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n(n – 1)
n(n – 1) + 2n
+n=
soit
2
2
n(n + 1)
Sn+1 =
et (Pn) vraie entraîne (Pn+1) vraie.
2
Conclusion : pour tout entier naturel n > 2, (Pn) est vraie.

Donc Sn+1 = Sn + n =

11 Pour tout entier naturel non nul n, –1 < (–1)n < 1

3
7
3
7
= 0.
donc –  < un < . Or lim – = lim
n → + 
n → + 


n
n
n
n
Le théorème des gendarmes (théorème 2) nous permet de
conclure : lim un = 0.
n → + ∞

12 Pour tout entier naturel non nul n, –1 < (–1) < 1
n

5(–1)n
5
5
5
5
< et 2 – < un < 2 + .
<
n
n
n
n
n
5
5
Or lim 2 –
= lim 2 +
= 2.
n → + ∞
n → + ∞
n
n
Le théorème des gendarmes (théorème 2) nous permet de
conclure : lim un = 2.

donc –

1

2

1

2

n → + ∞

13 Pour tout entier naturel n, –1 < – (–1)n < 1, donc
3n – 1 < un.
Or lim (3n – 1) = + ∞, donc le théorème de comparaison
n → + ∞

(théorème 1) nous permet de conclure : lim un = + ∞.
n → + ∞

14 Pour tout entier naturel n, –1 < sin(n2 + 1) < 1, donc


1
1
< un <
.
7n + 1
7n + 1

1
= 0. Nous sommes dans les conditions
7n + 1
d’utilisation du théorème des gendarmes (théorème 2) et
lim un = 0.
Or lim

n → + ∞

n → + ∞

15 1. Pour tout entier naturel n > 3,
n2 + 1
n2
n2
>
= n1n.
>
7n – 2
1n
7n – 2
2. Comme lim n1n = + ∞, le théorème de comparaison
un =

n → + ∞

(théorème 1) nous permet de conclure :
lim un = + ∞.
n → + ∞

16 1. Pour tout entier k,

(0 < k < n) ⇔ (0 < 1k < 1n)
(stricte croissance de la fonction racine carrée) et
1
1
(0 < 1k < 1n) ⇔
<
1n
1k
(passage à l’inverse dans ]0 ; + ∞[).
Pour tout entier naturel n > 4, chacun des n termes de la
1
somme un est supérieur à , donc
1n
1
= 1n.
un > n ×
1n
2. Comme lim 1n = + ∞, le théorème de comparaison

© Nathan 2012 – Transmath Term. S

1

2

n → + ∞

(théorème 1) nous permet de conclure :
lim un = + ∞.
n → + ∞

17 a) lim n2 = lim 3n = + ∞.
n → + ∞

n → + ∞

Nous sommes en présence d’une forme indéterminée.
Pour tout entier naturel n, un = n(n – 3) est le produit de
deux facteurs ayant pour limite + ∞ quand n tend vers + ∞,
donc (théorème 4) lim un = + ∞.
n → + ∞

4

Enseignement spécifique ● Chapitre 1 ● Suites

b) lim n1n = lim n2 = + ∞ : nous sommes en présence
n → + ∞

n → + ∞

d’une forme indéterminée.
Pour tout entier naturel n, un = n1n (1 – 1n).
Comme lim (1 – 1n) = – ∞, le théorème 4 permet de
n → + ∞

conclure : lim un = – ∞.
n → + ∞

18 a) lim 3n = lim 2n = + ∞ (théorème 7).
n → + ∞

n → + ∞

Nous sommes en présence d’une forme indéterminée.
2 n
.
Pour tout entier naturel n, un = 3n 1 –
3
2 n
= 0 (conséquence du théorème 7), donc
Or lim
n → + ∞ 3
2 n
lim 1 –
= 1 et lim un = + ∞.
n → + ∞
n → + ∞
3
b) lim 5n = lim 4n = + ∞ (théorème 7).

1 1 22

1 2

1 1 22

n → + ∞

n → + ∞

Il en résulte lim (5n – 1) = lim (4n + 3) = + ∞.
n → + ∞

n → + ∞

Nous sommes en présence d’une forme indéterminée.
1
1
5n 1 – n
1– n
5 n
5
5
=
×
.
un =
4
1
1
4n 1 – n
1– n
4
4
5 n
1
1
lim 1 – n = lim 1 – n = 1 et lim
= + ∞
n → + ∞
n → + ∞
n → + ∞ 4
5
4
5
car > 1 ; théorème 7 . Il en résulte lim un = + ∞.
n → + ∞
4

1
1

1

2

2
1
1 2
2
1

1

1

2

2
2

1 2

2

19 a) lim (5n2 – 5) = + ∞ et lim 2n(n + 1) = + ∞.
n → + ∞

n → + ∞

Nous sommes en présence d’une forme indéterminée.
1
1
5n2 1 – 2
1– 2
5
n = ×
n .
un =
2
1
1
2
2n 1 +
1+
n
n
1
1
= 1, nous pouvons
Comme lim 1 – 2 = lim 1 +
n → + ∞
n → + ∞
n
n
5
conclure que lim un = .
n → + ∞
2
• Autre méthode (à retenir) : un est une fonction rationnelle
de n et se comporte à l’infini comme le quotient de ses
monômes de plus haut degré :
5n2 5
lim un = lim
= .
n → + ∞
n → + ∞ 2n2
2
• Autre méthode (situation très particulière) : le numérateur
se factorisant en 5(n + 1)(n – 1), la simplification par (n + 1)
est envisageable.
b) lim (7n + 3) = lim n2 = + ∞ : nous sommes en présence

1
1

1

n → + ∞

2
2

2

1

2

n → + ∞

d’une forme indéterminée.
En divisant numérateur et dénominateur par n (non nul), il
3
7+
vient un = n n .

1

2

3
= 7 et lim n = + ∞. Nous pouvons conclure
n → + ∞
n
(théorème 5) : lim un = 0.
lim 7 +

n → + ∞

n → + ∞

lim (3n2 – 4) = lim (n + 1) = + ∞.
20 • Étude de (un). n → + 
n → + 




Nous sommes en présence d’une forme indéterminée.
En divisant numérateur et dénominateur par n (non nul),