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Chapitre 3 .pdf



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Limites

Ouverture
Les premières notions de limites sont celles associées aux suites développées dans le chapitre
précédent. 
Le premier exemple de détermination d’un nombre par une méthode de segments
emboîtés est vraisemblablement l’approximation
de l’aire d’un cercle donnée dans le livre 12 des Éléments d’Euclide. Cette approximation n’est qu’un
cas particulier de « La méthode d’exhaustion »,
sans doute imaginée par Eudoxe, que l’on pratiqua très largement jusqu’au xviie siècle : aucune
formulation précise de limite n’était alors utilisée.
Fermat obtient par exemple, par ce procédé d’encadrement, l’aire limitée par la courbe y = xn, avec n
entier, et les droites verticales x = a et x = b.
Cette absence de notion précise de limite pour
de telles études ne posait pas de réel problème…
jusqu’au moment où les mathématiciens envisagèrent un problème très différent, effleuré dans
l’Antiquité : la détermination des tangentes à
une courbe.
Pour les Grecs, une tangente à une courbe en
un point est une droite qui passe par le point
et qui « à son voisinage » laisse la courbe d’un
même côté. Grâce aux segments emboîtés, ils
déterminent les tangentes aux coniques et même
celles à la spirale d’Archimède.
C’est à nouveau Fermat qui, en 1636, reprend de
manière systématique le problème des tangentes
aux courbes y = xn, avec n entier, mais cette fois en
utilisant des coordonnées. Il est alors confronté à
des quotients du type Dy/Dx et il pratique à nouveau la méthode d’exhaustion 
; on s’aperçut
également que sa méthode s’appliquait à d’autres
courbes (par exemple y = sinx). À la même époque,
Galilée et Kepler trouvaient, avec des quotients
analogues, la notion de vitesse instantanée et d’accélération. Tous se confrontaient à un fait irritant au
moment de calculer de tels quotients le numérateur
et le dénominateur s’annulent… Il était temps de se
pencher sur ce problème et l’ouvrage Analyse des
infiniment petits du Marquis de l’Hospital de 1696
donne un aperçu assez complet des dilemmes des
mathématiciens de l’époque.
En fait, même plus tard au xviiie siècle, personne
ne savait dire ce qu’était une limite sans utiliser le

concept intuitif de « rapprochement » et la lecture
de l’article « Limite » de d’Alembert dans l’Encyclopédie (1784) est révélatrice de ces tâtonnements…
Ce n’est qu’au début du xixe siècle que les définitions « modernes » se sont précisées et le
Résumé des leçons données à l’École Royale
Polytechnique sur le Calcul Infinitésimal (1823)
par Augustin-Louis Cauchy contient, enfin, une
définition de « limite », mais pas encore avec nos
fameux e !
Réponse à la question : pour un corps qui s’éloignerait indéfiniment de la Terre, on remarque
que le dénominateur de la formule de la pesanteur tendrait lui aussi vers l’infini. On verra dans
ce chapitre que, dans ce cas là, la pesanteur tend
vers zéro. Dans le cas où le corps se situerait au
centre de la Terre, le dénominateur s’approcherait de zéro et on verra dans ce chapitre que,
dans ce cas là, la pesanteur tend vers l’infini.

Vérifier ses acquis
1 a. Vrai.  b. Faux, par exemple (–1)n.  c. Vrai.
2 1. a. et b.
3. a. c. et d.
5. c.

2. a. b. et d.
4. c.
6. b.

3 a. Les racines de P sont −1 et 3.
b. P est négatif à l’intérieur des racines et positif
à l’extérieur donc P(−2), P(4), P(−1,01) sont positifs et P(1), P(2), P(−0,99) sont négatifs.
4 a. lim n2 , donc par minoration


lim un .



b. lim (2 - n) - , donc par majoration


lim un - .



c. lim

1

nÆ n

Ê 1ˆ
lim Á- ˜ 0, donc d’après le théonÆ Ë n¯

rème des gendarmes lim un 0.


5 1. f est dérivable comme fonction rationnelle
sur son ensemble de définition et pour tout
-4
x > 1, f ¢(x)
. Comme f′(x) < 0 sur
2
x -1
]1 ; +∞[, f est décroissante sur ]1 ; +∞[.





Chapitre 3 n Limites n  57

© éditions Belin, 2012.

3

4
, donc f(x) – 2  > 0 sur
x -1
]1 ; +∞[, ainsi la courbe  se situe au-dessus de
la droite  sur l’intervalle ]1 ; +∞[.
b. PM = f(x) –2.
c. On conjecture que la distance PM s’approche
de 0 lorsque x devient grand.

2. a. f(x) - 2

Activités d’introduction
a. @ fichier GeoGebra corrigé disponible sur
www.libtheque.fr/mathslycee
b. La suite (un) est définie par
Ê
2 10ˆ
un = 0,2n3 – 2n2 – 10 = n3 Á0, 2 - - ˜ .
n n3¯
Ë
Or

lim



x Æ

quotient, lim MN = lim (f(x) - 140) 0.
x Æ

x Æ

On ne peut avoir MN = 0, car le quotient
30
ne s’annule jamais.
0, 51x - 15

Activité 3

Activité 1

n3

30
0, donc
0, 51x - 15
30
f(x) > 140 et MN = 
. Or
0, 51x - 15
lim 0, 51x - 15 , donc par limite de

c. Sur [30 ; +∞[ on a

Ê
2 10ˆ
et lim Á0, 2 - - ˜ 0, 2
n n3¯
nÆ Ë

1 a. u(x) 4 8 .
x

c. g(x) 4

8
.
x

b. f(X) X .
d. g(x) = f(u(x)).

2 a.
Calculatrice TI

Calculatrice Casio

donc, par limite de produit, lim un .


x Æ

forme ]A ; +∞[ contient f(x) pour x assez grand.
f. Pour A = 80 on lit m = 12,8, pour A = 100 on
lit m = 13,2, pour A = 150 on lit m = 14,1, pour
A = 200 on lit m = 14,8. On peut ainsi déterminer
une valeur m quelque soit A. Pour l’étude de la
limite de f en plus l’infini, cela n’a d’intérêt que
pour de « grandes » valeurs de A.

Activité 2
30
,or lim 0, 51n - 15
0, 51n - 15 nÆ
donc, par limite de quotient et de somme, on
obtient l = 140. On peut en déduire que l’indice
du prix de l’immobilier aux États-Unis devrait se
stabiliser vers 140.

1 un 140

2 a. @ fichier GeoGebra corrigé disponible sur
www.libtheque.fr/mathslycee
b. On conjecture que la distance MN se rapproche de 0 lorsque x devient grand. On ne peut
avoir MN = 0.

58 n Chapitre 3 n Limites

b. Non, car si le réel a appartient à l’intervalle
]−2 ; 0[ le réel b est strictement négatif donc sa
racine carrée c n’existe pas et si a = 0 alors le réel
b n’existe pas.
c.
x
g(x) à

−10
10−3

1,789

près

−100 −1 000 −10 000
1,980

1,998

2

d. Le tableau précédent permet de conjecturer
que la limite de g en moins l’infini est 2.
Ê

e. lim u(x) lim Á4 ˜ 4 et

x Æ-
x Æ- Ë
lim f(X) lim

X Æ4

X Æ4

lim g(x) lim

x Æ-

X 4 2, donc

x Æ-

4

8
2.
x

3 a.
Saisir(a) ;
b =  a ;
8
c = 4 +  ;
b
Afficher(c) ;

© éditions Belin, 2012.

La suite (un) tend vers +∞ donc tout intervalle
ouvert de la forme ]A ;  +∞[ contient tous les
termes de la suite à partir d’un certain rang.
c. Les valeurs f(x) semblent devenir très grandes
lorsque x devient grand.
d. lim f(x) si tout intervalle ouvert de la

Travaux pratiques
1TP Algorithmique 1  Limites en l’infini des

fonctions polynômes
et rationnelles

Partie 1

1 a. Les nombres A[i] sont les coefficients du
polynôme.
b. Les lignes rouges de l’algorithme effectuent le
calcul de l’image par le polynôme de 10p.
c. L’algorithme renvoie les images par le polynôme des réels 102, 103,…, 1010.
2 a. Non, car nous sommes en présence de la
forme indéterminée « ∞ – ∞ ».
b. L’algorithme précédent permet de conjecturer
la limite en +∞ d’un polynôme car il renvoie les
images de très grandes valeurs par ce polynôme.
@ Le fichier Algobox corrigé est disponible sur
www.libtheque.fr/mathslycee
On conjecture que lim P(x) , lim Q(x) - ,
x Æ

x Æ

lim R(x) , lim S(x) - et lim T(x) .

x Æ

x Æ

x Æ

c. La limite en plus l’infini d’un polynôme semble
dépendre de son terme de plus haut degré.
Règle : la limite d’un polynôme en +∞ est égale à
la limite en +∞ de son terme ou monôme de plus
haut degré.

3 Un polynôme (non nul) de degré n s’écrit
P(x) = anxn + an–1xn–1 + … + a1x + a0 où a0,…, an
sont des réels tels que an est non nul.
En factorisant par le terme anxn, on obtient
Ê a
a
a
1
1

.
P(x) an x n Á1 n-1 ¥ º 1 ¥

an
x
an x n-1 an x n˜¯
Ë

Or par limite de somme on a :
Ê
a
a
a
1
1

lim Á1 n-1 ¥ º 1 ¥

1
an
x
an x n-1 an x n˜¯
x Æ Ë
donc lim P(x) lim an x n .
x Æ

x Æ

4 On a de même :

Ê
a
a
a
1
1

lim Á1 n-1 ¥ ... 1 ¥
0 ¥ ˜ 1
1
n
a
x
a
a
x Æ- Ë
x
x n¯
n
n
n
donc lim P(x) lim an x n .
x Æ –

x Æ –

Règle : la limite d’un polynôme en l’infini est
égale à la limite en l’infini de son terme ou
monôme de plus haut degré.

Partie 2

1 @ Le fichier Algobox corrigé est disponible
sur www.libtheque.fr/mathslycee
2 Règle : la limite d’une fonction rationnelle en
plus l’infini est égale à la limite en plus l’infini
du quotient de ses termes ou monômes de plus
haut degré.
Une

fonction rationnelle non nulle s’écrit
a a x a2 x2 º an x n
F(x) 0 1
, où n et m sont
b0 b1x b2 x2 º bn x n
deux entiers naturels et a0,…, an, b0,…, bm sont
des réels tels que an et bm sont non nuls.
En factorisant le numérateur par le terme anxn et le
dénominateur par le terme bmxm, on obtient F(x)  =
Ê a
a
a
1
1

an x n Á1 n-1 ¥ ... 1 ¥

an
x
an x n-1 an x n˜¯
Ë
.
Ê b
b
b
1
1

bm x m Á1 m-1 ¥ ... 1 ¥
0 ¥
bm
x
bm x m-1 bm x m˜¯
Ë
Or

Ê
a
a
a
1
1

lim Á1 n-1 ¥ ... 1 ¥
0 ¥ ˜ 1
1
n
an
x
an x
an x n¯
x Æ Ë

et

Ê b
b
b
1
1

1,
lim Á1 n-1 ¥ ... 1 ¥
0 ¥
bm
x
bm x m-1 bm x m¯˜

x Æ Ë

an x n
.
x Æ bn x n

donc lim F(x) lim
x Æ

La règle énoncée et la démonstration faite dans
cette question s’étendent à l’étude de la limite en
moins l’infini.

Chapitre 3 n Limites n  59

© éditions Belin, 2012.

b. Pour une même valeur de départ, les résultats obtenus avec les deux algorithmes diffèrent.
Par exemple pour a = 2, le premier algorithme
retourne 2,83 alors que le second retourne 9,66
donc f(u(2)) ≠ u(f(2)).
Par ailleurs le second algorithme ne fonctionne
que pour tout réel a strictement positif alors que
le premier fonctionne lorsque a ≤ −2 ou a > 0.
8
c. u(f(x)) = 4
. Cette fonction est définie sur
x
]0 ;  +∞[ donc on ne peut étudier sa limite en
moins l’infini.

1 a. @ Le fichier GeoGebra corrigé est disponible sur www.libtheque.fr/mathslycee
b. Seul le point de coordonnées (0 ; 10) semble
appartenir à toutes les courbes n.
c. Pour tout entier naturel n pair, la courbe n
semble symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
d. –  La courbe 1 semble admettre la droite
d’équation y = 0 pour asymptote horizontale et
les droites d’équations x = –1 et x = 1 pour asymptotes verticales.
–– La courbe 2 semble admettre la droite d’équation y = 1 pour asymptote horizontale et les
droites d’équations x =  −1 et x = 1 pour asymptotes verticales.
–– Pour tout entier n ≥ 3, la courbe 1 semble
admettre les droites d’équations x = −1 et x = 1
pour asymptotes verticales.
2 a. Soient m et n deux entiers naturels non
nuls tels que m > n.
Pour tout réel x différent de −1 et 1, fn(x) = fm(x)
x n - 10 x m - 10


x2 - 1
x2 - 1
n
m
€x x


x n(1 -

x m- n)

0

€ x n 0 carr x est différent de 1 et – 1
€ x 0.
Les courbes n et m ont donc pour seul point
commun le point d’abscisse 0 et d’ordonnée
fn(0) = 10.
b. Pour tout x de R−{–1 ; 1}, le réel –x appartient
aussi à R−{–1 ; 1} et
(-x)n - 10 x n - 10
fn(-x)

fn(x), car n étant
(-x)2 - 1
x2 - 1
n
n
pair, on a (−x)  = x .
Pour tout point M de la courbe n de coordonnées
(x, fn(x)), son symétrique M′ par rapport à l’axe
des ordonnées a pour coordonnées (−x,  fn(x)) ;
or M′ appartient à n car ses coordonnées s’écrivent aussi (−x, fn(−x)). Donc lorsque n est pair, la
courbe n est symétrique par rapport à l’axe des
ordonnées.
x -1
c. •  f1(x)
, donc d’après le TP Algorithx2 - 1
1
x
mique 1, lim f1(x) lim
lim
0 et de
x Æ
x Æ x2
x Æ x
même lim f1(x) 0, donc l’axe des abscisses est
x Æ-

asymptote horizontale à la courbe 1 en plus et
moins l’infini.

60 n Chapitre 3 n Limites

x2 - 1
, donc d’après le TP Algorithmique
x2 - 1
1
x
1, lim f2(x) lim
lim
0 et de même
x Æ
x Æ x2
x Æ x
lim f2(x) 0, donc la droite d’équation y = 1 est
• f2(x)

x Æ –

asymptote horizontale à la courbe 2 en plus et
moins l’infini.
• Pour n entier supérieur ou égal à 3,
xn
lim fn(x) lim
lim x n- 2 , donc les
x Æ
x Æ x2
x Æ
courbes n ne possèdent pas d’asymptotes
horizontales.
x n - 10
• Pour n Œ•* , fn(x)
.
x2 - 1
lim(x n - 10) 1n - 10 -9 et lim(x2 - 1) 0 ,
x Æ1

x Æ1
x 1

donc par limite de quotient lim fn(x) - .
x Æ1
x 1

De même, lim(x2 - 1) 0- donc par limite de
x Æ1
x 1

quotient lim fn(x) .
x Æ1
x 1

La droite d’équation x = 1 est donc asymptote
verticale aux courbes n.
-9 si n est pair
lim (x n - 10) (-1)n - 10 Ì
x Æ –1
ÓÔ-11 si n est impair
et lim (x2 - 1) 0- , donc par limite de quotient
x Æ-1
x -1

lim fn(x) .

x Æ-1
x -1

De même, lim (x2 - 1) 0 , donc par limite de
x Æ-1
x -1

quotient lim fn(x) -
x Æ-1
x -1

La droite d’équation x =  −1 est donc asymptote
verticale aux courbes n.

3 a. D’après l’étude des asymptotes, la seule
courbe n possédant une asymptote horizontale
autre que l’axe des abscisses est la courbe 2,
donc n = 2.
b. La fonction f2 est dérivable sur R−{–1 ;  1}
comme fonction rationnelle sur son ensemble de
définition et
2x(x2 - 1) - (x2 - 10) ¥ 2x 20x - 2x

f2¢(x)
(x2 - 1)2
(x2 - 1)2
18x

.
(x2 - 1)2

© éditions Belin, 2012.

2TP Tice 1  Étude d’une famille de fonctions

Comme sur R−{–1 ; 1}, (x2 – 1)2 > 0 le signe de
f′2(x) est celui de 18x.
x

–∞

Signe
de f′2

–1


Variations
de f2

0


0

+∞

1
–∞

+∞

1
+

+
+∞

10

5 a. lim f(x) lorsque tout intervalle de la
x Æ5

forme ]A ; +∞[ contient f(x) pour x suffisamment
proche de 5.
b. lim f(x) 5 lorsque tout intervalle ouvert
x Æ

1
–∞

c. Pour tout réel x de R−{–1 ; 1},
x2 - 10
-9
f2(x) - 1
- 1
.
x2 - 1
x2 - 1
Comme –9 < 0, le signe de f2(x) – 1 est l’opposé
de celui de x2 − 1, on a donc :
Sur ]−1 ; 1[, f2(x) – 1 > 0 et la courbe 2 se situe
au-dessus de la droite d’équation y = 1.
Sur ]–∞ ; −1[ » ]1 ; +∞[, f2(x) – 1 < 0 et la courbe 2
se situe en dessous de la droite d’équation y = 1.

contenant 5 contient f(x) pour x assez grand.
c. lim f(x) - lorsque tout intervalle de la
x Æ5

forme ]–∞ ; A[ contient f(x) pour x suffisamment
proche de 5.
d. lim f(x) 5 lorsque tout intervalle ouvert
x Æ-

contenant 5 contient f(x) pour x négatif et assez
grand en valeur absolue.

6 a. Faux.  b. Faux.  c. Vrai.  d. Faux.
7 a. Faux.  b. Vrai.  c. Faux.
8 a. Faux.  b. Vrai.  c. Faux.
9 a. Si lim f(x) 2 et lim g(x) , alors
x Æ

x Æ-

lim f(g(x)) 2.

x Æ –

Exercices

b. Si lim f(x) 0 et lim g(x) 1, alors
x Æ1

lim f(g(x)) 0.

x Æ

x Æ

Maîtriser le cours
1 a. Vrai. b. Faux.
c. Faux, on peut prendre par exemple une fonction définie sur [100 ; +∞[ et m = 10.
d. Vrai. e. Vrai.
2 a. Vrai.  b. Faux.  c. Vrai.  d. Faux.
3 a. Faux, par exemple si f est définie par
f(x) 4 -

1
.
x 1

b. Vrai.
c. Faux, par exemple si f est définie par
1
f(x)
.
x2 1
4 a. lim f(x) - lorsque tout intervalle de la
x Æ

forme ]–∞ ; A[ contient f(x) pour x assez grand.
b. lim f(x) lorsque tout intervalle de la
x Æ-

forme ]A ;  +∞[ contient f(x) pour x négatif et
assez grand en valeur absolue.
c. lim f(x) 2 lorsque tout intervalle ouvert

c. Si lim f(x) 0, alors lim f
x Æ

x Æ

x 0

10 a. Vrai.
1
b. Faux, prendre par exemple f(x) - 1.
x
c. Vrai.

Appliquer les capacités attendues
12
2
a. x 1 A € x2 - Ax 1 0
x
È
˘ A - A2 - 4 È ˘ A A2 - 4
€ x Œ ˙0 ;
; Í .
Í»˙
2
2
˙˚
ÍÎ ˙˚
ÍÎ
b. Pour tout réel A > 2, il existe un réel m (égal à
A A2 - 4
) tel que si x > m, alors f(x) > A.
2
On en déduit que la limite de la fonction f en +∞
est +∞.

14 a. On conjecture que la limite de la fonction
f en +∞ est +∞.

x Æ-

forme ]–∞ ;  A[ contient f(x) pour x négatif et
assez grand en valeur absolue.

Chapitre 3 n Limites n  61

© éditions Belin, 2012.

x Æ

contenant 2 contient f(x) pour x assez grand.
d. lim f(x) - lorsque tout intervalle de la

b. On conjecture que la limite de la fonction g en
+∞ est +∞.

24

16 a. On conjecture que la limite de la fonction
f en –∞ est –∞ et la limite de f en +∞ est +∞.
b. On conjecture que la limite de la fonction f en
–∞ est −2 et la limite de f en +∞ est +∞.

La limite de la fonction f à gauche de 4 semble
être –∞ et celle à droite de 4 semble être +∞ donc
f ne semble pas admettre de limite en 4.

18 On considère la fonction f définie sur

R*

par
1
f(x) = 1 .
x2
a. On résout f(x) > A pour déterminer l’intervalle
˘ -1
1 È
;
cherché, puis on montre que si x Œ ˙
Í
1
A
A
- 1Î
˚
et x ≠ 0, alors f(x) > A.
b. On en déduit que la limite de la fonction f en
0 est +∞.

20 a. La limite de la fonction f à gauche de −1
semble être –∞ et celle à droite de −1 semble être
+∞ donc f ne semble pas admettre de limite en −1.
b. La limite de la fonction g à gauche de −1
semble être +∞ et celle à droite de −1 semble être
–∞ donc g ne semble pas admettre de limite en −1.
21 a. La limite en –∞ semble être –∞, celle à
gauche de 2 semble être –∞, celle à droite de 2
semble être +∞ et celle en +∞ semble être +∞.
b. La limite en –∞ semble être 0, celle à gauche
de −1 semble être –∞, celle à droite de −1
semble être +∞, celle à gauche de 1 semble être
+∞, celle à droite de 1 semble être –∞, et celle en
+∞ semble être 0.
c. La limite en –∞ semble être 4, celle à gauche
de 0 semble être +∞, celle à droite de 0 semble
être –∞ et celle en +∞ semble être 4.
23

25 a. On ne peut pas en déduire d’asymptote
verticale ou horizontale.
b. La courbe  admet la droite d’équation y = –5
pour asymptote horizontale en –∞.
c. La courbe  admet la droite d’équation x = 0
pour asymptote verticale.
d. La courbe  admet la droite d’équation y = 0
pour asymptote horizontale en –∞.
26 a. La droite d’équation x = 2 semble être
asymptote verticale à .
b. Les droites d’équations x = −1 et x = 1 semblent
être asymptotes verticales à  et la droite d’équation y = 0 semble être asymptote horizontale à 
en plus et moins l’infini.
c. La droite d’équation x = 0 semble être asymptote verticale à  et la droite d’équation y = 4
semble être asymptote horizontale à  en plus et
moins l’infini.
lim x donc lim
x - 1 ¸
x Æ
x Æ
Ô
29 a.
˝
1
Ô
lim
0
˛
x Æ x
Ê

donc par limite de somme lim Á x - 1 ˜ .

x Æ Ë
¸
Ê

lim Á2 - ˜ - Ô

x Æ0 Ë
ÔÔ
x 0
b.
˝ donc par limite de proÊ1
ˆ
lim Á 4x˜ Ô
Ô
¯
x Æ 0 Ë x2
Ô˛
x 0
ÊÊ
ˆˆ
1ˆ Ê 1
duit lim ÁÁ2 - ˜ Á 4x˜˜ - .
x ¯ Ë x2
¯¯
x Æ 0 ËË





x 0

¸
ÔÔ
c. lim(4 - 2x) 0 ˝ donc par limite de quotient
Ô
x Æ2
Ô˛
x 2
x3
lim
.
x Æ2 4 - 2x
lim x3 8

Les limites de la fonction f à gauche de −1 et à
droite de −1 semblent être égales à +∞, donc f
semble admettre +∞ comme limite en −1.

62 n Chapitre 3 n Limites

x 2

© éditions Belin, 2012.

x Æ2

1

¸
1
0
Ô
x Æ x2
˝ donc par limite de somme
lim (2x 1) Ô
˛
x Æ
Ê1
ˆ
lim Á 2x 1˜ .
¯
x Æ Ë x2
lim

¸
Ô
˝ donc par limite de somme
lim (2x 1) - Ô
˛
x Æ-
Ê1
ˆ
lim Á 2x 1˜ - .
¯
x Æ- Ë x2
1

lim

x Æ- x2

0





b. lim (4 - x 4)(3x - 1) 4 ¥ (-1) -4.
x Æ0

lim (4 - x2) - ¸
Ô
˝ donc par limite de produit
lim (3x - 1) Ô
˛
x Æ
x Æ





lim (4 - x2)(3x - 1) - .

x Æ

lim (4 - x2) - ¸
Ô
˝ donc par limite de produit
lim (3x - 1) - Ô
˛
x Æ-
x Æ-



lim (4 -

x Æ-

x2)(3x



- 1) .

lim(5x - 1) 14¸
Ô
Ô
c.
1
˝ donc par limite de somme
lim
Ô
x Æ3 x - 3
Ô˛
x 3
x Æ3

Ê
1 ˆ
lim Á5x - 1
.
x - 3˜¯
x Æ3 Ë
x 3

lim(5x - 1) 14¸
Ô
Ô
1
˝ donc par limite de somme
lim
- Ô
x Æ3 x - 3
Ô˛
x 3
x Æ3

Ê
1 ˆ
lim Á5x - 1
- .
x - 3˜¯
x Æ3 Ë
x 3

lim (5x - 1) ¸
Ô
˝ donc par limite de somme
1
0 Ô
lim
˛
x Æ x - 3
Ê
1 ˆ
lim Á5x - 1
.
x - 3˜¯
x Æ Ë
x Æ

lim (5x - 1) - ¸
Ô
˝ donc par limite de somme
1
0 Ô
lim
˛
x Æ- x - 3
Ê
1 ˆ
lim Á5x - 1
- .
x - 3˜¯
x Æ- Ë
x Æ-

4x
0
0.
4
x
4
x Æ0
lim 4x 16 ¸
x Æ4
ÔÔ
lim 4 - x 0-˝ donc par limite de quotient
Ô
x Æ4
Ô˛
x 4
4x
lim
- .
x Æ4 4 - x

d. lim

x 4

¸
ÔÔ
lim 4 - x 0 ˝ donc par limite de quotient
Ô
x Æ4
Ô˛
x 4
4x
lim
.
x Æ4 4 - x
lim 4x 16

x Æ4

x 4

¸
Ê 1ˆ
lim Á- ˜ - ÔÔ
2
¯
x
31 a.
˝ donc par limite de
Ô
lim x2 0
Ô˛
x Æ0
Ê 2 1ˆ
somme lim Á x - ˜ - .
x Æ0 Ë
x2¯
x Æ0 Ë

¸
Ê 1ˆ
lim Á- ˜ 0ÔÔ
2
x Æ Ë x ¯
˝ donc par limite de somme
lim x2 Ô
Ô˛
x Æ
Ê

lim Á x2 - ˜ .
x Æ Ë
x2¯
¸
Ê 1ˆ
lim Á- ˜ 0ÔÔ
2
¯
x
˝ donc par limite de somme
lim x2 Ô
Ô˛
x Æ-
Ê 2 1ˆ
lim Á x - ˜ .
x Æ- Ë
x2¯
x Æ- Ë





3- 3
3- 3
3- x
¥0 0
x
9
Pour la limite en 0, d’après l’ensemble de définition de la fonction, on a nécessairement x > 0.
¸
3- 3
Ô
lim
x
x Æ0
Ô
˝ donc par limite de produit
x 0
Ô
lim 3 - x 3 Ô
˛
x Æ0
Ê3 - 3
ˆ
3 - x ˜ .
lim Á
x
x Æ0 Ë
¯

b. lim

x Æ9








Chapitre 3 n Limites n  63

© éditions Belin, 2012.

¸
Ô
˝ donc par limite de somme
lim (2x 1) 1Ô
˛
x Æ0
Ê1
ˆ
lim Á 2x 1˜ .
¯
x Æ 0 Ë x2
lim

30 a. x Æ0 x2

Ê
4 ˆ
lim Á4 - x2
- .
x Æ2 Ë
4 - x2˜¯
x 2

lim(4 - x2) 0 ¸
Ô
Ô
4
˝ donc par limite de somme
Ô
lim
x Æ2 4 - x2
Ô˛
x 2
x Æ2

Ê
lim Á4 - x2

x Æ2 Ë
x 2

4 ˆ
.
4 - x2˜¯

lim (4 - x2) 0 ¸
Ô
x Æ-2
Ô
4
˝ donc par limite de somme
Ô
lim
x Æ-2 4 - x2
Ô˛
x -2
Ê
4 ˆ
lim Á4 - x2
.
4 - x2˜¯

x Æ-2 Ë
x -2

0 ¸
Ô
Ô
4
˝ donc par limite de somme
- Ô
lim
2
x Æ-2 4 - x
Ô˛
x -2
lim (4 -

x Æ-2

x2)

Ê
4 ˆ
lim Á4 - x2
- .
4 - x2¯˜

x Æ-2 Ë
x -2

lim (4 - ¸
Ô
x Æ
˝ donc par limite de somme
4
0 Ô
lim
x Æ 4 - x2
˛
Ê
ˆ
4
lim Á4 - x2
- .
x Æ Ë
4 - x2˜¯
x2)

lim(4x - 5) -1¸
Ô
d. x Æ1
˝ donc par limite de quotient
lim(x - 1)2 0 Ô
˛
x Æ1
4x - 5
lim
- .
x Æ1 (x - 1)2

32 a.





lim 1 - 2x

x Æ1/ 2
x 1/ 2

0-

Ê
4 ˆ
donc lim Á6 .
1 - 2x ˜¯
x Æ1/ 2 Ë
x 1/ 2

Ê
4 ˆ
lim (1 - 2x) 0 donc lim Á6 - .
1 - 2x ˜¯
x Æ1/ 2
x Æ1/ 2 Ë
x 1/ 2

x 1/ 2

64 n Chapitre 3 n Limites

4

lim

x Æ 1 - 2x

4

lim

x Æ- 1 - 2x

Ê
4 ˆ
0 donc lim Á6 6.
1 - 2x ˜¯
x Æ Ë
Ê
4 ˆ
0 donc lim Á6 6.
1 - 2x ˜¯
x Æ- Ë

2- x
2
1

- .
4
2
x Æ0 x - 4
lim (2 - x) -14 ¸
x Æ16
ÔÔ
lim x - 4 0 ˝ donc par limite de quotient
Ô
x Æ16
Ô˛
x 16
2- x
- .
lim
x Æ16 x - 4

b. lim



x 16







lim 2 - x -14 ¸
ÔÔ
lim x - 4 0-˝ donc par limite de quotient
Ô
x Æ16
Ô˛
x 16
2- x
.
lim
x Æ16 x - 4
x Æ16





x 16

¸
x-6
-2Ô
3
Ô
c.
˝ donc par limite de somme
1
- Ô
lim
x Æ 0 3x
Ô
x 0
˛
Êx -6 1ˆ
˜ - .
lim Á
3x ¯
x Æ0 Ë 3
lim

x Æ0

x 0

¸
x-6
-2Ô
3
Ô
˝ donc par limite de somme
1
Ô
lim
x Æ 0 3x
Ô
x 0
˛
Êx -6 1ˆ
˜ .
lim Á
3x ¯
x Æ0 Ë 3
lim

x Æ0

x 0

¸
x-6
Ô
Ô
3
˝ donc par limite de somme
1
Ô
0
lim
Ô˛
x Æ 3x
Êx -6 1ˆ
˜ .
lim Á
3x ¯
x Æ Ë 3
lim

x Æ

¸
x-6
- Ô
Ô
x Æ- 3
˝ donc par limite de somme
1
Ô
0
lim
Ô˛
x Æ- 3x
Êx -6 1ˆ
˜ - .
lim Á
3x ¯
x Æ- Ë 3
lim

© éditions Belin, 2012.

lim(4 - x2) 0 ¸
Ô
Ô
c.
4
˝ donc par limite de somme
lim
- Ô
2
x Æ2 4 - x
Ô˛
x 2
x Æ2



1
en +∞, en 7 et en 0
x x-7







lim x(x - 7) donc par limite d’inverse

x Æ

lim

x Æ



1
0.
x(x - 7)



lim x(x - 7) 0 donc par limite d’inverse

x Æ7
x 7

lim

x Æ7
x 7

1
.
x(x - 7)





lim x(x - 7) 0- donc par limite d’inverse

x Æ7
x 7

lim

x Æ7
x 7

1
- .
x(x - 7)





lim x(x - 7) 0- donc par limite d’inverse

x Æ0
x 0

lim

x Æ0
x 0

1
- .
x(x - 7)





lim x(x - 7) 0 donc par limite d’inverse

x Æ0
x 0

1
.
x Æ 0 x(x - 7)

35 a. On a le schéma de décomposition suiu

par limite de composée lim

x Æ-

u

u

f

1
1
Æ 93
x
x3

¸
Ê

lim Á9 - ˜ 9ÔÔ
x3¯
˝ donc par limite de composée
lim X 9 3 Ô
Ô˛
X Æ9
1
lim 9 3.
x Æ
x3
x Æ Ë

¸
Ê

lim Á9 - ˜ Ô
Ô
x3¯
˝ donc par limite de composée
Ô
lim X Ô
˛
X Æ
1
lim 9 .
x Æ0
x3
x Æ0 Ë
x 0

x 0

f

1
1
Æ 9
2
2
x -4
x -4
¸
Ê
1 ˆ
lim Á9
9ÔÔ
x Æ- Ë
x2 - 4˜¯
˝ donc par limite de compoÔ
lim X 9 3
Ô˛
X Æ9
1
sée lim 9
3.
x Æ-
x2 - 4
¸
Ê
1 ˆ
lim Á9
Ô
x Æ2 Ë
Ô
x2 - 4˜¯
c. x 2
˝ donc par limite de
Ô
lim X
Ô˛
X Æ
1
composée lim 9
.
x Æ2
x2 - 4
x Æ9

x 2

lim (2 - x) ¸
Ô
˝ donc par limite de comlim X Ô
˛
X Æ
posée lim 2 - x .

36 a. x Æ-

34 On a le schéma de décomposition suivant :
x Æ9 -

x2 - 2x 1 .

b. On a le schéma de décomposition suivant :

lim

x 0

f

vant : x ææ
Æ x2 - 2x 1 ææ
Æ x2 - 2x 1
lim x2 et lim (-2x 1) ¸
Ô
x Æ-
x Æ-
Ô
donc lim (x2 - 2x 1)
˝ donc
x Æ-
Ô
Ô
lim X
˛
X Æ

x Æ-

lim - 2 - x - ¸
Ô
x Æ-
˝ donc par limite de somme
lim 2x -
Ô
˛
X Æ-
lim 2x - 2 - x - .
x Æ-





lim(3 - x) 0 ¸
Ô
Ô
b.
˝ donc par limite de composée
lim X 0 Ô
X Æ0
Ô
X 0
˛

lim 3 - x 0 .
x Æ3
x 3

x Æ3
x 3

lim(5x 1) 16¸
ÔÔ
lim 3 - x 0 ˝
Ô
x Æ3
Ô˛
x 3
x Æ3

donc par limite de quotient lim

x Æ3
x 3

5x 1
.
3- x

Chapitre 3 n Limites n  65

© éditions Belin, 2012.

d. x Æ

lim (2x - 8) 0-¸
Ô
Ô
c.
˝ donc par limite de composée
3
lim X 0
Ô
X Æ0
Ô
X 0
˛
lim (2x - 8)3 0- .
x Æ4
x 4

x Æ4
x 4

44 a. f(x) = 
b. f(x) = c. f(x) = 

1
et g(x) = −x.
x2

1
et g(x) = −2x.
x

1
et g(x) = x2.
x

45 a. f(x) = x2 et g(x) = x.
b. f(x) = 2x et g(x) = x.
c. f(x) = x et g(x) = x2.

lim 2x 8 2 2¸
x Æ4
ÔÔ
lim (2x - 8)3 0- ˝
Ô
x Æ4
Ô˛
x 4
2x
- .
x Æ 4 (2x - 8)3

donc par limite de quotient lim

46 a. Faux, on peut avoir par exemple
lim g(x) 2. b. Vrai.

x Æ

x 4

38 Pour tout réel x, f(x) ≤ 2x + 3 or

lim (2x 3) - donc par comparaison,

x Æ-

x Æ

x Æ

lim P(x) lim 3x2 .

x Æ-

lim f(x) - .

x Æ-





b. lim Q(x) lim -5x2 - et


Ê



40 Or lim Á2 - ˜ lim Á2 ˜ 2 donc par
x Æ- Ë
x2¯ x Æ- Ë
x2¯
encadrement, f admet une limite en –∞ égale à 2.
De la même façon, on montre que f admet une
limite en +∞ égale à 2.

S’entraîner
41 a. Oui.  b. Non.  c. Non.  d. Oui.
42 a. On considère un intervalle ouvert de la
forme ]A ; +∞[. Comme lim f(x)
x Æ

il existe un réel m tel que si x > m alors f(x) > A
Si on considère N = E(m) alors pour tout entier
naturel n > N on a f(n) > A soit un > A.
L’intervalle ]A ; +∞[ contient tous les termes de la
suite à partir d’un certain rang donc la suite (un)
diverge vers plus l’infini.
b. La réciproque est fausse.
Considérons la fonction f définie pour tout réel
x positif par f(x) = −x s’il existe un entier naturel
k tel que x = 0,5 × (2k + 1) et par f(x) = x sinon.
Pour tout entier naturel n on a un =  n donc la
suite (un) diverge vers plus l’infini mais la fonction f n’admet pas de limite en plus l’infini.
c. Si lim f(x) l où l est un réel alors la suite
x Æ

(un) converge vers l. La démonstration est analogue à celle de la question a. en considérant un
intervalle ouvert contenant l.

43 a. f(x) = x et g(x) = x.
b. f(x) = x et g(x) = 2x.
c. f(x) = x + 2 et g(x) = x.

66 n Chapitre 3 n Limites

x Æ

x Æ





lim Q(x) lim -5x2 - .

x Æ-

x Æ-


lim R(x) lim -x3 .
x Æ-
x Æ-

c. lim R(x) lim -x3 - et
x Æ

x Æ

Ê x4ˆ
d. lim S(x) lim Á ˜ et
x Æ
x Æ Ë 2 ¯
Ê x4ˆ
lim S(x) lim Á ˜ .
x Æ- Ë 2 ¯

x Æ-



48 a. lim P(x) lim -x3 - et
x Æ

lim P(x) lim

x Æ-

x Æ-

x Æ
-x3 .



b. lim Q(x) lim 6x2 et
x Æ

x Æ

lim Q(x) lim 6x2 .

x Æ-

x Æ-





c. lim R(x) lim 10-3 x3 et
x Æ

x Æ





lim R(x) lim 10-3 x3 - .

x Æ-

x Æ-

t3ˆ

Ê
d. lim S(t) lim Á- ˜ - et
t Æ
t Æ Ë 3 ¯
Ê t3ˆ
lim S(t) lim Á- ˜ .
t Æ-
t Æ- Ë 3 ¯

49 a. lim f(x) lim
lim f(x) lim

x Æ-

3x

x Æ- x2

b. lim g(x) lim
x Æ

3x

x Æ x2

x Æ

x Æ

lim

lim

x Æ

x Æ-
4x3

x

3
0 et
x

3
0.
x

lim 4x2 .
x Æ

© éditions Belin, 2012.

x Æ-

Ê

47 a. lim P(x) lim 3x2 et



j
0

b. lim f(x) et



x Æ

La fonction f étant une fonction rationnelle, on a
x2
lim f(x) lim
1.
x Æ
x Æ x2
Le problème avec son graphique est qu’il n’a pas
utilisé une fenêtre assez large pour visualiser les
différentes parties de la courbe.

c. lim f(x) 3,
x Æ-

lim f(x) et

x Æ1
x 1

lim f(x) - ,
lim f(x) -

x Æ

3
2
j

5
.
4
x Æ2
b. Faux, car les limites de f en l’infini sont infinies.
x
x2
lim f(x) lim
lim
et de même
2
x
2
x Æ
x Æ
x Æ
lim f(x) - .

x Æ1
x 1

53 a. lim f(x) 0, lim f(x) et lim f(x) 0
x Æ-

x Æ3

x Æ

donc les droites d’équations y = 0 et x = 3 sont
asymptotes à .

lim f(x) - ,

x Æ1
x 1

donc les droites d’équations y = 3, x = −2 et x = 1
sont asymptotes à .

nie, en effet lim f(x) f(2)

x2
1.
x Æ
x Æ x2
6x
d. Vrai, car lim f(x) lim
3, lim f(x)
x Æ
x Æ 2x
x Æ1
x 1
et lim f(x) - .

4

x Æ-2

52 a. Faux, car la limite de f en 2 n’est pas infi-

c. Vrai, car lim f(x) lim

ne

j
–1 0 i
–1



x Æ-

on

3

51 On appelle f la fonction considérée.

de valeurs, il conjecture que lim f(x) 1.

x Æ

peut pas en déduire d’asymptote parallèle aux
axes.

2x2
2.
x Æ
x Æ x2
2x3
2
d. lim k(x) lim
lim
0.
x Æ
x Æ x 4
x Æ x

x Æ

lim f(x) -  ;

x Æ-

c. lim h(x) lim

L’élève est perplexe car s’il s’en remet au graphique obtenu sur sa calculatrice il conjecture
que lim f(x) - et s’il s’en remet au tableau

3

i

–2

0

i 1

4



54 a.
f(x)

4x 1
, car lim f(x) et lim f(x) - .
2x - 4
x Æ2
x Æ2
x 2

x 2

3
g(x)
, car lim g(x) .
x Æ2
(x - 2)2
4x 1
4x
b. f(x)
, car lim f(x) lim
=2.
2x - 4
x Æ
x Æ 2x
2x2
2x2
g(x)
, car lim g(x) lim
2.
2
x Æ
x Æ x2
x 1
2x2
4x 1
c. f(x)
et g(x)
.
2x - 4
(x - 2)2

Chapitre 3 n Limites n  67

© éditions Belin, 2012.

-x3
lim (-x) - et
x Æ
x Æ x2
x Æ
-x3
lim h(x) lim
lim (-x) .
x Æ-
x Æ- x2
x Æ-
2x
d. lim k(x) lim
2.
x Æ
x Æ x
3
-3x
50 a. lim f(x) lim
- .
2
x Æ
x Æ 2x
1
t
b. lim g(t) lim
lim 0.
t Æ
t Æ t2
t Æ t

c. lim h(x) lim

2x2 1
x2 - 2x - 3
r r
représentée par la courbe  dans un repère (O, i , j ).
a. On conjecture que les droites d’équations
y = 2, x = −1 et x = 3 sont asymptotes à la courbe.

55 Soit f la fonction telle que f : x a 

y
6

0

2

4

6

8

10

x

–2
–4

2x2
2 donc la droite
x Æ
x Æ x2
d’équation y = 2 est asymptote à la courbe en
plus et moins l’infini.
lim (2x2 1) 3

b. lim f(x) lim

x Æ-1
x2 – 2x

– 3 est un trinôme dont les racines sont
−1 et 3 donc
lim (x2 - 2x 3) 0- et lim (x2 - 2x 3) 0 .
x Æ-1
x -1

x Æ-1
x -1

Par limite de quotient on a :
lim f(x) - et lim f(x) , donc la droite
x Æ-1
x -1

x Æ-1
x -1

d’équation x = −1 est asymptote à la courbe.
On montre de même que
lim f(x) et lim f(x) - , donc la droite
x Æ3
x 3

x Æ

x Æ3
x 3

1
et
x 3

lim

x Æ-3
x -3

1
- .
x 3

Par limite de somme, on a :
lim f(x) et lim f(x) - , donc la droite
x Æ-3
x -3

x Æ-3
x -3

d’équation x = −3 est asymptote à la courbe.
On montre de même que
lim f(x) - et lim f(x) , donc la droite
x Æ0
x 0

x Æ0
x 0

d’équation x = 0 est asymptote à la courbe.

57 a. Pour tout réel x, différent de 4, on a :
f(x) a

b
6x - 25 2ax - 8a b


2x - 8
2x - 8
2x - 8
€ 6x - 25 2ax - 8a b.

Par identification, on obtient :
2a 6
a 3
1
, donc f(x) 3 €Ì
Ì
2x - 8
ÔÓ-8a b -25
ÔÓb -1
Ê
1 ˆ
b. lim Á˜ 0, donc par limite de somme
x Æ Ë 2x - 8¯
lim f(x) 3.

x Æ

lim -

1
1
- et lim donc par
2x - 8
x Æ 4 2x - 8

d’équation x = 3 est asymptote à la courbe.

x Æ4
x 4

1
1
56 Soit f la fonction x→ 2 -
représenx x 3r r
tée par la courbe  dans un repère (O, i , j ).
a. On conjecture que les droites d’équations
y = 2, x = −3 et x = 0 sont asymptotes à la courbe.

limite de somme on a :
lim f(x) - et lim f(x)

y
7
6
5
4
3
2
1
–5 –4 –3 –2 –1 0
–1
–2
–3
–4

68 n Chapitre 3 n Limites

x Æ4
x 4

x 4

x Æ4
x 4

c. On en déduit que les droites d’équations y = 3
et x = 4 sont asymptotes à la courbe.
4x
4, donc la droite
x
d’équation y = 4 est asymptote à la courbe en
plus et moins l’infini.
lim (4x - 1) -9,

58 lim f(x) lim
x Æ

x Æ-2

x Æ

lim (x 2) 0 et

1

2

3

4

x

x Æ-2
x -2

lim (x 2) 0-

x Æ-2
x -2

© éditions Belin, 2012.

–2

1
0, donc par
x 3

d’équation y = 2 est asymptote à la courbe en
plus et moins l’infini.
Ê
1ˆ 5
lim Á2 - ˜ .
x¯ 3
x Æ-3 Ë
x Æ-3
x -3

2

lim

x Æ

limite de somme lim f(x) 2, donc la droite

lim

4

–4

Ê 1ˆ
b. lim Á- ˜ 0 et
x Æ Ë x ¯

Par limite de quotient on a :
lim f(x) - et lim f(x) , donc la droite
x Æ-2
x -2

d’équation x = −2 est asymptote à la courbe.
11
lim f(x) f(3)
5
x Æ3
3x
3
59 lim f(x) lim
lim
0 donc la
x Æ
x Æ x2
x Æ x
droite d’équation y = 0 est asymptote à la
courbe en plus et moins l’infini.
lim (3x - 5) -11,
x Æ-2

lim (x2 - 4) 0- et

x Æ-2
x -2

Par limite de quotient on a :
lim f(x) et lim f(x) - donc la droite
x Æ-2
x -2

d’équation x = −2 est asymptote à la courbe.
lim(3x - 5) 1,
x Æ2

lim(x2 - 4) 0 et lim(x2 - 4) 0-

x Æ2
x 2

x Æ2
x 2

Par limite de quotient on a :
lim f(x) et lim f(x) - donc la droite
x Æ2
x 2

x Æ2
x 2

d’équation x = 2 est asymptote à la courbe.
x
x2
lim
, de même
x Æ 3x
x Æ 3

60 lim f(x) lim
x Æ

lim f(x) -

x Æ

lim (x2 - 6) -

1

3

53
,
9

lim (3x - 1) 0 et

x Æ1/ 3
x 1/ 3

lim (3x - 1) 0-

x Æ1/ 3
x 1/ 3

Par limite de quotient on a :
lim f(x) - et lim f(x) donc la droite
x Æ1/ 3
x 1/ 3

d’équation x = 

x Æ1/ 3
x 1/ 3

1
est asymptote à la courbe.
3

61 La courbe de la fonction f est tracée en c. car
lim f(x) 2 et lim f(x) .

x Æ

a
2 € a 4,
2

4x
.
2x - 1
2. a. À la calculatrice, on obtient :
donc f(x)

lim (x2 - 4) 0 .

x Æ-2
x -2

x Æ-2
x -2

lim f(x) 2 €

x Æ

x Æ0

La courbe de la fonction g est tracée en a. car
lim g(x) 0.
x Æ

La courbe de la fonction h est tracée en d. car
lim f(x) .
x Æ

On conjecture que les droites d’équations y = 2 et
1
x =  sont des asymptotes à .
2
4x
b. lim f(x) lim
2 donc la droite d’équax Æ
x Æ 2x
tion y = 2 est asymptote à la courbe en plus et
moins l’infini.
lim 4x 2,
x Æ1/ 2

lim (2x - 1) 0 et

lim (2x - 1) 0-

x Æ1/ 2
x 1/ 2

x Æ1/ 2
x 1/ 2

Par limite de quotient on a :
lim f(x) et lim f(x) - donc la droite
x Æ1/ 2
x 1/ 2

x Æ1/ 2
x 1/ 2

1
est asymptote à la courbe.
2
63 a. On observe que le domaine de définition
de la fonction f est ° - {2}, on en déduit donc
que c = 2.
b
b. lim
0 donc lim f(x) a or on lit
x Æ x - c
x Æ
dans le tableau que lim f(x) -1 donc a = −1.
d’équation x = 

x Æ

c. Comme f(x) -1
-1 -

b
-4 € b 6
2

b
et f(0) = –4 on a
x-2

x=2
y = –1 +

8

6
x–2

6
4
2
–6 –4 –2 0
–2

2

4

6

8 10 12

–4
–6

La courbe de la fonction k est tracée en b.

Chapitre 3 n Limites n  69

© éditions Belin, 2012.

x Æ-2
x -2

62 1. f(0) 0 € b 0 et

64 La droite d’équation x = −1 étant asymptote
verticale à la courbe on a c = 1.
ax
lim f(x) lim
a. La droite d’équation
x Æ
x Æ x
y = 4 étant asymptote horizontale à la courbe on
a a = 4.
4x b
Comme f(x)
et f(−2) = 2, on a
x 1
-8 b
2 € b 6.
-1
65 a. Une valeur approchée de toutes les images
demandées est 0. On peut alors conjecturer que
la limite en 0 de la fonction f est 0.
b. Nous sommes en présence de la forme
0
indéterminée , mais
0
100 - 20x50 x100 - 100
f(x)
-20 x50, donc
x50
lim f(x) -20.
x Æ0

c. Lorsque la calculatrice effectue le calcul du
numérateur (10 – x50)2 −100 pour x = −0,2 par
exemple avec la précision qui lui est permise, elle
obtient 0 car x50 est très proche de 0 donc elle
renvoie f(−0,2) = 0 ce qui est faux.

66 a. La limite de f en +∞ conduit à la forme

indéterminée « ∞ – ∞ ».
Ê

b. f(x) x - x x Á1
x ˜¯
Ë
Ê

lim x et lim Á1 x Æ
x Æ Ë
x ˜¯

Ê

x Á1 Ë
x ˜¯
1 donc par limite

de produit lim f(x) .

Ê
x Á2
Ë
Ê
x Á1
Ë

71 a. Graphiquement,
lim f(x) ;

x Æ-

lim f(x) ;

x Æ1
x 1

lim f(x) - .

x Æ1
x 1

lim f(x) .

x Æ

lim g(x) lim g(x) .

x Æ-

x Æ

b. lim f(x) et

lim g(X) - , donc par

x Æ-

X Æ

limite de composée lim h(x) - .
x Æ-

lim f(x) et

lim g(X) - , donc par

x Æ

X Æ

limite de composée lim h(x) - .
x Æ

lim f(x) et

lim g(X) - donc par

x Æ1
x 1

X Æ

x Æ1
x 1

lim f(x) - et

lim g(X) - donc par

x Æ1
x 1


x ˜¯ 2


1
x ¯˜

1
x
2
x

Ê
Ê


lim Á2
2 et lim Á1 ˜ 1 donc par

x Æ Ë
x Æ Ë
x ˜¯
limite de quotient lim f(x) 2
x Æ

68 On note dans l’algorithme D le degré du polynôme P et an le coefficient du terme de plus haut
degré de P.
@ Le fichier Algobox corrigé est disponible sur
www.libtheque.fr/mathslycee

70 n Chapitre 3 n Limites

@ Le fichier Algobox corrigé est disponible sur
www.libtheque.fr/mathslycee
b. @ Le fichier Algobox corrigé est disponible sur
www.libtheque.fr/mathslycee

X Æ-

limite de composée lim h(x) - .
x Æ1
x 1

c. lim g(x) - et

lim f(X) donc par

x Æ-

X Æ-

limite de composée lim k(x) .
x Æ-

lim g(x) - et

x Æ

lim f(X) donc par

X Æ-

limite de composée lim k(x) .
lim g(x) 1 et

x Æ2
x 2

x Æ

lim f(X) - donc par limite

X Æ1
X 1

de composée lim k(x) - .
x Æ2
x 2

© éditions Belin, 2012.

67 a. La limite de f en +∞ conduit à la forme

2x x
b. f(x)

x 2

70 a. Dans l’exemplaire élève, l’énoncé a été
modifié comme suit :
a et b sont deux réels tels que a est non nul et
Ê bˆ
c Á- ˜ d 0.
Ë a¯

limite de composée lim h(x) - .

x Æ


indéterminée «   ».


69 On note dans l’algorithme dP le degré du
polynôme P ; dQ celui de Q ; an le coefficient du
terme de plus haut degré de P et bn celui de Q.
@ Le fichier Algobox corrigé est disponible sur
www.libtheque.fr/mathslycee

lim f(X) donc par limite

X Æ1
X 1

x Æ- x2

de composée lim k(x) .
x Æ2
x 2

72 L’échelle a été modifiée dans l’exemplaire élève :
1 carreau = 2 unités sur l’axe des ordonnées.
lim f(x) et
lim X donc par
x Æ-2

X Æ

limite de composée lim g(x) .
x Æ-2

lim f(x) 4 et

X 4 2 donc par

lim

x Æ

-x
-1
lim
0 et lim X 0,
X Æ0
3 x Æ- x
x
donc par limite de composée lim
0.
x Æ- x2 3
lim (2x - 5) - et lim X 4 , donc par

b. lim

X Æ4

x Æ-

X Æ-

limite de composée lim (2x - 5)4 .
x Æ-

Donc par limite de quotient, on a :
-x
2 3
x
lim
0.
x Æ- (2x - 5)4
2x2
2x2
lim
2 et lim X 2 ,
x Æ x2 - 4
x Æ x2
X Æ2

limite de composée lim g(x) 2.

c. lim

73 a. b.

donc par limite de composée lim

x Æ

9x
9x 1
lim
9 et lim X 3, donc
x - 3 x Æ x
X Æ9
9x 1
par limite de composée lim
3.
x Æ x - 3
c. lim(9x 1) 28 et lim(x - 3) 0 , donc par
lim

x Æ

x Æ3

x Æ3
x 3

9x 1
.
x Æ3 x - 3

limite de quotient lim

x 3

X donc par limite de compo-

De plus lim

x Æ

sée lim

x Æ3
x 3

9x 1
.
x-3

fié comme suit :
1
a. lim
x Æ2 4 - x2
x
2

a. lim(4 - x2) 0 et lim

X 0 , donc par

X Æ0
X 0

donc par limite d’inverse lim

x Æ2
x 2

1
4-

x2

1
4 - x2

.

.

et lim

X Æ

x Æ-

X

donc par limite de composée
lim -x3 x2 - 3 .
x Æ-

x2 1

1
1
x 1
x2
x2

car x positif.
Ê

Donc f(x) x Á2 - 1 ˜ .
x2 ¯
Ë
Ê

lim Á1 ˜ 1 et lim X 1 par limite de
x Æ Ë
X Æ1
x2¯
composée
1

1
1 donc
x2

Ê

lim Á2 - 1 ˜ 1
x2 ¯

x Æ Ë

lim x d’où par limite de produit

lim (-x3 x2 - 3) lim (-x3)

75 a. x Æ-

76 a. La limite de f en +∞ conduit à la forme
indéterminée « ∞ – ∞ ».
b. Pour tout réel x strictement positif,
Ê

f(x) 2x - x2 1 2x - x2 Á1 ˜
Ë
x2¯

x Æ

x Æ2
x 2

x Æ-2
x -2

3

Ê 2x2 ˆ
lim Á
˜ 2 2.
x Æ Ë x2 - 4 ¯

lim

limite de composée lim 4 - x2 0 ,

b. De même, lim

XÆ 2

Ê

or x2 Á1 ˜
Ë
x2¯

74 Dans l’exemplaire élève, l’énoncé a été modi-

x Æ2
x 2

2x2
2,
x Æ x2 - 4
or lim X 3 2 2 donc par limite de composée

x Æ

lim f(x)

x Æ

77 1. lim (x2 1) et
x Æ-

lim

X Æ

X

donc par limite de composée
lim x2 1 donc lim - x2 1 -
x Æ-

x Æ-

lim x - d’où par limite de somme

x Æ-

lim f(x) -

x Æ-

2. a. La limite de f en +∞ conduit à la forme indéterminée « ∞ – ∞ ».

Chapitre 3 n Limites n  71

© éditions Belin, 2012.

lim g(x) 1- et

x Æ2
x 2

b. f(x) x - x2 1

x -



x x2 1

-1

.
x x2 1
c. De même qu’à la question 1. on démontre que
lim x x2 1
x Æ





Ainsi par limite de quotient lim f(x) 0
x Æ

78 On considère un intervalle ]A ; +∞[.
Comme lim g(x) il existe un réel a tel que
x Æ

si x > a alors g(x) > A
Soit m le plus grand des deux réels a et b. Pour
tout réel x > m, on a f(x) ≥ g(x) > A.
Donc si x > m, alors f(x) > A.
L’intervalle ]A ; +∞[ contient bien f(x) pour x assez
grand ce qui signifie la limite de f en +∞ est +∞.
x2
donc par comparaison
x Æ 3
lim f(x)

79 lim
x Æ

De même, lim

x Æ-

x2
3

donc par comparaison

x Æ

lim f(x) .

x Æ

b. lim (x2 x) et
x Æ

lim

X Æ

X donc

par limite de composée lim f(x) .
x Æ

2. a. Dans l’exemplaire élève, l’énoncé a été
modifié comme suit :
2. a. Déterminer une fonction h telle que pour
tout réel x ≤ −1, …
Graphiquement, on observe que h(x) -x - 1
convient.
Pour tout réel x ≤  −1 on a −x ≥ 1 et en multipliant par (−x−1) qui est positif on obtient
–x(−x−1) ≥  −x −1 soit x2 + x ≥  −x −1 donc
x2 x -x - 1.
Comme lim -x - 1 par comparaison on a
x Æ-

lim f(x)

x Æ-

Remarque : on peut aussi utiliser h(x) = −x −1
b. lim (x2 x) et lim X , donc par
x Æ-

X Æ

limite de composée lim f(x) .

lim f(x)

x Æ-

x Æ-

80 Dans l’exemplaire élève, le graphique a été
modifié comme suit :
–2

x Æ

0

i

2

–4
–6


x Æ

Comme lim (x 1) - par comparaison on a

–2



82 1. a. Comme lim x par comparaison,
on a lim f(x) .

j
–4

81 1. a. Pour tout réel x positif, x2 ≥ 0, donc
x2 + x ≥ x d’où x2 x x .
Comme lim x par comparaison on a

–8
–10

a. La courbe  se situe en-dessus de la parabole
 sur R.
b. Pour tout réel x, on a f(x) ≤ −x2.
Comme lim (-x2) - par comparaison on a
x Æ

lim f(x) - .

x Æ

De même, lim (-x2) - , donc par comparaix Æ-

son on a lim f(x) - .
x Æ-

72 n Chapitre 3 n Limites

x Æ-

lim f(x) -

x Æ-

b. Non, on ne peut rien conclure sur une éventuelle limite de f en 0.
2. Pour tout réel x strictement positif, on a
Ê
f(x)
1

1 or lim Á1 ˜ 1 donc par enca1
x
x

Ë
x Æ

f(x)
1
x
Pour tout réel x strictement négatif, on a
f(x)
1
1 et on conclut de même par enca1
x
x
f(x)
drement que lim
1
x Æ- x
drement lim

x Æ

83 a. Comme x ≥ 5 alors x – 5 ≥ 0 et
comme –5 ≤ 0 alors x – 5 ≤ x donc on a bien
0 ≤ x – 5 ≤ x.
En appliquant la fonction racine carrée, on
obtient 0 x - 5 x puis en divisant par x
x-5
x
1
soit 0 f(x)
0

x
x
x

© éditions Belin, 2012.





x2 1 x x2 1

1
0 par encadrement on a
x

b. Comme lim

x Æ

lim f(x) 0

x Æ

84 a. L’expression « d’une même variable » correspond à « d’une même fonction ».
b. On appelle e le nombre donné. Il est sousentendu que Cauchy considère une fonction à
valeur positive.
4
3
2
1
ε
0

¸
Ô
ÔÔ
˝ donc par limite de somme
Ô
Ê
1 ˆ
lim Á2 3Ô
x - 1˜¯
x Æ0 Ë
Ô˛
lim f(x) - .
lim

x Æ0
x 0

1
-
x

x Æ0
x 0

b. On en déduit que la droite d’équation x = 0 est
asymptote verticale à la courbe .
3. a. La limite de f en 1 n’existe pas mais on peut
déterminer les limites de f à gauche et à droite de 1.
¸
-1
- Ô
lim
x Æ1 x - 1
ÔÔ
x 1
˝ donc par limite de somme
Ô
Ê

lim Á2 ˜ 3 Ô

x Æ1Ë
Ô˛
lim f(x) - .

1

2

3

4

5

6

c. Cauchy indique que la fonction a pour limite
0 mais il ne dit pas qu’il s’agit de la limite en plus
l’infini (cela est sous-entendu dans son expression « les valeurs numériques successivement
d’une même variable »).

x Æ1
x 1

¸
-1
Ô
-1
ÔÔ
˝ donc par limite de somme
Ô
Ê

lim Á2 ˜ 3 Ô

x Æ1Ë
Ô˛
lim f(x) .
lim

x Æ1 x
x 1

x Æ1
x 1

Exercices guidés BAC
¸
1
0 Ô
Ô
x
90 1. a.
˝ donc par limite de
-1
lim

Ô˛
x Æ x - 1
lim

x Æ

somme lim f(x) 2.

x

b. On en déduit que la droite d’équation y = 2 est
asymptote à la courbe  en plus et moins l’infini.
2. a. La limite de f en 0 n’existe pas mais on peut
déterminer les limites de f à gauche et à droite de 0.
¸
1
lim
Ô
x Æ0 x
ÔÔ
x 0
˝ donc par limite de somme
Ô
Ê
1 ˆ
lim Á2 3Ô
x - 1¯˜
x Æ0 Ë
Ô˛
lim f(x) .

Signe
de f′

x Æ

–∞

1
2

0




0

+∞

2

+∞

1
+

+
+∞

2

f
–∞

6

–∞

x Æ0
x 0

Chapitre 3 n Limites n  73

© éditions Belin, 2012.

Préparer le BAC

b. On en déduit que la droite d’équation x = 1 est
asymptote verticale à la courbe .
4. a. f est dérivable comme somme de fonctions
dérivables sur R−{0 ; 1} et pour tout réel x
différent de 0 et de 1, on a :
2x - 1
1
1
-(x - 1)2 x2
f ¢(x)

.

x2 (x - 1)2
x2(x - 1)2
x2(x - 1)2
b. Sur R−{0 ; 1} on a x2(x – 1)2 > 0 donc le signe
de f′(x) dépend du signe de 2x −1.
c.

5.

On a donc :

10

¸
Ê
ˆ
4
lim Á 1 - 2˜ -1 ÔÔ
x
x Æ Ë
¯
˝ donc par limite de proÔ
lim x
Ô˛
x Æ
duit lim f(x) - .

5
y=2

x Æ

–4

–2

0

2

4

6

QCM – Vrai ou faux BAC

un repère orthogonal (O, i, j).

1. a. lim (x2 4x) lim x2 .
x Æ

b. lim

X Æ
x2
x Æ

lim

x Æ

X donc par limite de composée
4x .

2. lim (-2x) et
x Æ-

lim

x Æ-

x2 4x .

donc par limite de somme lim f(x) .
x Æ-

3. a. Non, car nous sommes en présence de la
forme indéterminée « ∞ – ∞ ».
b. Dans « List3 » se trouvent les images par f des
valeurs de « List2 ». On conjecture que la limite
de f en plus l’infini est moins l’infini.

Ê
c. f(x) x2 4x - 2x x2 Á1
Ë


- 2x
x ˜¯

4
- 2x.
x
Or x2 x x positif, donc


x2 1

Ê
ˆ
4
f(x) x Á 1 - 2˜ .
x
Ë
¯
¸
Ê 4ˆ
lim Á1 ˜ 1 ÔÔ

d. x Æ Ë
˝ donc par limite de compolim X 1 Ô
Ô˛
X Æ1
4
sée lim 1 1.
x
x Æ

74 n Chapitre 3 n Limites

92 1. b. Par limite de composée, la limite est +∞.
2. b. Pour tout réel x positif,
f(x) x - x x 1 - x donc par limite de





produit la limite est –∞.
3. Dans l’exemplaire élève, l’énoncé a été modifié : 3. a. -
x -5 x 5
x -5
x - 25
f(x)


.
x -5
(x - 5) x 5
(x - 5) x 5














a. –∞ par limite de quotient

93 Dans l’exemplaire élève, l’énoncé a été modifié comme suit :
f(x)
f(x)
c. lim
2 et lim

x Æ x
x Æ x2
e.  peut admettre une asymptote verticale.
a. Vrai, par exemple f(x) x .
b. Vrai, par exemple f(x) x x .
f(x)
c. Faux, si lim
2, alors
x Æ x
f(x)
1 f(x)
lim
lim
¥
0.
x
x Æ x2
x Æ x
d. Faux car la limite en plus l’infini est infinie.
1
e. Vrai, par exemple si f(x) x2
si x > 1 et
x
-1
f(1) = 0.

94 Soit f la fonction définie sur R−{−1} par
x2 - 2x 6
et  sa courbe représentative
x 1
rr
dans un repère orthogonal (O, i, j).

f(x)

a. Faux, car lim f(x) et lim f(x) -
x Æ

x Æ-

b. Vrai, la droite d’équation x = −1 est une
asymptote verticale à la courbe .
c. Vrai,
f(x)
x2 - 2x 6
x2
lim
lim
lim
1.
2
x Æ x
x Æ
x Æ x2
x x

© éditions Belin, 2012.

91 On considère la fonction f définie sur
]–∞ ; –4] » [0 ; +∞[ par f(x) x2 4x - 2x .
On appelle  la courbe représentative
de f dans
rr

x Æ

x Æ

f(x)
2, par définition
x
de la limite, l’intervalle ouvert ]1 ; 3[ contenant 2
f(x)
contient
pour x assez grand. Donc pour x
x
f(x)
1 soit f(x) ≥ x or lim x donc
grand,
x
x Æ
par comparaison lim f(x) .

95 a. Vrai. Comme lim

x Æ

x Æ

f(x)
2 il existe
x
f(x)
1 donc
un réel M > 0 tel que si x > M alors
x
f(x) > 0.

b. Vrai. À nouveau comme lim

x Æ

c. Faux, car on n’a pas f(0) = 0.
d. Vrai.

Exercice BAC
96 Partie A
ax2
a or d’après l’énoncé
x Æ
x Æ x2
lim j(x) 3 donc a = 3.
lim j(x) lim

x Æ

φ(0) =  c or d’après le graphique φ(0) = 3 donc
c = 3.
a b c 6 b

φ(1) = 
or d’après le graphique
2
2
6 b
5€b 4
φ(1) = 5 donc
2
Partie B
4x
1. f(x) 3
.
x2 1
2. f est dérivable comme fonction rationnelle sur
son ensemble de définition R et pour tout réel x,
4(1 - x2)
f ¢(x)
. f′(x) étant du même signe que
(x2 1)2
1 – x2, on a le tableau de variation suivant :

x

−1

–∞

Signe
de f′



+∞

1
+

0

3

0



5

f
1

3

4x
x2 1
qui est positive lorsque x est positif et négative
sinon. Donc la courbe est située au-dessus de son
asymptote sur [0 ; +∞[ et au-dessous sur ]–∞ ; 0].
4. a. Pour tout réel x,
f(x) f(-x) 1 Ê
4x
4x ˆ 6
Á3
3 3.
2

x2 1
x2 1˜¯ 2
b. Le point I(0 ; 3) est donc le milieu du segment
[MM′] où M (x ; f(x)) et M′ (-x ; f(-x)). Le point I est
donc centre de symétrie de la courbe.
lim x ¸
Ô
5. a. x Æ-
˝ donc par limite de compolim f(X) 3 Ô
˛
X Æ
sées lim g(x) 3.

3. On étudie le signe de la quantité f(x) - 3

x Æ-

b. La courbe représentative de g est confondue
avec de celle de f sur [0 ; +∞[ et la partie de la
courbe de g sur ]–∞ ; 0] s’obtient en opérant une
symétrie par rapport à l’axe des ordonnées de la
partie de la courbe de f formée par les points de
 d’abscisse positive.

Pour aller plus loin
97 Nommons f la fonction x Æ

x
et opérons
x

par disjonction des cas.
Si x > 0 alors f(x) = 1 ainsi lim f(x) 1.
x Æ0
x 0

Si x < 0 alors f(x) = −1 ainsi lim f(x) -1.
x Æ0
x 0

Comme lim f(x) lim f(x), la limite de f en 0
x Æ0
x 0

x Æ0
x 0

n’existe pas.

98 f(x)

-3x2 10
.
(x 1)(x - 2)

99 On considère la fonction f définie sur [0 ; +∞[
par f(x)

5x - 2
.
x 2

1. lim f(x) lim
x Æ

x Æ

5x
5.
x

Chapitre 3 n Limites n  75

© éditions Belin, 2012.

-3x 6
-3.
x 1
e. Vrai, pour tout réel x différent de −1 on a
9
f(x) x - 3
.
x 1
f. Vrai,
9
(x 1)2 - 9 (x 4)(x - 2)
f ¢(x) 1

2
(x 1)2
(x 1)
(x 1)2
donc f′(2) = 0.

d. Vrai, lim [f(x) - x] lim

f est dérivable sur [0 ; +∞[ comme fonction
rationnelle sur un intervalle sur lequel elle est
12
définie et pour tout réel x positif, f ¢(x)
.
(x 2)2
x

+∞

0
+

Signe de f′

5

f

–1

1 x

2

1 x

-x
1

x2

2



x

x

1



.
1 x2 x
1
b. lim
0 , donc
x Æ 1 x2 x
f(x) = g(x) + e(x) = x + e(x) où lim e(x) = 0, donc
f(x) ≈ x lorsque x est « grand ».

y
6

101 Dans l’exemplaire élève, l’énoncé a été modifié : a. f associe à tout x de ]0 ; 4[…

5
4
3
2
1
0

f(x) - g(x) 1 x2 - x



2. a.

–1

3. a. Pour tout réel x,

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314151617 x

b. Si n + 2 divise 5n – 2 cela signifie que f(n) est
entier, on lit graphiquement que cela est le cas
pour n = 0, 1, 2, 4 et 10.
3. a. La fonction f est strictement croissante
sur [0 ; +∞[ donc si x > 10 alors f(x) > f(10) soit
f(x) > 4.
Par ailleurs, d’après le tableau de variation de f
on a, pour tout réel x positif, f(x) < 5.
En conclusion, si x > 10 alors 4 < f(x) < 5.
b. Déterminons tous les entiers n tels que f(n) est
entier.
f(0) =  −1 est un entier ; f(1) = 1 est un entier ;
13
f(2) = 2 est un entier ; f(3) = 
n’est pas un
5
entier ; f(4) = 3 est un entier ; f(5), f(6), f(7), f(8)
et f(9) ne sont pas des entiers (il suffit de les calculer pour le vérifier) ; f(10) = 4 est un entier.
Pour tout entier n > 10 alors f(n) n’est pas un entier
car, d’après la question précédente, 4 < f(n) < 5.

100 1. En utilisant le théorème de Pythagore
dans le triangle OAM, on obtient f(x) =  1 x2 .
2. a.

a. Faux, car f(x) 16 - x2 et les limites de f en 0
et 4 sont nulles.
4
b. Vrai, car f(x) donc lim f(x) 0 et
x
x Æ
lim f(x) .
x Æ0

c. Faux, car f(x)

4 3
px et les limites de f en 0 et
3

+∞ sont 0 et +∞.

102 1. a. Le fichier GeoGebra corrigé est disponible sur www.libtheque.fr/mathslycee.
b. On conjecture que la limite de la fonction f en
+∞ est 0 et celle de f en –∞ est +∞.
2. a. On a OI =  x et le cercle  a pour rayon
R = ID et en appliquant le théorème de Pythagore
dans le triangle OID, on obtient ID = R =  9 x2 .
Si x ≥ 0 alors f(x) R - OI 9 x2 - x et si
x ≤ 0 alors f(x) R OI 9 x2 - x
b. En cherchant la limite de f en +∞, on obtient
la forme indéterminée « ∞ – ∞ »
9 x2 - x 9 x2 x
f(x) 9 x2 - x
9 x2 x
9

.
9 x2 x



Comme lim

x Æ

9 x



2





x , alors par limite

de quotient lim f(x) 0.
x Æ

9 x2 par limite de composée¸
Ô
x Æ-
˝ par
lim (-x)
Ô
˛
x Æ-
limite de somme lim f(x) .
lim

b. Il semble que g(x) = x.

76 n Chapitre 3 n Limites

103 1. a. On conjecture que la limite de f en –∞
est –∞, la limite de f en +∞ est +∞, la limite de f à
gauche de 2 est –∞ et celle à droite de 2 est +∞.

© éditions Belin, 2012.

x Æ-

y
12

y = f(x)

10
8
6

A

4
2
–2

y = 2x + 1

M

104 a. Il s’agit de la forme indéterminée
« ∞ – ∞ ».
b. D’après le graphique, il semble que
lim
x2 4x - x  = 2.

N

M’

0
–2

2

Le milieu du segment [MM′] a pour coordonnées
(2 ; 5). Il s’agit donc du point A, ce qui prouve
que la courbe  est bien symétrique par rapport
au point A.

4

6

8 x

x Æ





y
7
6
5

lim 2x .
x
x Æ
2x2
lim 2x - .
lim f(x) lim
x Æ-
x Æ- x
x Æ-
lim(2x2 - 3x - 1) 1.
x Æ

x Æ

4
3
2

x Æ2

lim(x - 2) 0 et

x Æ2
x 2

x Æ2
x 2

Donc par limite de quotient,
lim f(x) et lim f(x) - . On en déduit
x Æ2
x 2

x Æ2
x 2

que la droite d’équation x = 2 est asymptote
verticale à la courbe .
1
2. a. Pour tout réel x ≠ 2, f(x) 2x 1
.
x-2
1
b. La différence f(x) - (2x 1)
est positive
x-2
sur ]2 ; +∞[ et négative sur ]–∞ ; 2[.
Donc la courbe  se situe au-dessus de la droite
 sur ]2 ; +∞[ et elle se situe au-dessous de  sur
]–∞ ; 2[.
1
c. MN = f(x) - (2x 1) , donc MN = 
si x > 2
x-2
-1
et MN = 
si x < 2.
x-2
d. lim MN 0 ce qui signifie que lorsque x
x Æ

1

lim (x - 2) 0-.

devient très grande, les points M et N sont de
plus en plus proches c’est-à-dire que la courbe 
et la droite  sont de plus en plus proches.
3. a. Le point A intersection des droites d’équations x = 2 et y = 2x +1 a pour coordonnées (2 ; 5).
b. Le point A semble être un centre symétrie
pour la courbe .
Le point M de  d’abscisse 2 + h a pour ordon1
nées 5 + 2h +  .
h
Le point M′ de  d’abscisse 2 – h a pour ordon1
nées 5 – 2h – .
h

–5

0

5

15 x

10

c. L’erreur se situe au niveau de l’égalité
lim
x2 4x - x lim
x2 - x .
x Æ





x Æ





En effet l’implication : « si lim f(x) lim g(x) ,
x Æ

x Æ

alors lim (f(x) - h(x)) lim (g(x) - h(x)) » est
x Æ

x Æ

fausse. Il suffit de considérer le contre-exemple :
f(x) = 2x, g(x) = x et h(x) = x.
d. Pour tout réel x strictement positif,
x2 4x - x x2 4x x
x2 4x - x
x2 4x x
4x
4


.
4
x2 4x x
1 1
x
4
Or par limite de composée, on a lim 1 1
x
x Æ
donc par limite de somme et de quotient,
4
4
lim
2.
2
x Æ
4
1 1
x



105
x x - x







x x - x





x x x



x x x
x
x x x
x
1
.

Ê
ˆ
1
1
1
1
x Á 1

x
x
Ë
¯

Chapitre 3 n Limites n  77

© éditions Belin, 2012.

b. lim f(x) lim

2x2

y

1
1 donc
x Æ
x
par limite de somme et de quotient,
1
lim
x x - x .
2
x Æ



1



106 On a une forme indéterminée du type
« ∞ – ∞ » :
x2 2x 3 x





4



x2 2x 3 x

–4




On a une forme indéterminée du type «   ».

Pour tout réel x strictement négatif (donc
x2 -x ) :
2x 3
2x 3

2
2 3
x 2x 3 - x
-x
x2 1
x x2
Ê

x Á2 ˜

Ë

Ê
ˆ
2 3
- 1˜
x Á- 1
2
x
x
Ë
¯
2



3
x

.
2 3

-1
x x2
Ê

2 3
lim Á2 ˜ 2 et lim 1
1.
x
x x2
¯
x Æ- Ë
x Æ-
- 1

Donc par limite de somme et de quotient,
2
lim
x2 2x 3 x
-1.
-2
x Æ-



107 a. Faux. Considérer la fonction f définie sur

1
si x > 0 et f(0) = 0.
x
b. Faux. Considérer la fonction f définie sur
1
2
R−{1 ; 2} par f(x) -2
.
x -1 x -2
Sa courbe coupe son asymptote horizontale
d’équation y = −2.
[0 ; +∞[ par f(x) = 

78 n Chapitre 3 n Limites

–2

0

2

x

4

–2

x2 2x 3 - x

x2 2x 3 - x
2x 3
.
x2 2x 3 - x



2

y = f(x)
–4

108 Faux, considérer la fonction f définie sur
x2 - a2
qui a pour limite 2a
x-a
lorsque x tend vers a.



° - a par f(x)

Communiquer à l’écrit ou à l’oral
1. Les courbes des fonctions f et g sont asymptotes en plus l’infini si lim f(x) - g(x) 0.
x Æ





On a une définition analogue en moins l’infini en
considérant la limite en –∞.
cas particuliers :
–– Si g est constante, on retrouve le cas de
l’asymptote horizontale.
–– Si g est affine, on a le cas de l’asymptote
oblique.
2. Exemple figurant sur le manuel : g(x) = x2 + 1
1
et f(x) = x2 + 1 +  .
x
3. –  Si degré P < degré Q alors lim f(x) 0 et la
x Æ

courbe de f admet la droite d’équation y = 0 pour
asymptote horizontale en + et – l’infini.
–– Si degré P = degré Q alors la limite de f en
l’infini est finie et la courbe de f admet une
asymptote horizontale en + et – l’infini.
–– Si degré P > degré Q alors la courbe de f admet
une courbe asymptote en + et – l’infini d’équation y = g(x) où g est une fonction polynôme de
degré = degré P – degré Q.

© éditions Belin, 2012.

Par limite de composée, lim

On rédige ainsi :
lim(2x - 1) 2 ¥ 1 - 1 1 et lim(1 - x) 0- car

Accompagnement
personnalisé

x Æ1

x Æ1

x 1
1 – x < 0 sur ]1 ; +∞[.
Par limite de quotient, on a lim f(x) - . On en

 AP 1

x Æ1
x 1

Trois erreurs visibles : sur ]–∞ ; 1], la fonction f ne peut croître de +∞ à 1, sur [1 ; 2[ la
fonction f ne peut décroître de 1 à +∞ et sur
[3 ; +∞[ elle ne peut croître de 5 à 2.
La fonction f est dérivable sur ° −{2} comme
fonction rationnelle sur son ensemble de définix2 - 4x 3
tion et f ¢(x)
qui est du signe de
(x - 2)2
2
x  – 4x +3 = (x−1)(x−3) ; donc f′(x) est négatif sur
[1 ;  3]−{2} et positif sur ]–∞ ;  1] » [3 ;  +∞[. Les
variations de f indiquées dans le tableau sont
donc correctes. f(1) = 1 et f(3) = 5 donc là non
plus il n’y a pas d’erreur.
En revanche :
x2
lim f(x) lim
lim x
x Æ
x Æ x
x Æ
et lim f(x) lim x - .

déduit que la droite d’équation x = 1 est asymptote verticale à la courbe représentative de f.

lim(x - 2) 0 , donc, par

Un triangle commence par une zone où les cours
évoluent dans une zone assez large pour aller
vers une zone de plus en plus étroite. En reliant
les sommets du cours, on obtient une ligne
horizontale de résistance et en reliant les planchers du cours, on obtient une ligne de soutien
ascendante. Cette configuration est un cas où la
probabilité que le cours augmente est forte.

x Æ-

Exemple : stratégie du triangle montant

x Æ-

lim(x2 - x - 1) 1 et

x Æ2

x Æ2
x 2

limite de quotient, lim f(x) = +∞.
x Æ2
x 2

Et on montre de même que lim f(x) = –∞, car
x Æ2
lim(x - 2) 0-.
x 2
x Æ2
x 2

x

 AP 3

–∞

1

2

3
+∞

1

+∞
+∞

f
–∞

–∞

5

 AP 4

Partie A
Soit J un intervalle ouvert contenant L.
D’après le prérequis 1, comme lim f(x) L il existe
xÆl


Pour la limite en plus l’infini : «   » est
-
une forme indéterminée donc on ne peut
conclure directement sur le résultat de la limite
de f en plus l’infini.
Il faut utiliser le résultat sur la limite d’une fonction
rationnelle en l’infini et écrire
2x
lim f(x) lim
-2. On en déduit que la
x Æ
x Æ -x
droite d’équation y = −2 est asymptote horizontale
à la courbe représentative de f en + et – l’infini.
Pour la limite à droite de 1 (car on a x > 1 d’après
l’intervalle de définition de f) : il ne faut jamais
1
écrire le quotient «   », qui n’existe pas.
0

Partie B
Dans l’exemplaire élève, l’énoncé a été modifié
comme suit :
Partie B, 2. b. En déduire que la suite (un)
converge vers une limite  supérieure à 1.
1. On conjecture que la suite (un) converge vers 3.
2. a. On utilise un raisonnement par récurrence.
On considère la propriété Pn : un ≤ un+1 ≤ 3

Chapitre 3 n Limites n  79

© éditions Belin, 2012.

 AP 2

un intervalle ouvert I contenant l tel que si x ΠI
alors f(x) ΠJ.
D’après le prérequis 2, comme (un) converge vers
l il existe un entier naturel N tel que si n > N alors
un appartient à I.
Donc pour tout entier n > N on a f(un) appartient à
J ce qui signifie que la suite (f(un)) converge vers L.

• u0 = −1 et u1 = 1 donc u0 ≤ u1 ≤ 3 soit P0 est
vraie
• On suppose que la propriété Pn est vraie à un
rang n (entier naturel) quelconque fixé.
On a un ≤ un+1 ≤ 3 donc
2un + 3 ≤ 2un+1 + 3 ≤ 9 et comme la fonction
racine carrée est croissante, on a
2un 3 2un 1 3 9 soit un+1 ≤ un+2 ≤ 3
Donc si Pn est vraie alors Pn+1 est vraie.
• Conclusion : la propriété Pn est vraie au rang
0 et est héréditaire, elle est donc vraie pour tout
entier naturel.
La suite (un) est donc croissante et majorée par 3.
b. Comme la suite (un) est croissante et majorée,
elle converge vers une limite l.
Comme (un) est croissante, pour tout entier naturel n non nul, on a un ≥  u1 soit un ≥ 1 et par
passage à la limite on obtient l ≥ 1.
c. lim un l et lim f(x) 2l 3 où


xÆl

f(x) 2x 3.
D’après la partie A,
lim f(un) 2l 3 soit


lim un 1 2l 3 .

b
e(x)
0 et lim
0, par limite
x
x Æ x
f(x)
de somme on a lim
a.
x Æ x
On a f(x) – ax =  b + e(x) or lim e(x) 0 donc
x Æ
lim f(x) - ax  = b.
Comme lim

x Æ

x Æ







lim f(x) - ax - b 0 soit
x Æ
lim f(x) - (ax b) 0. Donc la droite d’équax Æ

2. Comme lim f(x) - ax b alors
x Æ

tion y = ax + b est asymptote à la courbe
représentative de f en plus l’infini.
3. Pour tout réel x > 0,
4 3
x 4
f(x)
x x2 4 4 3 .

x
x
x x2
Par limite de composée,
4 3
lim 4
4 2.
x x2
x Æ
f(x) - 2x 4x2 4x 3 - 2x



4x

2

4x

4x 3 - 2x

Or lim un lim un 1 donc l 2l 3 .



Conclusion, l est solution de l’équation
x 2x 3.
d. x 2x 3 € x2 2x 3 € (x 1)(x - 3) 0
€ x -1 ou x 3

4x 3


Ê
ˆ
4 3

xÁ 4
x x2
Ë
¯





Or l ≥ 1 donc l = 3.
Partie C
On montre de même que la suite (vn) est décroissante et minorée par 3, sa limite l ≥ 3 étant aussi
solution de l’équation x 2x 3 on en déduit
que l = 3.

 AP5

Ê
lim Á4
x Æ Ë


4 et
x ˜¯

2

4x2 4x 3 2x

lim

x Æ

4



4x 3 2x

3
x
4 3
4
2
x x2
4

4 3

2 4
x x2

Donc par limite de quotient, on a :
lim f(x) - 2x 1.
x Æ





D’après la question 1. on sait alors que la droite
d’équation y = 2x + 1 est asymptote oblique à la
courbe représentative de f en +∞.

80 n Chapitre 3 n Limites

© éditions Belin, 2012.

1. On pose e(x) = f(x) – (ax + b) ainsi
lim e(x) 0 et f(x) = ax + b + e(x)
x Æ
f(x)
b e(x)
a
Pour tout réel x non nul,
.
x
x
x


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