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Comme

1 49 2

0

b)

= 1, (P2) est vraie.

Supposons (Pn) vraie pour entier naturel n > 2,
4
4
4 n–2
u  u2 – f  u, donc (Pn+1)
u  un+1 – f  u < u  un – f  u < ×
9
9
9
est vraie.
4 n–2
Pour tout naturel n > 2, u  un – f  u <
u  u2 – f  u.
9
4
4 n–2
= 0 et le théorème des
f) Comme –1 < < 1, lim
n → + ∞ 9
9
gendarmes permet de conclure :
lim un = f.

1 2

1 2

1 2

n → + ∞

2. a) v2 = 12 donc (P2) est vraie.
Supposons (Pn) vraie pour entier naturel n > 2,
c’est-à-dire 12 < vn < f ⇔ 1 + 12 < 1 + vn < 1 + f = f2.
La fonction racine carrée est croissante sur +,
donc 12 < 81 + 12 < 81 + vn < f,
soit 12 < vn+1 < f, donc (Pn+1) est vraie.
Pour tout naturel n > 2, 12 < vn < f.
1
b) Cela résulte de 1 + = f.
f
c) Pour tout naturel non nul n,
1f – 81 + vn 2 1f + 81 + vn 2
wn+1 = f – 81 + vn =
,
f + 81 + vn
f2 – 1 – vn
f – vn
f – vn
=
=
.
wn+1 =
f + 81 + vn f + 81 + vn f + vn+1
f – vn
3
3
f > et vn+1 > donc f + vn+1 > 3 et wn+1 <
,
3
2
2
w
soit wn+1 < n .
3
1 1–1
d) w1 = 1 =
: (P1) est vraie.
3
Supposons (Pn) vraie pour entier naturel n non nul.
1
1
1 n
, donc (Pn+1) est vraie.
wn+1 < wn < ×
3
3
3
1 n
Pour tout naturel non nul n, wn <
.
3
1
1 n–2
< 1, lim
= 0 et le théorème des
Comme –1 <
n → + 
∞ 3
3
gendarmes permet de conclure : lim wn = 0.

1 2

1 2

1 2

1 2

n → + ∞

e) Pour tout naturel non nul n, vn = f – wn donc lim vn = f.
n → + ∞

107  1. a) Dans B2 :

1 
1 
 ​
​ 
 ​
​ 
 ! + 
 !
Dans B3 : = 1 + 
1

2

© Nathan 2012 – Transmath Term. S



1 ​
= 1 + ​ 
 !
 
1

16

Enseignement spécifique ● Chapitre 1 ● Suites

On peut conjecturer que la suite est croissante et convergente
vers , < 3.
1
> 0 : la suite (un) est strictement
2. a) un+1 – un =
(n + 1)!
croissante.
1
1
= 1 = 0  : (P1) est vraie.
b)
1!
2
Supposons (Pk) vraie pour tout entier naturel k non nul,
1
1
< k–1 .
c’est-à-dire que
k!
2
1
1
< .
Pour k > 1,
k+1
2
1
1
1
1
=
×
< k , donc (Pn+1) est vraie.
(k + 1)! k + 1 k!
2
1
1
< k–1 .
Pour tout naturel n > 1,
k!
2
1
1– n
1
1
1
2
,
c) un < 1 + 0 + 1 + … + n–1 = 1 +
1
2
2
2
1–
2
1
1
un < 1 + 2 1 – n = 3 – n–1 < 3.
2
2
d) Croissante et majorée, la suite (un) est convergente
(théorème 8).

1

2