Chapitre 3 Graphes pondérés et probabilistes.pdf


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2. La matrice M ne comportant pas de zéro, il existe un état
stable et il est unique.
Soit P = ( a b ) l’état stable.
On sait que a + b = 1, d’autre part P = PM équivaut à :
⎧ 1a + 3 b = a
⎪3
4
⇔ 2a = 3b ⇔ b = 8a.
⎨2
3
4
9
⎪ a + 1b = b
4
⎩3
Par substitution, a = 9 et b = 8 .
17
17
L’état stable est P =  9 8  .
 17 17 
58 1.
1
4
2
5
A
1
2

B

1
5

 1 1
2. M =  2 2 
1 4


5 5 

3. P1 = P0 M = ( 1 0 ) × 



1
2
1
5

1
2
4
5

0 3
4
3 0
4
0 1

b. On a P6 = ( 0,28745 0,71255 ) donc la probabilité que
Madame Z convainque son sixième client est de 0,28745.
c. Si elle n’a pas convaincu son premier client, l’état initial est
P1 = ( 0 1 ) et P6 = P1 × M5 = ( 0,28502 0,71498 ). Dans ce
cas, la probabilité qu’elle convainque son sixième client est
0,28502.
5. La matrice M ne comportant pas de zéro, il existe un état
stable et il est unique.
Soit P = ( a b ) l’état stable.
On sait que a + b = 1, d’autre part P = PM équivaut à :
⎧ 1a + 1b = a
⎪ 2
5
⇔ 1a = 1b ⇔ a = 2 b.
⎨ 1
2
5
5
4b = b
a
+

5
⎩2
Par substitution, a = 2 et b = 5 . L’état stable est P =  2 5  .
7
7
 7 7
En considérant un grand nombre de clients, Mme Z arrive à en
convaincre environ deux sur sept.
59 Voir livre page 95.
60 1.
3
4
A
B

1
4
1
4
0



 .


5

 0 3 1

4 4 
3. P5 = P0 M5 = ( 1 0 0 ) ×  3
1
 4 0 4 


0 1 0 
= ( 0,259 0,542 0,199 ) .
à 10–3 près.
La probabilité que Boris ait la balle après le cinquième lancer
est d’environ 0,542.
4. On peut s’assurer que la puissance quatrième de la matrice
de transition de ce graphe probabiliste ne comporte pas de 0,
ce qui garantit l’existence et l’unicité de l’état stable.
Soit P = ( a b c ) l’état stable.
On sait que a + b + c = 1, d’autre part P = PM équivaut à :









 =  1 1 .
  2 2


 0,28745 0,71255 
4. a. M5 = 
 0,28502 0,71498 

3b = a
4
⎧ a = 3b
4 .
3a+c = b ⇔ ⎪

4
⎪c= 7 b
16
1a + 1b = c

4
4

Par substitution, a = 12 , b = 16 et c = 7 .
35
35
35
L’état stable est P =  12 16 7  .
 35 35 35 
En considérant un grand nombre de passes, Alexis a la balle 12
fois sur 35 environ, Boris 16 fois sur 35 et Camille 7 fois sur 35.
61 1. P1 =

2.

( 0,15

0, 85 )
0,35

G
0,65

0,33

0,67
_
G

 0, 65 0,35 
3. M = 
 0,33 0, 67 
4. P3 = P2M = P1M2 = ( 0, 45096 0,54904 ) .donc environ 45 %
des personnes seront favorables à la grève le troisième jour.
5. La matrice M ne comportant pas de zéro, il existe un état
stable et il est unique.
Soit P = ( a b ) l’état stable.
On sait que a + b = 1, d’autre part P = PM équivaut à :
⎧ 0,65a + 0,33b = a
33
⎨ 0,35a + 0,67b = b ⇔ 35a = 33b ⇔ a = 35 b .

Par substitution, a = 35 et b = 33 .
68
68

3
4
1
4

1
4
C

122



2. M = 



1

L’état stable est P =  35 33  .
 68 68 
62 Faux : ce n’est même pas un graphe probabiliste !
63 Vrai : on justifie à l’aide de la calculatrice par exemple.
64 La chaîne correspondante est K – F – H – M – B avec un
poids total de 2208.