مواضيع للمراجعة (1 ) ( 2 ) .pdf



Nom original: مواضيع للمراجعة (1 ) ( 2 ).pdfAuteur: micro

Ce document au format PDF 1.5 a été généré par Microsoft® Office Word 2007, et a été envoyé sur fichier-pdf.fr le 29/04/2015 à 17:58, depuis l'adresse IP 105.103.x.x. La présente page de téléchargement du fichier a été vue 575 fois.
Taille du document: 1.4 Mo (19 pages).
Confidentialité: fichier public


Aperçu du document


‫سلسلة مواضيع للمراجعة – ( رياضيات )‬
‫‪2015‬‬

‫السنة الثالثة ‪ :‬العلوم التجريبية ‪.‬‬

‫المــوضـــوع رقـــم‪.1‬‬
‫التمرين األول ‪5:‬ن‬

‫المستوي المركب منسوب إلي المعلم المتعامد والمتجانس والمباشر ‪‬‬

‫‪ ‬‬

‫‪‬‬

‫‪. O ;u ,v‬‬

‫‪ C ، B ، A‬هي النقط التي لواحقها علي الترتيب ‪. z C  2  2i ، z B  1  i 3 ، z A  2 :‬‬
‫‪‬‬

‫‪i‬‬

‫نسمي ‪ T‬التحويل النقطي الذي يرفق بالنقطة ‪ M‬ذات الال ّحقة ‪ ، z‬النقطة ‪ M ‬ذات الال ّحقة ‪ z ‬حيث ‪. z   e 3 z  2 :‬‬
‫‪ – ) 1‬أ ) عيّن الشكل األسّي للعدد المركب ‪. z B‬‬
‫ ب ) علّم في المعلم السابق النقطتين ‪ A‬و ‪ C‬ثمّ أنشئ النقطة ‪ ( . B‬مع الشرح ) ‪.‬‬‫‪ – ) 2‬أ ) عين الشكل الجبري للعدد المركب ‪ z C ‬حيث النقطة ‪ C ‬هي صورة النقطة ‪ C‬بالتحويل ‪. T‬‬
‫ ب ) برهن أنّ التحويل النقطي ‪ T‬دوران يطلب تحديد مركزه ‪ D‬ثمّ أنشئ بعد ذلك النقطة ‪. D‬‬‫علّم النقطة ‪ ( . C ‬مع الشرح )‬

‫‪zC‬‬
‫ جـ ) اوجد الشكل الجبري للعدد المركّب‬‫‪zC‬‬

‫‪.‬‬

‫‪2‬‬
‫ د ) استنتج أنّ المثلث ‪ OCC ‬قائم ثمّ ‪ ،‬بالـ ‪ ، cm‬أحسب مساحته ‪.‬‬‫‪ -‬هـ ) ‪ I‬هي النقطة المعرّفة بـ ‪. T  I   O :‬‬

‫عيّن الحقة النقطة ‪. I‬‬
‫‪ ) 3‬نضع ‪ z  x  iy :‬حيث ‪ x‬و ‪ y‬عددان حقيقيان ‪.‬‬

‫‪z‬‬
‫ أ ) من أجل ‪ : z  0‬عين بداللة ‪ x‬و ‪ y‬الجزء الحقيقي والجزء التخيلي للعدد المركّب‬‫‪z‬‬
‫ ب ) ‪  E ‬هي مجموعة النقط ‪ M  x , y ‬التي من اجلها يكون المثلث ‪ OMM ‬قائم في ‪. O‬‬‫‪.‬‬

‫* ) برر أن ‪  E ‬هي جزء من الدائرة ‪ C ‬المعرّفة بالمعادلة ‪.  x  2   y 2  4‬‬
‫‪2‬‬

‫* ) أنشئ ‪ C ‬ثمّ وضّح المجموعة ‪.  E ‬‬
‫التمرين الثاني ‪4:‬ن‬

‫الفضاء منسوب إلي المعلم المتعامد والمتجانس ‪‬‬

‫‪  ‬‬

‫‪‬‬

‫‪. O ;i , j , k‬‬

‫نعتبر النقط ‪ C  2; 1; 2 ، B 1;3;0 ، A  0; 4;1‬و ‪. D  7; 1; 4 ‬‬
‫‪ ) 1‬برهن أنّ النقط ‪ B ، A‬و ‪ C‬ليست في استقامية ‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪    ) 2‬هو المستقيم الذي يشمل النقطة ‪ D‬و ‪ u  2; 1;3‬هو شعاع توجيه له ‪.‬‬
‫ أ ) برهن أنّ المستقيم ‪   ‬عمودي علي المستوي ‪.  ABC ‬‬‫ ب ) استنتج معادلة ديكارتية للمستوي ‪.  ABC ‬‬‫ جـ ) عيّن تمثيال وسيطيا للمستقيم ‪.   ‬‬‫‪ -‬د ) عيّن إحداثيات النقطة ‪ ، H‬نقطة تقاطع المستقيم ‪   ‬والمستوي ‪.  ABC ‬‬

‫‪  P1  ) 3‬و ‪ P2 ‬‬
‫‪ -‬أ ) برهن أنّ ‪  P1 ‬و ‪  P2 ‬متقاطعان وفق مستقيم ‪. d ‬‬

‫هما المستويان المعرّفين بالمعادلتين ‪ x  y  z  0‬و ‪ x  4 y  2  0‬علي الترتيب ‪.‬‬

‫‪ -‬ب ) تحقق أنّ الجملة‬

‫‪x  4t  2‬‬
‫‪  y  t ; t  ‬هي تمثيل وسبطي للمستقيم ‪d ‬‬
‫‪z  3t  2‬‬
‫‪‬‬

‫‪ -‬جـ) حدد وضع ‪ d ‬بالنسبة للـمستوي‬

‫‪ ABC ‬‬

‫‪1‬‬

‫التمرين الثالث ‪3:‬ن‬
‫‪ f‬هي الدّالة المعرّفة علي المجال ‪ 0; ‬بـ ‪. f  x    2  ln x  ln x :‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ C f ‬هو تمثيلها البياني في المستوي المنسوب إلي المعلم المتعامد والمتجانس ‪. O ; i , j‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪ ) 1‬أحسب ‪ lim f  x ‬ثمّ ‪lim f  x ‬‬
‫‪‬‬

‫‪x 0‬‬

‫‪x ‬‬

‫‪2 1  ln x ‬‬

‫‪ )2‬تحقق أنّه من أجل كل ‪ x‬من المجال ‪0; ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ ) 3‬ادرس إشارة ‪ f   x ‬حسب قيم ‪ x‬من المجال ‪ 0; ‬ثمّ شكّل جدوال للتغيّرات‪.‬‬

‫‪ ) 4‬بين أنّ ‪‬‬
‫‪ ) 5‬أنشئ‬

‫‪. f x  ‬‬

‫‪ C f‬يقطع حامل محور الفواصل في نقطتين ‪ A‬و ‪ B‬يطلب تعيينهما ‪.‬‬

‫‪C f ‬‬

‫التمرين الرّابع ‪8:‬ن‬
‫‪ f‬هي الدّالة المعرّفة علي ‪ ‬بـ ‪:‬‬

‫‪ C ‬هو التمثيل البياني للدّالة ‪f‬‬
‫‪‬‬
‫( نأخذ ‪i  2cm‬‬

‫‪e 1‬‬
‫‪x‬‬

‫‪. f x  ‬‬

‫‪xe x  1‬‬

‫في المستوي المنسوب إلي المعلم المتعامد ‪‬‬

‫‪‬‬
‫و ‪j  5cm‬‬

‫‪ ‬‬

‫‪‬‬

‫‪. O ;i , j‬‬

‫)‬

‫جزء ‪: 1‬‬
‫‪ ) 1‬نعتبر الدالة ‪ h‬المعرّفة علي ‪ ‬بـ ‪. h  x   xe  1 :‬‬
‫‪x‬‬

‫أدرس إتّجاه تغيّر الدالة ‪ h‬ثمّ تحقق أنّه من أجل كل ‪ x‬من ‪. h  x   0 ، ‬‬

‫‪ g ) 2‬هي الدالة المعرفة علي ‪ ‬بـ ‪. g  x   x  2  e x :‬‬
‫‪ -‬أ ) عيّن نهايتي ‪ g‬عند ‪   ‬وعند ‪.   ‬‬

‫ ب ) ادرس إتجاه تغير الدالة ‪ g‬ثمّ شكّل جدوال للتغيرات ‪.‬‬‫‪ -‬د ) بيّن أنّ المعادلة ‪ g  x   0‬تقبل حلّين في ‪. ‬‬

‫ هـ ) نسمّي ‪ ‬و ‪ ‬حلّي المعادلة ‪ g  x   0‬حيث ‪.   ‬‬‫برهن أنّ ‪. 1,14    1,15‬‬
‫ و ) استنتج إشارة ‪ g  x ‬حسب قيم المتغيّر الحقيقي ‪. x‬‬‫جزء ‪: 2‬‬
‫‪ ) 1‬أحسب نهايتي الدّالة ‪ f‬عند ‪   ‬وعند ‪ .   ‬فسّر بيانيا النتيجتين ‪.‬‬
‫‪ – ) 2‬أ ) بيّن أنّه من أجل كل ‪ x‬من ‪، ‬‬

‫‪e x .g  x ‬‬
‫‪2‬‬

‫‪‬‬

‫‪1‬‬

‫‪x‬‬

‫‪ xe‬‬

‫‪. f x  ‬‬

‫ب ‪ ) -‬استنتج إتجاه تغيّر الدالة ‪ f‬ثمّ أنشئ جدول تغيّراتها‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ f   ‬ثمّ عيّن حصرا لـ ‪ f  ‬سعته ‪ ( 10‬إعتمادا علي حصر ‪.) ‬‬
‫‪ ) )3‬تحقق أنّ‬
‫‪ 1‬‬
‫‪ ) 4‬عيّن معادلة للماس ‪ T ‬للمنحني ‪ C ‬عند النقطة التي فاصلتها ‪. 0‬‬

‫‪ x  1 .u  x ‬‬

‫‪ f  x   x ‬مع ‪. u  x   e x  xe x  1‬‬

‫‪ – ) 5‬أ ) أثبت أنّه من أجل كلّ ‪ x‬من ‪: ‬‬
‫‪xe x  1‬‬
‫ ب )أدرس إتجاه تغيّر الدالة ‪ u‬ثمّ استنتج إشارة ‪ u  x ‬في ‪. ‬‬‫‪ -‬جـ ) استنتج ممّا سبق الوضع النسبي للمنحني ‪ C ‬والمستقيم‬

‫‪ ) 6‬أنشئ‬

‫‪‬‬

‫‪ T‬ثمّ ‪. C ‬‬

‫‪‬‬

‫‪. T‬‬

‫‪2‬‬

‫حلّ الموضوع األوّل‬
‫التمرين األوّل‪:‬‬
‫‪ – ) 1‬أ ) نعيّن الشكل األسّي للعدد المركّب ‪. z B‬‬
‫لدينا ما يلي ‪ z B  2 :‬وبالتالي ‪:‬‬

‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ z B  2   i‬أي ‪‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪.  2 cos     i sin    ‬‬
‫‪ 3 ‬‬
‫‪  3‬‬
‫‪‬‬
‫‪i‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ z   2; ‬وهذا معناه ‪. z  2e 3‬‬
‫‪ 3‬‬
‫‪ i sin‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫‪z B  2  cos‬‬

‫وبالتالي ‪. z D  1  i 3 :‬‬
‫* ) إنشاء النقطة ‪. D‬‬
‫‪ z D  2‬و ‪ x D  1‬إذا ‪:‬‬

‫النقطة ‪ D‬هي تقاطع المستقيم الذي معادلته ‪x  1‬‬

‫والدّائرة ذات المركز ‪ O‬ونصف القطر ‪. 2‬‬
‫* ) تعليم النقطة ‪. C ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ DC  DC‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪ T C   C ‬معناه‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ DC ; DC   3  2 ‬‬
‫إذا ‪ :‬النقطة ‪ C ‬هي نقطة تقاطع الدائرة ذات المركز ‪D‬‬
‫ونصف القطر ‪ DC‬والمستقيم ‪   ‬الموجّه بالشعاع‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫ ب ) نعلّم في المعلم السابق النقطتين ‪ A‬و ‪ C‬ثمّ‬‫النقطة ‪ B‬مع الشرح ‪.‬‬
‫* نبدأ بتعليم النقطتين ‪ A  2;0  :‬و ‪. C  2; 2‬‬

‫‪ DC /‬حيث ‪:‬‬

‫‪‬‬

‫*النقطة ‪ B‬هي نقطة تقاطع الدائرة ذات المركز ‪O‬‬
‫ونصف القطر ‪) z B  OB  2 ( 2‬والمستقيم الذي‬

‫‪ -‬جـ ) إيجاد الشكل الجبري للعدد المركّب‬

‫معادلته ‪، x  1‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪. xB 1‬‬

‫( أنظر الشكل في آخر الحل )‪.‬‬
‫‪ - ) 2‬أ ) نعيّن الشكل الجبري للعدد‪. Z C ‬‬
‫‪‬‬

‫لدينا ‪ :‬‬

‫لدينا ما يلي ‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ cos  i sin‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬

‫‪i‬‬

‫‪1‬‬
‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪i‬‬

‫‪4‬‬

‫‪1‬‬

‫‪zC  ‬‬

‫‪i‬‬

‫أي ‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫‪‬‬

‫‪ ‬‬

‫‪. z C    1 3  i 1 3‬‬

‫ب ) نبيّن أنّ التحويل النقطي ‪ T‬دوران يطلب تعيين مركزه‬
‫‪ D‬ثمّ ننشئ النقطة ‪D‬‬
‫التحويل النقطي ‪ T‬معرّف بعالقة من الشكل ‪z   az  b‬‬
‫‪‬‬

‫‪i‬‬
‫‪ ‬‬
‫حيث ‪ a  e 3 :‬أي ‪ a  1; ‬وبالتالي ‪:‬‬
‫‪ 3‬‬

‫‪‬‬
‫التحويل النقطي ‪ T‬هو الدّوران الذي قيس زاويته‬
‫‪3‬‬
‫ومركزه النقطة الصامدة ‪. D‬‬
‫‪‬‬

‫‪i‬‬

‫الال ّحقة ‪ z D‬تحقق‪ z D  e 3 z D  2 :‬وهذا معناه ‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪i‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪zD ( i‬‬
‫‪ z D  1  e 3   2‬أي ‪)  2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫‪3‬‬

‫أي ‪:‬‬

‫‪1 i 3‬‬

‫‪zC‬‬

‫‪.‬‬

‫‪zC‬‬
‫‪zC‬‬

‫‪‬‬

‫‪ 1 3 ‬‬
‫‪i‬‬
‫‪ 2 ‬‬

‫‪. ‬‬

‫‪‬‬

‫‪zC‬‬
‫‪zC‬‬

‫‪.‬‬

‫‪ -‬ب ) * ) إستنتاج أنّ المثلث ‪ OCC ‬قائم ‪.‬‬

‫‪ 1 i  i 3  3  2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪‬‬

‫‪zC‬‬

‫‪2 2‬‬

‫‪‬‬

‫‪zD ‬‬

‫‪2  2i‬‬

‫‪1  3   2i ‬‬

‫ومنه ‪  2  2i   2 :‬‬

‫‪‬‬

‫‪1  3   1  i 1  i ‬‬
‫‪‬‬

‫‪e‬‬

‫‪2 ‬‬

‫أي ‪:‬‬

‫‪ ‬‬

‫‪‬‬

‫‪ 1 3  i 1 3‬‬

‫‪2 1  i ‬‬

‫‪i‬‬

‫‪3‬‬

‫‪‬‬

‫‪3‬‬

‫‪‬‬

‫‪1  3   1  i ‬‬

‫‪ T C   C ‬معناه ‪. z C   e 3 z C  2‬‬
‫‪‬‬

‫‪ 2 ‬‬

‫‪‬‬

‫‪ ‬‬

‫‪/‬‬
‫‪. DC ;DC ‬‬

‫‪1‬‬

‫‪ 1 3 ‬‬
‫حسب ما سبق وجدنا ما يلي ‪ i :‬‬
‫‪zc  2 ‬‬
‫‪ 1  3  ‬‬
‫‪z  ‬‬
‫‪. arg  C   arg ‬‬
‫ومنه ‪ i   2  :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ zC ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ z    ‬‬
‫لدينا من جهة ‪. arg  C   OC ;OC   2  :‬‬
‫‪ zC ‬‬
‫‪ 1 3  ‬‬
‫من جهة أخري ‪i    2  :‬‬
‫‪. arg ‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪  ‬‬
‫وبالتالي ‪ OC ;OC    2  :‬وهذا معناه ‪:‬‬
‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪zC‬‬

‫‪2‬‬
‫المثلث ‪ OCC ‬مثلّث قائم في ‪. O‬‬
‫* ) حساب مساحة المثلّث ‪OCC ‬‬
‫لتكن ‪ S‬مساحة المثلّث ‪. OCC ‬‬
‫نعلم أن ‪:‬‬

‫‪3‬‬

‫‪OC  OC ‬‬

‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫‪S ‬‬

‫‪2‬‬

‫‪zC  zC‬‬
‫‪2‬‬
‫لدينا ‪:‬‬

‫وعليه‪:‬‬

‫‪‬‬

‫‪3‬‬

‫من جهة أخري وبما أنّ ‪ i‬‬

‫‪‬‬

‫‪2 ‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪‬‬

‫‪ZC/‬‬

‫‪2‬‬

‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫ينتج ‪:‬‬

‫‪ZC‬‬

‫‪1‬‬

‫‪ZC  ZC  ‬‬

‫‪i‬‬
‫‪2 2 ‬‬
‫‪ 1 3 ‬‬
‫‪ 2 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2 ‬‬

‫في هذه الحالة ‪ :‬‬

‫‪C ‬‬

‫‪‬‬

‫‪4‬‬

‫‪‬‬

‫‪S ‬‬

‫‪‬‬

‫‪z‬‬
‫‪z ‬‬
‫تخيّلي صرف أي ‪. Re    0‬‬
‫وبالتالي ‪:‬‬
‫‪z‬‬
‫‪z‬‬
‫‪ x 2  y 2  4x  0‬‬
‫‪z‬‬
‫‪ Re    0‬يكافئ‬
‫‪‬‬
‫‪z ‬‬
‫‪ x  0; y  0‬‬
‫)‪ x  2 2  y 2  2 2...(1‬‬
‫يكافئ‬
‫‪‬‬
‫‪ x  0; y  0‬‬

‫‪i‬‬

‫‪i‬‬

‫‪e ZI  2‬‬
‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫معناه‬

‫‪ 1 i 3 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2 ‬‬

‫‪ZI ‬‬

‫المعادلة ( ‪ ) 1‬هي معادلة دائرة ‪ .‬إذا ‪:‬‬
‫المجموعة ‪  E ‬هي جزء من الدائرة المعرّفة بالمعادلة ‪:‬‬
‫‪ 2  y 2  4‬‬
‫‪2‬‬

‫‪ Z I ‬أي ‪. Z I  1  i 3‬‬

‫‪4‬‬
‫نالحظ أنّ النقطة ‪ I‬تنطبق علي النقطة ‪. B‬‬
‫‪ -3‬أ ‪ ) -‬نعبّر بداللة ‪ x‬و ‪ y‬عن الجزء الحقيقي والجزء‬
‫‪z‬‬
‫‪.‬‬
‫التّخيلي للعدد المركّب‬
‫‪z‬‬

‫‪ T  M   M ‬معناه‬

‫‪i‬‬

‫‪2 ‬‬

‫‪i‬‬

‫‪ C ‬هي الدائرة ذات المركز ‪ A  2;0 ‬ونصف القطر ‪2‬‬

‫( اإلنشاء ‪ :‬أنظر الشكل )‪.‬‬
‫حسب ما سبق ‪. T  B   O :‬‬

‫‪‬‬

‫‪ ‬‬

‫‪‬‬

‫الزاوية الموجهة ‪ OM ;OM ‬معرفة إذا وفقط إذا‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪ OM  0‬و ‪ OM   0‬وبالتالي ‪:‬‬
‫‪ M  B‬و ‪. M  O‬‬
‫إذا ‪ :‬المجموعة ‪  E ‬هي الدائرة ‪ C ‬باستثناء النقطتين‬

‫‪1‬‬

‫‪. z‬‬

‫‪2‬‬

‫‪O‬و ‪B‬‬

‫في هذه الحالة ‪:‬‬
‫‪2‬‬

‫‪x‬‬

‫* ) ننشئ ‪ C ‬ثمّ نوضح المجموعة ‪.  E ‬‬

‫‪‬‬

‫‪z  e 3z 2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪  x  iy   2‬‬

‫‪‬‬

‫أي‬

‫‪z ‬‬
‫‪   2 ‬‬
‫‪z  2‬‬

‫‪‬‬

‫‪ Z O  e 3 Z I  2‬معناه‬

‫أي‬

‫‪2‬‬

‫‪x‬‬

‫‪. Arg ‬‬

‫بالرجوع إلي العبارة المركّبة للدوران ‪ T‬نجد ‪:‬‬

‫‪‬‬

‫المعرّفة بالمعادلة ‪ 2   y 2  4‬‬

‫‪ ‬‬

‫( واحدة المساحة هي ‪. ) 4cm‬‬
‫هـ ‪ ) -‬نعين الحقة النقطة ‪I‬‬
‫نعلم أنّ ‪. T  I   O :‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪OM ;OM   2  2 ‬‬

‫‪2‬‬

‫‪4 1 i 3‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪ OMM ‬مثلّث قائم في ‪ O‬معناه‬

‫أي ‪S   2 1  3   4cm 2 :‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫ب‪ ) * )-‬نبرّر أنّ المجموعة ‪،  E ‬هي جزء من الدائرة‬

‫‪2 2  2 2 1 3‬‬

‫‪‬‬

‫‪ x 2  y 2  4x ‬‬
‫‪z‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫و‬
‫‪Re    ‬‬
‫‪ z   2 x2y2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ z    3 x  y  2y‬‬
‫‪. Im   ‬‬
‫‪ z   2 x2y2‬‬
‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫* من جهة ‪Z C  2 2 :‬‬

‫‪‬‬

‫‪  x 2 3  y 2 3  4y‬‬
‫‪i ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪2x 2  y 2 ‬‬
‫‪ ‬‬

‫‪ x 2  y 2  4x‬‬
‫‪‬‬
‫‪z  2  x 2  y 2 ‬‬

‫‪z‬‬

‫‪3‬‬

‫‪i‬‬

‫‪1‬‬

‫‪‬‬

‫‪z‬‬

‫‪‬‬
‫‪z 2‬‬
‫‪2  x  iy‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3  2  x  iy ‬‬
‫‪ i‬‬
‫‪‬‬
‫‪2  x2y2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2x   3‬‬
‫‪2y ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪  2‬‬
‫‪i ‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪2 x y   2 x y ‬‬

‫‪4‬‬

‫‪. d 1‬‬
‫‪.  ABC  : 2x  y  3z  1  0‬‬

‫‪ -‬جـ ) نعيّن تمثيال وسيطيا للمستقيم‪.   ‬‬

‫المستقيم ‪   ‬معرّف بالنقطة ‪ D  7,1, 4 ‬وشعاع‬

‫‪‬‬

‫التوجيه ‪ . u  2; 1;3‬وعليه ‪:‬‬

‫‪x  7  2t‬‬
‫‪‬‬
‫‪.    :  y  1  t ; t  ‬‬
‫‪z  4  3t‬‬
‫‪‬‬
‫ د ) نعيّن إحداثيات النقطة ‪ H‬نقطة تقاطع المستقيم‬‫‪   ‬والمستوي ‪.  ABC ‬‬
‫لهذا نحل في ‪ ‬الجملة ذات المجهول ‪. t‬‬
‫‪ x  7  2t‬‬

‫التمرين الثاني ‪:‬‬
‫‪ ) 1‬نبرهن أنّ النقط ‪ B ، A‬و ‪ C‬ليست في استقامية ‪.‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫لدينا ما يلي ‪. AC  2, 5, 3 ، AB 1, 1, 1 :‬‬
‫نالحظ أنّ‬

‫‪‬‬
‫‪y AB‬‬
‫‪‬‬
‫‪y AC‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬
‫‪x AB‬‬
‫‪‬‬
‫‪x AC‬‬

‫‪‬‬

‫ال يوجد عدد حقيقي ‪ k‬يحقق ‪. AB  k .AC :‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪ A B‬و ‪ AC‬ليسا مرتبطين خطيا وبالتالي ‪:‬‬
‫النقط ‪ B ، A‬و ‪ C‬ليست في استقامية ‪.‬‬
‫‪ – ) 2‬أ ) نبرهن أن المستقيم ‪   ‬عمودي علي المستوي‬
‫‪.  ABC ‬‬

‫هذه الجملة مكافئة للمعادلة ‪:‬‬
‫‪ . 2  7  2t    1  t   3  4  3t   1  0‬أي ‪:‬‬

‫‪ 14  4t  1  t  12  9t  1  0‬يكافئ ‪14t  28  0‬‬
‫يكافئ ‪. t  2‬‬
‫بالرجوع إلي التمثيل الوسيطي للمستقيم ‪   ‬نجد ‪:‬‬

‫وهذا معناه ‪:‬‬

‫‪‬‬

‫‪ y  1  t‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ z  4  3t‬‬
‫)*(‪ 2x  y  3z  1  0...‬‬

‫‪. H  3,1, 2 ‬‬

‫‪ – ) 3‬أ ) نبرهن أنّ ‪  P 1 ‬و ‪  P2 ‬يتقاطعان وفق مستقيم‬
‫‪. d ‬‬

‫لدينا ما يلي ‪:‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫لهذا نبيّن أنّ الشعاع ‪ u  2, 1,3‬شعاع توجيه المستقيم‬

‫*) ‪ n1 1;1;1‬شعاع ناظمي للمستوي ‪.  P1 ‬‬

‫‪   ‬عمودي علي المستوي ‪  ABC ‬أي ‪u  2,1,3‬‬

‫*) ‪ n 2 1; 4; 0 ‬شعاع ناظمي للمستوي ‪.  P2 ‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫عمودي علي كلّ من الشعاعين ‪ A B‬و ‪. AC‬‬
‫لدينا ‪:‬‬

‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪AB .u  1 2    1 1   1 3‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪AC .u   2  2    5  1   3 3‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ A B .u  0‬‬
‫وبالتالي‬
‫أي‬
‫‪  ‬‬
‫‪ A C .u  0‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬

‫‪ u‬عمودي علي كل من ‪ A B‬و ‪ AC‬وهذا معناه ‪:‬‬
‫المستقيم ‪   ‬عمودي علي المستوي ‪.  ABC ‬‬

‫‪ -‬ب ) استنتاج معادلة ديكارتية للمستوي‪.  ABC ‬‬

‫للمستوي ‪  ABC ‬معادلة ديكارتية من الشكل ‪:‬‬
‫‪. ax  by  cz  d  0‬‬
‫لدينا ‪:‬‬

‫‪‬‬

‫* من جهة ‪ u  2, 1,3 :‬شعاع ناظمي للمستوي ‪.  ABC ‬‬
‫المعادلة تصبح ‪. 2x  y  3z  d  0 :‬‬
‫من جهة أخري ‪ A  0, 4,1 :‬نقطة من المستوي ‪.  ABC ‬‬
‫إذا ‪ 2x A  y A  3z A  d  0 :‬أي ‪ 4  3  d  0‬أي‬

‫‪‬‬

‫نالحظ ما يلي ‪:‬‬

‫‪‬‬

‫‪y n‬‬

‫‪1‬‬

‫‪y n‬‬

‫‪‬‬

‫‪2‬‬

‫‪‬‬

‫‪x n‬‬

‫‪1‬‬

‫‪x n‬‬

‫أي ‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫الشعاعان ‪ n1‬و ‪ n 2‬ليسا مرتبطين خطيا وهذا معناه ‪:‬‬

‫المستويان ‪  P 1 ‬و ‪  P2 ‬يتقاطعان وفق مستقيم ‪. d ‬‬

‫‪x  4t  2‬‬
‫‪‬‬
‫ ب ) نتحقق أنّ الجملة ‪  y  t ; t  ‬هي تمثل وسبطي‬‫‪z  3t  2‬‬
‫‪‬‬

‫للمستقيم ‪. d ‬‬

‫المستقيم المعرّف بالجملة السابقة هو مجموعة النقط‬
‫‪ M  4t  2; t ;3t  2 ‬من الفضاء‬
‫لهذا نبين أن هذا المستقيم هو جزء من المستويين ‪.‬‬
‫لدينا ما يلي ‪:‬‬
‫‪  4t  2  t  3t  2  0‬أي ‪) 1 ( ... M   P1 ‬‬
‫‪ 4t  2  4t  2  0‬أي ‪. ) 2 ( ... M   P2 ‬‬

‫من ( ‪ ) 1‬و ( ‪ ) 2‬ينتج ‪ d    p1  :‬و ‪. d    P2 ‬‬

‫أي الجملة هي تمثييل وسبطي للمستقيم ‪. d ‬‬

‫ جـ ) نحددّ الوضع النسبي لـ ‪ d ‬والمستوي ‪.  ABC ‬‬‫‪5‬‬

‫‪ ) 4‬نبيّن أن ‪‬‬

‫نحل في ‪ ‬الجملة ذات المجهول ‪ t‬اآلتية ‪:‬‬
‫‪ x  4t  2‬‬

‫‪ A‬و ‪ B‬يطلب تعيينهما ‪.‬‬
‫لهذا نبيّن أنّ المعادلة ‪ f  x   0‬تقبل حلّين متمايزين في‬

‫‪y  t‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ z  3t  2‬‬
‫)*(‪ 2x  y  3z  1  0...‬‬

‫المجال ‪. 0; ‬‬

‫‪ f  x   0‬يكافئ ‪ 2  ln x  ln x  0‬‬
‫يكافئ ( ‪  2  ln x   0‬أو ‪ 0‬‬

‫بتعويض ‪ y ، x‬و ‪ z‬في المعادلة )*( نجد ‪:‬‬

‫‪2  4t  2  t   3  3t  2   1  0‬‬

‫‪) ln x‬‬

‫يكافئ ( ‪ x  e‬أو ‪.) x  1‬‬
‫‪2‬‬

‫أي ‪ 8t  4  t  9t  6  1  0 :‬أي ‪. 3  0‬‬
‫غير ممكن – وهذا معناه ‪:‬‬
‫المستقيم ‪ d ‬والمستوي ‪  ABC ‬منفصالن ‪.‬‬

‫وعليه ‪:‬‬
‫‪ C f ‬يقطع حامل محور الفواصل في النقطتين‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪A e 2;0‬‬

‫و ‪. B 1;0 ‬‬

‫التمرين الثالث ‪:‬‬

‫‪ ) 5‬إنشاء ‪C f ‬‬

‫‪ ) 1‬حساب ‪ lim f  x ‬و ‪. lim f  x ‬‬
‫‪‬‬

‫‪x ‬‬

‫‪x 0‬‬

‫*)‬

‫‪ C f‬يقطع حامل محور الفواصل في نقطتين‬

‫‪(2  ln x )  ; ln x  ‬‬

‫‪. lim f  x    ; ‬‬

‫‪ln x  ‬‬
‫‪ 2  ln x   ; ln x  ‬‬
‫‪lim f  x    ; ‬‬
‫*)‬
‫‪x ‬‬
‫‪ln x  ‬‬
‫‪‬‬

‫‪x 0‬‬

‫‪ ) 2‬نتحقّق أنّه من أجل كلّ ‪ x‬من المجال ‪، 0; ‬‬
‫‪2 1  ln x ‬‬

‫‪. f x  ‬‬

‫‪x‬‬
‫ل ‪ x‬من المجال ‪ 0; ‬لدينا ‪:‬‬
‫من أجل ك ّ‬

‫‪1‬‬

‫‪ ln x    2  ln x ‬‬
‫‪x‬‬

‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬

‫‪f x   ‬‬

‫‪  ln x  2  ln x ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2 1  ln x ‬‬

‫التمرين الرابع ‪:‬‬

‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ) 3‬دراسة إشارة ‪ f  x ‬ثمّ إنشاء جدوال للتغيّرات‬

‫من أجل كلّ ‪ x‬من المجال ‪ 0 ، 0; ‬‬
‫إشارة ‪ f   x ‬من إشارة ) ‪. (1  ln x‬‬

‫‪2‬‬
‫‪x‬‬

‫وعليه ‪:‬‬

‫إليجاد إشارة ) ‪ (1  ln x‬نحل في المجال ‪0; ‬‬
‫المتراجحة ‪. 1  ln x   0‬‬
‫‪ 1  ln x  0‬يكافئ ‪ln x  1‬‬
‫يكافئ ‪x  e‬‬
‫إشارة ‪ f   x ‬هي إذا كما يلي ‪:‬‬

‫جزء ‪: 1‬‬
‫‪ ) * ) 1‬ندرس إتجاه تغيّر الدالة ‪. h‬‬
‫الدالة ‪ h‬قابلة لإلشتقاق علي ‪ ‬ولدينا ‪:‬‬
‫‪‬‬
‫من أجل كل ‪ x‬من ‪h  x   e x  xe x ، ‬‬
‫‪x‬‬

‫‪.   x  1 e‬‬

‫‪x‬‬
‫من أجل كل ‪ x‬من ‪ e  0 ، ‬وبالتالي ‪:‬‬
‫إشارة ‪ h   x ‬من إشارة ‪.  x  1‬‬

‫هذه اإلشارة ممثّلة في الشكل اآلتي ‪:‬‬

‫الدّالة ‪ h‬هي إذا ‪:‬‬
‫متناقصة تماما علي المجال ‪ ; 1‬ومتزايدة تماما علي‬
‫المجال ‪.  1; ‬‬

‫* ) نتحقّق أنه من أجل كلّ ‪ x‬من ‪h  x   0 ، ‬‬

‫* ) تشكيل جدول التغيّرات ‪.‬‬

‫من خالل دراستنا إلتجاه تغيّر الدالة ‪ ، h‬نستنتج أنّ هذه‬
‫الدّالة تقبل قيمة حدّية صغري من أجل ‪. x  1‬‬
‫أي ‪ :‬من أجل كلّ ‪ x‬من ‪. h  x   h  1 ، ‬‬
‫بما أن ‪ h  1  e 1  1  0‬ينتج ‪:‬‬

‫من اجل كلّ ‪ x‬من ‪. h  x   0 ، ‬‬

‫‪ – ) 2‬أ ) نعيّن نهايتي ‪ g‬عند ‪   ‬وعند ‪.   ‬‬
‫لدينا ما يلي ‪:‬‬
‫‪6‬‬

‫‪ x  2   ‬‬
‫‪lim g  x    ;  x‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪e  0‬‬

‫‪ x  2   ‬‬
‫‪lim g  x   ?  x‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪e  ‬‬

‫لدينا حالة عدم التعيين من الشّكل ‪.     ‬‬
‫نزيل هذه الحالة ‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪. g  x   e x  x  x  1‬‬
‫‪e‬‬
‫‪e‬‬
‫‪‬‬
‫باإلنتقال إلي النهاية نجد ‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ x‬‬
‫‪‬‬
‫‪lim g  x   lim e x  x  x  1 ‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪e‬‬
‫‪‬‬
‫‪ e‬‬

‫‪e x  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪  ;  x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ e x  e x  1  1; e x  0; e x  0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ ب ) دراسة إتجاه تغبر الدالة ‪ g‬ثمّ تشكيل جول التعيرات‬‫* ) الدالة ‪ g‬قابلة لإلشتقاق علي ‪ ‬ولدينا ‪:‬‬
‫من أجل كل ‪ x‬من ‪. g   x   1  e x ، ‬‬

‫* ) لدراسة إشارة ‪ g   x ‬نحلّ في ‪ ‬المتراجحة‬

‫‪. 1e  0‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ 1  e  0‬يكافئ ‪. e  1‬‬
‫يكافئ ‪. x  0‬‬
‫إشارة ‪ g   x ‬ممثّلة في الشكل اآلتي ‪:‬‬
‫‪x‬‬

‫من ( ‪ ) 1‬و ( ‪ ) 2‬نستنتج أن المعادلة ‪ g  x   0‬تقبل‬
‫حلّين ‪.‬‬
‫ هـ ) نبرهن أنّ ‪. 1,14    1,15‬‬‫لدينا ‪:‬‬
‫‪. g 1,15  0, 008 ، g    0 ، g 1,14   0, 013‬‬
‫نالحظ أنّ ‪. g 1,15  g    g 1,14  :‬‬

‫الدالة ‪ g‬متناقصة تماما علي المجال ‪  0; ‬فهي إذا ال‬
‫تحفظ الترتيب وبالتالي ‪. 1,15    1,14 :‬‬
‫‪ -‬و ) إستنتاج إشارة ‪ g  x ‬حسب قيم ‪x‬‬

‫إتمادا علي جدول التغيرات وبما أنّ ‪ g     0‬و‬
‫‪ g    0‬فإنّ إشارة ‪ g  x ‬كما يلي ‪:‬‬

‫جزء ‪: 2‬‬
‫‪ ) * ) 1‬حساب نهايتي الدالة ‪f‬‬

‫‪e x  1  1; e x  0‬‬
‫‪. lim f  x   1 ; ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪ xe  1  1; xe  0‬‬
‫‪e x  1  ‬‬
‫‪lim f  x   ? ; ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪ xe  1  ‬‬
‫‪‬‬

‫لدينا حالة عدم التّعيين من الشكل‬

‫‪‬‬

‫‪.‬‬

‫نزيل هذه الحالة ‪:‬‬
‫يمكن كتابة ‪ f  x ‬علي الشّكل الـتّالي ‪:‬‬
‫الدالة ‪ g‬متناقصة تماما علي المجال ‪  0; ‬ومتزايدة‬
‫تماما علي المجال ‪. ; 0‬‬

‫إذا جدول تغيرات الدالة ‪ g‬يكون كما يلي ‪:‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪e x 1  e x‬‬
‫‪x‬‬

‫‪1  e x‬‬

‫‪ f  x  ‬أي‬

‫) ‪e (x  e‬‬
‫باإلنتقال إلي النهاية نجد ‪:‬‬
‫‪1  e x‬‬
‫‪x‬‬

‫‪x 1‬‬

‫‪x  e x‬‬

‫‪f x  ‬‬

‫‪lim f  x   lim‬‬

‫‪x ‬‬

‫‪x ‬‬

‫‪1  e  x   1; e  x  0‬‬
‫‪0 ; ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ x  e   ; e  0‬‬
‫ د ) نبيّن أنّ المعادلة ‪ g  x   0‬تقبل حلّين في ‪‬‬‫من خالل جدول التغيّرات نالحظ ما يلي ‪:‬‬
‫* ) ‪ g‬مستمرّة ومتزايدة تماما علي المجال ‪ ; 0‬وتأخذ‬
‫قيمها في المجال ‪ ;1‬و ‪. 0  ;1‬‬

‫حسب مبرهنة القيم المتوسطة ‪ :‬المعادلة ‪ g  x   0‬تقبل‬

‫حال ّ وحيدا في المجال ‪; 0‬‬

‫‪. ) 1 ( ...‬‬

‫* ) وبالمثل ‪ g /‬مستمرة ومتناقصة تماما علي المجال‬

‫‪  0; ‬وتأخذ قيمها في المجال ‪ ;1‬و ‪. 0  ;1‬‬

‫إذا المعادلة ‪ g  x   0‬تقبل حال وحيدا في المجال‬

‫‪0; ‬‬

‫‪. ) 2 ( ...‬‬

‫* ) نفسر النتيجتين بيانيا‬
‫المنحني ‪ C f ‬يقبل مستقيمين مقاربين افقيين ‪:‬‬
‫ األوّل معادلته ‪ ( y  1‬بجوار ‪. ) ‬‬‫الثاني هو حامل محور الفواصل( معادلته ‪ y  0‬عند‬‫‪. ) ‬‬
‫ل ‪ x‬من ‪: ‬‬
‫‪ – ) 2‬أ )نبيّن أنّهمن أجل ك ّ‬
‫‪e x .g  x ‬‬
‫‪‬‬
‫‪f x  ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪xe x  1‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫مناجل كلّ ‪ x‬من ‪ ‬لدينا‪:‬‬
‫‪xe  1   x  1 e x e x  1‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪2‬‬

‫‪‬‬

‫‪1‬‬

‫‪x‬‬

‫‪‬‬
‫‪ xe‬‬

‫‪x‬‬

‫‪‬‬

‫‪x‬‬

‫‪e‬‬

‫‪f x  ‬‬

‫أي ‪:‬‬
‫‪7‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪e x  xe x  1   x  1 e x  1 ‬‬
‫‪f x  ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪xe x  1‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪e x xe x  1  xe x  x  e x  1‬‬
‫‪2‬‬

‫‪‬‬

‫‪1‬‬

‫‪x‬‬

‫‪ xe‬‬

‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ xe  ‬‬

‫‪e x x  2 e x‬‬
‫‪2‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪x‬‬

‫إذا ‪ :‬من أجل كل ‪ x‬من ‪: ‬‬

‫‪e x .g  x ‬‬
‫‪2‬‬

‫‪‬‬

‫‪1‬‬

‫‪x‬‬

‫‪ xe‬‬

‫‪. f x  ‬‬

‫ ب ) * ) إستنتاج إتجاه تغيّر الدالة ‪. f‬‬‫إشارة ‪ f   x ‬هي إذا من إشارة ‪ g  x ‬وحسب ما‬
‫سبق يكون ‪:‬‬
‫الدالة ‪ f‬متناقصة تماما علي المجالين ‪ ;  ‬و‬
‫‪  ; ‬ومتزايدة تماما علي المجال ‪.  ;  ‬‬
‫* ) إنشاء جدول تغيّرات الدالة ‪. f‬‬

‫‪ ) * ) 3‬نتحقّق أنّ‬

‫‪1‬‬

‫‪ 1‬‬

‫‪. f   ‬‬

‫لدينا من جهة ‪:‬‬
‫‪e 1‬‬
‫‪. f    ‬‬
‫‪e  1‬‬
‫من جهة أخري ‪ ‬هو حلّ للمعادلة ‪. g  x   0‬‬

‫‪ g    0‬معناه ‪  2  e   0‬‬
‫معناه ‪. e     2‬‬
‫بتعويض ‪ e ‬بقيمته نجد ‪:‬‬
‫‪  2 1‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪. f    2‬‬
‫‪ f   ‬أي‬
‫‪‬‬
‫‪  2   1‬‬
‫‪  2  1‬‬
‫أي‬

‫‪ 1‬‬

‫‪  12‬‬

‫‪ f   ‬وبما أنّ ‪   1‬نجد ‪:‬‬

‫الدالة مقلوب متناقصة تماما علي المجال ‪ 0;‬فهي إذا‬
‫تعكس الترتيب وبالتالي ‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ f   ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫أي‬
‫‪2,15‬‬
‫‪2,14‬‬
‫‪2,14   1 2,15‬‬
‫باستعمال الحاسبة نجد ‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫و ‪ 0, 4672897196‬‬
‫‪ 0, 4651162791‬‬
‫‪.‬‬
‫‪2,14‬‬
‫‪2,14‬‬
‫نالحظ ما يلي ‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪. 0, 47 ‬وبالتالي يمكن استعمال‬
‫‪ 0, 46 ‬و‬
‫‪2,15‬‬
‫‪2,14‬‬
‫‪2‬‬

‫‪ 10‬للعدد ‪. ‬‬

‫الحصر اآلتي والذي سعته‬
‫نجد ‪. 0, 46    0, 47 :‬‬
‫‪ ) 4‬تعيين معادلة المماس ‪ T ‬عند النقطة ذات الفاصلة‪0‬‬
‫‪ T‬معطاة بالعالقة ‪:‬‬

‫معادلة المماس ‪‬‬
‫‪. y  f   0 x  0  f  0‬‬
‫لدينا ‪ f   0  1 :‬و ‪f  0  0‬‬
‫‪T  : y  x‬‬

‫إذا ‪:‬‬

‫‪ – ) 5‬أ ) إثبات انّه من أجل كلّ ‪ x‬من ‪: ‬‬
‫‪ x  1.u  x ‬‬
‫‪. f x   x ‬‬
‫‪xe x  1‬‬
‫من اجل كلّ ‪ x‬من ‪ ‬لدينا ما يلي ‪:‬‬
‫‪e x 1‬‬
‫‪f x   x  x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪xe  1‬‬
‫‪e x  1  x 2e x  x‬‬
‫‪‬‬
‫‪xe x  1‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪e x x 2  1   x  1‬‬

‫‪‬‬

‫‪xe  1‬‬
‫‪ x  1  e x  x  1  1‬‬
‫‪‬‬
‫‪xe x  1‬‬
‫‪ x  1.u  x ‬‬
‫‪. f x   x ‬‬
‫أي ‪:‬‬
‫‪xe x  1‬‬
‫ب ) * ) دراسة إتجاه تغيّر الدالة ‪. u‬‬‫الدّالة ‪ g‬قابلة لإلشتقاق علي ‪ ‬ولدينا ‪:‬‬
‫‪x‬‬

‫من أجل كلّ ‪ x‬من ‪u   x   e x  e x  xe x  : ‬‬
‫إذا ‪ :‬من أجل كلّ ‪ x‬من ‪u   x   xe x : ‬‬
‫نالحظ أنّ إشارة ‪ u   x ‬من إشارة ‪.  x ‬‬

‫‪1‬‬
‫‪ 1‬‬
‫مالحظة ‪:‬‬

‫‪. f   ‬‬

‫هذه اإلشارة ممثّلة في الشكل اآلتي ‪:‬‬

‫‪1‬‬
‫يمكن إثبات ما يلي ‪ 0 :‬‬
‫‪ 1‬‬
‫* ) إيجاد حصر لـ ‪ f  ‬سعته‬

‫‪. f   ‬‬
‫‪. 102‬‬

‫تذكير‪ :‬سعة مجال ‪ a;b ‬هو الفرق ‪. b  a ‬‬
‫إذا كانت هذه السعة هي ‪ 102‬فمعناه ‪. b  a  0,01‬‬
‫حسب ما سبق وجدنا ‪ 1,14    1,15 :‬وهذا معناه‬
‫‪. 2,14    1  2,15‬‬

‫الدّالة ‪ u‬متناقصة تماما علي المجال ‪ 0;‬ومتزايدة‬

‫تماما علي المجال ‪;0‬‬
‫* ) إستنتاج إشارة ‪. u  x ‬‬

‫من خالل دراستنا إلتجاه تغيّر الدالة ‪ u‬نالحظ أن هذه‬
‫الدّالة تقبل قيمة حدية عظمي من اجل ‪. x  0‬‬
‫‪8‬‬

‫القيمة ‪ u  0 ‬قيمة حدّية عظمي للدّالة ‪ u‬علي ‪. ‬‬
‫لدينا ‪ u  0  0 :‬وهذا معناه ‪:‬‬

‫من أجل كلّ ‪ x‬من ‪. u  x   0 : ‬‬

‫‪. C f‬‬

‫ جـ ) إستنتاج الوضع النّسبي لـ‪ T ‬والمنحني ‪‬‬‫الوضع النسبي ل ‪ T ‬و ‪ C f ‬مرتبط بإشارة الفرق‬
‫‪. f x   x‬‬
‫إشارة هذا الفرق ملخّصة في الجدول الموالي ‪:‬‬
‫حسب ما سبق ‪:‬‬
‫من أجل كلّ ‪ x‬من ‪ h  x   0 ، ‬أي ‪:‬‬

‫‪‬‬

‫من أجل كلّ ‪ x‬من ‪ 1  0 ، ‬‬

‫‪x‬‬

‫‪ xe‬‬

‫وبالتالي ‪:‬‬

‫إشارة الفرق ‪ f  x   x ‬من إشارة الجداء ‪.‬‬
‫‪ x  1.u  x ‬‬
‫هذه اإلشارة ملخّصة في الجدول اآلتي ‪:‬‬

‫الوضع النّسبي للمماس‬
‫‪)1‬‬

‫‪‬‬

‫‪ T‬يمس‬

‫‪‬‬

‫‪ T ‬و ‪‬‬

‫‪ C f‬يكون كما يلي ‪:‬‬

‫‪ C f‬عند مبدأ اإلحداثيات ويشترك معه‬

‫في النقطة ذات اإلحداثيتين ‪.  1; 1‬‬

‫‪ T‬في المجال ‪. ; 1‬‬

‫‪ C f  ) 2‬أعلي ‪‬‬
‫‪ C f  ) 3‬أسفل ‪ T ‬في كل من المجالين ‪1;0‬‬
‫‪. 0;‬‬
‫‪ ) 6‬إنشاء ‪ T ‬و ‪. C f ‬‬

‫و‬

‫‪9‬‬

‫سلسلة مواضيع للمراجعة – ( رياضيات )‬
‫‪2015‬‬

‫السنة الثالثة ‪ :‬العلوم التجريبية ‪.‬‬

‫المــوضـــوع رقـــم‪.2‬‬
‫التمرين األول ‪:‬‬

‫‪ ‬‬
‫المستوي المركّب منسوب إلي المعلم المتعامد والمتجانس والمباشر ‪O ;u ,v‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬
‫‪ i‬هو العدد المركّب الذي طويلته ‪ 1‬و‬
‫‪2‬‬

‫‪‬‬

‫حيث واحدة األطوال هي ‪. 2cm‬‬

‫قيسا لعمدته ‪.‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪ ) 1‬حلّ في مجموعة األعداد المركّبة ‪ ‬المعادلة ذات المجهول ‪.  z  2i  z 2  2z 3  4  0 : z‬‬
‫‪ ) 2‬نعتبر النقطتين ‪ A‬و ‪ B‬ذات الال ّحقتين علي الترتيب ‪ z A   3  i :‬و ‪. z B   3  i‬‬
‫ أ ) عيّن الطويلة وعمدة لكلّ من العددين المركّبين ‪ z A‬و ‪. z B‬‬‫ ب ) بيّن أنّ كل من النقطتين ‪ A‬و ‪ B‬هي نقطة من دائرة ‪ C ‬يطلب تعيين مركزها ونصف قطرها ‪.‬‬‫ أنشئ ‪ ،‬في المعلم السابق ‪ ،‬النقطتين ‪ A‬و ‪. B‬‬‫‪ ) 3‬نعتبر في المجموعة ‪ ‬المعادلة اآلتية ‪. ) 1 ( ... . 2z  4i  iz  2 :‬‬
‫ أ ) تحقق أن العدد المركّب ‪  2i ‬هو الحلّ الوحيد للمعادلة ( ‪. ) 1‬‬‫ ب ) النقطة ‪ C‬هي صورة العدد المركّب ‪.  2i ‬‬‫علّم النقطة ‪ C‬ثمّ بين أنّ الرّباعي ‪ OBAC‬معيّن ‪.‬‬
‫‪z‬‬
‫‪ – ) 4‬أ ) أكتب العدد المركّب ‪ ‬المعرّف بـ ‪   B :‬علي الشّكل األسي‪.‬‬
‫‪zA‬‬
‫ ب ) استنتج الكتابة الجبرية للغدد المركّب ‪.  9‬‬‫‪ ) 5‬نرمز بـ ‪  E ‬إلي مجموعة النقط ‪ M‬ذات الال ّحقة ‪ z‬والتي تحقق ‪. z  2i  z  3  i :‬‬
‫عين الطبيعة الهندسية ثمّ أنشئ المجموعة ‪.  E ‬‬

‫التمرين الثاني‬
‫‪  ‬‬
‫الفضاء منسوب إلي المعلم المتعامد والمتجانس ‪. o ; i ; j ; k‬‬

‫‪‬‬

‫نعتبر النقط ‪A  2, 0,1‬‬

‫‪‬‬

‫‪ B 1, 2, 1 ،‬و ‪. C  2, 2, 2 ‬‬

‫‪ - ) 1‬أ ) بين أن النقط ‪ B ، A‬و ‪ C‬تحدد مستويا ‪.‬‬
‫ب ) تحقق أن إحدي المعادالت الديكارتية للمستوي ‪  ABC ‬هي ‪. 2x  y  2z  2  0 :‬‬
‫‪ ) 2‬ليكن ‪  P1 ‬و ‪  P2 ‬المستويين المعرفين بالمعادلتين ‪ x  y  3z  3  0 :‬و ‪ x  2 y  6z  0‬علي الترتيب ‪.‬‬
‫بين أن ‪  P1 ‬و ‪  P2 ‬يتقاطعان وفق مستقيم ‪  D ‬حيث أحد تمثيال ته الوسيطية هو الجملة ‪:‬‬
‫‪; t  .‬‬

‫‪x  2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ y  1  3t‬‬
‫‪z  t‬‬
‫‪‬‬

‫‪ ) 3‬برهن أن المستقيم ‪  D ‬والمستوي ‪  ABC ‬يتقاطعان في نقطة يطلب تعيين إحداثياتها ‪.‬‬
‫‪  S  ) 4‬هو سطح الكرة الذي مركزه ‪  1, 3,1‬ونصف قطره ‪. r  3‬‬
‫ أ ) جد معادلة ديكارتية لسطح الكرة ‪.  S ‬‬‫ ب ) أدرس تقاطع سطح الكرة ‪  S‬والمستقيم ‪.  D ‬‬‫ جـ ) برهن أن المستوي ‪  ABC ‬يمس سطح الكرة ‪.  S ‬‬‫‪10‬‬

‫التمرين الثّالث ‪:‬‬
‫نعرّف علي مجموعة األعداد الطبيعية ‪ ‬المتتالية‬

‫‪u n ‬‬

‫كما يلي ‪:‬‬

‫‪u 0  3‬‬
‫‪‬‬
‫‪. ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪u n 1  3 u n  1‬‬
‫‪‬‬

‫‪ ) 1‬باستعمال مبدأ اإلستدالل بالتراجع برهن أنّه من أجل كلّ عدد طبيعي ‪. u n  3 ، n‬‬

‫‪ ) 1‬برهن أن المتتالية ‪ u n ‬متناقصة تماما في ‪‬‬

‫‪.‬‬

‫‪ ) 2‬لتكن ‪ v n ‬متتالية هندسية متقاربة أساسها ‪ q‬حيث ‪. lim v 0  v 1  v 2  ...  v n   18 :‬‬
‫‪x ‬‬

‫‪v0‬‬
‫ أ ) بيّن أن‬‫‪1 q‬‬

‫‪. lim v 0  v 1  v 2  ...  v n  ‬‬
‫‪x ‬‬

‫ ب ) أحسب األساس ‪ q‬ثمّ عبّر عن الحدّ العامّ ‪ v n‬للمتتالية ‪ v n ‬بداللة ‪. n‬‬‫‪ ) 3‬نقبل أيضا أنّه من أجل كل عدد طبيعي ‪. v n  u n  3 ، n‬‬
‫ أ ) جد عبارة الحدّ العام للمتتالية ‪. u n ‬‬‫‪ -‬ب ) ما هي نهاية المتتالية ‪ u n ‬؟‬

‫التمرين الثّالث ‪:‬‬

‫‪ ‬‬
‫المستوي منسوب إلي المعلم المتعامد والمتجانس ‪. 0; i ; j‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫جزء‪: 1‬‬
‫‪ g‬هي الدالة المعرفة علي المجال ‪ 0; ‬بـ ‪ ln x :‬‬

‫‪2‬‬
‫‪x‬‬

‫‪. g x  ‬‬

‫‪ ) 1‬أدرس تغيرات الدالة ‪ g‬ثم شكل جدوال للتغيرات ‪.‬‬
‫‪ -) 2‬أ ) برهن انه يوجد عدد حقيقي وحيد ‪ ‬يحقق ‪. g    0‬‬
‫‪ -‬ب ) برر الحصر اآلتي ‪. 2, 3    2, 4 :‬‬

‫ جـ ) استنتج إشارة ‪ g  x ‬وذلك حسب قيم العدد الحقيقي ‪. x‬‬‫جزء‪: 2‬‬
‫نعتبر الدالة ‪ f‬المعرفة علي المجال ‪ 0; ‬بـ ‪. f  x    2  x  ln x  x :‬‬

‫نسمي ‪‬‬

‫‪ ‬‬
‫‪ C f‬التمثيل البياني للدالة ‪ f‬في المستوي المنسوب إلي المعلم المتعامد والمتجانس ‪. 0; i ; j‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪ - ) 1‬أ ) أحسب ‪ lim f  x ‬ثم فسر بيانيا هذه النتيجة ‪.‬‬
‫‪‬‬

‫‪x 0‬‬

‫‪ 2 ln x‬‬
‫‪‬‬
‫ ب ) تحقق أنه من أجل كل عدد حقيقي ‪ ln x  1 ، x  0‬‬‫‪ x‬‬
‫‪‬‬

‫‪ f  x   x ‬ثم استنتج ‪. lim f  x ‬‬
‫‪x ‬‬

‫‪ -) 2‬أ )إنطالقا من ‪g    0‬‬
‫‪4‬‬

‫بين أن‬

‫‪2‬‬

‫‪‬‬

‫‪. ln  ‬‬

‫‪. f      2 ‬‬

‫ ب ) أستنتج أن‬‫‪‬‬
‫‪ ) 3‬أدرس اتجاه تغير الدالة ‪ f‬ثم شكل جدول تغيراتها ‪.‬‬
‫‪ ) 4‬أكتب معادلة المماس ‪ T ‬لـ ‪ C f ‬عند النقطة التي فاصلتها ‪. 1‬‬

‫‪ ) 5‬أنشئ ‪ T ‬و ‪C f ‬‬

‫( نأخذ ‪)   2, 35‬‬

‫‪11‬‬

‫حلّ الموضوع رقم ‪2‬‬
‫* ) النقطة ‪ B‬هي نظيرة النقطة ‪ A‬بالنسبة غلي حامل‬

‫التمرين األوّل ‪:‬‬
‫‪ ) 1‬نحلّ في ‪ ‬المعادلة ‪ 2i  (z 2  2z 3  4)  0‬‬

‫‪z‬‬

‫‪ z  2i  0 ; z=2i‬‬
‫‪.  2‬‬
‫المعادلة مكافئة لـ ‪:‬‬
‫)‪ z  2z 3  4  0...(1‬‬

‫لدينا ‪:‬‬

‫‪1‬‬

‫* ) حساب المميّز ‪. ‬‬
‫‪ 4 4‬‬

‫‪2‬‬

‫( أنظر الشكل ‪ :‬آخر التمرين )‪.‬‬
‫‪ – ) 3‬أ ) نتحقّق أنّ ‪ 2i‬هو الحلّ الوحيد للمعادلة ( ‪. ) 1‬‬

‫نحلّ في ‪ ‬المعادلة ( * ) ‪.‬‬

‫‪‬‬

‫محور الفواصل ‪.‬‬

‫تكافئ ‪z  2  i   2  4i‬‬

‫‪‬‬

‫‪ 2 3‬‬
‫‪=4‬‬

‫أي ‪  2i  ،    2i ‬جذر تربيعي لـ ‪.   ‬‬
‫‪2‬‬

‫تكافئ‬

‫للمعادلة ( * ) حال ّن مترافقان ‪ z 1‬و ‪ z 2‬حيث ‪:‬‬

‫‪2 3  2i‬‬
‫‪2‬‬

‫‪ z 1 ‬أي ‪. z 1   3  i‬‬

‫‪‬‬

‫‪. S  2i ;  3  i ;  3  i‬‬

‫‪ – ) 2‬أ ) نعيّن الطويلة وعمدة لكلّ من ‪ z A‬و ‪. z B‬‬
‫*) لدينا ‪. z A  2 :‬‬

‫الحلّ ‪.‬‬
‫‪ -‬ب ) * ) تعليم النقطة ‪. C‬‬

‫‪C  0;2‬‬

‫‪ ،‬أنظر الشّكل‬

‫* ) إثبات أنّ الرباعي ‪ OBAC‬معيّن ‪.‬‬
‫يكفي أن نبيّن مثال ما يلي ‪:‬‬

‫‪ OBAC‬متوازي أضالع و قطراه ‪ OA ‬و ‪BC ‬‬

‫يمكن كتابة ‪ z A‬علي الشكل ‪:‬‬

‫‪‬‬
‫‪3 1 ‬‬
‫‪z A  2  ‬‬
‫‪ i ‬‬
‫‪ 2 2 ‬‬

‫متعامدان ‪.‬‬
‫‪z   z B   3  i‬‬
‫‪OB‬‬
‫* ) لدينا ‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪  z‬‬
‫‪z CA‬‬
‫‪A  zC   3  i‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪  z ‬‬
‫‪ z OB‬يكافئ ‪OB  OC‬‬
‫‪OC‬‬

‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2   cos  i sin ‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪.  2 cos      i sin     ‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬

‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪ 5 ‬‬
‫) ‪ i sin‬‬
‫‪  2(cos‬أي ‪. z A   2; ‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪ 6 ‬‬
‫‪5 ‬‬
‫‪ 7 ‬‬
‫‪‬‬
‫* ) ‪ z B  z A‬معناه ‪ z B   2;  ‬أو ‪. z B   2; ‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫ ب ) نبيّن أنّ كلّ من النقطتين ‪ A‬و ‪ B‬هي نقطة من‬‫دائرة ‪ C ‬يطلب تعيين مركزها ونصف قطرها ‪.‬‬

‫يكافئ ‪ OBAC‬متوازي أضالع ‪.) 1 ( ...‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫* ) ‪ OA  3;1‬و )‪. BC ( 3;3‬‬
‫‪ ‬‬
‫نالحظ أنّ ‪3  1 3 :‬‬
‫‪. OA .BC   3‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ OA .BC  0‬معناه ‪. ) 2 ( ... OA    BC ‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪ ‬‬

‫‪‬‬

‫من ( ‪ ) 1‬و ( ‪ ) 2‬نستنتج أن الرباعي ‪ OBAC‬معيّن‪.‬‬
‫‪ – ) 4‬أ ) كتابة العدد المركّب ‪ ‬علي الشكل االسّي‪.‬‬
‫حسب السؤال ‪ – ) 2‬أ ) وجدنا ما يلي ‪:‬‬

‫لدينا ‪ z A  z B :‬ومنه ‪. z A  z B‬‬
‫حسب المفهوم الهندسي للطّويلة ينتج ‪. OA  OB :‬‬
‫وهذا معناه ‪:‬‬

‫‪C ‬‬

‫ذات المركز ‪ O‬ونصف القطر ‪. 2‬‬
‫ ننشئ في المعلم السابق النقطتين ‪ A‬و ‪. B‬‬‫* ) النقطة ‪ A‬هي نقطة تقاطع الدائرة ‪ C ‬والمستقيم‬
‫الذي معادلته ‪.  y A  1 ، y  1‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4  2i  8i  4‬‬
‫‪ z ‬أي‬
‫‪5‬‬
‫‪.  2i‬‬

‫‪z ‬‬

‫مالحظة ‪ :‬التحقق أنّ ‪ 2i‬حلّ للمعادلة ال يبرّر وحدانية هذا‬

‫إذا كانت ‪ S‬هي مجموعة حلول المعادلة المعطاة فإنّ‪:‬‬

‫كلّ من النقطتين ‪ A‬و ‪ B‬هي نقطة من الدّائرة‬

‫‪2  4i‬‬
‫تكافئ‬
‫‪2i‬‬
‫‪ 2  4i  2  i ‬‬

‫‪. z ‬‬

‫إذا الحلّ الوحيد للمعادلة ‪ 1‬هو ‪. 2i‬‬

‫‪. z 2  z1   3  i‬‬

‫‪‬‬

‫تكافئ ‪. 2z  iz  4i  2‬‬

‫‪ 7 ‬‬
‫‪ 5 ‬‬
‫‪ z A   2; ‬و ‪  2; ‬‬
‫‪ 6 ‬‬
‫‪ 6 ‬‬

‫‪. zB‬‬

‫في هذه الحالة ‪:‬‬
‫‪z‬‬
‫‪z‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ 2 7 5 ‬‬
‫‪‬‬
‫; ‪ B  ‬أي ‪. B  1; ‬‬
‫‪z A 2 6‬‬
‫‪6 ‬‬
‫‪zA  3‬‬

‫ومنه ‪:‬‬

‫‪‬‬
‫‪3‬‬

‫‪i‬‬

‫‪.  e‬‬

‫ ب) إستنتاج الكتابة الجبرية للعدد ‪‬‬‫حسب دستور موافر لدينا ‪:‬‬
‫‪9‬‬

‫‪12‬‬

‫‪9‬‬
‫‪9 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ i sin‬‬
‫‪    cos  i sin ‬معناه ‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3 ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬

‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫‪ 9   cos‬‬

‫معناه ‪ 9   cos  3   i sin  3  ‬‬

‫بما أنّ ‪ ‬هو القيس الرئيسي المرفق بالقيس ‪: 3‬‬
‫‪  9   cos   i sin  ‬أي ‪.  9  1‬‬
‫‪ ) * ) 5‬نعيّن الطبيعة الهندسية للمجموعة‪.  E ‬‬
‫‪ M   E ‬معناه‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪z  2i  z   3  i‬‬

‫معناه‬

‫‪. z M  zC  z M  z B‬‬

‫معناه‬

‫‪. MC  MB‬‬

‫إذا ‪ :‬المجموعة ‪  E ‬هي محور القطعة المستقيمة ‪BC ‬‬
‫أي ‪.  E   OA  :‬‬
‫* ) اإلنشاء ‪.‬‬

‫لدينا ‪:‬‬
‫‪2x A  y A  2z A  2  2  2   2  0   2 1  0‬‬
‫‪‬‬
‫‪2x B  y B  2z B  2  2 1  2  2   2  1  2  0‬‬
‫‪‬‬
‫‪2x C  y C  2z C  2  2  2   2  2   2  2   2  0‬‬

‫إحداثيات النقط ‪ B ، A‬و ‪ C‬حلّ لمعادلة المستوي ‪.‬‬
‫إذا ‪ :‬المعادلة ‪ 2x  y  2z  2  0‬هي إحدي المعادالت‬
‫الديكارتية للمستوي ‪.  ABC ‬‬

‫‪ ) 2‬نبيّن أنّ ‪  P1 ‬و ‪  P2 ‬يتقاطعان وفق المستقيم ‪ D ‬‬
‫المعرّف بتمثيله الوسيطي ‪:‬‬
‫* ) نبين أنّ ‪  P1 ‬و ‪  P2 ‬متقاطعان ‪:‬‬
‫‪‬‬
‫ ‪ n1 1;1; 3‬شعاع ناظمي للمستوي ‪.  P1 ‬‬‫‪‬‬
‫ ‪ n 2 1; 2;6 ‬شعاع ناظمي للمستوي ‪.  P2 ‬‬‫نالحظ أنّ‬

‫‪y n‬‬

‫‪‬‬

‫‪1‬‬

‫‪y n‬‬
‫‪2‬‬

‫‪x n‬‬
‫‪1‬‬

‫‪x n‬‬
‫‪2‬‬

‫وهذا يعني ‪:‬‬

‫‪ ‬‬
‫‪ n1‬و ‪ n 2‬ليسا مرتبطين خطّيا وبالتالي‬

‫‪  P1 ‬و ‪ P2 ‬‬

‫يتقاطعان وفق مستقيم ‪.‬‬
‫* ) نبين أنّ هذا المستقيم هو ‪.  D ‬‬
‫المستقيم ‪  D ‬هو مجموعة النقط ‪. M  2; 1  3t ;t ‬‬
‫لدينا من جهة ‪:‬‬
‫‪x M  y M  3z M  3  2  1  3t  3  3 ..‬‬

‫أي ‪M   P1 ‬‬

‫‪0‬‬

‫إذا ‪ D    P1 ‬‬
‫ثمّ ‪x M  2 y M  6z M  2  2  6t  6t :‬‬

‫التمرين الثاني ‪:‬‬
‫‪ – ) 1‬أ ) نبيّن أنّ النقط ‪ C ، B ، A‬تحدّد مستويا ‪.‬‬
‫‪‬‬
‫لهذا نبيّن مثال أن الشعاع ‪ AB‬ليس مرتبط خطّيا مع‬
‫‪‬‬
‫الشعاع ‪. AC‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫لدينا ‪ AB  3;2; 2  :‬و ‪. AC  0;2;1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪y AB‬‬
‫‪z AB‬‬
‫‪ 2 2 ‬‬
‫‪.  ‬‬
‫نالحظ أنّ ‪ ، y   z  :‬‬
‫‪2 1 ‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫وهذا معناه ‪ :‬ال يوجد عدد حقيقي ‪. AB  k  AC : k‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ AB‬و ‪ AC‬شعاعان ليسا مرتبطين خطيا وبالتالي ك‬

‫النقط ‪ B ، A‬و ‪ C‬ليست في استقامية فهي تحدّد إذا‬
‫المستوي ‪.  ABC ‬‬
‫ ب ) نتحقّق أنّ إحدي المعادالت الديكارتية للمستوي‬‫للمستوي ‪  ABC ‬هي ‪. 2x  2 y  2z  2  0 :‬‬

‫أي ‪M   P2 ‬‬

‫‪0‬‬
‫إذا ‪.  D    P2 ‬‬

‫مما سبق نستنتج أنّ المستقيم ‪  D ‬هو تقاطع المستويين‬
‫‪  P1 ‬و ‪.  P2 ‬‬
‫‪ – ) 4‬أ ) إيجاد معادلة ديكارتية لسطح الكرة‪. S ‬‬
‫معادلة سطح الكرة ‪ S ‬ذات المركز ‪  1; 3;1‬ونصف‬
‫القطر ‪ 3‬هي ‪:‬‬
‫‪.  x  1   y  3   z  1  9‬‬
‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫ ب ) دراسة تقاطع سطح الكرة ‪ S ‬والمستقيم ‪.  D ‬‬‫لهذا نحل في ‪ ‬الجملة ‪:‬‬
‫‪ x  2‬‬
‫‪ y  1  3t‬‬
‫‪‬‬
‫‪z  t‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x  12   y  32   z  12  9‬‬
‫‪‬‬

‫هذه الجملة مكافئة للمعادلة ‪:‬‬

‫‪ 32   2  3t 2  t  12  9‬‬

‫‪) 1 ( ...‬‬
‫‪13‬‬

‫تكافئ‬

‫(‪)1‬‬

‫‪ 2  3t 2  t  12  0‬‬

‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫تكافئ ‪  t   ‬و‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬

‫‪t  1‬‬

‫‪ .‬غير ممكن ‪.‬‬

‫إذا ‪ :‬المتتالية ‪ u n ‬متناقصة تماما في ‪. ‬‬

‫وعليه ‪:‬‬
‫‪  S ‬و ‪  D ‬مجموعتا منفصلتان ‪.‬‬
‫ جـ ) نبرهن أنّ المستوي ‪  ABC ‬يمسّ ‪.  S ‬‬‫لهذا نبيّن أنّ ‪. d  ;  ABC    r‬‬
‫لدينا ‪:‬‬

‫‪1‬‬
‫‪ u n  3  0‬معناه ‪u n  3  0‬‬
‫‪3‬‬
‫أي ك من أجل كلّ ‪ n‬من ‪. u n 1  u n  0 : ‬‬
‫‪‬‬

‫‪2 1   3  2 1  2‬‬

‫المجموع ‪ v 0  v 1  v 2  ...  v n ‬هو مجموع‬

‫‪ 1  q n 1 ‬‬
‫‪. v 0  v 1  ...  v n  v 0 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 1q ‬‬
‫في هذه الحالة ينتج ‪:‬‬

‫‪9‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬

‫‪‬‬

‫المسافة بين مركز سطح الكرة ‪ S ‬والمستوي‬

‫‪ ABC ‬‬

‫يساوي نصف القطر ‪ .‬وبالتالي ‪:‬‬
‫المستوي ‪  ABC ‬وسطح الكرة ‪  S ‬متماسّان ‪.‬‬

‫‪ 1  q n 1 ‬‬
‫‪lim v 0  v 1  ...  v n   lim v 0 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪ 1q ‬‬
‫‪v‬‬
‫‪ 0 ; q n 1  0‬‬
‫‪1 q‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫( المتتالية الهندسية متقاربة ‪.)  1  q  1 :‬‬
‫‪ -‬ب ) * حساب األساس ‪( q‬بداللة ‪) v 0‬‬

‫التمرين الثّالث ‪:‬‬
‫‪ ) 1‬باستعمال مبدأ اإلستدالل بالتّراجع‪ ،‬نبيّن أنه من أجل‬
‫كلّ عدد طبيعي ‪u n  3 : n‬‬

‫‪v‬‬
‫‪v‬‬
‫حسب ما سبق ‪ 0  18 :‬معناه ‪1  q  0‬‬
‫‪18‬‬
‫‪1q‬‬
‫‪ v ‬‬
‫معناه ‪. q  1  0 ‬‬
‫‪ 18 ‬‬

‫نضع ‪P  n  : u n  3 , n   :‬‬
‫أ)‬

‫نتحقّق من صحّة ‪. P  0 ‬‬

‫* ) التعبير عن ‪ v n‬بداللة ‪. n‬‬

‫لدينا فرضا ‪ u 0  3 :‬إذا ‪ . u 0  3‬ومنه ‪:‬‬

‫عبارة ‪ v n‬معطاة بالعالقة ‪ v n  v 0  q n :‬أي ‪:‬‬

‫‪ P  0 ‬صحيحة ‪.‬‬

‫‪n‬‬

‫ب ) نفرض أن ‪ P  n ‬صحيحة أي نفرض ما يلي ‪:‬‬
‫‪ u n  3‬ونبيّن صحّة ‪ P  n  1‬أي نبيّن أن ‪. u n 1  3‬‬
‫* حسب فرضية التّراجع لدينا ‪u n  3 :‬‬

‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ u n   3‬أي ‪u n  1  2  1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬

‫‪ n  1‬‬

‫حدّا األولي من المتتالية الهندسية ‪ . v n ‬ومنه ‪:‬‬

‫‪d  ;  ABC   ‬‬

‫‪ 2 2   12   2 2‬‬

‫‪v‬‬
‫‪ - ) 3‬أ )نبيّن أنّ ‪. lim v 0  v 1  ...  v n   0‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪1 q‬‬

‫وبالتالي ‪:‬‬

‫أي ‪. u n 1  3‬‬

‫وعليه ‪ P  n  1 :‬صحيحة ‪.‬‬
‫مما سبق وحسب مبدأ اإلستدالل بالتراجع ‪ ،‬نستنتج أنّه من‬
‫أجل كلّ عدد طبيعي ‪. u n  3 ، n‬‬
‫‪ ) 2‬نبرهن أنّ المتتالية ‪ u n ‬متناقصة تماما ‪.‬‬
‫لهذا نبرهن أنّه من أجل كلّ عدد طبيعي ‪: n‬‬
‫‪. u n 1  u n  0‬‬

‫‪2‬‬
‫لدينا ‪u n 1  u n  u n  1  u n :‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪  un 1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪.   u n  3‬‬
‫‪3‬‬
‫حسب السّؤال السّابق ‪ u n  3 :‬معناه ‪u n  3  0‬‬

‫‪ v ‬‬
‫‪. v n  v 0 1  0 ‬‬
‫‪ 18 ‬‬

‫‪ – ) 3‬أ ) تحديد عبارة الحدّ العامّ للمتتالية‪u n ‬‬
‫بما أنّ ‪ v n  u n  3‬فإنّ ‪. u n  v n  3‬‬
‫بالتعويض نجد ‪:‬‬
‫‪n‬‬

‫‪ v ‬‬
‫من أجل كلّ ‪ n‬من ‪. u n  v 0 1  0   3 ، ‬‬
‫‪ 18 ‬‬
‫‪ -‬ب ) نهاية المتتالية ‪. u n ‬‬

‫لدينا ‪ :‬المتتالية ‪ v n ‬متتالية متقاربة وتتقارب نحو ‪0‬‬
‫ومنه ‪ u n  :‬متقاربة وتتقارب نحو ‪.  3‬‬
‫أي ‪. lim u n  3 :‬‬
‫‪x ‬‬

‫التّمرين الرّابع ‪:‬‬
‫جزء ‪: 1‬‬
‫‪ ) 1‬ندرس تغيّرات الدّالة ‪ g‬ثمّ نشكّل جدوال للتّغيّرات‪.‬‬
‫* ) حساب النّهايتين‪:‬‬

‫‪14‬‬

‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪lim g  x    ;   ;  ln x   ‬‬
‫‪x 0‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬

‫‪ 2ln x‬‬
‫‪‬‬
‫‪. f x   x ‬‬
‫‪ x  1‬‬
‫‪ x‬‬
‫‪‬‬

‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪lim g  x    ;   0;  ln x   ‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫لدينا ومن اجل كلّ ‪: x  0‬‬

‫* ) الدّالة المشتقّة وإشارتها ‪.‬‬
‫الدّالة ‪ g‬قابلة لإلشتقاق علي المجال ‪ 0;‬ولدينا‪:‬‬
‫‪2 1‬‬
‫‪ 2 1‬‬
‫‪ g   x    2 ‬أي ‪. g   x     2  ‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬

‫من أجل كلّ ‪ x‬من المجال ‪g   x   0 ، 0;‬‬
‫* ) تشكيل جدول تغيّرات الدّالة ‪. g‬‬

‫‪ 2ln x‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ ln x  1  2ln x  x ln x  x‬‬
‫‪ x‬‬
‫‪‬‬
‫‪  2  x  ln x  x‬‬

‫‪ f x ‬‬
‫* ) إستنتاج ‪. lim f  x ‬‬
‫‪x ‬‬

‫‪ ln x‬‬
‫‪ 0;  x  1  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪lim f  x    ;  x‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪‬‬
‫‪x  ‬‬

‫‪ – ) 2‬أ ) إنطالقا من ‪ ، g    0‬نبيّن أنّ‬

‫‪ g    0‬معناه ‪ ln   0‬‬
‫معناه‬

‫‪ – ) 2‬أ ) نبرهن أنّه يوجد عدد حقيقي وحيد ‪ ‬يحقق‬
‫‪. g    0‬‬
‫من خالل جدول التّغيّرات نالحظ ما يلي ‪:‬‬

‫الدّالة ‪g‬‬

‫مستمرّة ومتناقصة تماما علي المجال ‪0;‬‬

‫وتأخذ قيمها في ‪ ‬و ‪. 0‬‬
‫حسب مبرهنة القيم المتوسّطة ‪ ،‬يوجد عدد حقيقي وحيد‬
‫‪ ‬يحقّق ‪. g    0 :‬‬

‫‪ -‬ب ) نستنتج أنّ‬

‫‪‬‬
‫‪4‬‬

‫‪‬‬

‫‪2‬‬

‫‪‬‬

‫‪. ln  ‬‬
‫‪. f      2 ‬‬

‫‪‬‬
‫لدينا ‪ f     2    ln    :‬ومنه وبتعويض ‪ln ‬‬
‫‪2‬‬
‫بقيمته نجد ‪f     2        :‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪4‬‬
‫‪  2 ‬‬

‫‪‬‬

‫ ب ) إثبات الحصر اآلتي‪. 2,3    2, 4 :‬‬‫أي‬

‫لدينا‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ln  ‬‬

‫‪4‬‬

‫‪:‬‬

‫‪‬‬

‫‪. f      2 ‬‬

‫‪ g    0 ، g  2,3  0,036‬و ‪. g  2,4  0,042‬‬

‫‪ ) * ) 3‬دراسة إتّجاه تغيّر الدّالة ‪. f‬‬

‫نالحظ أن الدّالة ‪ g‬متناقصة تماما علي مجموعة تعريفها‬

‫* الدّالة ‪ f‬قابلة لإلشتقاق علي المجال ‪ 0;‬ولدينا ‪:‬‬

‫فهي ال تحفظ التّرتيب وعليه ‪:‬‬
‫‪2,3    2, 4‬‬

‫‪1‬‬
‫‪2  x  1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪  ln x   1  1‬‬
‫‪x‬‬

‫‪f   x    ln x ‬‬

‫ جـ ) إستنتاج إشارة ‪. g  x ‬‬‫حسب جدول التغيّرات وبما أنّ ‪ g    0‬فإنّ إشارة‬
‫‪ g  x ‬تكون كما يلي ‪:‬‬

‫أي من أجل كلّ ‪ x‬من المجال ‪f   x   g  x  ، 0;‬‬
‫وبالتّالي ‪ :‬إشارة ‪ f   x ‬من إشارة ‪. g  x ‬‬
‫إذا‪:‬‬
‫‪ f‬متزايدة تماما علي المجال ‪ 0; ‬ومتناقصة تماما علي‬

‫جزء ‪: 2‬‬
‫‪ – ) 1‬أ ) * ) حساب ‪. lim f  x ‬‬
‫‪x 0‬‬

‫‪‬‬
‫‪ 2  x   2;ln x  ‬‬
‫‪lim f  x    ; ‬‬
‫‪x 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2  x  ln x  ‬‬

‫المجال ‪.  ; ‬‬
‫* ) تشكيل جدول تغيّرات الدّالة ‪. f‬‬

‫* ) التفسير البياني‬
‫في جوار ‪ ،   ‬حامل محور التراتيب مستقيم مقارب‪.‬‬
‫ ب ) نتحقّق أنّه من اجل كلّ عدد حقيقي‪، x  0‬‬‫‪15‬‬

‫‪ T‬عند النّقطة التّي فاصلتها ‪. 0‬‬

‫‪ ) 4‬كتابة معادلة المماس ‪‬‬
‫معادلة المماس ‪ T ‬معطاة بالعالقة ‪:‬‬
‫‪y  f  1 x  1  f 1‬‬
‫*)‬

‫‪‬‬

‫‪ T‬يمس‬

‫‪f  1  2‬‬
‫‪ ‬بالتعويض نجد ‪:‬‬
‫لدينا ‪:‬‬
‫‪f 1  1‬‬

‫‪T  : y  2x  1‬‬
‫‪ ) 5‬إنشاء ‪ T ‬و ‪C f ‬‬
‫‪ C f ‬في النقطة ‪ A 1;1‬ويمرّ بالنقطة ذات اإلحداثيتين ‪.  0; 1‬‬

‫‪.‬‬

‫‪16‬‬

‫سلسلة مواضيع للمراجعة – ( رياضيات )‬
‫‪2015‬‬

‫السنة الثالثة ‪ :‬العلوم التجريبية ‪.‬‬

‫المــوضـــوع رقـــم‪.3‬‬
‫التمرين األوّل ‪:‬‬

‫‪  ‬‬
‫الفضاء منسوب إلي المعلم المتعامد والمتجانس ‪. O ; i ; j ; k‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫نعتبر النقط ‪ B  3;2;1 ، A (1;2;2) :‬و ‪.. C 1;3;3‬‬
‫‪ ) 1‬ـ أ ) بيّن أنّ النّقط ‪ C ، B ، A‬تحدّد مستويا‪.‬‬
‫‪ -‬ب ) جد معادلة ديكارتية للمستوي ‪.  ABC ‬‬

‫‪ ) 2‬نعتبر المستويين ‪ P1 ‬‬
‫ أ ) بيّن أن ‪  P1 ‬و ‪  P2 ‬متقاطعان ‪.‬‬‫نسمّي ‪   ‬المستقيم تقاطع المستويين ‪ P1 ‬‬
‫و‬

‫‪ P2 ‬‬

‫والمعرّفين بالمعادلتين ‪ x  2 y  2z  1  0 :‬و ‪ x  3y  2z  2  0‬علي التّرتيب ‪.‬‬
‫و ‪.  P2 ‬‬

‫ ب ) بيّن أنّ النّقطة ‪ C‬هي نقطة من المستقيم ‪.   ‬‬‫‪‬‬
‫ جـ ) تحقّق أنّ الشّعاع ‪ u  2;0; 1‬هو شعاع توجيه للمستقيم ‪.   ‬‬‫ د ) استنتج تمثيال وسيطيا للمستقيم ‪.   ‬‬‫‪ ) 3‬لتكن ‪ M‬نقطة كيفية من المستقيم ‪.   ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ أ ) عيّن قيمة الوسيط التّي من أجلها يكون الشّعاعان ‪ AM‬و ‪ u‬متعامدين ‪.‬‬‫‪ -‬ب ) استنتج المسافة بين النقطة ‪ A‬والمستقيم ‪.   ‬‬

‫التمرين الثّاني ‪:‬‬

‫‪ ‬‬
‫المستوي المركّب منسوب إلي المعلم المتعامد والمتجانس والمباشر ‪. O ;u ;v ‬‬
‫نعتبر في مجموعة األعداد ‪ ‬المركّبة كثير الحدود ‪ f  z ‬والمعرّف بـ ‪. f  z   z 2  2z  9 :‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪ ) 1‬أحسب ‪. f 1  i 3‬‬
‫‪ – ) 2‬أ ) حلّ في ‪ ‬المعادلة ‪. f  z   5‬‬
‫ ب ) أكتب حلّي هذه المعادلة علي الشّكل األسّي‪.‬‬‫‪ ) 3‬ليكن ‪ ‬عددا حقيقيا ‪ .‬نعتبر في ‪ ‬المعادلة ‪. f  z   ‬‬
‫ن‪.‬‬
‫عيّن مجموعة قيم ‪ ‬التّي من أجلها يكون للمعادلة ‪ f  z   ‬حال ّن مترافقي‬
‫‪  F  ) 4‬هي مجموعة النّقط ‪ M‬ذات الالّ حقة ‪ z‬حيث ‪. f  z   8  3 :‬‬
‫عيّن الطبيعة الهندسية والعناصر المميّزة للمجموعة ‪.  F ‬‬
‫‪ ) 5‬نضع ‪ z  x  iy :‬حيث ‪ x‬و ‪ y‬عددان حقيقيّان ‪.‬‬
‫ أ ) أكتب ‪ f  z ‬علي الشّكل الجبري ( بداللة ‪ x‬و ‪. ) y‬‬‫‪ -‬ب ) نسمّي ‪  E ‬مجموعة النّقط ‪ M‬من المستوي المركّب والتّي من أجلها يكون ‪ f  z ‬عددا حقيقيّا ‪.‬‬

‫برهن أنّ المجموعة ‪  E ‬هي إتّحاد مستقيمين ‪ D1 ‬‬
‫‪ -‬جـ ) عيّن إحداثيّات نقط تقاطع المجموعتين ‪  E ‬و ‪ F ‬‬

‫و ‪  D2 ‬يطلب إعطاء معادلة لكلّ منهما ‪.‬‬
‫‪.‬‬

‫‪17‬‬

‫التّمرين الثّالث ‪:‬‬
‫جزء ‪: 1‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪ f‬هي الدّالة المعرّفة علي ‪ ‬بـ ‪. f  x   x  ln x  1 :‬‬
‫‪2‬‬

‫‪ ) 1‬حلّ في ‪ ‬المعادلة ‪. f  x   x‬‬
‫‪ ) 2‬ادرس تغيّرات الدّالة ‪ f‬ثمّ شكّل جدوال للتّغيّرات ‪.‬‬
‫‪ ) 3‬استنتج أنّه إذا كان ‪ x 0;1‬فإنّ ‪. f  x  0;1‬‬
‫جزء ‪: 2‬‬
‫نعرّف علي مجموعة اإلعداد الطبيعية ‪ ‬المتتالية ‪ u n ‬كما يلي ‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪u 0  1‬‬
‫‪‬‬
‫‪u  u n  ln u n2  1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ n 1‬‬

‫‪‬‬
‫‪ ) 1‬مستعينا بـ‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪ ، C f‬التّمثيل البياني للدّالة ‪ ، f‬المرفق مع الموضوع والمنصّف األوّل ‪ ،‬علّم علي حامل محور الفواصل‬

‫الحدود األربعة األولي للمتتالية ‪. u n ‬‬
‫‪ ) 2‬باستعمال مبدأ اإلستدالل بالتّراجع ‪ ،‬أثبت أنّه من أجل كلّ عدد طبيعي ‪. 0  u n  1 : n‬‬
‫‪ – ) 3‬أ ) أدرس اتجاه تغيّر المتتالية ‪. u n ‬‬
‫ ب ) أستنتج أن المتتالية ‪ u n ‬متقاربة ‪.‬‬‫ما هي نهاية المتتالية ‪ u n ‬؟‬

‫التمرين الرّابع ‪:‬‬
‫‪x‬‬

‫‪4e‬‬
‫‪ f‬هي الدّالة المعرّفة علي ‪ ‬بـ ‪:‬‬
‫‪ex 3‬‬

‫نسمّي‬

‫‪‬‬

‫‪. f x   x  2 ‬‬

‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ C f‬تمثيلها البياني في المستوي المنسوب إلي المعلم المتعامد والمتجانس ‪ O ; i ; j‬حيث ‪. i  2cm‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪ – ) 1‬أ ) أحسب ‪. lim f  x ‬‬
‫‪x ‬‬

‫‪ -‬ب ) استنتج أنّ ‪‬‬

‫‪ C f‬يقبل مستقيما مقاربا مائال ‪  D ‬يطلب إعطاء معادلة له ‪.‬‬

‫ جـ ) أدرس الوضع النّسبي لـ ‪‬‬‫‪ ) 2‬أحسب ‪. lim f  x ‬‬
‫‪x ‬‬

‫‪ C f‬و ‪.  D ‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ex 3‬‬
‫‪ f   x    x‬حيث ‪ f ‬هي الدّالة المشتقّة للدّالة ‪. f‬‬
‫‪ – ) 3‬أ ) بيّن أنّه من أجل كلّ عدد حقيقي ‪ : x‬‬
‫‪e 3‬‬

‫ ب ) أدرس إتّجاه تغيّر الدّالة ‪ f‬ثمّ شكّل جدول تغيّراتها ‪.‬‬‫‪ – ) 4‬أ ) ماذا يمكنك أن تقول عن المماس ‪  1 ‬لـ‬

‫‪ -‬ب ) مستعينا باتّجاه تغيّر ‪f‬‬

‫‪‬‬

‫‪ C f‬في النّقطة ‪ I‬ذات الفاصلة ‪ ln3‬؟‬

‫‪ ،‬أدرس الوضع النسبي لـ ‪ 1 ‬‬

‫و‬

‫‪‬‬

‫‪. C f‬‬

‫‪1‬‬
‫‪ – ) 5‬أ ) بيّن أنّ معادلة المماس ‪  2 ‬في النقطة ‪ C  0;1‬هي ‪x  1 :‬‬
‫‪4‬‬

‫‪ -‬ب ) حدّد الوضع النّسبي لـ ‪C f ‬‬

‫و ‪ ( .  2 ‬يمكنك استعمال ‪: f ‬‬

‫‪ ) 6‬برهن أن النّقطة ‪ I‬هي مركز تناظر للمنحني ‪‬‬
‫‪ ) 7‬أنشئ في المعلم السّابق ‪  2  ،  1  ،  D ‬و ‪C f ‬‬

‫‪y ‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪12 e x  3‬‬
‫‪2‬‬

‫‪‬‬

‫‪3‬‬

‫‪x‬‬

‫‪e‬‬

‫‪. ) f   x  ‬‬

‫‪. C f‬‬

‫‪.‬‬

‫‪18‬‬

19


Aperçu du document مواضيع للمراجعة (1 ) ( 2 ).pdf - page 1/19
 
مواضيع للمراجعة (1 ) ( 2 ).pdf - page 3/19
مواضيع للمراجعة (1 ) ( 2 ).pdf - page 4/19
مواضيع للمراجعة (1 ) ( 2 ).pdf - page 5/19
مواضيع للمراجعة (1 ) ( 2 ).pdf - page 6/19
 




Télécharger le fichier (PDF)


مواضيع للمراجعة (1 ) ( 2 ).pdf (PDF, 1.4 Mo)

Télécharger
Formats alternatifs: ZIP



Sur le même sujet..