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1 1. n est un entier naturel non nul, soit (Pn) la

n2(n + 1)2
.
4
2
2
1 (1 + 1)
= 1 = 13. (P1) est vraie.
Initialisation :
4
Hérédité : supposons (Pn) vraie, pour n ∈ * :
n2(n + 1)2
13 + 23 + … + n3 + (n + 1)3 =
+ (n + 1)3
4
(n + 1)2 (n + 2)2

=
4
donc (Pn) vraie entraîne (Pn+1) vraie.
Conclusion : pour tout entier n > 1, (Pn) est vraie.
2. Pour tout entier naturel n non nul,
13 + 23 + … + n3 = (1 + 2 +… + n)2.

proposition : 13 + 23 + … + n3 =

2 n est un entier naturel non nul, soit (Pn) la proposition :

n(n + 1)(n + 2)
.
3
1(1 + 1)(1 + 2)
Initialisation : 1 × 2 =
. (P1) est vraie.
3
Hérédité : supposons (Pn) vraie, pour n ∈ * :
1 × 2 + 2 × 3 + … + (n + 1)(n + 2)
n(n + 1)(n + 2)
+ (n + 1)(n + 2)
=
3
(n + 1)(n + 2)(n + 3)

=
.
3
(Pn) vraie entraîne (Pn+1) vraie.
Conclusion : pour tout entier n > 1, (Pn) est vraie.
1 × 2 + 2 × 3 + … + n(n + 1) =

3 n est un entier naturel non nul, soit (Pn) la proposition :

1 + (2 × 2!) + (3 × 3!) + … + (n × n!) = (n + 1)! – 1.
Initialisation : 1 = 2! – 1, (P1) est vraie.
Hérédité : supposons (Pn) vraie, pour n ∈ * :
1 + (2 × 2!) + (3 × 3!) + … + (n + 1) × (n + 1)!

= (n + 1)! – 1 + (n + 1) × (n + 1)!
= (n + 1)! [1 + n + 1] – 1 = (n + 2)! – 1.
(Pn) vraie entraîne (Pn+1) vraie.
Conclusion : pour tout entier n > 1, (Pn) est vraie.

4 n est un entier naturel non nul, soit (Pn) la proposition :

n! > 2n–1.
Initialisation : 1! = 1 = 21–1, (P1) est vraie.
Hérédité : supposons (Pn) vraie, pour n ∈ * :
(n + 1)! = (n + 1) n! > 2 × n! > 2n.
(Pn) vraie entraîne (Pn+1) vraie.
Conclusion : pour tout entier n > 1, (Pn) est vraie.

5 Soit (Pn) la proposition : un > n2.

Initialisation : u0 = 1 > 02, (P1) est vraie.
Hérédité : supposons (Pn) vraie, pour n ∈  :
un+1 > n2 + 2n + 1 = (n + 1)2.
(Pn) vraie entraîne (Pn+1) vraie.
Conclusion : pour tout entier naturel n, (Pn) est vraie.

6 n est un entier naturel, n > 4.
Soit (Pn) la proposition : un > 2n.

Initialisation : u4 = 26 > 24 = 16, (P4) est vraie.
Hérédité : supposons (Pn) vraie, pour n > 4 :
u2n > 22n donc un+1 > 22n + 1 = 2n+1 × 2n–1 + 1 > 2n+1.
(Pn) vraie entraîne (Pn+1) vraie.
Conclusion : pour tout entier naturel n > 4, (Pn) est vraie.

7 n est un entier naturel.
Soit (Pn) la proposition : 0 < un < 2.
Initialisation : u0 = 1, donc (P0) est vraie.
Hérédité : supposons (Pn) vraie, pour n ∈ .
Il en résulte 1 < un + 1 < 3 et la fonction racine carrée étant
strictement croissante sur [0 ; + ∞[,
1 < 8un + 1 < 13 d’où 0 < un+1 < 2.
(Pn) vraie entraîne (Pn+1) vraie.
Conclusion : pour tout entier naturel n, (Pn) est vraie.
8 n est un entier naturel.
Soit (Pn) la proposition : 2 < un < 3.
Initialisation : u0 = 2, donc (P0) est vraie.
Hérédité : supposons (Pn) vraie, pour n ∈ .
Il en résulte 7 < un + 5 < 8 et la fonction racine carrée étant
strictement croissante sur [0 ; + ∞[,
17 < 8un + 5 < 18 d’où 2 < un+1 < 3.
(Pn) vraie entraîne (Pn+1) vraie.
Conclusion : pour tout entier naturel n, (Pn) est vraie.

9 n est un entier naturel.

1
< un < 1.
2
1
Initialisation : u0 = , donc (P0) est vraie.
2
Hérédité : supposons (Pn) vraie, pour n ∈ .
La fonction f telle que f(un) = un+1,
f : x  x2 – x + 1 a pour tableau de variation :
Soit (Pn) la proposition :

x

–∞

1
2

1

+∞

3
1
4
1
3
Donc si < un < 1, alors < un+1 < 1.
2
4
(Pn) vraie entraîne (Pn+1) vraie.
Conclusion : pour tout entier naturel n, (Pn) est vraie.
f

10 1. S2 = 1, S3 = 3, S4 = 6, S5 = 10.
2. Sn = 1 + 2 + 3 + … + (n – 1) =

n(n – 1)
.
2

3. n est un entier naturel, n > 2.
n(n – 1)
.
Soit (Pn) la proposition : Sn =
2
2(2 – 1)
Initialisation : S2 = 1 =
, donc (P2) est vraie.
2
Hérédité : supposons (Pn) vraie, pour n > 2.
Ajoutons, sur le cercle, un point (distinct des n précédents).
Nous avons exactement n nouveaux segments à tracer  :
d’extrémités le nouveau point et un des n points précédents.
Enseignement spécifique ● Chapitre 1 ● Suites

3

© Nathan 2012 – Transmath Term. S

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