Fonction logarithme neperien.pdf


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3 a) On peut conjecturer :
• la stricte croissance de f sur I = ]0 ; + ∞[,
• lim f(x) = + ∞ et lim+ f(x) = – ∞.
x → + ∞

x → 0

b) g’(x) = f’(x) × e   f(x) = x f’(x). Or pour tout x de I, g(x) = x
1 ​.
donc g’(x) = 1 et f’(x) = ​  
x
∀x ∈ I, f’(x) > 0. La conjecture concernant la stricte
croissance de f est confirmée.

Problème ouvert
Notons n le nombre de chiffres de 20122012.
10n est le plus petit nombre de (n + 1) chiffres
donc 10(n – 1) < 20122012 < 10n
⇔ (n – 1) ln(10) < 2012 ln(2012) < n ln(10)
2012 ln(2012)
 ​< n

⇔ n – 1 < ​  
  
ln(10)

Application (page 142)

EXERCICES
1  a) ln(125) = ln(53) = 5 ln(3).

 5
1
1
b) ln   = ln(5) − ln(5) = − ln(5) .
2
2
 5
 1 
= ln(5− 4 ) = − 4 ln(5) .
c) ln 
 625

2  a) A = ln( 3) + ln  1 = ln( 3) − 2 ln( 3) = − ln( 3) .
 9

( 2) − 12 ln(8) = 23 ln(2) − 23 ln(2) = 0 .
c) C = ln ( 27 ) + 2 ln( 2 ) − ln( 9) − ln(8)

b) B = 3 ln

3
ln( 3) + 2 ln( 2 ) − 2 ln( 3) − 3 ln( 2 )
2
ln( 3)
− ln( 2 ) .
C=−
2

C=

3  a) A = 5 − ln  12  = 5 + 2 = 7 .
e 

1 + x

1 − x > 0 et 1 + x > 0 et 1 − x > 0 c’est-à-dire

[− 1 <

x < 1 et x > − 1 et x < 1] donc x ∈ ] − 1 ;1[ .

Ainsi pour tout x de ]– 1 ; 1[,
 1 + x
ln 
= ln(1 + x ) − ln(1 − x ).
1 − x
2. a) Dans l’intervalle ] − 1 ;1[ , d’après 1., l’inéquation
 1 + x
ln 
< ln(1 + x ) s’écrit :
1 − x
ln(1 + x ) − ln(1 − x ) < ln(1 + x ) soit ln(1 − x ) > 0 .
Elle équivaut à ln(1 − x ) > ln(1) puis 1 − x > 1,
donc x < 0 .
D’où l’ensemble des solutions : 6 = ] − 1 ; 0 [ .
b) Sur]– 1 ; 0[, la courbe représentative de la fonction
 1 + x
x  ln 
est au-dessous de la courbe de la fonction
1 − x
x  ln(1 + x ) ; a contrario, sur [0 ;1[ elle est au-dessus.

) = ln(e) + ln ( e ) = 1 + 23 = 25 .
 e
1
5
c) C = ln   = ln ( e ) − ln (e ) = + 2 = .
2
2
e 
(

b) B = ln e e 3
© Nathan 2012 – Transmath Term. S

ce qui équivaut à :
2012 ln(2012)
2012 ln(2012)
​ 
 ​< n <  
​ 
 ​+ 1.
  
  
 
ln(10)
ln(10)
2012 ln(2012)
Comme ​  
 ​≈ 6 646,89, on obtient :
  
ln(10)
n = 6 647.

3

y

(

−2

4  a) A = 3 ln( x ) − 2 ln( y ) = ln  x 2  .
y 

1
y = ln (1 + x)

3

 xy
 y
b) B = ln( 4 x ) + ln   + 1 = ln   + ln( e)
 4
16
 exy
B = ln   .
 4

O

1

5  1. Le nombre x doit vérifier les conditions :
110476_C05_prof_fig01

2

Enseignement spécifique ● Chapitre 5 ● Fonction logarithme népérien

)

1+x
y = ln —
1–x

−2

x