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Compétition de Mathématiques

Association des amoureux des mathématiques

1. Trouver
polynôme non nul à coe cients entiers tel que P (a) = 0 avec
√ un√
3
a=

2+

5.

2. Trouver le plus petit entier n véri ant
1
1
1
√ +√
√ + .... + √
√ ≥ 2012.
n−1+ n
1+ 2
2+ 3

3. Parmi 18 entiers naturels consécutifs à trois chi res il existe au moins un
qui est multiple de la somme de ses chi res
4. Soit N une puissance de 2. Peut-on permuter ses chi res pour avoir une
autre puissance de 2 (avec le même nombre de chi res)
5. Les entiers compris entre 19 et 93 sont écrits successivement pour former
l'entier N = 192021....9293. Trouver la plus grande puissance de 3 divisant
N.

6.

Soit C un cercle du plan de rayon R et de centre O et M un point
extérieur à C. Une droite ∆ passant par M rencontre C en A et B (on
peut avoir A = B . Montrer que M A.M B = M O2 − R2 .
b) Construire un cercle passant par deux points A et B et tangent à une
droite donnée D.

a)

1


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