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4
n , expression qui permet de lever
il vient un =
1
1+
n
l’indétermination car :
4
1
lim 3n –
= + ∞ et lim 1 +
= 1.
n → + ∞
n → + 

n
n
Il en résulte, lim un = + ∞.

On utilise l’expression conjuguée pour lever l’indétermination.
182n + 1 – 82n – 12 182n + 1 + 82n – 12
un =
82n + 1 + 82n – 1
2
=
82n + 1 + 82n – 1
et (théorème 5) lim un = 0.

• Étude de (vn)

. lim 1n = + ∞,
1
2 n → + ∞
1+ + 1+
n
n
1
2
lim 1 + = 1 = lim 1 + ,
n → + ∞
n → + ∞
n
n
donc (théorème 5) lim un = + ∞.

1

2

1

2

n → + ∞

n → + ∞

4
3– 2
3n2 – 4
n
vn = 2
=
et lim vn = 3.
n → + ∞
n +n
1
1+
n
• Étude de (wn)
3n2 – 4
3n2 – 4 – 3n2 – 3
–7
wn =
– 3n =
=
et lim w = 0.
n+1
n+1
n + 1 n → + ∞ n

21 a) 2n2 – 5 > n2 dès que n > 3. La fonction racine
carrée est croissante sur ]0 ; + ∞[ donc pour n > 3,
un > 3n2 = n. Le théorème de comparaison (théorème 1)
nous permet de conclure : lim un = + ∞.
n → + ∞

b) Pour tout entier naturel n, n2 + 3n > n2.
La fonction racine carrée est croissante sur ]0 ; + ∞[ donc
pour tout n, un > 3n2 = n. Le théorème de comparaison
(théorème 1) nous permet de conclure :
lim un = + ∞.
n → + ∞

22 a) On utilise l’expression conjuguée pour lever
l’indétermination.
192n2 – 5 – n12 2 192n2 – 5 + n12 2
un =
92n2 – 5 + n12
–5
=
.
92n2 – 5 + n12
Comme lim 92n2 – 5 = + ∞ (cf. exercice 21.a) du manuel)
n → + ∞

et lim n12 = + ∞, il en résulte que
n → + ∞

lim 192n2 – 5 + n12 2 = + ∞ et (théorème 5) lim un = 0.

n → + ∞

n → + ∞

b) On utilise l’expression conjuguée pour lever l’indétermination.
1
1
n 2 + – 12   2 + + 12
n
n
un =
1
2 + + 12
n
1
=
.
1
2 + + 12
n
1
1
= 0, il en résulte lim un =
.
Comme lim
n → + ∞ n
n → + ∞
212

18

2 18

2

8

8

23 a) Pour tout entier naturel non nul n,
2n + 1 > 2n – 1 > n. La fonction racine carrée est croissante
sur ]0 ; + ∞[ donc pour tout n non nul,
82n + 1 > 82n – 1 > 1n. De plus lim 1n = + ∞.
n → + ∞

Le théorème de comparaison (théorème 1) nous permet
d’affirmer que
lim 82n + 1 = lim 82n – 1 = + ∞.
n → + ∞

n → + ∞

b) un =

1n

8

8

8

8

n → + ∞

24 a) un = n × 7n + 2 – 7n + 1 .
7n + 1 × 7n + 2

1
7n + 1 × 7n + 2 × 17n + 2 + 7n + 12
1
=
.
1
2
1 + × 1 + × 17n + 2 + 7n + 12
n
n
1
2
Comme lim 1 + = lim 1 + = 1,
n → + ∞
n n → + ∞
n
lim 7n + 2 = lim 7n + 1 = + ∞, les théorèmes 3, 4 et 5
un = n ×

8

8

8

n → + ∞

8

n → + ∞

nous permettent de conclure : lim un = 0.
n → + ∞

b) Nous sommes, au numérateur, en présence d’une forme
indéterminée. On utilise l’expression conjuguée pour lever
l’indétermination.
–1
un = 2
.
8n + 5 (3n + 99n2 + 1)
Or lim 8n2 + 5 = lim 3n = lim 99n2 + 1 = + ∞ (tous
n → + ∞

n → + ∞

n → + ∞

supérieurs à n par exemple). Les théorèmes 3, 4 et 5 nous
permettent de conclure : lim un = 0.
n → + ∞

25 On reconnaît la somme des n premiers termes de la
suite géométrique de premier terme

1
1
et de raison :
3
3

1
1
– n+1
3 1
1
1
1
3
3
=
Sn =
– n+1 =
1– n .
1
2
3
3
2
3
1–
3
1
1
Comme
< 1, lim n = 0, donc (conséquence du
n → + ∞ 3
3
1
théorème 7), lim Sn = .
n → + ∞
2

1

2

1

2

| |

26 On reconnaît la somme des (n + 1) premiers termes
de la suite géométrique de premier terme 1 et de raison
1

:
2
1 n+1
1– –
2
1 n+1
2
=
1– –
.
Sn =
1
3
2
1+
2
1 n+1
lim –
= 0, donc (conséquence du théorème 7),
n → + ∞
2
2
lim S = .
n → + ∞ n
3

1 2

1 2

1 1 2 2

1 2

Enseignement spécifique ● Chapitre 1 ● Suites

5

© Nathan 2012 – Transmath Term. S

3n –