Fonction logarithme neperien.pdf


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12  1. a) T : y = f '( m)( x − m) + f ( m) avec
2
f ( m) = 2 ln( m) et f '( m) = .
m
2
Donc T : y = x − 2 + 2 ln( m) .
m
b) L’ordonnée de A est l’ordonnée à l’origine de T donc
yA = − 2 + 2 ln( m) .

Ainsi A a pour coordonnées (0 ; − 2 + 2 ln( m)) .
2. a) A = O ⇔ − 2 + 2 ln( m) = 0
⇔ ln( m) = 1 ⇔ m = e.
Ainsi A est en O si et seulement si m = e .
1
b) aire ( ABM) = AB × BM
2
1
= × [2 ln( m) − (− 2 + 2 ln( m))] × m
2
=m
Ainsi l’aire du triangle ABM est la fonction identique
m  m définie sur ] 0; + ∞[ .

13  1. a) ∀x > 0 , ϕ( x ) = x − ln( x ) .

j est dérivable sur ] 0; + ∞[ et pour tout x > 0 ,
1
1
x −2
− =
.
2x
2 x x
j '( x ) a même signe que le numérateur x - 2 :
ϕ '( x ) =

ϕ '( x ) > 0 ⇔ x > 2 ⇔ x > 4 .
D’où le tableau de variation de j :
x
j’

0


4
0

+ ∞
+

j
2 – 2 ln(2)
b) Pour tout x > 0 , ϕ( x ) > 2 − 2 ln( 2 ) > 0 .
Ainsi g ( x ) − f ( x ) > 0 donc x > ln( x ) .
2. a) Pour tout x > 1 , ln( x ) > 0, d’où l’encadrement
0 < ln( x ) <

x . Par division par x, on obtient :

ln( x )
ln( x )
x
1
<
soit 0 <
<
.
x
x
x
x
1
= 0 donc d’après le théorème d’encadrement,
b) Or lim
x→+∞
x
ln( x )
lim
= 0.
x→+∞
x
0<

© Nathan 2012 – Transmath Term. S

14  1. ∀x > 0 , f ( x ) = x + ln( x ) .

f est dérivable sur ] 0; + ∞[ et pour tout x > 0 ,
1
f '( x ) = 1 + ; ainsi f '( x ) > 0 .
x
D’où le tableau de variation de f :
x
f’

an

0
+

+∞
+∞

n

f
–∞

Remarque. lim+ f ( x ) = − ∞ et lim f ( x ) = + ∞ .
x→0

4

x→+∞

2. a) La fonction f est continue et strictement croissante
sur ] 0; + ∞[ ; tout entier naturel n appartient à l’intervalle
image ]− ∞ ; + ∞[ , donc l’équation f ( x ) = n admet une
unique solution a n dans ] 0;+ ∞[ .
b) Pour tout n de N , on compare α n+1 et a n :
si α n +1 < α n alors, en raison de la stricte croissance de
f sur ] 0;+ ∞[ , f (α n +1 ) < f (α n ) ce qui est impossible
puisque f (α n +1 ) = n + 1 et f (α n ) = n ; donc α n +1 > α n .
La suite (a n ) est donc strictement croissante.
3. a) Pour tout nombre x > 0 :
f ( x ) < 2 x − 1 ⇔ x + ln( x ) < 2 x − 1 ⇔ ln( x ) < x − 1 .
Or la courbe de la fonction ln est située en dessous de
n’importe laquelle de ses tangentes, en particulier en
dessous de sa tangente au point d’abscisse 1, d’équation
y = x − 1 (cf. exercice résolu C, page 144 du manuel).
Ainsi pour tout nombre x > 0 , ln( x ) < x - 1 d’où
f ( x) < 2 x - 1 .
b) Pour tout entier naturel n , f (α n ) < 2α n − 1 soit
n+1
n < 2α n − 1 donc α n >
.
2
n+1
α = +∞ .
c) lim
= + ∞ donc par comparaison nlim
→+∞ n
n→ + ∞ 2

15  a) e 2 x − 3 = 4 ⇔ 2 x − 3 = ln(4 ) ⇔ x = 3 + 2 ln( 2) .
3 + 2 ln( 2 ) 
Ensemble des solutions : 6 = 
.
2


1

b) L’équation est définie sur l’intervalle  ; + ∞  .
3

2
e
+
1
ln( 3 x − 1) = 2 ⇔ 3 x − 1 = e 2 ⇔ x =
.
3
e2 + 1 1
Or
> donc la valeur trouvée convient.
3
3
e2 + 1
.
Ensemble des solutions : 6 =
3

2

{ }

16  a) 2 e 2 x −1 = e x ⇔ ln( 2 e 2 x −1 ) = x
⇔ ln( 2 ) + 2 x − 1 = x
⇔ x = 1 − ln(22 ).
Ensemble des solutions : 6 = {1 − ln( 2 )} .
b) Conditions : [x + 2 > 0 et x > 0] . Donc x > 0 .
L’équation est définie sur l’intervalle ] 0;+ ∞[ .
ln( x + 2 ) = ln( x ) + 1 ⇔ x + 2 = e ln( x ) + 1 ⇔ x + 2 = ex
2
.
⇔ ( e − 1) x = 2 ⇔ x =
e−1
2
> 0 donc la valeur trouvée convient.
Or
e−1
2
Ensemble des solutions : 6 =
.
e−1

{ }

17  L’inéquation est définie sur l’intervalle ] 0;+ ∞[ .
On pose X = ln( x ) .
L’inéquation s’écrit X 2 − 5X + 6 > 0 donc dans R ,
X < 2 ou X > 3 .
L’inéquation initiale équivaut à :
ln( x ) < 2 ou ln( x ) > 3
donc x < e 2 ou x > e 3 .
Ensemble des solutions : 6 = ] 0 ; e 2 ] ∪ [e 3 ; + ∞[ .

Enseignement spécifique ● Chapitre 5 ● Fonction logarithme népérien