Chapitre 8.pdf


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« Loi des cosinus ». Ce n’est que depuis cette
date qu’on parle du théorème (ou de la formule) d’Al-Kashi.
2. Les deux figures 1 et 2 ont le même
contour et sont parfaitement superposables. Ce sont seulement les découpages
de ces deux figures qui diffèrent.
Les aires proposées sur la figure 1 sont claires
(il s’agit d’aires de carrés).
Les deux parallélogrammes BCMN et ACLK de
la figure 2 ont une aire égale à la longueur de
leur base ([CM] ou [LK]), à savoir b, multipliée
par leur hauteur égale à a × cos(γ).
En égalant les aires des figures 1 et 2, on
trouve donc :
a2 + b2 + ᏭABC + ᏭCFH + ᏭCDH
= abcos(γ) + abcos(γ) + c2 + ᏭABC + ᏭCFH + ᏭCDH,

© Éditions Belin 2011

ce qui donne après simplifications :
a2 + b2 = 2ab cos(γ) + c2, c’est-à-dire :
AB2 = BC2 + AC2 − 2AC BC cos (ACB).

Si l’angle ACB est aigu (ce qui correspond à
la figure du livre)
ᏭABC + a2 + b2 + ᏭDCFH
= c2 + ᏭABC + 2 ᏭABC + 2ᏭAKLC.
a2 + b2 = c2 + 2ᏭAKLC
a² + b2 = c2 + 2ab cos ACB.
Si l’angle ACB est obtus,
B
c

a

a

E

A
b

C

D

b
F

G
K

H

+
+ ᏭABC + ᏭCDHF + 2ᏭGFHK
= c2 + ᏭABC + 2ᏭAGK.
c2 = a2 + b2 + 2ᏭGFHK = a2 + b2 − 2ab cos ACB.
a2

b2

Chapitre 8 ■ Produit scalaire

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