Chapitre 8.pdf


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(a − (R − R’))(a − (R + R’)) doit être strictement négatif, donc que R − R’ < a < R + R’.
Réciproquement, si un tel encadrement
est vérifié, alors, l’équation du 2.b. admet
effectivement deux solutions distinctes y 0 et
y’0 distinctes, donc, Ꮿ et Ꮿ’ ont deux points
d’intersection.
d. On a bien R − R’ < a < R + R’, donc,
les deux cercles proposés ont deux points
d’intersection, dont les coordonnées sont les

115 1. On pourrait imaginer que :
|| u 1 + u 2 + … + u n || || u 1 || + || u 2 || + … + || u n ||.

2. Il suffit d’appliquer le 1. avec les vecteurs
u1 (a1 ; b1), u 2 (a2, b2), …, un (an, bn).
116
Γ1

⎧x2 + y2 = 16
solutions du système ⎨
.
⎩( x − 5 )2 + y 2 = 9

C1

Les deux points d’intersection sont donc :

A

⎛ 16 12⎞
⎛ 16 12⎞
M1 ⎜ ; ⎟ et M2 ⎜ ; − ⎟ .
⎝ 5
⎝ 5 5⎠
5⎠

B

Γ4
Γ2

y
4

D

C

2
Γ3
–4

–2

2

0

4

C2

8x

6

–2
–4

3. Ils peuvent être dans une des 4 configurations suivantes :
Tangents
extérieurement

Tangents
intérieurement
y
4

y
4
2

2
x
–4

–2

0

2

4

x
–4 –2 0
–2

–2

2

4

6

8

–4

1. Al-Kashi est un mathématicien et astro-

–4

L’un intérieur à l’autre L’un extérieur à l’autre
y
4

4

2

y

2
x

© Éditions Belin 2011

–4

–2

0
–2
–4

184

2

4

La somme des aires des carrés Γi est égale à
AB2 + BC2 + CD2 + DA2.
La somme des aires des carrés Ci est égale à
AC2 + BD2 = (AB + BC)2 + (BC + CD)2
= AB2 + BC2 + 2AB BC + BC2 + CD2 + 2BC CD
= AB2 + BC2 + AD2 + DA2 + 2BC (AB + CD)
(car DA2 = BC2).
Puisque le vecteur AB + CD est nul, on a bien
l’égalité annoncée.

x
–2

0
–2
–4

Chapitre 8 ■ Produit scalaire

2

4

6

nome Perse qui vécut de 1380 à 1429. On
rencontre pour la première fois un résultat
similaire à la formule d’Al-Kashi dans « Les
éléments d’Euclide » au troisième siècle
avant Jésus-Christ. Mais ce sont Al-Kashi
et François Viète qui, avec l’apparition des
tables trigonométriques pour les fonctions
cosinus et sinus, proposèrent la version
actuelle de ce résultat. Jusqu’à 1990, on
attribuait à cette formule le nom de « Théorème de Pythagore généralisé » ou encore