Chapitre 8.pdf


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3 a. F. b. F.

c. V. d. V. e. V. f. V.

21 a. 12 3 . b. 6 2 . c. −17,5. d. −1,5 2 .
22 a. 4. b. −2,5. c. −14 3 . d. −3 2 .

4 1. V. 2. V.
3. a. V. b. V. c. V.
4. V.
5. V. 6. F. 7. F.

23 a. −58, 99, −143.

5 a. V. b. F. c. V. d. F.
g. V.
h. V.

e. V. f. V.

6 1. F. 2. V. 3. F. 4. V. 5. V.
6. a. F. b. V. c. V.
7 a. (b ; −a). b. (1 ; 5). c. (3 ; 5).
d. Elles sont perpendiculaires.
e. Non. f. (5 ; −2).

24 Soit O, le centre du losange.
π
DA DB = DO DB = 2DO2 = 18 cos2
12
≈ 16,8 à 10−1 près.
25 a. 2AB AC = AB2 + AC2 − BC2
= 36 + 25 – 81 = −20, donc AB AC = −10.
b. 2BC AC = 2CB CA = CB2 + CA2 − AB2
= 16 + 64 – 49 = 31, donc BC AC = 15,5.
A

27 a.

8 a. d. et f. Ni l’un, ni l’autre.
b. et e. Directeur.
c. Normal.
5
6

=

30
6

. d. 6.

b. 5 2 . c. 2 3 .

12 c. et d.
13 1. a., b., d

16 a. OB b. ED c. 0 d. DH e. DE f. EF.

c.
e.

π
8
π

π

ou 45°.

4

ou 22,5°.
ou 22,5°.

8

19 1. a.

© Éditions Belin 2011

c.

π
6

2. a.

172

π

ou 90°.

2

ou 30°.
π
2

ou 90°.

C

b. Soit H, la projection orthogonale de E sur
(AD). AH = 0,6AD.
AD AE = AD AH = 0,6AH2 = 15.

28 Soit H, la projection orthogonale de B
sur (GC).


2. d.

14 On peut prendre u = v = 0, ou bien l’un
des deux vecteurs u ou v nul. Sinon, soit A,
B, C, trois points tels que AB soit un représentant de u et AC un représentant de v, et
D tel que ACDB soit un parallélogramme,
alors || u + v || = AD et || u − v || = BC. Il est
équivalent de dire que || u + v || = || u – v || ou
de dire que le quadrilatère ACDB est un rectangle, ou encore de dire que les vecteurs u
et v sont orthogonaux.

18 a.

E

D

2 . b. 3 2 . c.

2. a. 29 .

B

H

9 a. F. b. V.
11 1. a.

b. 186, 120, 70.

b.
d.
f.
b.
d.
b.

π

ou 22,5°.

8

8
π

ou 112,5°.

ou 22,5°.

8
π
3
π
3
π

ou 60°.
ou 60°.
ou 30°.

6

Chapitre 8 ■ Produit scalaire

GH = GO + OH = 5 ⎜1 +


2⎞
⎟.
2⎠



2⎞
⎟.
2⎠

GC GB = GC GH = GC GH = 25 ⎜1 +


A

29 a.
C’

B

B’

C

H

b. B’C’ = 0,25CB et C’B = 0,75AB. Soit H, la
projection orthogonale de A sur (BC).
B’C’ C’B =
=

3
16

3

CB AB =

16
27

× 18 =

3
16

CB HB =

3

CB HB

16

.

8

30 a. (AB – BC) (AB + BC) = AB2 − BC2
(AB – BC) (AB + BC) = −(BA + BC) AC
= −2BI AC.
Donc AB2 − BC2 = 2IB AC.
b. De même CD2 − DA2 = 2ID CA.
Donc AB2 − BC2 + CD2 − DA2 = 2AC (IB – ID)
= 2AC DB.
Et AC DB =

1
2

(1 – 4 + 9 – 16) = −5.