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Configurations
du plan

Chapitre

9

Ce chapitre a une structure un peu particulière puisqu’il ne propose
que des « Capacités ». Il nécessite pour les élèves de mobiliser
leurs connaissances du collège en géométrie. Le mémento de géométrie
sur les rabats de couvertures rappelle un certain nombre de propriétés,
les capacités reviennent, elles, sur quelques méthodes essentielles
de démonstration. La réelle nouveauté est l’introduction des méthodes
de géométrie repérée. L’objectif essentiel de ce chapitre est non seulement
de faire acquérir aux élèves ces méthodes, mais également de leur faire
comprendre les avantages et inconvénients de celles-ci par rapport à celles
de la géométrie classique. Les exercices proposant les deux approches
peuvent être l’occasion pour les élèves de creuser cette question.

© Éditions Belin 2010

Ouverture
L’ouvrage le plus connu de René Descartes
est le Discours de la méthode, imprimé à Leyde
en 1637. Dans cette œuvre majeure, en appendice, comme applications pratiques de sa
Méthode, Descartes a développé trois essais :
la Dioptrique, les Météores et la Géométrie.
Dans ce dernier essai Descartes explique deux
innovations :
• L’utilisation systématique de deux coordonnées (notées, par lui, x et y) pour
repérer les points et pour étudier les
propriétés géométriques. Avec lui naît
la géométrie analytique.
• L’étude des lignes courbes, leur classification par leur degré et surtout la
détermination de leurs tangentes par le
calcul.
C’est la première innovation qui fait l’objet
de ce chapitre.
Il faut savoir en outre que, dans cet essai,
Descartes précise l’écriture et les manipulations utiles pour le traitement des expressions
algébriques en nommant les données (a, b,
c, …) et les inconnues (x, y, z, …), habitudes
largement conservées à l’heure actuelle.

Évidemment, la géométrie analytique, qui
remplace le raisonnement par des calculs
algébriques, est très adaptée à l’informatique
et visionner une courbe, une section dans
l’espace… se fait maintenant à l’aide d’ordinateurs qui ont remplacé les dessins techniques et les épures.

Pour bien commencer
Exercice 1 1. a/ H et H ; b/ H ; c/ H
1
3
2
2
et H3 ; d/ H3 ; e/ H3 ; f/ H5.
2. Réponse b/ ou réponse c/ car on peut
démontrer dès cette question que EFDA est
un parallélogramme (EF = AD et (EF) parallèle
à (AD)).
3. AEFD est un parallélogramme.
Exercice 2

AEC est équilatéral, ABC est
rectangle isocèle, ADF est quelconque, DFC
est rectangle, ODE est isocèle.
Exercice 3 a/ Faux, AF et EC sont les longueurs des hypoténuses de deux triangles
rectangles dont un côté est identique et
l’autre différent.
b/ Vrai, [AF] et [ED] sont les diagonales du
parallélogramme AEFD.
c/ Vrai, d’après le théorème de la droite des
milieux dans le triangle ADF.

Chapitre 9 ■ Configurations du plan

103

d/ Faux, c’est une médiane.
e/ Vrai, O est le centre du cercle circonscrit
au triangle rectangle DFC car c’est le milieu
de l’hypoténuse.
f/ Vrai, car c’est une médiane dans un triangle
équilatéral.
mesure 45° car CAB est rectangle
g/ Faux, CAB
isocèle en C.
h/ Vrai, d’après le théorème de l’angle au
centre.

es
Exercices et problèm
GÉOMÉTRIE CLASSIQUE

5 a/ On conjecture que les droites (AH)
et (BC) sont perpendiculaires.
A

M
N

H

B

C

b/ Les triangles BMC et BNC sont rectangles
en M et N car inscrits dans le cercle de
diamètre [BC] donc H est l’orthocentre du
triangle ABC d’où la hauteur (AH) et (BC)
sont perpendiculaires.
6 a/ On conjecture que ABD est isocèle en

1 1. a/ Faux, le triangle peut être isocèle.
b/ Faux, un triangle ne peut pas posséder
deux axes de symétrie.
c/ Vrai. d/ Vrai. e/ Vrai.
f/ Vrai, sinon la somme de deux angles du
triangle mesurerait 180°.
2 a/ Faux, il faut de plus qu’elles se coupent
en leur milieu.
b/ Faux.
c/ Faux, il faut aussi qu’elles se coupent en
leur milieu.
d/ Vrai.
4 a/

Ᏸ’

A
K
O

M
H

© Éditions Belin 2010



B

On peut conjecturer que les droites (MO) et
(AB) sont perpendiculaires.
b/ Dans le triangle OAB, (BK) et (AH) sont
des hauteurs sécantes en M orthocentre donc
(MO) est la troisième hauteur, elle est donc
perpendiculaire au coté (AB).
104

Chapitre 9 ■ Configurations du plan

A.

D
M
B
A

b/ Par construction, M est le milieu de [BD]
donc (AM) est la médiane issue de A dans le
triangle ABD.
MAB est rectangle en M comme triangle
inscrit dans le cercle de diamètre [AB] donc
(AM) est aussi la hauteur issue de A dans le
triangle ABD qui est donc isocèle en A.
7 1. a/ Les triangles IAH et JAH sont isocèles
en I et en J.
b/ Le cercle Ꮿ de diamètre [AB] contient H
car ABH est rectangle en H donc Ꮿ cercle
de centre I contient les points A et H, d’où
IA = IH.
De même JA = JH en considérant le cercle
de diamètre [AC].
2. Les points I et J sont à égale distance
de A et H donc la droite (IJ) est la médiatrice
du segment [AH].
3. Le cercle Ꮿ’ de diamètre [IJ] contient A car
par construction IAJ est rectangle en A. H est
le symétrique de A dans la réflexion d’axe

(IJ) (car (IJ) médiatrice de [AH]) et (IJ) est un
élément de symétrie de Ꮿ’ donc H appartient
à Ꮿ’, le triangle IJH est donc rectangle en H.
9 a/ Le triangle OAM’ est inscrit dans le
cercle de diamètre [AO] donc rectangle en M’.
Le triangle AMB est inscrit dans le cercle de
diamètre [AB] donc rectangle en M.
Les droites (OM’) et (MB) sont perpendiculaires à la droite Ᏸ, donc elles sont parallèles.
b/ (OM’) est la droite des milieux dans le
triangle AMB donc M’ est le milieu du segment
[AM].
c/ Soit O’ le centre de Ꮿ’.
᐀’ est perpendiculaire à (O’M’) et ᐀ est perpendiculaire à (OM) or (OM) et (O’M’) sont
parallèles car (O’M’) est la droite des milieux
dans le triangle OAM donc ᐀ et ᐀’ sont
parallèles.
11 a/ G est le centre de gravité du triangle ABC.
b/ (AG) coupe [BC] en son milieu K qui est
aussi le milieu de [GD] car les diagonales
d’un parallélogramme se coupent en leur
milieu. D’une part A, G et K sont alignés et
d’autre part G, K et D le sont aussi, donc A,
G et D sont alignés.

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12 a/ Les diagonales (BE) et (AF) du rectangle
ABFE se coupent en leur milieu J. (BE) = (BJ)
et (AC) sont deux médianes du triangle ABF,
elles se coupent donc en I centre de gravité
du triangle ABF.
b/ (DC) est parallèle à (AB) et passe par le
milieu C de [BF], donc, d’après le théorème
des milieux, elle coupe [AF] en son milieu J.
Donc les droites (BE), (AF) et (DC) sont concourantes en J.
13 a/ D’après le théorème de la droite des
milieux dans le triangle ACE, la droite (IJ) est
parallèle à la droite (CE), de même dans le
triangle BDF, la droite (IJ) est parallèle à la
droite (DF). Donc les droites (CE) et (DF) sont
parallèles.
b/ Par construction (DC) parallèle à (AB) et
(AB) parallèle à (EF) donc (DC) et (EF) sont
parallèles. Or d’après la question a/, (CE) et
(DF) sont parallèles, donc le quadrilatère DFEC
est un parallélogramme.

14 1. a/ (3, 4, 5) et (6, 8, 10) sont deux triplets de Pythagore.
b/ Il y a 12 espaces sur la corde or 3 + 4 + 5 = 12
et (3, 4, 5) est un triplet de Pythagore.
L’artisan confie les deux extrémités de la
corde à un compagnon B ; lui, A, se place
à trois nœuds de B, la corde étant tendue
entre lui et B. Un second compagnon C se
place sur l’autre partie de la corde à 5 nœuds
de B. Lorsque C se déplace de telle sorte que
toutes les parties de la corde soient tendues,
alors l’artisan dispose en A d’un angle droit.
2. a/ Si le triangle ABC est rectangle en A,
alors AB2 + AC2 = BC2.
d/ Si AB2 + AC2 = BC2, alors le triangle ABC
est rectangle en A.
c/ Si AB2 + AC2 ≠ BC2 alors le triangle ABC
n’est pas rectangle en A.
3. On a utilisé l’implication du b/.
15 On choisit un rayon R strictement plus grand
que la moitié de la distance AB (souvent on
prend pour rayon R = AB) ; avec le compas
on trace les deux cercles centrés en A et B
de rayon R ; ces deux cercles se coupent en
deux points M et N. La droite (MN) est la
médiatrice de [AB] et donc coupe le segment
en son milieu.
16 a/ On trace un cercle de centre A qui
coupe ∆ en deux points distincts M et N.
On trace alors la médiatrice ∆’ du segment [MN]
(cf. exercice 15) qui est la droite recherchée.
(Il suffit de construire un seul point de ∆’
distinct de A car A appartient déjà à ∆’).
b/ Si A appartient à ∆ alors la parallèle à ∆
passant par A est la droite ∆.
Sinon, on utilise la droite ∆’ tracée au a/ puis
on recommence l’opération du a/ : on trace
la perpendiculaire à ∆’ passant par A.
17 a/

N
M

Ᏸ’

O

I A

B

Chapitre 9 ■ Configurations du plan

105

OM

b/ D’après le théorème de Thalès,
soit

a

=

ON

1
b

ON


Ᏸ’

O

I

A

b/ D’après le théorème de Thalès,
soit

a

=

OK

OB

K

L

OL

OI

, donc ON = ab.

18 a/

1

=

donc OL =

1
a

OI
OA

=

OL
OK

a/ AOBO’ est un losange car
OA = O’A = O’B = OB = rayon commun des
cercles.
b/ D’après le théorème de l’angle au centre,
= 1 AO’B
= 1
comme AOBO’
AIB
OAB et AI’B
2
2

, donc AIB
= AI’B
AOB = AO’B
est un losange
soit BII’ isocèle en B.
24 D’après le théorème de l’angle inscrit, on a :

et ACB
= AMB
; or BAC est isocèle
ABC = AMC


= AMB.

en A donc ABC = ACB, d’où AMC

.

19 Pour démontrer que les droites (MN) et
(BC) ne sont pas parallèles, on utilise un raisonnement par l’absurde et on suppose qu’elles
le sont. Alors, d’après le théorème de Thalès,
3,6
6
AM AN
=
=
soit
c’est-à-dire
5
7,8
AB
AC
3,6 7,8 = 5 6, ce qui est faux !
20 a/ P implique les propositions Q, R, S et T ;
R implique Q ; S implique les propositions P,
Q, R et T.
b/ Les propositions P et S sont équivalentes.
21 Soit R le rayon des cercles, on a :

IU = IV = IW = R, donc les points U, V et W
sont sur le cercle de centre I et de rayon R
donc I est le centre du cercle circonscrit au
triangle UVW.
22 a/ D’après le théorème de Pythagore,
si on appelle a la longueur d’un côté, on a
D2 + d 2
a=
, donc le périmètre égal à 4a
2

vaut 2 D2 + d 2 .
b/ Si d = 3 et D = 4, alors le périmètre vaut 10.

25 a/ Le triangle ABK est rectangle en K donc
est le complémentaire de ABC
; appelons
BAK
alors L le pied de la hauteur issue de C dans
le triangle ABC ; de même le triangle BCL est
est le complémenrectangle en L, donc HCB



taire de ABC, donc BAK = HCB.
= BCH’
; de plus, A, K, H
b/ Par symétrie, HCB
= BAH’,
d’où
et H’ sont alignés donc BAK


BAH’ = BCH’.
c/ A, B et C appartiennent au cercle Ꮿ circonscrit au triangle ABC, d’après le théorème
de l’angle inscrit et le b/ on a H’ appartient à Ꮿ.
GÉOMÉTRIE PLANE REPÉRÉE

27 a/ Dans le repère (A, B, D) :
A(0 ; 0), B(1 ; 0), D(0 ; 1), E(2 ; 0), C(1 ; 1)
⎛ 1 1⎞ ⎛ 3 1⎞ ⎛ 3 3⎞
F(2 ; 1), O ⎜ ; ⎟ , G ⎜ ; ⎟ , H ⎜ ; ⎟ .
⎝ 2 2⎠ ⎝ 2 2⎠ ⎝ 2 2⎠
b/ Dans le repère (A, B, O) :
A(0 ; 0), B(1 ; 0), O(0 ; 1), E(2 ; 0), C(0 ; 2),
F(1 ; 2), G(1 ; 1), H(0 ; 3), D(−1 ; 2).
F

29 a/
D
O

c/ Si D = d, alors le périmètre vaut 2 2d .
d/ 74 = 2 122 + D2 ⇔ D = 35.
23
I
O
© Éditions Belin 2010

I’

A
O’
B

106

Chapitre 9 ■ Configurations du plan

C

E

A

J
B

b/ E(−1 ; 0) et O(0 ; 1) donc la droite (EO) a
pour équation : y = x + 1 ; les coordonnées
⎛ 1 3⎞
de F sont (0,3) donc celles de J sont ⎜ ; ⎟
⎝ 2 2⎠
et vérifient cette équation, donc les points E,
O et J sont alignés.

31 (OB) a pour équation y = x, sa parallèle

⎛ 1⎞
1
passant par I ⎜1 ; ⎟ a pour équation y = x − .
⎝ 2⎠
2
33 a/ Le triangle FEC semble rectangle en F.
b/ (EF) a pour coefficient directeur −3 et (CF)
1
a pour coefficient directeur .
3
1
= − 1.
On a bien − 3
3
35 En utilisant soit la médiatrice du segment
[AB] est la droite perpendiculaire à [AB] passant
par le milieu de (AB), soit la médiatrice du
segment [AB] est l’ensemble des points M tels
que MA = MB, on obtient pour équation :
y = −7x + 11.
37 La hauteur issue de A a pour équation
y = −3x + 8 et celle issue de C a pour équation
3
1
y = x − , elles sont sécantes au point H
2
2
⎛17 7⎞
dont les coordonnées ⎜ ; ⎟ vérifient
⎝ 9 3⎠
3
15
l’équation y = − x +
de la troisième
4
4
hauteur issue de B.
38 a/ La médiatrice de [BC] a pour équation

© Éditions Belin 2010

y = −3x + 5 et celle de [AB] a pour équation
3
17
, elles sont sécantes au point O
y = x−
2
4
⎛ 37
7⎞
; − ⎟ vérifient
dont les coordonnées ⎜
⎝ 18
6⎠
3
3
de la troisième
l’équation y = − x +
4
8
médiatrice.
5
130 ce qui justifie
b/ OA = OB = OC =
18
que O est le centre du cercle circonscrit au
triangle ABC.
c/ Les médianes issues de A et de B ont pour
équations respectives x = 2 et y = 0 donc
G(2 ; 0).
d/ L’équation de la droite (GH) : y = −21x + 42
est vérifiée par les coordonnées du point O.

39 Les coordonnées des points A et A’ dans
le repère (O, I, J) sont (4 ; 3) et (5 ; 4) donc

3
4
et des droites
4
5
(OA) et (OA’) sont différents ce qui prouve
que les points O, A et A’ ne sont pas alignés.
les coefficients directeurs

C

40 a/ et b/

A

B

I

J

c/ C(0 ; 1) et J(1 ; −2) donc la droite (CJ) a
pour équation : y = −3x + 1 ; les coordon⎛1 ⎞
nées ⎜ ; 0⎟ de I vérifient cette équation, donc
⎝3 ⎠
les points C, I et J sont alignés.
41

J

D

E
I

A
2

F

0
B

C

2

a/ Les droites (AD) et (BC) ont même coefficient directeur égal à 0,25 ; elles sont donc
parallèles et ABCD est un trapèze.
1
10
b/ (AC) : y = − x +
et (BD) : y = 2x + 1
3
3
sont sécantes en I(1 ; 3).
4
33
c/ (CD) : y = − x +
et (AB) : y = −5x − 6
5
5
sont sécantes en J(−3 ; 9).
d/ (IJ) a pour équation : y = −1,5x + 4,5 ; les
coordonnées (0 ; 4,5) et (3 ; 0) des points E
et F vérifient cette équation, donc les points
I, J, E et F sont alignés.

Chapitre 9 ■ Configurations du plan

107

⎛1 ⎞
b/ Les coordonnées du point I sont ⎜ ; 3⎟
⎝2 ⎠
3
15
et ∆ a pour équation y = − x −
.
2
4
1
4
c/ (BC) a pour équation : y = − x −
5
5
⎛7
3⎞
et les coordonnées du point J sont ⎜ ; − ⎟
⎝2
2⎠
qui est le milieu de [BC].

42
Entrées
Saisir(xA, yA, xB, yB, xC, yC) ;
Traitement et sortie
Si xA ≠ xB alors
yB - yA
a := x - x ;
B
A
b := yC − axC ;
Afficher (y = ax + b) ;
Sinon
Afficher (x = xC) ;

C

43

R
G

I

Q
B

A

a/ On conjecture que I est le milieu de [RQ].
b/ Dans le repère (A, B, C), on a : A(0 ; 0),
⎛ 1 1⎞
B(1 ; 0), C(0 ; 1), I(0,5 ; 0,5), G ⎜ ; ⎟ ,
⎝ 3 3⎠
(AC) : x = 0 et (AB) : y = 0.
Ᏸ : la parallèle à (AB) passant par G a pour
1
équation y = .
3
Ᏸ’ : la parallèle à (AC) passant par G a pour
⎛ 2 1⎞
⎛ 1 2⎞
. Q ⎜ ; ⎟ et R ⎜ ; ⎟ .
⎝ 3 3⎠
⎝ 3 3⎠
3
Les coordonnées du milieu de [QR] sont
⎛ 1 1⎞
⎜⎝ ; ⎟⎠ ce qui correspond au point I.
2 2

équation x =

44

1



D
I
K
L
B

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E

C
D

J
A

I

B

K

a/ K(3 ; 0) et L(0 ; 3).
b/ Les droites (KL) et (BC) ont même coefficient
directeur égal à −1 ; elles sont donc parallèles.
d/ La parallèle à (DC) passant par L a pour
équation : y = x + 3 et les coordonnées du

e/ Les droites (BD) et (EK) ont même coefficient
1
directeur égal à − ; elles sont donc parallèles.
3
f/ Le théorème de Thalès.

1

0

J

C

a/ ABCD est un trapèze car (AB) et (DC) ont le
même coefficient directeur égal à −1,5.
108

L

45

⎛ 3 3⎞
point E sont ⎜ − ; ⎟ .
⎝ 2 2⎠

A
1

⎛ 3 3⎞
⎛5 ⎞
d/ Les coordonnées ⎜ ; ⎟ et ⎜ ; 0⎟ des
⎝ 2 2⎠
⎝2 ⎠
points K et L vérifient l’équation de ∆, donc
les points I, J , K et L sont alignés.
e/ Soit I le milieu de [AD] et ∆ la parallèle à
la droite (AB) passant par I. Par le théorème
des milieux dans le triangle ADB, ∆ rencontre
[BD] en son milieu K. ∆ est donc aussi la
parallèle à (DC) passant par K et, à nouveau
par le théorème des milieux dans le triangle
BDC, ∆ rencontre [BC] en son milieu J. ∆ est
ainsi la parallèle à (AB) passant par J et, par
le théorème des milieux dans le triangle ACB,
rencontre [AC] en son milieu L. Tous les milieux
sont donc alignés sur une parallèle à (AB).

Chapitre 9 ■ Configurations du plan

46 a/ @ fichier GeoGebra corrigé disponible
sur www.libtheque.fr/mathslycee.

C

⎛ 3 1⎞
et (BI) : y = x − 1 sont sécantes en D ⎜ ; ⎟ .
⎝ 2 2⎠

P’
MB = 2,24

50 a/ On conjecture que le triangle ABC
est rectangle isocèle en A. On montre que
AB = AC = 5 et que les droites (AB) et (AC) ont pour
3
4
coefficients directeurs et − dont le pro4
3
duit vaut −1, elles sont donc perpendiculaires.

Q

D
PQ = 2,24

= 90°
M

P
A

Q’

B

b/ On conjecture que BM = PQ et que les
droites (BM) et (PQ) sont perpendiculaires.
c/ M se situe sur la droite (AC) d’équation
y = x et son abscisse est comprise entre 0 et 1.
d/ Q(m ; 1), Q’(m ; 0), P(0 ; m), P’(1 ; m).
e/ Les coefficients directeurs des droites (BM)
m
1− m
et (PQ) sont
et
; leur produit
m−1
m
vaut −1 ; de plus BM = PQ = 2 m2 − 2 m + 1.
47 On se place dans le repère (A, B, D). On a

IJ = JK = KL = LI =

5

A

48
N
C

G

M

D

J
I

a/ M(4 ; 4) et N(2 ; 6).
⎛8 ⎞
b/ G ⎜ ; 4⎟ .
⎝3 ⎠

B

3
x +1
4
⎛4 ⎞
et (IN) : y = 6x − 6 sont sécantes en D ⎜ ; 2⎟ .
⎝3 ⎠
c/ Les droites (OG) : y =

© Éditions Belin 2010

3

2

x , (JM) : y =

⎛ 3 1⎞
; .
⎝ 4 4⎟⎠
1
1
b/ Les droites (AJ) : y = x , (CK) : y = − x + 1
3
3
49 a/ I(0 ; −1) et J ⎜

A

1
0

1

C

b/ L’aire du triangle ABC vaut

donc IJKL est un losange ;

3
de plus, les droites (IJ) et (JK) ont pour coefficients directeurs 2 et −0,5 dont le produit
vaut −1, elles sont donc perpendiculaires et
IJKL est un carré.

O

B

51 a/ (BC) : y = −

1

x+

AB

AC
2

= 12,5.

5

.
6
6
b/ La hauteur issue de A a pour équation :
y = 6x − 3.
⎛ 23 27⎞
;
.
c/ H ⎜
⎝ 37 37⎟⎠
d/ L’aire du triangle ABC vaut :
14
37
AB AC
37
=
= 7.
2
2
52 a/ Remarque : on utilise les deux méthodes
de l’exercice 35. La médiatrice du segment
[AB] a pour équation : y = 2x − 2.
b/ La médiatrice du segment [AC] a pour
équation : y = −4x + 4,5.
Ces deux médiatrices sont sécantes en
⎛13 1⎞
D ⎜ ; ⎟ qui est le centre du cercle circonscrit
⎝ 12 6⎠
3 485
et dont le rayon vaut AD =
≈ 4,92.
12
53 a/ Dans le repère orthonormé (A, K, L) où
L est le milieu de [AJ], on a : A(0 ; 0), K(1 ; 0),
I(2 ; 0), B(4 ; 0), J(0 ; 2), D(0 ; 4) et C(4 ; 4).
b/ (DI) : y = −2x + 4 et la perpendiculaire à
(DI) passant par A a pour équation y = 0,5x.
⎛ 8 4⎞
Elles sont sécantes en H ⎜ ; ⎟ .
⎝ 5 5⎠
Chapitre 9 ■ Configurations du plan

109

c/ Les droites (HJ) et (HK) ont pour coefficients
4
3
directeurs − et dont le produit vaut −1,
3
4
elles sont donc perpendiculaires.
54 1. Méthode analytique

⎛ 1⎞
a/ D(−1 ; 1) et E ⎜0 ; ⎟ .
⎝ 3⎠
2
1
b/ (DE) : y = − x + .
3
3
c/ (AB) : y = 0 et (DE) sont sécantes en
⎛1 ⎞
I ⎜ ; 0⎟ qui est le milieu de [AB].
⎝2 ⎠
2. Méthode géométrique
a/ (AC) coupe [BD] en son milieu O car ABCD
est un parallélogramme, donc (AC) est une
des médianes du triangle ABD.
1
2
2
b/ AE = AC = AO, E est situé aux
de
3
3
3
la médiane [AO] issue de A dans le triangle
ABD, donc E centre de gravité de ABD, d’où
(DE) médiane issue de D coupe [AB] en son
milieu.
55 1. a/ Comme ABC est isocèle en A alors

⎛ 1 1⎞
H milieu de [BC] donc H ⎜ ; ⎟ .
⎝ 2 2⎠
⎛ 3 1⎞
⎛ 1 1⎞
b/ I ⎜ ; ⎟ et J ⎜ ; ⎟ .
⎝ 4 4⎠
⎝ 4 4⎠

c/ Les droites (AI) et (CJ) ont pour coefficients
1
et −3 dont le produit vaut −1,
directeurs
3
elles sont donc perpendiculaires.
2. a/ La hauteur issue de I dans le triangle
ACI est une droite passant par I et perpendiculaire à (AC) donc parallèle à (AB). Elle
correspond d’après le théorème des milieux
dans AHB à la droite (IJ).
b/ (AH) est une autre hauteur, donc J point
d’intersection de ces deux hauteurs est l’orthocentre de ACI, donc (CJ) perpendiculaire à
(AI) (troisième hauteur).

© Éditions Belin 2010

56 1. a/ Dans le repère (A, B, D) :

A(0 ; 0), B(1 ; 0), D(0 ; 1), E(−1,1), C(1,1),
⎛ 5 1⎞
1⎞
⎛ 1 1⎞ ⎛ 1 1⎞ ⎛ 3
O ⎜ ; ⎟ , I ⎜ ; ⎟ , F ⎜ ; − ⎟ et J ⎜ ; ⎟ .


⎝ 4 4⎠
2
2
⎝ 2 2⎠ ⎝ 4 4⎠
b/ On vérifie que I est bien le milieu de [EF].
110

Chapitre 9 ■ Configurations du plan

c/ Les droites (EO) et (EJ) ont même coefficient
1
directeur égal à − donc les points E, O et J
3
sont alignés.
2. Dans le triangle EFC, le point O se situe
2
de la médiane [FD] en partant du
au
3
sommet F, donc O centre de gravité du
triangle EFC. La droite (CO) = (CI) est une
médiane du triangle EFC et I appartient
au côté [EF] donc I milieu de [EF]. La 3e
médiane est (EJ) qui contient le centre de
gravité, donc O, E et J alignés.
57 1. a/

F

1
0

A
E
D

B

K
J
I

C

1
1
1
x et (DC) : y = − x + sont
2
2
2
⎛ 1 1⎞
sécantes en E ⎜ ; ⎟ .
⎝ 2 4⎠
c/ (AD) : y = x − 1 et (BC) : y = −4x + 18 sont
⎛19 14⎞
sécantes en F ⎜ ; ⎟ .
⎝ 5 5⎠
b/ (AB) : y =

⎛7
⎛5 ⎞
⎛ 43 61⎞
1⎞
;
.
2. a/ I ⎜ ; − ⎟ ; J ⎜ ; 1⎟ et K ⎜
⎝2
⎝2 ⎠
⎝ 20 40⎟⎠
2⎠
b/ Les droites (IJ) et (IK) ont même coefficient
3
directeur égal à − donc les points I, J et K
2
sont alignés.
2
2
58 a/ (AC) : y = −x + 3 et (BD) : y = x −
3
3
⎛11 4⎞
sont sécantes en M ⎜ ; ⎟ .
⎝ 5 5⎠
⎛ 27 21⎞
⎛9 ⎞
⎛ 3 1⎞
b/ I ⎜
;
; J ⎜ ; 0⎟ et K ⎜ ; ⎟ .
⎝ 20 40⎟⎠
⎝2 ⎠
⎝ 2 2⎠
c/ Les droites (IJ) et (JK) ont même coefficient
1
directeur égal à − donc les points I, J et K
6
sont alignés.

59 a/ Dans T1 les hauteurs issues de B et A

ont pour équation y = −x + 6 et y =

1

4

x+

1

2

;

⎛ 22 8⎞
; .
elles sont sécantes en H1 ⎜
⎝ 5 5⎟⎠
Dans T2 les hauteurs issues de D et E ont
3
pour équation y = −2x + 2 et y = − x + ;
4
⎛5
1⎞
elles sont sécantes en H2 ⎜ ; − ⎟ .
⎝4
2⎠
Dans T3 les hauteurs issues de F et D ont
1
1
pour équation y = 2x − 4,8 et y = x − ;
4
4
elles sont sécantes en H3(2,6 ; 0,4).
Dans T4 les hauteurs issues de C et E ont
1
1
pour équation y = −2x + 8 et y = x + ;
4
8
elles sont sécantes en H4(3,5 ; 1).
b/ La droite (H2H4) a pour équation
2
4
qui est vérifiée par les coory = x−
3
3
données des points H1 et H3.
60 Entrées
Saisir (xA, yA, xB, yB) ;
Traitement et sortie
Si yA ≠ yB alors
xB - xA
a := - y - y ;
B
A
yA + yB
xA + xB
b :=
-a
;
2
2
Afficher (y = ax + b) ;
Sinon
xA + xB
) ;
Afficher (x =
2
FinSi

© Éditions Belin 2010

61 On définit I et J les milieux respectifs de
[AC] et [BD].
Entrées
Saisir (xA, yA, xB, yB, xC, yC, xD, yD) ;
Traitement et sortie
xA + xC
xI :=
;
2
xB + xD
;
xJ :=
2
yA + yC
;
yI :=
2
yB + yD
;
yJ :=
2

AB := (x B - x A)2 + (yB - y A)2 ;
BC := (xB - xC )2 + (yB - yC )2 ;
AC := (xC - xA )2 + (yC - yA )2 ;
BD := (xB - xD )2 + (yB - yD )2 ;
Si xI = xJ et yI = yJ et AB = BC et AC = BD
alors
Afficher (« le quadrilatère ABCD
est un carré ») ;
Sinon
Si xI = xJ et yI = yJ et AC = BD alors
Afficher (« le quadrilatère ABCD
est un rectangle »);
Sinon
Si xI = xJ et yI = yJ et AB = BC alors
Afficher (« le quadrilatère ABCD
est un losange ») ;
Sinon
Si xI = xJ et yI = yJ alors
Afficher (« le quadrilatère ABCD
est un parallélogramme ») ;
Sinon
Afficher (« ABCD est quadrilatère
quelconque ») ;
FinSi
FinSi
FinSi
FinSi

62 1. a/ Par construction, C se situe sur l’axe
des abscisses. B(b ; 0) et A(0 ; a).
⎛ b a⎞ ⎛ c a⎞ ⎛ b + c ⎞
; 0⎟ .
b/ H(0 ; 0), M ⎜ ; ⎟ , L ⎜ ; ⎟ , K ⎜

⎝ 2 2⎠ ⎝ 2 2⎠ ⎝ 2
c/ M et L ont la même ordonnée donc (ML)
est parallèle à l’axe des abscisses donc à (BC).
Si les abscisses des points B et C sont de
signes contraires ou toutes les deux positives
a2 + b2
alors ᏽ = HKLM et MH = LK =
.
2
Si les abscisses des points B et C sont
toutes les deux négatives alors ᏽ = HLMK et
a2 + c 2
MK = LH =
. Dans tous les cas ᏽ est
2
bien un trapèze isocèle.
2. D’après le théorème des milieux (ML) (BC),
donc (ML) (KH).
On se place dans le cas où ᏽ = HKLM.
D’après le théorème des milieux (KL) (AB)
1
et KL = AB. Le cercle de diamètre [AB]
2

Chapitre 9 ■ Configurations du plan

111

1

AB) contient H
2
1
car ABH rectangle en H, donc MH = AB
2
d’où MH = KL. De même si ᏽ = HLMK on a
1
KM = LH = AC .
2
(de centre M, de rayon

63 1. On peut conjecturer que les trois droites
sont concourantes.
2. a/ Par construction, B se situe sur l’axe
des abscisses avec une abscisse positive.
A(−a ; 0) où a est un réel positif, H(−a ; a)
et K(b ; b).
−a
ab
b/ (BH) : y =
,
x+
a+b
a+b
ab
b
(AK) : y =
x+
a+b
a+b

ab ⎞
.
et Ᏸ sont sécantes en L ⎜0 ;
⎝ a + b⎟⎠
64 1. Comme (d) n’est pas parallèle à (AC)
son équation dans le repère envisagé est de
la forme : y = ax + b. De plus, a est différent
de 0 puisque (d) n’est pas parallèle à (AB) et
a est différent de −1 puisque (d) n’est pas
parallèle à (BC).
Si A ∈ (d) alors b = 0, si B ∈ (d) alors b = −a
et si C ∈ (d) alors b = 1.
Donc b n’est ni nul, ni égal à 1, ni à l’opposé
de a.
2. a/ (d) : y = 2x − 1.
C

I
J
A

R
P

B

K
d

Q

⎛1 ⎞
⎛ 2 1⎞
b/ P ⎜ ; 0⎟ , Q(0 ; −1), R ⎜ ; ⎟ .
⎝2 ⎠
⎝ 3 3⎠
c/ Les droites (IJ) et (IK) ont même coefficient
directeur égal à −4, donc les points I, J et K
sont alignés.
65

© Éditions Belin 2010

B

66

M
J
I

A

N C

On note AB = b et AC = c.
Dans le repère orthonormé (A, I, J) comme
indiqué sur la figure, A(0 ; 0), C(c ; 0),
bc
B(0 ; b), M(0 ; y), N(x ; 0). Aire ABC =
et
2
xy
.
A’ = Aire AMN =
2
y
x
=
D’après le théorème de Thalès
c
b
x2b
xb
soit y =
et A’=
.
c
2c
1
x 2 b bc
A’= A équivaut à
=
2
2c
4
2
c
c
soit x 2 =
⇒ x =
.
2
2
67 On remarque que M, qui est intérieur au
carré, est nécessairement intérieur au triangle
ACD, comme sur la figure.
L

D

C

M
B

K
J

M

A

J
O
112

@ fichier GeoGebra corrigé disponible sur
www.libtheque.fr/mathslycee.
Dans le repère orthonormé (O, I, J) défini sur
la figure, les coordonnées des points A, B et
M milieu de [AB] s’écrivent (a ; 0), (0 ; b) et
⎛ a b⎞
⎜⎝ ; ⎟⎠ . On pose AB = L alors a ∈ [0 ; L]. Le
2 2
théorème de Pythagore dans OAB donne
a2 + b2 = L2 donc b = L2 − a2 .
a2 L2 − a2 L2
L
+
= donc OM =
Alors OM2 =
2
4
4
4
soit M appartient au cercle de centre O
L
et de rayon , comme les coordonnées de
2
M sont positives celui-ci n’appartient qu’au
quart de cercle.

I

A

Chapitre 9 ■ Configurations du plan

On note AB = a.

I

B

Dans le repère orthonormé (A, I, J) comme
indiqué sur la figure, A(0 ; 0), C(a ; a),
B(a ; 0), D(0 ; a) et M(x ; y) avec 0 x a
et 0 y a.
ay
a( a − x )
Aire(ABM) =
, Aire(BMC) =
donc
2
2
Aire(ABCM) = Aire(ABM) + Aire(BMC)
=

ay − ax + a2
2

Aire(ADM) =

.
ax

, Aire(DMC) =

68
G
J

© Éditions Belin 2010

I

Travaux pratiques 1

1. @ fichier GeoGebra corrigé disponible sur
www.libtheque.fr/mathslycee.
Γ est le cercle de diamètre [AI] où I est le
milieu de [AB].

a( a − y )

2
2
donc Aire(ADCM) = Alire(ADM) + Aire(DMC)
ax − ay + a2
.
=
2
Aire(ABCM) = 3Aire(ADCM)
⇔ ay − ax + a2 = 3ax − 3ay + 3a2
a
⇔ y = x + avec 0 x a ⇔ M appartient
2
au segment [KL] où K milieu de [AD] et L
milieu de [DC] privé de ses extrémités.

F O

Travaux encadrés

H

On appelle H et F les points de coordonnées
respectives (x ; 0) et (−1 ; 0) dans ᏾ et G le
point d’intersection du cercle de diamètre
[FH] avec la demi-droite [OJ).
D’après le théorème de Pythagore dans le
triangle OGH, on a :
OG2 + OH2 = GH2 ⇔ OG2 + x2 = GH2.
D’après le théorème de Pythagore dans le
triangle OGF, on a :
OG2 + OF2 = FG2 ⇔ OG2 + 1 = FG2.
D’après le théorème de Pythagore dans le
triangle FGH, on a :
FG2 + GH2 = FH2 ⇔ FG2 + GH2 = (1 + x)2.
En remplaçant dans cette dernière égalité
FG2 et GH2 obtenu précédemment, on
obtient :
OG2 + 1 + OG2 + x2 = (1 + x)2 ⇔ OG = x .

N
M
I

A

B

O
P

2. a/ ANI isocèle en I, donc la médiane (IM)
est aussi la hauteur issue de I dans AIN,
donc AMI rectangle en M.
b/ D’où M appartient au cercle de diamètre
[AI] c’est aussi le cas si N = A ou si N = B d’où
Ᏹ ⊂ Γ.
c/ OAI rectangle en O donc (OI) hauteur dans
AIP qui est isocèle en I donc (OI) médiane et
O milieu de [AP]. Si O = A alors P = A et P ∈ Ꮿ.
Dans tous les cas, O ∈ Ᏹ, donc Γ ⊂ Ᏹ.
Travaux pratiques 2

1. @ fichier GeoGebra corrigé disponible sur
www.libtheque.fr/mathslycee.
On remarque que la distance MH est constante.
2. a/ P appartient à la médiatrice de [AC]
c
c
d’équation x = donc xP = , de plus A’P
2
2
(A’ milieu de [AC]) est un rayon du cercle
c
de diamètre [AC] donc A’P = yP = .
2
Même raisonnement pour Q.
b/ L’ordonnée de M qui correspond à MH vaut
y P + yQ
b
= qui est une constante.
2
4
= CAP
= 45° = BCQ
,
3. a/ BAR
donc (AR) (CQ) ; de même (PC) (RB).

Chapitre 9 ■ Configurations du plan

113

Ainsi PCQR est un parallélogramme ayant un
angle droit, c’est un rectangle. Les diagonales
d’un rectangle se coupent en leur milieu donc
M milieu de [CR].
b/
R

M

D
J

Q

E

P
B

A

I

C H

c/ D’après le théorème des milieux dans
les triangles ARC et CRB, on a (DM) (AC)
et (ME) (BC) donc D, M et E alignés or
(DE) (AB) (droite des milieux dans ARB)
donc la distance de M à (AB) est constante.
4. La méthode analytique est ici très rapide et
la méthode géométrique aurait pu être difficile si l’énoncé n’avait pas introduit le point R.

4. Dans cet exercice, la preuve géométrique
est plus rapide et évite les calculs un peu
difficiles de la méthode analytique.
Travaux pratiques 4

1. @ fichier GeoGebra corrigé disponible sur
www.libtheque.fr/mathslycee.
La distance minimale est OM = 2,12 et on a
alors (OM) ⊥ ∆.
2. a/ M ∈ ∆ d’équation y = −x + 3, donc
M(x ; −x + 3).
b/ OM2 = x2 + (3 − x)2 = 2x2 − 6x + 9.
2


3⎞
9
c/ f(x) = 2 ⎜ x − ⎟ + , donc f atteint son

2⎠
2
3
minimum en x = .
2
d/ OM minimale lorsque f atteint son mini3
mum soit en , la distance minimale vaut
2
9
≈ 2,12.
2
Aide individualisée 1

© Éditions Belin 2010

Travaux pratiques 3

1. a/ @ fichier GeoGebra corrigé disponible
sur www.libtheque.fr/mathslycee.
b/ MPB et MCQ sont rectangles isocèles en M.
c/ d = BC.
2. a/ (BC) : y = −x + 1 et M ∈ (BC) donc
M(m ; 1 − m).
b/ (AI) : y = x donc Ᏸ a pour coefficient
directeur 1 et passe par M donc Ᏸ :
y = x + 1 − 2m.
P(2m − 1 ; 0) et Q(0 ; 1 − 2m).
c/ Les droites (BC) et Ᏸ ont pour coefficients
directeurs −1 et 1 dont le produit vaut −1,
elles sont donc perpendiculaires et MPB et
MQC sont rectangles en M.
De plus, MC = MQ = 2m
et MP = MB = 2 (1 − m ), donc MCQ et
MPB isocèles ;
MP + MQ = 2 (1 − m ) + 2m = 2 = BC.
3. (AI) médiane et hauteur dans ABC donc
(AI) ⊥ (BC) d’où Ᏸ ⊥ (BC) donc MPB et MQC
sont rectangles en M.
= QCM
= MPB
= 45° et CBA
= 45°,
De plus ACB
donc QCM et MPB rectangles isocèles en M.
On a alors MQ + MP = MC + MB = BC.
114

Chapitre 9 ■ Configurations du plan

Objectif : cette aide individualisée a pour but
d’aider l’élève à construire un raisonnement
déductif. Elle lui permet d’apprendre à bien
distinguer hypothèse et conclusion ainsi que
de revoir quelques théorèmes classiques de
géométrie.
a/ Hypothèses : I est le milieu de [AB] et J
celui de [BC].
Propriété : théorème de la droite des milieux.
Conclusion : les droites (IJ) et (AC) sont
parallèles.
b/ Hypothèse : ABCD est un losange.
Propriété : les diagonales d’un losange se
coupent perpendiculairement.
Conclusion : (AC) et (BD) sont perpendiculaires.
c/ Hypothèse : ABC est rectangle en B.
Propriété : un triangle rectangle est inscrit
dans le cercle de diamètre l’hypoténuse.
Conclusion : B se situe sur le cercle de
diamètre [AC].
d/ Hypothèse : les droites (AB) et (AC) sont
parallèles.
Propriété : deux droites parallèles ayant un
point en commun sont confondues.
Conclusion : les points A, B et C sont alignés.

e/ Hypothèse : ABCD est un rectangle.
Propriété : les diagonales d’un rectangle ont
même longueur.
Conclusion : AC = BD.
f/ Hypothèse : ABCD est un losange.
Propriété : les diagonales d’un losange se
coupent perpendiculairement en leur milieu
Conclusion : (AC) est la médiatrice de [BD].
Aide individualisée 2

© Éditions Belin 2010

Objectif et conseil : la première question de
cette aide individualisée porte sur la rigueur de
la rédaction. On pourra demander à l’élève
de faire une figure correspondant à chacune
des phrases de cette question avec le logiciel
Geoplan qui requiert une définition précise
des éléments de géométrie.
1. a/ Phrase incorrecte : le milieu de [AB]
est aligné avec A et B.
b/ Phrase incorrecte : On appelle (Ᏸ) une
droite parallèle à (AB).
c/ Phrase correcte.
d/ Phrase correcte.
e/ Phrase correcte.
f/ Phrase incorrecte : Je trace la droite perpendiculaire à (AB) passant par le point C.
g/ Phrase correcte.
h/ Phrase incorrecte : On considère un cercle
de centre A.
2. a/ donc ; b/ car ; c/ car ; d/ donc.
3. a/ donc ; b/ car ; c/ donc ; d/ donc.

Aide individualisée 3

1.
Pour démontrer que :
Les points A, B et M
sont alignés
Les droites (AB) et (CD)
sont parallèles
Les droites (AB) et (CD)
sont perpendiculaires
Les droites (AB) et (CM)
sont parallèles

Il faut vérifier que :

M est le point
d’intersection des
droites (AB) et (CD)
Les droites (AB) et (CD)
sont sécantes

⎧ y M = ax M + b

⎩ y M = cx M + d

yM = axM + b
a=c
ac = −1

yM − yC
=a
xM − xC

a≠c

2. a/ (BC) : y = −x + 1 ;
b/ non ;
c/ (Ᏸ) : y = −x ;
d/ (∆) : y = x − 2 ;
e/ non, c’est le point de coordonnées
⎛3
1⎞
⎜⎝ ; − ⎟⎠ .
2
2

Communiquer

Vous pourrez trouver des informations sur le
site de l’académie d’Aix-Marseille à l’adresse
http://www.maths.ac-aix-marseille.fr/ ainsi
que sur Wikipédia.

Chapitre 9 ■ Configurations du plan

115


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