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27 On reconnaît la somme des n premiers termes de la
suite géométrique de premier terme 0,6 et de raison 0,6.
0,6 – 0,6n+1 3
= (1 – 0,6n).
Sn =
1 – 0,6
2
Comme |0,6| < 1, lim 0,6n = 0, (conséquence du théo-

2. an =



n → + ∞

rème 7), lim Sn =
n → + ∞

3
.
2

28 1. En cm2, a0 = p , a1 = p – p = 3p ,
2

2

8
3p p 11p
11p
p
43p

=
,a =

=
.
a2 =
8 32 32 3 32 128 128

EXERCICES

8

3 1

3

• L’outil
– Raisonnement par récurrence
• Les objectifs
– Savoir conjecturer une propriété à partir du calcul des
premiers termes.
– Savoir prouver la conjecture.
1
1
1
1
1
1
.
1. u1 = , u2 = , u3 = , u4 = , u5 = , u6 =
3
7
15
31
63
127
2
3
4
5
2. 7 – 3 = 2 , 15 – 7 = 2 , 31 – 15 = 2 , 63 – 31 = 2 ,
127 – 63 = 26.
3. a) On peut conjecturer que, pour tout entier naturel n,
1
.
un = n+1
2 –1
1
.
b) Notons (Pn) la proposition : un = n+1
2 –1
1
= 1 = u0 : (P0) est vraie.
2n+0 – 1
Supposons (Pn) vraie pour un entier naturel n.
1
n+1
1
1
2 –1
=
= n+2
.
un+1 =
n+2
1
1+2 –2 2 –1
+
2
2n+1 – 1
(Pn) vraie entraîne (Pn+1) vraie.
1
Conclusion : pour tout entier n, un = n+1
.
2 –1
34  Une suite arithmético-géométrique
• Les outils
– Raisonnement par récurrence.
– Représentation graphique de fonctions affines.
– Propriétés des suites géométriques.

1
1
– n+1
p
p
1
1
4 4
=
1–
=
1–
1– n .
1
2
2
3
4
1–
4

Comme

| 14 | < 1, lim

n → + ∞

et lim Sn =
n → + ∞

1.

3

1

24

1
= 0 (conséquence du théorème 7),
4n

p
.
3

y
2

1

• Les objectifs
– Repérer graphiquement les premiers termes de la suite.
– Conjecturer le comportement de la suite à partir de l’étude
graphique.
– Prouver la convergence d’une suite.
– Calculer la limite d’une suite convergente en utilisant une
suite auxiliaire.
Enseignement spécifique ● Chapitre 1 ● Suites

u0

0

1

u1 u2 u3 2

x

2. a) Notons(Pn) la proposition : un < un+1 < 2.
110476_C01_prof_fig02
3
u0 = 1 et u1 = , soit u0 < u1 < 2 : (P0) est vraie.
2
Supposons (Pn) vraie pour un entier naturel n, c’est-à-dire
un < un+1 < 2.
1
1
1
Il en résulte un + 1 < un+1 + 1 < × 2 + 1 soit
2
2
2
un+1 < un+2 < 2. (Pn) vraie entraîne (Pn+1) vraie.
Conclusion : pour tout entier n, un < un+1 < 2.
b) Ainsi la suite (un) est croissante et majorée : elle est donc
convergente (théorème 9).
1
1
3. a) vn+1 = 2 – un+1 = 1 – un = vn.
2
2
De plus v0 = 2 – u0 = 1. La suite (vn) est géométrique de
1
premier terme 1 et de raison .
2
1
b) Comme
< 1, le théorème 7 nous permet d’affirmer
2
que lim vn = 0 et donc lim un = 2.

| |

n → + ∞

6

4

24

Activités de recherche (page 36)

33  Conjecturer puis démontrer

© Nathan 2012 – Transmath Term. S

p
1
1
1
+
+…+ n
1–
2
4 16
4

n → + ∞

35  Un encadrement utile
• L’outil
– Théorème des gendarmes.
• Les objectifs
– Encadrer la somme de nombres positifs ordonnés.
– Savoir utiliser le théorème des gendarmes.