g ∼ ψ, alors
a

a

a

5. Si h est une fonction réelle définie au voisinage de b ∈ R, alors :

 lim h(x ) = a
x →b
=⇒
f ◦h ∼ϕ ◦h
f ∼ϕ
b
a

Addition
Remarque. « Si f ∼ ϕ et g ∼ ψ, alors f + g ∼ ϕ + ψ » est fausse dans le cas géneral.
a

a

a


Exemple. Au voisinage de a = 0,

2
x
 x +x ∼
0

 −x + x 2 ∼ −x

. Mais

0

(x + x 2 ) + (−x + x 2 ) = 2x 2 6∼ 0 = x + (−x )
0

ON NE PEUT PAS ADDITIONNER DES ÉQUIVALENTS N’IMPORTE COMMENT !

Romain Dujol

8

On peut toutefois isoler certains cas où cela est possible.
Proposition 0.13 (Addition d’équivalents). Soit I un intervalle de R et a un point de I .
Soit f , g et ϕ, ψ des fonctions réelles définies sur I qui ne s’annulent pas sur I \{a } telles que :
f ∼ϕ

et

a

g ∼ψ
a

1. Si ϕ et ψ sont de même signe constant au voisinage de a , alors f + g ∼ ϕ + ψ.
a

2. Si ϕ : x

7 λx α


et ψ : x

7 µx β ,


alors f + g ∼ ϕ + ψ sauf si α = β et λ + µ = 0.
a

Composition par la gauche

(La propriété 5 de la Proposition 0.12 page précédente assure qu’il est possible de composer
les équivalences par la droite.)
Remarque. « Si h est une fonction réelle définie au voisinage de ϕ(a ), et f ∼ ϕ alors h ◦ f ∼ h ◦ϕ »
a

est fausse en général.

Exemple. Au voisinage de a = +∞, x + 1



x →+∞

x . Mais e x +1

6∼

x →+∞

a

ex.

ON NE PEUT PAS PRENDRE L’EXPONENTIELLE D’ÉQUIVALENTS !
Proposition 0.14 (Composition à gauche par l’exponentielle).
Soit I un intervalle de R et a un point de I .
Soit f et ϕ deux fonctions réelles définies sur I qui ne s’annulent pas sur I \{a }. Alors
exp ◦ f ∼ exp ◦ϕ ⇐⇒ lim( f − ϕ) = 0
a

a

Exemple. Au voisinage de a = 0, 1 + x ∼ 1 + 2x . Mais ln(1 + x ) 6∼ ln(1 + 2x ).
x →0

x →0

ON NE PEUT PAS PRENDRE LE LOGARITHME D’ÉQUIVALENTS N’IMPORTE COMMENT !
Proposition 0.15 (Composition à gauche par le logarithme).
Soit I un intervalle de R et a un point de I .
Soit f et ϕ deux fonctions réelles définies sur I telles que ϕ soit strictement positive sur I \{a }
et ϕ admet une limite ℓ ∈ R+ \{1}. Alors
ln ◦ f ∼ ln ◦ϕ
a

Romain Dujol

9

0.2.3

Lien avec oa et Oa

Proposition 0.16. Soit I un intervalle de R et a un point de I .
Soit f , ϕ et ψ des fonctions réelles définies sur I qui ne s’annulent pas sur I \{a }.
1. Si f = oa (ϕ) et ϕ ∼ ψ, alors f = oa (ψ).
a

2. Si f ∼ ϕ et ϕ = oa (ψ), alors f = oa (ψ).
a

3. f ∼ ϕ ⇐⇒ f − ϕ = oa (ϕ)
a

4. Si f ∼ ϕ alors f = Oa (ϕ) et ϕ = Oa ( f ).
a

Remarque. « Si f = Oa (ϕ) et ϕ = Oa ( f ) alors f ∼ ϕ » est fausse en général.
a

Exemple. Au voisinage de a = +∞, x = Ox →+∞ (2x ) et 2x = Ox →+∞ (x ). Mais 2x

0.2.4

6∼

x →+∞

x.

Équivalents usuels

Proposition 0.17 (Cas simples de calcul d’équivalents).
1. Tout polynôme est équivalent à son terme de plus haut degré en +∞ ou −∞.
Tout polynôme est équivalent à son terme de plus bas degré en 0.
2. Toute fraction rationnelle est équivalente au quotient de ses termes de plus haut degré en
+∞ ou −∞.
Toute fraction rationnelle est équivalente au quotient de ses termes de plus bas degré en 0.
3. Si f est dérivable en a et que f ′ (a ) 6= 0, alors
f (x ) − f (a ) ∼ f ′ (a ) · (x − a )
x →a

4. Si f admet un développement limité au voisinage de 0, alors f est équivalente au terme non
nul de plus faible ordre en 0.
Exemple.
1. x 4 + x 2 + 2x



x →+∞

x4

x 4 + x 2 + 2x ∼ 2x
x →0

x3 1
x3 −x

=
2. 4
2
x + x + 2x x →+∞ x 4 x
x3 −x
−x
1

=−
4
2
x + x + 2x x →0 2x
2
3. Avec f = exp en a = 0 :
e x − 1 = exp(x ) − exp(0) ∼ exp′ (0) · (x − 0) = x
x →0

4. sin x = x −

Romain Dujol

x3
+ ··· ∼ x
x →0
6
10

Théorème 0.1 (Équivalents des fonctions usuelles).
ex −1 ∼ x

ln(1 + x ) ∼ x

sin x ∼ x

arcsin x ∼ x

sh x ∼ x

tan x ∼ x

arctan x ∼ x

th x ∼ x

x →0

x →0

x →0

x →0

x →0

x →0

x →0

x2
1 − cos x ∼
x →0 2
Pour tout réel α fixé, (1 + x )α − 1 ∼ αx

x →0

x2
x →0 2

ch x − 1 ∼

x →0

Remarque. La plupart des équivalents usuels sont exprimés au voisinage de 0. Pour obtenir
des équivalents au voisinage d’une autre valeur finie a , il suffit d’effectuer un changement de
variable du type x = a ± h avec h au voisinage de 0.
Exercice. Déterminer les limites suivantes :
ln(1 + 2 tan x )
1. lim
x →0
sin x


1 x
2. lim 1 +
x →+∞
x
3. lim (tan x )cotan(4x )
x →π/4

Solution.
1. Comme lim 2 tan x = 0 et ln(1 + X ) ∼ X , on a ln(1 + 2 tan x ) ∼ 2 tan x .
x →0

x →0

Comme tan x ∼ x , il vient que ln(1 + 2 tan x ) ∼ 2x .
x →0

x →0

x →0

ln(1 + 2 tan x )
2x
De plus sin x ∼ x : on conclut alors que

= 2, puis que
x →0
x →0 x
sin x
lim

x →0

ln(1 + 2 tan x )
=2
sin x





1 x
1
2. Passons au logarithme : ln 1 +
.
= x ln 1 +
x

x
1
1
1
Comme lim

= 0 et ln(1 + X ) ∼ X , on a ln 1 +
. Donc
x →+∞ x
x
→+∞
x →0
x
x




1
1
1 x
∼ x · =1
= x ln 1 +
ln 1 +
x
→+∞
x
x
x

Romain Dujol

11



1 x
= 1, puis (exp étant continue en 1) :
On conclut que lim ln 1 +
x →+∞
x

lim

x →+∞

1+

1
x

x
=e

π
− h et on passe au logarithme :
4

‹
π
ln tan
−h
€
Š ln tan x
4
ln (tan x )cotan(4x ) =
=
tan(4x )
tan(π − 4h)

3. On effectue le changement de variable x =

Étudions chacun des termes :

‹

‹
π
π
1 − tan h
· tan
−h =
, donc ln tan
− h = ln(1 − tan h) − ln(1 + tan h). Or
4
1 + tan h
4
ln(1 − tan h) ∼ − tan h ∼ −h
h→0

h→0

et

− ln(1 + tan h) ∼ − tan h ∼ −h
h→0

h→0

On est dans les conditions de la propriété 2 de la Proposition 0.13 page 9, donc
‹

π
− h = ln(1 − tan h) − ln(1 + tan h) ∼ −2h
ln tan
h→0
4
· tan(π − 4h) = tan(−4h) ∼ −4h
h→0
‹

π

h
ln
tan
€
Š
−2h 1
4
Donc ln (tan x )cotan(4x ) =

= .
tan(π − 4h) h→0 −4h 2
€
Š 1
On conclut que lim ln (tan x )cotan(4x ) = , puis (exp étant continue en 1) :
x →π/4
2
lim (tan x )cotan(4x ) = e 1/2 =

x →π/4

Romain Dujol

p

e

12

0.3

Développements limités au voisinage de 0

xn
x1 x2
+
+ ··· +
+o xn
1!
2!
n!
€
Š
x2 x4
x 2n
=1+
+
+ ··· +
+ o x 2n+1
2!
4!
(2n )!
€
Š
x3 x5
x 2n+1
=x +
+
+ ··· +
+ o x 2n+2
3!
5!
(2n + 1)!
3
5
€ Š
x
2x
17x 7
=x −
+

+o x8
3
15
315
€
Š
x 2n
x2 x4
+
+ · · · + (−1)n
+ o x 2n+1
=1−
2!
4!
(2n )!
3
5
€
Š
x
x 2n+1
x
=x −
+
+ · · · + (−1)n
+ o x 2n+2
3!
5!
(2n + 1)!
3
5
7
€ Š
x
2x
17x
=x +
+
+
+o x8
3
15
315

2
= 1 +x +x + ··· +xn + o xn

ex = 1+
ch x
sh x
th x
cos x
sin x
tan x

1
1−x

1
= 1 − x + x 2 + · · · + (−1)n x n + o x n
1+x

α(α − 1) 2
α(α − 1) · · · (α − n + 1) n
(1 + x )α = 1 + αx +
x + ··· +
x +o xn
2!
n!
p

x x2
n−1 1 · 3 · 5 · · · (2n − 3) n
+ · · · + (−1)
x +o xn
1+x = 1+ −
2
8
2n n !
p

1 · 3 · 5 · · · (2n − 3) n
x x2
+ ··· −
x +o xn
1−x = 1− −
n
2
8
2 n!

1
1 · 3 · 5 · · · (2n − 1) n
x 3x 2
+ · · · + (−1)n
x +o xn
=1− +
p
n
2
8
2 n!
1+x
n

x2 x3
x
ln(1 + x ) = x −
+
+ · · · + (−1)n−1
+o xn
2
3
n
2n
€
Š
x3 x5
x
arctan x = x −
+
+ · · · + (−1)n
+ o x 2n+2
3
5
2n + 1
€
Š
1 · 3 · 5 · · · · · (2n − 1) x 2n+1
1 x3 3 x5
+ ·
+ ··· +
·
+ o x 2n+2
arcsin x = x + ·
n
2 3
8 5
2 n!
2n + 1

Romain Dujol

13

Comparaison locale des fonctions réelles : Exercices
Exercice 0.1. Calculer les limites suivantes :
tt −1
1. lim
t →1 1 − t + ln(1 + t )
ln t
2. lim
t →1 t − 1
p
x x
3. lim p x
x →+∞ x

Exercice 0.2. Calculer les limites suivantes :
1
1
1. lim
+
x ln x
x →0+ 1 − x x
p
p
p
2. lim
x+ x− x
x →+∞

Exercice 0.3. Déterminer des équivalents simples de :
1. x + sin x en 0, puis en +∞
2. x − sin x en 0, puis en +∞
π
3. ln(tan x ) en 0+ , puis en
4
1
1
4.

en 0
x tan x
p
p
3
5. x 2 + x − x 3 + 2x 2 en 0+ , puis en +∞

Exercice 0.4. Déterminer les équivalents en 0 de :
ln(1 + x 2 )
x arctan x
1 − ch x
2. f 2 : x 7→
1 − cos x
e x − cos x − x
3. f 3 : x 7→
x − ln(1 + x )
1. f 1 : x 7→

4. f 4 : x 7→

sin2 x − x ln(1 + x )
e x + cos x − sin x − 2

Romain Dujol

14

Exercice 0.5. Déterminer les équivalents en +∞ de :
1
e 1/x − cos
x
1. f 1 : x 7→
Ç
1
1− 1− 2
x
1
1
p
2. f 2 : x 7→ p − x sin
x
x

‹
a
ln cos
x
3. f 3 : x 7→
avec a et b réels
b
ln cos
x
”
—
2
1/x
4. f 4 : x 7→ x e
− e 1/(x +1)


1
5. f 5 : x 7→ x 3 arctan x − arccos
x


x +1
ln
x +2


6. f 6 : x 7→
x +1
sin
x2 +2


p
1 x
2
7. f 7 : x 7→ e · x − x + 1 − x 1 +
x


ln(1 + x ) x ln x
Exercice 0.6. Soit f : x 7→
.
ln x
1. Déterminer un équivalent de ln f (x ) en +∞.


2. En déduire limx →+∞ f (x ).

Romain Dujol

15

Chapitre 1

Séries numériques
1.1
1.1.1

Généralités
Définition

Définition
1.1 (Série numérique). On appelle série numérique de terme général u n , noté
P
P
u n ou
u n , le couple ((u n )n∈N , (S n )n∈N ) formé d’une suite numérique (i.e. réelle ou comn≥0

n∈N

plexe) (u n )n∈N et de la suite (S n )n∈N définie par :
∀n ∈ N, S n =
u n est le n ème terme ou terme général de

P

n
X

uk

k =0

u n . S n est la n ème somme partielle de

n ∈N

P

un .

n ∈N

Si la suite (u n )n≥n 0 est définie à partir d’un certain rang n 0 ∈ N, on définit également la série
numérique associée avec :
n
X
∀n ≥ n 0 , S n =
uk
k =n 0

Exemple.
P
1.
n est la série de terme général n . La n ème somme partielle est calculable :
n∈N

Sn =

n
X
k =0

Romain Dujol

k=

n (n + 1)
2

16

2. Soit x un nombre réel.
calculable :

P

x n est la série de terme général x n . La n ème somme partielle est

n∈N



n+1

1−x
Sn =
x =
1−x

n +1
k =0
n
X

3.

si x 6= 1

k

si x = 1

n
X
P 1
1
1
est la série de terme général et la n ème somme partielle est S n =
.
n
k
n≥1 n
k =1

Définition 1.2P
(Série convergente).
Une série
u n est dite convergente si et seulement la suite (S n )n∈N de ses sommes partielles
n∈N

est convergente. Auquel cas, on définit la somme de la série

P

n ∈N
+∞
X

u n , notée

+∞
X

u n par :

n=0

u n = lim S n
n→+∞

n=0

Une série divergente est une série non convergente.
Deux séries sont dites de même nature si et seulement si elles sont soit toutes les deux convergentes, soit toutes les deux divergentes.

Exemple.
n
X

P

1. La suite des sommes partielles de
n a pour terme général S n =
k=
k =0
Pn∈N
Donc (S n )n∈N diverge et la série
n est divergente.

n (n + 1)
.
2

n∈N



n+1

1−x
2. La suite des sommes partielles de
a pour terme général S n =
1−x

n∈N
n +1
P
x n est convergente et
qui ne converge que si |x | < 1. Donc si |x | < 1, la série
P

xn

n∈N

+∞
X
n=0

xn =

1
1−x

sinon, elle est divergente.

Romain Dujol

17

si x 6= 1
si x = 1

P
u n une série numérique et n 0 un
Proposition 1.1 (Changement d’indice de départ). Soit
n∈N
P
P
entier naturel. Alors
u n et
u n sont de même nature.
n≥0

n≥n 0

Si de plus, les deux séries sont convergentes, alors
+∞
X

un =

nX
0 −1

un +

Démonstration. Pour tout entier n supérieur ou égal à n 0 ,

n
X

uk =

k =0

– Si

P

u n est convergente, alors la suite de terme général

n ≥0

n
X
k =n 0

P
n ≥n 0

n
X

nX
0 −1
k =0

uk +

n
X

uk .

k =n 0

u k est convergente. On en déduit que

k =0

la suite de terme général
– Si

un

n=n 0

n=0

n=0

+∞
X

uk =

n
X
k =0

uk −

nX
0 −1

u k converge aussi, puis que

k =0

u n est convergente, alors la suite de terme général

terme général

n
X
k =0

n
X

P
n ≥n 0

u n est convergente.

u k est convergente, donc la suite de

k =n 0

u k est convergente et

P

u n est convergente.

n ≥0

Remarque. L’indice de départ n’a donc aucune influence sur la convergence d’une série numérique. Lorsque
l’étude
d’une série se réduit à celle de sa convergence, on pourra noter la série
P
P
étudiée u n ou u n lorsqu’il n’y a pas d’ambigüité.
n

1.1.2

Condition nécessaire de convergence

Théorème 1.1 (Condition nécessaire de convergence). Si la série numérique

P
n

convergente, alors

u n est

lim u n = 0

n→+∞

Si la suite (u n )n∈N ne converge pas vers zéro, alors

Démonstration. Soit

P
n

P
n

u n est dite grossièrement divergente.

u n une série convergente et (S n )n la suite de ses sommes partielles. Alors (S n )n

converge vers une limite notée S.
On a u n = S n − S n −1 , donc (u n )n est une suite convergente et lim u n = S − S = 0.
n →+∞

Romain Dujol

18

Exemple.
1. Comme lim n = +∞,
n→+∞

P

n est grossièrement divergente.

n

2. Soit x un nombre réel.
P
– si |x | > 1, alors (x n )n∈N diverge : donc x n est grossièrement divergente ;
n
P
– si x = −1, alors (x n )n∈N diverge : donc x n est grossièrement divergente ;
n
P
– si x = 1, alors (x n )n∈N converge vers 1 : donc x n est grossièrement divergente ;
n
P
– si |x | < 1, x n converge et (x n )n∈N converge vers 0.
n

Remarque. Il ne s’agit que d’une condition nécessaire de convergence. Il existe des séries

P
n

divergentes telles que (u n )n converge vers 0.

un



1
. Alors (u n )n≥1 converge vers 0.
Exemple. Soit (u n )n≥1 la suite réelle définie par u n = ln 1 +
n
n +1
Remarquons que u n = ln
= ln(n + 1) − ln n pour n ≥ 1 et calculons S n :
n
n
n
X
X
[ln(k + 1) − ln k ] = ln(n + 1) − ln 1 = ln(n + 1)
Sn =
uk =
k =1

Donc (S n )n≥1 diverge et

P
n

k =1

u n est divergente.

Théorème 1.2 (Série harmonique). On appelle série harmonique la série de terme général
n
X
1
1
ème
et on note H n sa n
somme partielle, c’est-à-dire H n =
.
n
k
k =1
La série harmonique est divergente.

Démonstration. Supposons par l’absurde que
une limite que l’on note H .

P1
est convergente. Alors la suite (H n )n converge vers
n n

Soit n un entier naturel non nul. Alors pour tout k ∈ Jn, 2n K,
H 2n − H n =

1
1
1
≤ ≤ . Donc :
2n k
n

2n
2n
X
X
1
1
1
1

=n
=
k k =n +1 2n
2n 2
k =n +1

1
En passant à la limite dans l’inégalité, il vient que 0 = H − H ≥ , ce qui est impossible.
2
P1
est divergente.
On en conclut que donc
n n

Romain Dujol

19

1.1.3

Reste d’une série convergente

Définition 1.3 (Reste d’ordre n ). Soit

P
n∈N

On appelle reste d’ordre n de

P

u n une série convergente.

u n la somme de la série

n ∈N

P

u k , c’est-à-dire

k ≥n+1

+∞
X

uk .

k =n+1

Remarque.

IL N’EXISTE PAS DE RESTE POUR UNE SÉRIE DIVERGENTE !
Pour simplifier l’écriture, on note souvent :
– S n la somme partielle d’ordre n ;
– S la somme (lorsque la série est convergente) ;
– R n le reste d’ordre n (lorsque la série est convergente).
On a alors R n = S − S n , c’est-à-dire :
+∞
X

uk =

k =n+1

+∞
X
k =0

Proposition 1.2 (Convergence du reste). Soit
restes d’ordre n . Alors (R n )n converge vers 0.
Démonstration. Comme

P
n

P
n

uk −

n
X

uk

k =0

u n une série convergente et (R n )n la suite de ses

u n est convergente, la suite (S n )n des sommes partielles converge vers la

somme S. Donc (R n )n = (S − S n )n converge vers S − S = 0.

1.1.4

Structure algébrique de l’ensemble des séries numériques convergentes

Théorème 1.3. L’ensemble des séries numériques convergentes est un sous-espace vectoriel
de l’ensemble des séries
P
P numériques.
v n sont deux séries numériques convergentes, alors pour tout
u n et
Notamment si
n∈N
n∈NP
(u n + λv n ) est convergente et :
réel (ou complexe) λ,
n∈N

+∞
X

+∞
X

(u n + λv n ) =
n=0

Romain Dujol

n=0

un + λ

+∞
X

vn

n=0

20

Corollaire.
La somme de deux séries convergentes est convergente.
La somme d’une série convergente et d’une série divergente est divergente.
Remarque.
IlP
n’existe pas de résultat général pour la somme
P
P de deux séries
P divergentes. En effet :

1 et (−1) sont (grossièrement) divergentes et [1 + (−1)] = 0 est convergente ;
n
n
n
P
P
Pn

1 est (grossièrement) divergente et (1 + 1) = 2 est (grossièrement) divergente.
n

n

n

Théorème 1.4 (Convergence d’une série à valeurs
complexes).
P
Une série numérique à valeurs complexes u n est convergente si et seulement si les séries
n
P
P
réelles (ℜe u n ) et (ℑm u n ) sont toutes deux convergentes.
n

n

Proposition 1.3 (Croissance de la somme). Soit
gentes telles que ∀n ∈ N, u n ≤ v n . Alors

+∞
X
n=0

un ≤

P

n∈N
+∞
X

lorsque n tend vers +∞.

P
n∈N

P

n ∈N

Romain Dujol

u n et

P

n ∈N

u n et

n∈N

v n deux séries numériques conver-

vn .

n
X
k =0

Définition 1.4 (Série-produit). Soit

P

n=0

Démonstration. On a donc pour tout entier naturel n,

produit de

u n et

P
n∈N

uk ≤

n
X

v k . On conclut en passant à la limite

k =0

v n deux séries numériques. On appelle série-

vn la série numérique de terme général

n
X

u k v n−k .

k =0

21

Théorème 1.5. L’ensemble des séries numériques convergentes est une sous-algèbre de l’ensemble des séries numériques.
P
P
v n sont deux séries numériques convergentes, alors la sérieu n et
Notamment si
n∈N
n∈N
P
P
v n est convergente a pour somme
u n et
produit de
n∈N

n∈N

+∞
X

!
un

n=0

1.2

+∞
X

·

!
vn

n=0

Séries à termes réels positifs

1.2.1

Lemme fondamental

Théorème
P
P1.6 (Lemme fondamental des séries à termes positifs).
u n est convergente si et
u n une série numérique à termes réels positifs. Alors
Soit
n∈N

n∈N

seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée :
n
X
X
u n est convergente ⇐⇒ ∃M ∈ R+ , ∀n ∈ N,
uk ≤ M
n

k =0

P
un.
Démonstration. On note (S n )n ∈N la suite des sommes partielles de
n ∈N
P
u n est convergente, la suite (S n )n ∈N est convergente, donc majorée.
(⇒) Comme
n ∈N

(⇐) Comme S n +1 − S n = u n +1 ≥ 0, il vient que (S n )n ∈N est croissante. Comme
elle est également
P
majorée, on en conclut que (S n )n ∈N est une suite convergente, puis que
u n est convergente.
n ∈N

Proposition 1.4. Soit

P
n∈N

1. Si

P
n∈N

2. Si

P
n∈N

u n une série numérique à termes réels positifs.

u n est convergente, alors ∀n ∈ N,
u n est divergente, alors lim

Romain Dujol

n→+∞

n
X

n
X
k =0

uk ≤

+∞
X

un.

n=0

u k = +∞.

k =0

22

1.2.2

Théorèmes de comparaison

Théorème
1.7P
(Théorème de majoration des séries à termes positifs).
P
v n deux séries numériques à termes réels positifs telles que ∀n ∈ N, u n ≤ v n .
u n et
Soit
n∈N
n∈N
P
P
u n est également convergente.
v n est convergente, alors
Si
n∈N

n∈N

Corollaire.
P
P
v n deux séries numériques à termes réels positifs telles que ∀n ∈ N, u n = O(v n ).
u n et
Soit
n∈N
n∈N
P
P
Si
v n est convergente, alors
u n est également convergente.
n∈N

n∈N

Remarque. Le résultat est donc valable si u n = o(v n ).

Théorème
1.8P
(Théorème de minoration des séries à termes positifs).
P
Soit
u n et
v n deux séries numériques à termes réels positifs telles que ∀n ∈ N, u n ≤ v n .
n∈N
n∈N
P
P
v n est également divergente.
u n est divergente, alors
Si
n∈N

n∈N

Corollaire.
P
P
v n deux séries numériques à termes réels positifs telles que ∀n ∈ N, u n = O(v n ).
u n et
Soit
n∈N
n∈N
P
P
v n est également divergente.
u n est divergente, alors
Si
n∈N

n∈N

Remarque. Le résultat est donc valable si u n = o(v n ).

Théorème
1.9 P
(Théorème d’équivalence des séries).
P
Soit
u n et
v n deux séries numériques réelles telles que u n
n∈N

n∈N



n→+∞

vn .

Si la suite (v n )n∈N est de signe constant à partir d’un certain rang alors
sont de même nature.

P
n∈N

u n et

P
n∈N

vn

Remarque. Le théorème n’est plus valable si l’hypothèse « (v n )n∈N est de signe constant à partir
d’un certain rang » n’est plus vérifiée.

Romain Dujol

23

Démonstration. On suppose ici que (v n )n est positive à partir d’un certain rang. (Le raisonnement dans
le cas où elle serait négative à partir d’un certain rang est identique.)
un
= 1, il existe un entier naturel N tel que
Comme lim
n →+∞ v n
∀n > N ,

3
1 un


2 vn
2

i.e.

∀n > N ,

1
3
vn ≤ u n ≤ vn
2
2

Donc (u n )n est également positive
pour n > N .
P
P
· Si la série numérique v n est convergente, alors il en est de même pour la série numérique 32 v n .
n
n
P
D’après le théorème de majoration pour les séries entières à termes positifs, u n est une série
n

numérique convergente.
P
· Si la série numérique u n est convergente, alors d’après le théorème de majoration pour les séries
n
P
entières à termes positifs, la série numérique 21 v n est convergente et il en est donc de mème pour
n
P
la série numérique v n .
n

Romain Dujol

24

1.2.3

Séries de référence

Séries géométriques

Théorème 1.10 (Série géométrique).
P
Soit r un nombre réel. Alors r n est convergente si et seulement si |r | < 1 : auquel cas,
n

+∞
X

rn =

n=0

1
1−r

Séries de RIEMANN

Théorème 1.11 (Série de RIEMANN).
P 1
Soit α un nombre réel. Alors
est convergente si et seulement si α > 1.
α
n n
Démonstration. On distingue quatre cas selon la valeur de α.
P 1
1
– Si α < 0, alors lim α = +∞ et
est grossièrement divergente.
α
n →+∞ n
n n
P 1
1
– Si α = 0, alors lim α = 1 et
est grossièrement divergente.
α
n →+∞ n
n n
1
1
– Si α ∈ ]0, 1], alors pour tout entier naturel non nul n, on a 0 ≤ ≤ α . En appliquant le théorème
n
n
P 1
est
divergente.
de minoration des séries à termes positifs, il vient que
α
n n
1
– Si α > 1, comme x 7→ α est décroissante sur R∗+ , il vient que pour tout entier k ≥ 2 :
t
1
1
∀t ∈ [k − 1, k ], α ≤ α
k
t
puis en intégrant sur [k − 1, k ] :
1
=


Z

k

1
dt ≤
α
k
k −1

Z

k

1−α k
t
k 1−α − (k − 1)1−α
1
=
dt
=
α
t
1 − α k −1
1−α
k −1

On en déduit alors pour tout entier n ≥ 2 que :



n
n
X
X
k 1−α − (k − 1)1−α n 1−α − 11−α
1
1
1
1

=
=

1

α
α−1
k
1−α
1−α
α−1
n
α−1
k =2
k =2

On conclut en appliquant le lemme fondamental des séries à termes positifs.

Romain Dujol

25

Proposition 1.5 (Règle « n α u n »). Soit

P
n∈N

u n une série numérique à termes réels positifs. Alors :
X

∃α > 1, lim n α u n = 0

=⇒

∃α ≤ 1, lim n α u n = +∞

=⇒

n→+∞

u n est convergente

n

X

n→+∞

u n est divergente

n

Démonstration.
– Si il existe α > 1 tel que lim n α u n = 0, alors il existe un entier naturel N tel que :
n →+∞

∀n ≥ N , n α u n ≤ 1
Donc

P

i.e.

∀n ≥ N , u n ≤

1


u n est convergente d’après le théorème de majoration des séries à termes positifs.

n ≥N

– Si il existe α ≤ 1 tel que lim n α u n = +∞, alors il existe un entier naturel N tel que :
n →+∞

∀n ≥ N , n α u n ≥ 1
Donc

P

i.e.

∀n ≥ N , u n ≥

1


u n est divergente d’après le théorème de minoration des séries à termes positifs.

n ≥N

Séries de BERTRAND

Théorème 1.12 (Série de BERTRAND).
Soit α et β deux nombres réels. Alors
(α > 1)

P

1

n

n α (ln n )β

ou

est convergente si et seulement si

(α = 1 et β > 1)

Démonstration page 42.

Romain Dujol

26

1.2.4

Règles de convergence

Règle de D’ALEMBERT

P
u n une série numérique à termes réels
Théorème 1.13 (Règle de D’ALEMBERT). Soit
n∈N

u n+1
converge vers une limite finie (positive) ℓ.
strictement positifs telle que la suite
u n n∈N
P
– Si ℓ < 1, alors u n est convergente.
n
P
– Si ℓ > 1, alors u n est divergente.
n

Exercice. Déterminer la nature (i.e. convergente ou non) de la série de terme général u n =
Solution.

P
n

n!
.
nn

u n est une série numérique à termes strictement positifs. De plus



‹n
u n+1
n
(n + 1)! n n (n + 1)!
nn
nn
1 −n
=
·
=
·
= (n + 1)
=
= 1+
un
(n + 1)n+1 n !
n!
(n + 1)n+1
(n + 1)n+1
n +1
n
–
−n ™


1
1
1
= −n ln 1 +
∼ −n · = −1, il vient que
Comme ln 1 +
n
n n→+∞
n
–
−n ™


1
1 −n
lim ln 1 +
= −1
puis
lim 1 +
= e −1 < 1
n→+∞
n→+∞
n
n
P
D’après la règle de D’ALEMBERT, u n est une série convergente.
n

Remarque. Le cas ℓ = 1 est indéterminé :
P
u n+1
n2
1
=
−−−→ 1 et u n est convergente.
– si u n = 2 , alors
2
n
un
(n + 1) n→+∞
n
P
1
u n+1
n
– si u n = , alors
=
−−−→ 1 et u n est divergente.
n
un
n + 1 n→+∞
n
Remarque. Il ne s’agit pas d’une condition nécessaire de convergence ou de divergence :
u n+1 1 2 − (−1)n
2 + (−1)n
, alors
= ·
est le terme général d’une suite non conver– si u n =
n
2
un
2 2 + (−1)n
P
3
gente ; comme 0 ≤ u n ≤ n , il vient que u n est convergente par théorème de majora2
n
tion des séries à termes positifs ;
u n+1 2 − (−1)n
est le terme général d’une suite non convergente ;
=
– si u n = 2+(−1)n , alors
u n P 2 + (−1)n
comme u n ≥ 1, il vient que u n est divergente par théorème de minoration des séries à
termes positifs.

Romain Dujol

n

27

Règle de CAUCHY

P
Théorème 1.14 (Règle de CAUCHY). Soit
u n une série numérique à termes réels
n∈N

p
strictement positifs telle que la suite n u n n∈N converge vers une limite finie (positive) ℓ.
P
– Si ℓ < 1, alors u n est convergente.
n
P
– Si ℓ > 1, alors u n est divergente.
n

Remarque. Le cas ℓ = 1 est indéterminé.
P
Proposition 1.6 (Lien entre les deux règles). Soit
u n une série numérique à termes réels
n∈N


u n+1
converge vers une limite finie ℓ.
strictement positifs telle que la suite
u n n∈N

p
Alors la suite n u n n∈N converge vers ℓ.
Remarque. Si on obtient le cas indéterminé (ℓ = 1) avec la règle de D’ALEMBERT, alors on obtiendra automatiquement le cas indéterminé (ℓ = 1) avec la règle de CAUCHY : il est donc inutile
d’essayer cette dernière dans ce cas.
u n+1
Remarque. La réciproque de la proposition 1.6 est fausse en général. Donc si la suite
un
p
n’a pas de limite, la suite n u n n∈N peut en avoir une.


Romain Dujol

28


n∈N

1.3

Séries numériques à termes quelconques

Par « à termes quelconques », on entend « réels ou complexes ». L’une des stratégies possibles
sera de revenir (lorsque cela est possible) dans le cadre des séries numériques à termes positifs.

1.3.1

Convergence absolue. Semi-convergence

Définition 1.5 (Convergence absolue). Une série numérique
P
gente si et seulement si |u n | est convergente.

P
n

u n est absolument conver-

n

Théorème 1.15 (Convergence absolue et convergence). Une série numérique

P
n

lument convergente est convergente et


+∞
+∞
X
X


|u n |
un ≤

n=0 n=0

u n abso-

L’ensemble des séries numériques absolument convergentes est un sous-espace vectoriel
de l’ensemble des séries
convergentes.
P
P numériques
v n sont deux séries numériques absolument convergentes,
u n et
Notamment si
n∈N
n∈N
P
alors pour tout réel (ou complexe) λ,
(u n + λv n ) est absolument convergente.
n∈N

Remarque. Il existe des séries numériques convergentes qui ne sont pas absolument convergentes.
Exemple. La série

P (−1)n
n

n

est convergente sans être absolument convergente.

(−1)n
Démonstration. Pour tout entier naturel non nul n, on note u n =
et S n la n ème somme partielle de
n
P
la série numérique u n . Montrons que les suites (S 2n )n ≥1 et (S 2n +1 )n ≥0 sont adjacentes :
n

−1
, donc lim S 2n +1 − S 2n = 0 ;
n →+∞
2n + 1
1
1
1
– S 2n +3 − S 2n +1 = u 2n +2 + u 2n +3 =

=
≥ 0 : donc (S 2n +1 )n ≥0 est une
2n + 2 2n + 3
(2n + 2)(2n + 3)
suite croissante ;
1
−1
−1
+
=
≤ 0 : donc (S 2n )n ≥1 est une suite
– S 2n +2 − S 2n = u 2n +1 + u 2n +2 =
2n + 1 2n + 2 (2n + 1)(2n + 2)
décroissante.
D’après le théorème des suites adjacentes, (S 2n )n ≥1 et (S 2n +1 )n ≥0 convergent : donc (S n )n ≥1 converge et
P
u n converge.
– S 2n +1 − S 2n = u 2n +1 =

n

Romain Dujol

29

Définition 1.6. Une série numérique

n

est dite semi-convergente.

1.3.2

P

u n convergente qui n’est pas absolument convergente

Règles de convergence

P
u n une série numérique à termes non nuls
Théorème 1.16 (Règle de D’ALEMBERT). Soit
‚ n∈N Œ
u n+1

à partir d’un certain rang telle que la suite
converge vers une limite finie (posiu n n∈N
tive) ℓ.
P
– Si ℓ < 1, alors u n est absolument convergente.
n
P
– Si ℓ > 1, alors u n est divergente.
n

Le cas ℓ = 1 est indéterminé.

Théorème 1.17 (Règle de CAUCHY). Soit

P

u n une série numérique à termes non nuls
p

à partir d’un certain rang telle que la suite n |u n |
converge vers une limite finie
n∈N

n∈N

(positive) ℓ.

– Si ℓ < 1, alors
– Si ℓ > 1, alors

P
n
P
n

u n est absolument convergente.
u n est divergente.

Le cas ℓ = 1 est indéterminé.

Remarque. Comme précédemment, si on obtient le cas indéterminé (ℓ = 1) avec la règle de
D’A LEMBERT , on obtient automatique le cas indéterminé (ℓ = 1) avec la règle de C AUCHY .
‚
Œ
p

u n+1
n

n’a
pas
de
limite,
la
suite
De même, si la suite
|u
|
peut en avoir une.
n
n∈N
u
n

Romain Dujol

n∈N

30

Exercice. Déterminer la nature de la série de terme général u n = (−1)n

ln n
.
nn

Solution.
• Utilisons la règle de D’ALEMBERT :


‹n

n
u n+1
n
1 ln(n + 1)
nn

= ln(n + 1) · n = ln(n + 1) ·
=
·
u (n + 1)n+1 ln n
ln n
(n + 1)n+1 n + 1 ln n
n +1
n
1
= 0.
n→+∞ n + 1

– On a lim

ln(n + 1)
= 1.
– On a n + 1 ∼ n et lim n + 1 = lim n = +∞ : donc ln(n + 1) ∼ ln n et lim
n→+∞
n→+∞
n→+∞
ln n
‹n

1
n
= .
– On a vu dans l’exercice page 27 que lim
n→+∞ n + 1
e


u n+1
P
= 0 < 1 et que u n est absolument convergente.
On en conclut donc que lim
n→+∞ u n
n
• Utilisons la règle de CAUCHY :

p

n

p

n

|u n | =



1
ln(ln n )
ln n
= exp
n
n
n

Comme ln x = ox →+∞ (x ), il vient par composition que ln(ln n ) = o(ln n ). De plus ln n = o(n ),
ln(ln n )
ln(ln n )
donc ln(ln n ) = o(n ) par transitivité de o(·) et lim
= 0, puis lim exp
= 1.
n→+∞
n→+∞
n
n
p
P
1
n
|u n | = 0 < 1 et que u n est absolument
= 0, on en conclut que lim
Comme lim
n→+∞
n→+∞ n
n
convergente.
• Utilisons la règle « n α u n » :
n 2 |u n | = n 2

ln n
ln n
ln n 1
= n−2 =
n
n
n
n n n−3

ln n
ln n
. Comme lim
= 0, il vient par théorème d’enn→+∞
n
n
P
2
cadrement des limites que lim n |u n | = 0, puis que |u n | est convergente.

Donc, pour tout entier n ≥ 3, n 2 |u n | ≤
n→+∞

Romain Dujol

n

31

Théorème 1.18 (Condition de convergence de CAUCHY). Une série
et seulement si la suite (S n )n des sommes partielles est une suite de

P

u n est convergente
n
CAUCHY, c’est-à-dire :

si

∀ǫ > 0, ∃N ∈ N, ∀p > N , ∀q > N , |S q − S p | < ǫ
ce qui peut se réecrire :



q

X
u k < ǫ
∀ǫ > 0, ∃N ∈ N, ∀p > N , ∀q > N ,
k =p +1

Remarque. Un terme du type

q
X

u k est parfois appelé paquet de CAUCHY en référence à ce

k =p +1

résultat.
Corollaire. Soit

P
n∈N

u n une série numérique.

Si il existe deux suites à valeurs entières (αn )n∈N et (βn )n∈N telles que :
– ∀n ∈ N, αn ≤ βn ;
– lim αn = lim βn = +∞ ;
n→+∞  n→+∞ 
βn
X

– la suite 
uk 
ne converge pas vers 0 ;
k =αn

alors

P
n

1.3.3

n∈N

u n est divergente.

Séries alternées

Théorème 1.19 (Règle d’ABEL). Soit (ǫn )n≥n 0 et (v n )n≥n 0 deux suites numériques telles que :
– (ǫn )n≥n 0 est une suite réelle positive, décroissante telle que lim ǫn = 0 ;
n→+∞


n
X


vk 
est bornée.
– la suite numérique 
k =n 0

Alors

P
n≥n 0

Romain Dujol

n≥n 0

ǫn v n est une série convergente.

32

Démonstration. Afin de simplifier l’écriture, on pourra supposer sans perte de généralité que n 0 = 0.
n
n
X
X
ǫk v k . Alors
v k et S n =
Soit M = sup |Vn |. Pour tout entier naturel n, on note Vn =
n ∈N

Sn =

n
X

ǫk v k = ǫ0 v 0 +

k =0
n
X

=
k =0

k =0

k =0

n
X

ǫk v k = ǫ0 v 0 +

k =1

ǫk Vk −

n −1
X
k =0

n
X
k =1

ǫk +1 Vk = ǫn Vn +

n −1
X
k =0

ǫk (Vk − Vk −1 ) = ǫ0 v 0 +

n
X
k =1

ǫk Vk −

n
X
k =1

ǫk Vk −1

(ǫk − ǫk +1 )Vk

· Comme la suite (ǫn )n converge vers 0 et que la suite (Vn )n est bornée, il vient que la suite (ǫn Vn )n
converge vers 0.
n −1
n −1
n −1
X
X
X
· Pour tout n ∈ N,
|(ǫk − ǫk +1 ) · Vk | =
|(ǫk − ǫk +1 ) · Vk | =
|ǫk − ǫk +1 | · |Vk |
k =0

k =0

≤M

k =0

n −1
X
k =0

|(ǫk − ǫk +1 | = M

n −1
X
k =0

(ǫk − ǫk +1 ) = M (ǫ0 − ǫn ) ≤ M ǫ0

D’après
le lemme fondamental des séries à termes positifs,
P il vient que la série numérique
P
|(ǫn − ǫn +1 · Vn | est convergente. Donc la série numérique (ǫn − ǫn +1 ) · Vn est convergente.
n
n
P
On en déduit que (S n )n est une suite convergente et ǫn v n est une série numérique convergente.
n

Définition 1.7. Une série numérique réelle

P
n∈N

∀n ∈ N, u n = (−1)n |u n |

u n est dite alternée si et seulement si

ou

∀n ∈ N, u n = −(−1)n |u n |

Remarque. Une série alternée est donc une série pour laquelle le terme général change de signe
à chaque rang. Ainsi :

1
si n est le carré d’un entier

un = n
n
 (−1)
sinon
n
n’est pas le terme général d’une série alternée.

Un cas particulier (mais fréquent) de suites qui vérifie la règle d’ABEL est le cas des séries
alternées.

Romain Dujol

33

Théorème
P 1.20 (Théorème spécial à certaines séries alternées (a.k.a. TSCSA)).
Soit u n une série alternée telle que (|u n |)n soit une suite réelle (positive) décroissante
n
P
qui converge vers zéro. Alors u n est une série convergente et :
n



+∞
X



u k ≤ |u n+1 |
|R n | =


k =n+1

Démonstration. Le résultat de convergence est une application directe de la règle d’ABEL avec ǫn = |u n |
et v n = ±(−1)n .

Corollaire (Séries de RIEMANN alternées).
P (−1)n
est convergente si et seulement si α > 0.
Soit α un nombre réel. Alors

n
Démonstration. On distingue trois cas selon la valeur de α.
P (−1)n
(−1)n
– Si α ≤ 0, la suite de terme général
ne converge pas, donc
est une série (grossièreα
n

n
ment) divergente.

(−1)n
1

– Si α ∈ ]0, 1], alors α = α est le terme général d’une suite décroissante qui converge vers 0.
n
n
P (−1)n
Comme
est une série altérnée, on conclut qu’elle est convergente d’après le TSCSA.
n α
n

(−1)n
P (−1)n
1
– Si α > 1, alors α = α est le terme général d’une série convergente : donc
est une
n
n

n
série (absolument) convergente.

1.3.4

Calculs par regroupement de termes

Exemple. On considère la série de terme général u n = (−1)n : il s’agit d’une série (grossièrement) divergente. Toutefois la série de terme général v n = u 2n + u 2n+1 = 0 est une série convergente.

Donc la nature d’une série obtenue par regroupement de termes n’a rien à voir avec la naturel de la série originale. Ces considérations font l’objet de résultats qui dépassent le cadre de
ce cours. On retiendra que :

IL NE FAUT PAS REGROUPER LES TERMES D’UNE SÉRIE POUR EN CALCULER LA SOMME !

Romain Dujol

34

1.4
1.4.1

Méthodes d’évaluation
Évaluation de la somme d’une série convergente

Séries géométriques

On rappelle que pour tout nombre complexe z tel que |z | < 1, la série
+∞
X

zn =

n=0

P

z n converge et :

n

1
1−z

Séries télescopiques
Proposition 1.7 (Série télescopiques). Soit (a n )n∈N une suite réelle qui converge vers une limite
finie ℓ. Alors la série de terme général u n = a n+1 − a n est une série convergente et :
+∞
X
n=0

un = ℓ − a0

Exemple. On considère la série de terme général u n =
il vient que u n = a n+1 − a n et lim a n = 0 = ℓ. D’où :

1
1
1
1
= −
. Avec a n = − ,
n (n + 1)
n n +1
n

n→+∞

+∞
X



1
1
=1
= 0−a1 = 0− −
n (n + 1)
1
n=1

1.4.2

Évaluation du reste d’une série convergente

Soit (u n )n une suite réelle strictement positive telle que :
∃λ ∈ [0, 1[, ∃N ∈ N, ∀n ≥ N , 0 <

u n+1
≤λ
un

On montre aisément par récurrence que pour tout entier naturel n ≥ N , on a 0 < u n ≤ λn−N u N .
Donc pour tout n ≥ N :
0 < Rn =

+∞
X
k =n+1

uk ≤

+∞
X
k =n+1

λk −N u N = λ−N u N

+∞
X
k =n+1

λk = λ−N u N

+∞
X

λk +n+1 = λn+1−N u N

k =0

k =0



Romain Dujol

+∞
X

n+1−N

35

uN
1−λ

λk

Proposition
P 1.8 (Vitesse de convergence du reste d’une série « sous-géométrique »).
Soit u n une série réelle strictement positive telle que :
n

∃λ ∈ [0, 1[, ∃N ∈ N, ∀n ≥ N , 0 <

u n+1
≤λ
un

Si on note R n le reste d’ordre n , alors pour tout entier naturel n ≥ N , on a :
Rn ≤

uN
λn+1
N
λ (1 − λ)

Remarque. Cette proposition peut être utilisée pour approcher numériquement la somme d’une
série.
Reste d’une série alternée On rappelle que si la série numérique

P
n

u n vérifie les hypothèses

du théorème 1.20 page 34 (TSCSA), alors son reste R n d’ordre n vérifie |R n | ≤ |u n+1 |.

Romain Dujol

36

Séries numériques : Exercices
Exercice 1.1. Déterminer la nature de la série numérique

P
n

u n dans les cas suivants :

2n (n + 1)
n2 + 1
−n
2. u n = e
1. u n =

3. u n = e sin n
4. u n =

1
[3 + (−1)n ]n

5. u n = x ln n où x est un réel strictement positif
1
6. u n = np
n n
1
7. u n = sin2
n
an +1
8. u n = 2n
a +n
‹

n
n
n
+
+
·
·
·
+
9. u n =
n3 + 1 n3 + 2
n3 + n



1
1
10. u n = ln p − ln sin p
n
n
Exercice 1.2. Déterminer la nature de la série numérique
1. u n =

ln n
n

2. u n =

n

1

p

2

P

n

3. u n =

p

n

u n dans les cas suivants :

n −1

Exercice 1.3. Déterminer la nature de la série numérique

‹n
‹n 2

n
n
2. u n =
1. u n =
n +1
n +1

P
n

u n dans les cas suivants :

Exercice 1.4. Pour quelles valeurs de a la série de terme général u n =
elle convergente ?

p
3

n3 + an −

Exercice 1.5.


n

X
1



sin(k x ) ≤
1. Montrer que si x ∈ R\2πZ, alors
x .


sin
k =0
2
2. À l’aide de la règle d’ABEL, en déduire la nature de la série

P
n

Romain Dujol

sin n
.
n + cos n

37

p

n 2 + 1 est-

Exercice 1.6. Déterminer la nature de la série numérique

P
n

u n dans les cas suivants :

sin n
n2 + 1
(−1)n n
=
p
n+ n
(−1)n
= 2 p
n + n
(−1)n
=
p
n+ n
p
(−1)n + n
=
p
n+ n
hp
i
n2 + 1 − n
= (−1)n

1. u n =
2. u n
3. u n
4. u n
5. u n
6. u n

7. u n = sin

(−1)n
n +1

Exercice 1.7. Montrer que les séries suivantes sont convergentes et calculer leur somme.
1.

P

1

n

n (n 2 − 1)



1
ln 1 − 2
k
n


(−1)n
[Indication : On pourra considérer les sommes partielles (S 2n )n≥1 .]
3. u n = ln 1 +
n

2.

P

Exercice 1.8.


1
n −1
1. Étudier la série de terme général u n = + ln
.
n
n
!
n
X
1
2. En déduire que la suite de terme général v n =
− ln n est convergente.
k
k =1
[Indication : On pourra remarquer que u n = v n − v n−1 .]
n
X
1
.
3. Donner un équivalent simple de la suite de terme général H n =
k
k =1

Remarque. La limite de la suite (v n )n , notée γ, est appelée constante d’EULER. On a γ ≃ 0,577.
Exercice 1.9. Soit f une fonction de classe C 2 sur [−1, 1] telle que f (0) = 0, f ′ (0) = f ′′ (0) = 1.
Déterminer
nature des séries numériques
:
la





P
P
P
P
1
1
(−1)n
(−1)n
1. f
2. f
4. f
3. f
p
n
n2
n
n
n
n
n
n

Romain Dujol

38

Exercice 1.10. Déterminer la nature de la série numérique

P
n

1. u n = e
2. u n = e

(−1)n
n
(−1)n
p
n

u n dans les cas suivants :

−1
−1



1
3. u n = cos πn 2 ln 1 −
n


1 c
1
− b cos + où a , b et c sont trois nombres réels
4. u n = a n ln 1 +
n
n n


Exercice 1.11. Déterminer la nature de la série numérique

P
n

u n dans les cas suivants :

(n !)2
(2n )!
an
2. u n =
où a est un nombre réel
n (n + 1)
2

2 n
3. u n = 1 +
n
n


•
˜
1
π
4. u n = tan a +
où a ∈ 0,
n
2
1. u n =

Exercice 1.12.
(−1)n
est divergente.
n + (−1)n
[Indication : On pourra utiliser un développement limité.]

1. Montrer que la série de terme général u n = p

2. Quelle hypothèse du théorème spécial à certaines séries alternées n’est pas satisfaite ?

Romain Dujol

39

Comparaison série-intégrale
On présente dans cette section une méthode d’encadrement qui permet d’étudier le comportement de la série de terme général f (n ) pour n ≥ n 0 .
Dans cette partie, f est une fonction à valeurs réelles positives définie sur [n 0 , +∞[ et monotone.

Cas où f est décroissante
Soit k ≥ n 0 . Alors :
∀x ∈ [k , k + 1],
Z k +1
k

f (k + 1) ≤

f (x )
Z

f (k + 1) dx ≤

f (x ) dx
f (x ) dx

n
X
k =n 0

k =n 0 +1

f (k ) et on somme la double inégalité pour k entre n 0 et n :

k =n 0

f (k + 1) ≤

n+1
X

en intégrant sur [k , k + 1]

k

≤ f (k )

k

n
X

f (k ) dx



k
Z k +1

f (k + 1) ≤

Soit n ≥ n 0 . On note S n =

≤ f (k )
Z k +1

k +1

n
X

n+1



n0

Z

n
X

f (k )

k =n 0
n
X

f (x ) dx

f (k ) ≤

S n+1 − f (n 0 ) ≤

f (x ) dx ≤

k

k =n 0

Z

k +1

Z

f (k )

k =n 0

n+1

f (x ) dx

≤ Sn

n0

Considérons les deux inégalités séparément :
Z
– celle de gauche permet d’établir que S n ≤ f (n 0 ) +

n

f (x ) dx pour tout n > n 0
n0

(on notera que la relation est également vérifiée pour n = n 0 ) ;
Z n+1
– celle de droite permet d’établir que
n0

Finalement, pour tout n ≥ n 0 ,

Romain Dujol

Z

f (x ) dx ≤ S n pour tout n ≥ n 0 .

n +1

f (x ) dx ≤
n0

n
X

k =n 0

f (k ) ≤ f (n 0 ) +

Z

n

f (x ) dx .
n0

40

Exemple ( f : x 7→ x −1 ). Pour tout entier naturel non nul k , on a :
∀x ∈ [k , k + 1],
k +1

Z
Donc

k

dx

k +1

Z

k +1
k

dx

x

Z

k +1
k

1
1 1
≤ ≤
(k + 1) x k
k +1

Z

dx
1
, c’est-à-dire

k
k +1

k

dx
1
≤ , puis :
x
k

1
1
≤ ln(k + 1) − ln k ≤
k +1
k
Soit n ≥ 1. On note H n =

n
X
1
et on somme la double inégalité pour k entre 1 et n :
k

k =1

n
X
k =1

n

n

k =1

k =1

X
X1
1

[ln(k + 1) − ln k ] ≤
k +1
k
n+1
X
k =2

1
≤ ln(n + 1) − ln 1 ≤ H n
k

H n+1 − 1 ≤ ln(n + 1) ≤ H n
Donc H n ≤ (ln n ) + 1 pour n ≥ 2 et ln(n + 1) ≤ H n pour n ≥ 1. Donc pour tout n ≥ 2 :
ln(n + 1) ≤ H n ≤ (ln n ) + 1

ln(n + 1)
Hn
(ln n ) + 1


ln n
ln n
ln n
(ln n ) + 1
ln(n + 1)
= lim
= 1 : donc d’après le théorème d’encadrement des limites,
n→+∞
ln n
ln n
Hn
il vient que lim
= 1. Finalement :
n→+∞ ln n

Or lim

n→+∞

n
X
P1
1
est une série divergente et
n
k
n
k =1

Romain Dujol



n→+∞

ln n .

41

Théorème (Série de BERTRAND).
Soit α et β deux nombres réels. Alors

P

1

n

n α (ln n )β

(α > 1)
Démonstration. On note u n =

1

ou

est convergente si et seulement si
(α = 1 et β > 1)

et on distingue deux cas selon la valeur de α.

n α (ln n)β

1+α
. Alors n γ u n = n (1−α)/2 (ln n)−β :
2
P
· si α > 1, alors γ > 1 et lim n γ u n = 0 ; donc u n est convergente d’après la règle « n α u n » ;
n →+∞
n P
· si α < 1, alors γ < 1 et lim n γ u n = +∞ ; donc u n est divergente d’après la règle « n α u n ».

– Si α 6= 1, on note γ =

n →+∞

n

– Si α = 1, en reprenant les calculs faits en page 40 avec n 0 = 2, il vient que :
Zn
Z n +1
n
X
1
dx
dx
uk ≤

+
∀n ≥ 2,
β
β
x (ln x )
2(ln 2)
x (ln x )β
2
2
k =2
Zn
dx
Calculons I n =
en posant le changement de variable strictement croissant u = ln x :
x
(ln
x )β
2
Z ln n
Z ln n
Zn
e u du
du
dx
u
u
alors x = e et dx = e du . D’où I n =
=
=
.
β
u
β
x (ln x )
e u

ln 2
ln 2
2
Il faut alors distinguer deux cas selon la valeur de β .
™ln n
Z ln n
–
(ln n)−β +1 (ln 2)−β +1
u −β +1
−β

:
=
– Si β 6= 1, alors I n =
u du =
−β + 1 ln 2
−β + 1
−β + 1
ln 2


n
X
1
1
1
1
1
+ In =
+

· si β > 1, alors
uk ≤
2(ln 2)β
2(ln 2)β β − 1 (ln 2)β −1 (ln n)β −1
k =2

donc

P
n

1

2(ln 2)β

+

1
1
β − 1 (ln 2)β −1

u n est convergente d’après le lemme fondamental ;

· si β < 1, alors

n
X
k =2

u k ≥ I n +1 =

par minoration que lim

n →+∞

Z

ln n

– Si β = 1, alors I n =
ln 2

n
X

[ln(n + 1)]1−β − [ln 2]1−β
: donc lim I n +1 = +∞ et on en déduit
n →+∞
1−β
u k = +∞ puis que

k =2

P
n

u n est divergente.

iln n
du h
= ln(ln n) − ln(ln 2). Donc
= ln u
ln 2
u
n
X
k =2

u k ≥ I n +1 = ln(ln(n + 1)) − ln(ln 2)

Comme lim I n +1 = +∞ et on en déduit par minoration que lim
n →+∞

est divergente.

Romain Dujol

n →+∞

n
X

u k = +∞ puis que

k =2

42

P
n

un

Cas où f est croissante
Soit k ≥ n 0 . Alors :
∀x ∈ [k , k + 1],
Z k +1
k

f (k ) ≤

f (x )
Z

f (k ) dx ≤

n
X
k =n 0
n
X
k =n 0

k +1

f (x ) dx
k
Z k +1

f (x ) dx

f (k ) ≤

Soit n ≥ n 0 . On note S n =

≤ f (k + 1)
Z k +1

k
n
X

f (k + 1) dx



en intégrant sur [k , k + 1]

k

≤ f (k + 1)

f (k ) et on somme la double inégalité pour k entre n 0 et n :

k =n 0

f (k ) ≤

n
X
k =n 0

Z

k +1
k

f (x ) dx ≤

n0

Z

n
X

f (k + 1)

k =n 0

n+1

f (x ) dx

f (k ) ≤
Sn ≤

Z

n+1
X



f (k )

k =n 0 +1

n+1

f (x ) dx
n0

≤ S n+1 − f (n 0 )

Considérons les deux inégalités séparément :
Z
– celle de gauche permet d’établir que S n ≤

n+1
nZ0

f (x ) dx pour tout n ≥ n 0 ;
n

– celle de droite permet d’établir que f (n 0 ) +
n0

f (x ) dx ≤ S n pour tout n > n 0

(on notera que la relation est également vérifiée pour n = n 0 ).
Finalement, pour tout n ≥ n 0 , f (n 0 ) +

Romain Dujol

Z

n

f (x ) dx ≤
n0

n
X

k =n 0

f (k ) ≤

Z

n +1

f (x ) dx .
n0

43

Exemple ( f : x 7→ ln x ). Pour tout entier naturel non nul k , on a :
k +1

Z
Donc

k

ln k dx ≤

∀x ∈ [k , k + 1], ln k ≤ ln x ≤ ln(k + 1)
Z k +1

k +1

Z

ln x dx ≤

k

Soit n ≥ 1. On note S n =

n
X

Z

ln(k +1) dx , c’est-à-dire ln k ≤

k

k +1

ln x dx ≤ ln(k +1).

k

ln k et on somme la double inégalité pour k entre 1 et n :

k =1

n
X
k =1

ln k ≤

n
X

k +1

k =1 k
Z n+1

Sn ≤

1

ln x dx ≤

n
X

n+1
X

ln x dx ≤

ln(k + 1)

k =1

ln k

n=2

n+1

Z
Sn ≤

Z

ln x dx ≤ S n+1 − ln 1 = S n+1

1

avec :
n+1

Z
1

Z

n+1

Z

n+1

h
in+1
1
ln x dx =
x · dx = x ln x

1
1
x
1
1
h
in+1 h in+1 h
in+1 h
in+1
= x ln x
− x
= x ln x − x
= x {ln x − 1}
h
in+1

1 · ln x dx = x ln x
1

1

1

n+1

Z

dx
1

1

= (n + 1)[ln(n + 1) − 1] − 1[ln 1 − 1] = (n + 1) ln(n + 1) − n
Donc S n ≤ (n + 1) ln(n + 1) − n pour n ≥ 1 et n ln n − (n − 1) ≤ S n pour n ≥ 2. Puis pour n ≥ 2 :
n ln n − (n − 1) ≤ S n ≤ (n + 1) ln(n + 1) − n

Sn
(n + 1) ln(n + 1) − n
n ln n − (n − 1)


n ln n
n ln n
n ln n
1
Sn
1 ln(n + 1)
1
1
+

≤ 1+

1−
ln n n ln n n ln n
n
ln n
ln n


1
1
1
1 ln(n + 1)
Or lim 1 −
+
= lim 1 +

= 1 : donc d’après le théorème d’enn→+∞
n→+∞
ln n n ln n
n
ln n
ln n
Sn
cadrement des limites, il vient que lim
= 1. Finalement :
n→+∞ n ln n
P

ln n est une série divergente et

n

Remarque. En remarquant que

k =1
n
X
k =1

Romain Dujol

n
X

ln k = ln

n
Y

ln k



n→+∞

n ln n .

!
k

= ln(n !), il vient que ln(n !)

k =1

44



n →+∞

n ln n .

Chapitre 2

Suites et séries d’applications
Dans tout le chapitre, X est un ensemble non vide et K désigne R ou C.

2.1
2.1.1

Suites d’applications
Convergence simple

Définition 2.1 (Convergence simple). Soit ( f n )n∈N une suite d’applications de X dans K.
Soit f une application de X dans K. On dit que ( f n )n ∈N converge simplement sur X vers f ,

CS
ce que l’on note f n −−−→ f , si et seulement si la suite numérique f n (x ) n∈N converge vers f (x )
n→+∞

pour tout élement x de X , c’est-à-dire :
CS

f n −−−→ f ⇐⇒ ∀x ∈ X , lim f n (x ) = f (x )
n→+∞

n→+∞

⇐⇒ ∀x ∈ X , ∀ǫ > 0, ∃N ∈ N, ∀n ≥ N , | f n (x ) − f (x )| ≤ ǫ
On dit alors que f est la limite simple de ( f n )n ∈N .
On dit que ( f n )n ∈N converge simplement sur X si et seulement si il existe une application f
de X dans K telle que ( f n )n∈N converge simplement vers f .

Proposition 2.1. Si une suite d’applications converge, alors il y a unicité de la limite simple.
Démonstration. Pour tout x de X , il y a unicité de la limite de la suite numérique f n (x )



n ∈N .

Remarque. L’ensemble des élements x de X pour lesquels la suite numérique f n (x )
est appelée domaine de convergence de ( f n )n ∈N .

Romain Dujol

45


n∈N

converge

Exemple. Pour tout entier naturel non nul n , on définit l’application :
f n : [0, 1] → R

.

1
1 − nx si x ∈ 0,
n
x
7→ max(1 − nx , 0) =
1

0
si x ∈
,1
n
Calculons la limite simple f de ( f n )n∈N (si elle existe). On distingue deux cas pour la valeur de x .
– Si x = 0, alors f n (0) = 1, donc lim f n (0) = 1.
n→+∞

– Si x 6= 0, alors il existe un entier naturel N tel que
f n (x ) = 0 : on en déduit que lim f n (x ) = 0.

1
1
< x . Donc pour tout n ≥ N , < x et
N
n

n→+∞

On en conclut que la limite simple de ( f n )n∈N est f : [0, 1] → (
R
x

7→

.
1 si x = 0
0 si x 6= 0

Remarque. La limite simple d’une suite de fonctions continues peut ne pas être continue.

Théorème 2.1. L’ensemble des suites d’applications de X dans K qui convergent simplement
sur X est un sous-espace vectoriel de l’ensemble des suites d’applications de X dans K.
Notamment, si ( f n )n∈N et (g n )n∈N sont deux suites d’applications de X dans K convergeant simplement sur X vers f et g respectivement, alors pour tout λ ∈ K, ( f n + λg n )n∈N
converge simplement sur X vers f + λg .

Démonstration. On applique la linéarité de la limite en tout point x de X .

2.1.2

Convergence uniforme

Définition 2.2 (Convergence uniforme). Soit ( f n )n∈N une suite d’applications de X dans K.
Soit f une application de X dans K. On dit que ( f n )n ∈N converge uniformément sur X
CU

vers f , ce que l’on note f n −−−→ f si et seulement si :
n→+∞

CU

f n −−−→ f ⇐⇒ ∀ǫ > 0, ∃N ∈ N, ∀n ≥ N , ∀x ∈ X , | f n (x ) − f (x )| ≤ ǫ
n→+∞

On dit alors que f est la limite uniforme de ( f n )n ∈N .
On dit que ( f n )n ∈N converge uniformément sur X si et seulement si il existe une application f de X dans K telle que ( f n )n∈N converge uniformément vers f .

Romain Dujol

46

Théorème 2.2. Si une suite d’applications converge uniformément sur X , alors elle converge
simplement sur X vers sa limite uniforme :
CU

f n −−−→ f
n→+∞

=⇒

CS

f n −−−→ f
n→+∞

L’ensemble des suites d’applications de X dans K qui convergent uniformément sur X est
un sous-espace vectoriel de l’ensemble des suites d’applications de X dans K qui convergent
simplement.
Notamment, si ( f n )n∈N et (g n )n∈N sont deux suites d’applications de X dans K convergeant uniformément sur X vers f et g respectivement, alors pour tout λ ∈ K, ( f n + λg n )n∈N
converge uniformément sur X vers f + λg .

Démonstration. Comparons la convergence simple et la continuité uniforme de ( f n )n ∈N :
– convergence uniforme de ( f n )n ∈N : ∀ǫ > 0, ∃N ∈ N, ∀n ≥ N , ∀x ∈ X , | f n (x ) − f (x )| ≤ ǫ
– convergence simple de ( f n )n ∈N : ∀x ∈ X , ∀ǫ > 0, ∃N ∈ N, ∀n ≥ N , | f n (x ) − f (x )| ≤ ǫ
Autrement dit, les coefficients ǫ et N ne dépendent plus de x lorsque la convergence est uniforme (mais
N dépend toujours de ǫ).

Remarque. Il existe des suites d’applications qui convergent simplement sans converger uniformément (cf. exemple page suivante).

Définition 2.3 (« Norme infinie »). Soit f une application de X dans K bornée.
Alors on définit k f k∞ , dite « norme infinie de f » par
k f k∞ = sup | f (x )|
x ∈X

Proposition 2.2. L’application f 7→ k f k∞ est une norme sur l’ensemble des applications de X
dans K bornées. C’est-à-dire que si f et g sont deux applications de X dans K bornées, alors :
1. k f k∞ = 0 si et seulement si f est la fonction nulle ;
2. pour tout λ ∈ K, kλ · f k∞ = |λ| · k f k∞

3. k f + g k∞ ≤ k f k∞ + kg k∞

Romain Dujol

47

Théorème 2.3 (Caractérisation rapide de la convergence uniforme).
Soit ( f n )n∈N une suite d’applications de X dans K et f une application de X dans K. Alors :
(
CU

f n −−−→ f ⇐⇒
n→+∞

Démonstration.

∃N ∈ N, ∀n ≥ N , f n − f est une application bornée
lim k f n − f k∞ = 0

n→+∞

CU

f n −−−→ f ⇐⇒ ∀ǫ > 0, ∃N ∈ N, ∀n ≥ N , ∀x ∈ X , | f n (x ) − f (x )| ≤ ǫ
n →+∞

⇐⇒ ∀ǫ > 0, ∃N ∈ N, ∀n ≥ N , sup | f n (x ) − f (x )| ≤ ǫ
x ∈X

⇐⇒ ∀ǫ > 0, ∃N ∈ N, ∀n ≥ N , k f n − f k∞ ≤ ǫ
⇐⇒ lim k f n − f k∞ = 0
n →+∞

Exemple. On reprend l’exemple précédent. Pour tout entier naturel n , f n est bornée ainsi que f .
Donc f n − f est bornée et :



1
1
k f n − f k∞ = sup | f n (x ) − f (x )| ≥ f n
−f
2n
2n
x ∈[0,1]


1
1
1
1
Or f n
= et f
= 0. Donc pour entier naturel non nul n , k f n − f k∞ ≥ et ne peut
2n
2
2n
2
donc pas être le terme général d’une suite convergente vers 0.
Donc ( f n )n≥1 ne converge pas uniformément sur X vers f .


Remarque. La technique précédente pour montrer la non-convergence uniforme est à retenir.
Exemple. Pour tout entier naturel non nul n , on définit l’application :
g n : [0, 1] → R
.


1
1
 − x si x ∈ 0,

1
n
n
−x,0
x
7→ max
1

n
,1
0
si x ∈
n
Pour tout entier naturel non nul n , pour tout x ∈ [0, 1], on a 0 ≤ g n (x ) ≤

1
: donc g n est
n

1
.
n
x ∈[0,1]
Donc lim kg n − 0k∞ = 0 et (g n )n∈N converge uniformément sur X vers la fonction nulle.

bornée et kg n − 0k∞ = kg n k∞ = sup g n (x ) ≤
n→+∞

Romain Dujol

48

Corollaire. Soit ( f n )n∈N une suite d’applications de X dans K et f une application de X dans K.
Alors ( f n )n∈N converge uniformément sur X vers f si et seulement si ( f n − f )n∈N converge uniformément sur X vers la fonction nulle.

Définition 2.4 (Convergence uniforme locale).
Soit I un intevalle de R et ( f n )n∈N une suite d’applications de I dans K.
On dit que ( f n )n ∈N converge localement uniformément sur I si et seulement si ( f n )n∈N
converge uniformément sur tout intervalle fermé borné inclus dans I .

Théorème 2.4 (Condition de convergence de CAUCHY).
Soit ( f n )n∈N une suite d’applications de X dans K. La suite d’applications ( f n )n∈N
converge uniformément sur X si et seulement si :


∀ǫ > 0, ∃N ∈ N, ∀p > N , ∀q > N , ∀x ∈ X , f p (x ) − f q (x ) ≤ ǫ

2.1.3

Théorèmes d’interversion

Théorème 2.5 (Théorème d’interversion des limites). Soit a ∈ X et ( f n )n∈N une suite d’applications de X dans K et f une application de X dans K telles que :
1. pour tout entier naturel n , f n admette une limite ℓn en a ;
2. ( f n )n∈N converge uniformément sur X vers f .
Alors la suite numérique (ℓn )n∈N est convergente, f admet une limite finie en a et les deux
valeurs coïncident :
lim f (x ) = lim ℓn
x →a

n→+∞

Démonstration. Comme ( f n )n ∈N converge uniformément sur X vers f , on utilise le théorème 2.4 :


∀ǫ > 0, ∃N ∈ N, ∀p > N , ∀q > N , ∀x ∈ X , f p (x ) − f q (x ) ≤ ǫ


⇒ ∀ǫ > 0, ∃N ∈ N, ∀p > N , ∀q > N , lim f p (x ) − f q (x ) ≤ ǫ
x →a



∀ǫ > 0, ∃N ∈ N, ∀p > N , ∀q > N , |ℓp − ℓq | ≤ ǫ

Il vient que la suite (ℓn )n ∈N est une suite de CAUCHY, puis qu’elle est convergente : on note ℓ sa limite.

Romain Dujol

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