Fonction logarithme neperien.pdf


Aperçu du fichier PDF fonction-logarithme-neperien.pdf

Page 1 2 34518




Aperçu texte


6  1. Sur la calculatrice la courbe de f est confondue
avec l’axe des abscisses.
2. On conjecture que f est la fonction nulle sur R .

( x + 1 + x) + ln ( x + 1 − x)
= ln ( x + 1 + x) ( x + 1 − x)
2

2

= ln( x 2 + 1 − x 2 ) = ln(1) = 0.

1
7  1. ∀x ∈ ] 0; + ∞[ , f ( x ) − g ( x ) = [ln( x )] − ln  
2

 x
2
= [ln( x )] + ln( x )

= ln( x ) [ln( x ) + 1] .
2. a) Sur ] 0;+ ∞[ , l’inéquation f ( x ) − g ( x ) < 0 s’écrit
ln( x ) [ln( x ) + 1] < 0 .
On étudie le signe de ce produit sur ] 0;+ ∞[ .

ln( x ) > 0 ⇔ ln( x ) > ln(1) ⇔ x > 1 .

ln( x ) + 1 > 0 ⇔ ln( x ) > ln( e − 1 ) ⇔ x > e − 1 .
D’où le tableau de signes du produit :
x

0

ln(x)
ln(x) + 1
f(x) – g(x)



+

e–   1

0
0


+


1
0

0

+ ∞
+
+
+

8  1. On conjecture que # 1 et # 2 ont un seul point
commun et donc sont tangentes au point A d’abscisse 1.
y

1
2

O

x

1

(

)

x 2 + 1 est définie sur R . La fonction

g : x ln 2 x est définie sur ] 0; + ∞[ .
L’équation f ( x ) = g ( x ) est donc définie sur ] 0; + ∞[ .
= g( x) ⇔ x2 + 1 = 2 x ⇔ x2 + 1 = 2 x
= g ( x ) ⇔ x 2 − 2 x + 1 = 0 ⇔ ( x − 1)2 = 0
= g ( x ) ⇔ x = 1.
# 2 ont un seul point commun, celui d’abscisse 1, et
 1

donc sont tangentes en A 1 ; ln( 2 ) .
 2

f ( x)
f ( x)
f ( x)
# 1 et

)

)

2
9  ∀a > 1 , ln( a ) + 2 ln ( a − 1 = ln a ( a − 1 



( ) ( a − 1) 
= ln (a − a ) 


= 2 ln (a − a ) .
= ln  a


x
j’

–1
+

0
0

+∞
+

0

c) Sur ]– 1 ; 0[, ϕ( x ) < 0 donc # f est au-dessous de # g .
Sur [0 ; + ∞[ , j( x ) > 0 donc # f est au-dessus de # g .

11  1. Sur ] 0; + ∞[ :
• ln( x ) = 1 ⇔ x = e donc xA = e .
 1
• ln   = 1 ⇔ ln( x ) = −1 ⇔ x = e − 1 donc xB = e −1.
 x
2. a) On note f et g les fonctions définies sur ] 0; + ∞[ par
 1
f ( x ) = ln( x ) et g ( x ) = ln   = − ln( x ) .
 x
TA : y = f ’ ( xA )( x − xA ) + f ( xA ) avec
1
= e − 1.
e
TA : y = e −1 ( x − e ) + 1 soit TA : y = e −1 x .
∆ B : y = g’ ( xB )( x − xB ) + g ( xB ) avec
1
g ( xB ) = − ln (e −1) = 1 et g’( xB ) = − − 1 = − e .
e
∆ B : y = − e( x − e −1 ) + 1 soit ∆ B : y = − ex + 2 .

b) TA a pour vecteur directeur uA (1 ; e - 1 ) ; D B a pour


vecteur directeur vB (1; − e) .





Or uA ivB = 1 × 1 + e − 1 × ( − e ) = 0 donc uA ⊥ vB .
Ainsi TA et D B sont perpendiculaires.
3. Dans le cas général, pour tout b de R , l’abscisse du
point de # 1 d’ordonnée b est telle que ln( x ) = b donc
x = eb . De même, l’abscisse du point de # 2 d’ordonnée
b est telle que − ln( x ) = b donc x = e − b .
1
T a pour coefficient directeur f '( eb ) = b = e − b donc
e

pour vecteur directeur u(1 ; e - b ) ; D a pour coefficient
1
directeur g '( e − b ) = − − b = − eb et donc pour vecteur

e
directeur v (1 ; - eb ) .



Alors u i v = 1 × 1 + e − b × ( − eb ) = 0 donc u ⊥ v .
Ainsi T et D sont perpendiculaires.
f ( xA ) = ln( e ) = 1 et f ’( xA ) =

2. On étudie l’intersection de # 1 et # 2 .
Pour tout110476_C05_prof_fig02
x de R , x 2 + 1 > 0 donc la fonction
f : x ln

x2
+ x et g '( x ) = − x + 1 .
2
Pour x = 0 , f (0) = g (0) = 0 et f '(0) = g '(0) = 1 .
# f et # g ont le point O(0 ; 0) en commun et les tangentes
respectives en O ont le même coefficient directeur 1, donc
ces tangentes sont confondues.
# f et # g ont pour tangente commune T0 : y = x .
2. ∀x > − 1 , ϕ( x ) = f ( x ) − g ( x ) .
1
+ x −1 .
a) ∀x > − 1 , ϕ’( x ) = f ’ ( x ) − g’ ( x ) =
x +1
1 + ( x − 1)( x + 1)
x2
ϕ’( x ) =
=
.
x +1
x +1
b) ∀x > −1 , f ’( x ) > 0 .
D’où le tableau de variation de j :

j

Ainsi : f ( x ) − g ( x ) < 0 ⇔ e − 1 < x < 1 .
D’où l’ensemble des solutions : 6 = ] e − 1 ;1[ .
b) Sur ] e − 1 ;1[ , # f est au-dessous de # g ; sur ] 0 ; e − 1] ou sur
[1; + ∞[ , # f est au-dessus de # g .

1

1
;
1+ x

g( x) = −

2

2

f ( x ) = ln(1 + x ) et f '( x ) =

2

2

2

Enseignement spécifique ● Chapitre 5 ● Fonction logarithme népérien

3

© Nathan 2012 – Transmath Term. S

∀x ∈ R , f ( x ) = ln

10  1. ∀x ∈ ] − 1; + ∞[ :