ecomplexes2 .pdf


Nom original: ecomplexes2.pdfAuteur: Stephan Huck

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‫اﻷﻋﺪاد اﻟﻌﻘﺪﻳﺔ اﻟﺠﺰء اﻷول‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‪1:‬‬
‫ﻟﻴﻜﻦ ‪ f‬اﻟﺘﻄﺒﻴﻖ اﻟﻤﻌﺮف ﻣﻦ }‪− {−i‬‬

‫ﻧﺤﻮ‬

‫→ }‪− {−i‬‬

‫ﺑﻤﺎ ﻳﻠﻲ ‪:‬‬

‫‪iz‬‬
‫= )‪f ( z‬‬
‫‪z +i‬‬

‫‪z‬‬

‫‪labha‬‬
‫‪r‬‬

‫ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻌﻘﺪي ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ M‬ذات اﻟﻠﺤﻖ ‪z‬‬
‫‪ -1‬ﺣﺪد ‪ z0‬ﻟﺤﻖ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ B‬ﺣﻴﺚ ‪f ( z0 ) = 1 + 2i‬‬

‫‪f:‬‬

‫‪ -2‬ﻟﻴﻜﻦ ‪ r‬و ‪ θ‬ﻋﺪدان ﺣﻘﻴﻘﻴﺎن ﺣﻴﺚ ] ‪ arg ( z + i ) ≡ θ [ 2π‬و ‪z + i = r‬‬
‫ﺣﺪد ﺑﺪﻻﻟﺔ ‪ r‬و ‪ θ‬ﻣﻌﻴﺎر وﻋﻤﺪة اﻟﻌﺪد اﻟﻌﻘﺪي ‪f ( z ) − i‬‬

‫‪ -3‬ﻟﺘﻜﻦ ‪ A‬اﻟﻨﻘﻄﺔ ذات اﻟﻠﺤﻖ ‪−i‬‬
‫‪ (a‬ﺣﺪد ) ( ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻨﻘﻂ ) ‪ M ( z‬ﺣﻴﺚ ‪f ( z ) − i = 2‬‬
‫‪ (b‬ﺣﺪد ) ‪ ( D‬ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻨﻘﻂ ) ‪ M ( z‬ﺣﻴﺚ‬

‫] ‪[ 2π‬‬

‫‪π‬‬

‫‪4‬‬

‫= ) ‪arg ( f ( z ) − i‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ ‪2‬‬
‫ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻯ ﺍﻟﻌﻘﺩﻱ ﺍﻟﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻭﻤﻤﻨﻅﻡ ﺍﻟﺘﻰ ) ‪. ( o, u , v‬‬
‫ﺍﻟﺘﻰ ﺃﻟﺤﺎﻗﻬﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﻭﺍﻟﻲ‬
‫ﺃﻟﺤﺎﻗﻬﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﻭﺍﻟﻲ ﻫﻲ‬
‫‪ .‬ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪ M 1‬ﻭ ‪ M 2‬ﻭ ‪M 3‬‬
‫ﻭ‬
‫‪ z1‬ﻭ ‪ z2‬ﻭ ‪ z3‬ﺤﻴﺙ ‪:‬‬
‫ﻭ ‪z3 = 2i‬‬
‫‪z2 = 3 + i‬‬
‫‪z1 = 3 − i‬‬
‫‪ (a‬ﺒﻴﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁ ‪ M 1‬ﻭ ‪ M 2‬ﻭ ‪ M 3‬ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺩﺍﺌﺭﺓ ﻤﺭﻜﺯﻫﺎ ‪o‬‬
‫‪ (b‬ﺃﺤﺴﺏ ‪ z2 − z1‬ﻭ‬
‫‪ z2 − z3‬ﺜﻡ ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﻁﺒﻴﻌﺔ ﺍﻟﺭﺒﺎﻋﻲ ‪oM 1M 2 M 3‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ ‪3‬‬
‫‪(1‬‬
‫‪(2‬‬

‫ﻟﻴﻜﻦ ‪ α‬ﻋﺪدا ﻋﻘﺪﻳﺎ ﻏﻴﺮ ﻣﻨﻌﺪم‬
‫‪2‬‬
‫‪ -a‬اﺣﺴﺐ ‪( 2α + i ) :‬‬

‫)‬

‫(‬

‫ﻧﻌﺘﺒﺮ ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻌﻘﺪي اﻟﻤﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ﻣﺒﺎﺷﺮ ‪ O, u, v,‬اﻟﻨﻘﻄﺘﻴﻦ ) ‪A ( −α‬‬

‫‪omar‬‬

‫و ) ‪. B (α + i‬‬
‫‪ -a‬ﺣﺪد ﻗﻴﻢ ‪ α‬ﻟﻜﻲ ﺗﻨﺘﻤﻲ اﻟﻨﻘﻄﺘﺎن ‪ A‬و ‪ B‬ﻟﻠﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻲ ﻣﺮآﺰهﺎ ‪ O‬وﺷﻌﺎﻋﻬﺎ ‪. I‬‬
‫⎛‬
‫⎞ ‪⎛ 3 1‬‬
‫⎞ ‪3 1‬‬
‫‪P ⎜⎜ −‬‬
‫⎜⎜ ‪ N‬و ⎟⎟ ‪− i‬‬
‫‪ -b‬ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻨﻘﻂ ) ‪ M ( i‬و ⎟⎟ ‪− i‬‬
‫⎠ ‪⎝ 2 2‬‬
‫⎠ ‪⎝ 2 2‬‬
‫‪MN‬‬
‫و ‪ ، MP; MN‬ﺛﻢ اﺳﺘﻨﺘﺞ ﻃﺒﻴﻌﺔ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪. MNP‬‬
‫اﺣﺴﺐ ‪:‬‬
‫‪MP‬‬

‫)‬

‫(‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ ‪-4-‬‬
‫‪1+ i 3‬‬
‫ﻟﻜﻞ ‪ z‬ﻣﻦ * ﻧﻀﻊ‬
‫‪z‬‬
‫‪ (1‬اآﺘﺐ ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﻤﺜﻠﺜﻲ اﻷﻋﺪاد )‪ f (1‬و )‪ f ( −1‬و ) ‪ f ( i‬و ‪. f 1 − i 3‬‬
‫= )‪f ( z‬‬

‫‪ (2‬ﺣﻞ ﻓﻲ‬

‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪. f ( z ) = z‬‬

‫)‬

‫(‬

‫‪ (3‬ﺣﺪد وأﻧﺸﺊ ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻌﻘﺪي اﻟﻤﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ﻣﺒﺎﺷﺮ ) ‪: ( O, u, v‬‬
‫أ‪ ( Γ ) -‬ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻨﻘﻂ ‪ M‬ذات اﻟﻠﺤﻖ ‪ z‬ﺑﺤﻴﺚ ﻳﻜﻮن ‪f ( z ) = 1‬‬
‫ب‪ ( ∆ ) -‬ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻨﻘﻂ ‪M‬‬

‫ذات اﻟﻠﺤﻖ ‪ z‬ﺑﺤﻴﺚ ﻳﻜﻮن ‪[ 2π ] :‬‬

‫‪π‬‬
‫‪6‬‬

‫≡ ) ) ‪arg ( f ( z‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ ‪5‬‬

‫⎤ ‪⎡ 2 23π‬‬
‫⎤ ‪⎡ 3 19π‬‬
‫⎤ ‪⎡2 π‬‬
‫‪g −1 z2 = ⎢ ,‬‬
‫‪; z1 = ⎢ ,‬‬
‫‪ -1‬ﻟﺘﻜﻦ اﻷﻋﺪاد اﻟﻌﻘﺪﻳﺔ ‪ z2 ; z1 ; z0‬ﺑﺤﻴﺚ ‪; z0 = ⎢ , ⎥ :‬‬
‫⎥‬
‫⎥‬
‫⎦ ‪⎣ 3 15‬‬
‫⎦ ‪⎣ 2 30‬‬
‫⎦ ‪⎣3 5‬‬
‫‪z‬‬
‫ﻧﻀﻊ ‪ u1 = z0 z1 :‬و ‪u2 = 2‬‬
‫‪z0‬‬

‫‪r‬‬

‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪− 3 1‬‬
‫‪u2 = − −‬‬
‫= ‪ u1‬و ‪i‬‬
‫أ‪ -‬ﺑﻴﻦ أن ‪+ i :‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫ب‪ -‬أﺣﺴﺐ ‪u16 + u 6 2 :‬‬

‫)‬

‫(‬

‫‪abha‬‬

‫‪ -2‬اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻌﻘﺪي ) ‪ ( Ρ‬ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ﻣﺒﺎﺷﺮ ‪ ، O, e1 , e 2‬ﻧﻌﺘﺒﺮ ﻓﻲ ) ‪ ( Ρ‬اﻟﻨﻘﻂ ‪ A‬و ‪ B‬و ‪ C‬اﻟﺘﻲ‬
‫⎛‬
‫‪3 1⎞ ⎛1‬‬
‫⎞‪3‬‬
‫‪− ⎟⎟ + ⎜⎜ −‬‬
‫‪ : ⎜⎜ −‬و ‪ u1‬و ‪. u2‬أﺣﺴﺐ اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ‪ BC‬وﺣﺪد ﻗﻴﺎﺳﺎ ﻟﻠﺰاوﻳﺔ‬
‫أﻟﺤﺎﻗﻬﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ هﻲ ⎟⎟‬
‫⎠ ‪⎝ 2 2⎠ ⎝2 2‬‬

‫) ‪( AB, AC‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‪6‬‬

‫(‬

‫)‬

‫ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻤﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ﻣﺒﺎﺷﺮ ‪ ، O, u, v‬ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻨﻘﻄﺘﻴﻦ ) ‪ M 1 ( z1‬و ) ‪ M 2 ( z2‬ﺣﻴﺚ‬

‫‪π‬‬

‫‪ z1 = 1 + i tan θ‬و ‪ z2 = i + tan θ‬ﻣﻊ‬
‫‪2‬‬
‫‪ -a‬اآﺘﺐ ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﻤﺜﻠﺜﻲ آﻼ ﻣﻦ اﻟﻌﺪدﻳﻦ ‪ z1‬و ‪. z2‬‬

‫)‬

‫≤ ‪≤θ‬‬

‫‪π‬‬

‫‪2‬‬

‫‪−‬‬

‫(‬

‫‪ -b‬ﺑﻴﻦ أن ‪ OM 1 = OM 2‬وﺣﺪد ‪. OM 1 , OM 2‬‬

‫‪omar‬‬
‫‪l‬‬

‫‪ -c‬ﺣﺪد ‪ θ‬ﻟﻴﻜﻮن اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ OM 1M 2‬ﻣﺘﺴﺎوي اﻷﺿﻼع‪.‬‬

‫ﺗﻤﺮن‪7‬‬
‫‪⎧z = 1‬‬
‫‪⎪1‬‬
‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ‬
‫‪ z‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ب ‪:‬‬
‫⎨‬
‫*‬
‫* ∈‪n n‬‬
‫‪⎪⎩∀n ∈ , zn + 1 = (1 + i ) zn‬‬
‫‪ -1‬أﺣﺴﺐ ‪ z2‬و ‪ z3‬و ‪ z4‬و ‪ z5‬وأرﺳﻢ ﺻﻮرهﺎ ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻌﻘﺪي‬

‫) (‬

‫‪ -2‬أﺣﺴﺐ ‪ zn‬ﺑﺪﻻﻟﺔ ‪ n‬و‬

‫) ‪(1 + i‬‬

‫و اﺳﺘﻨﺘﺞ أن اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ *‬

‫∈ ‪( n )n‬‬

‫‪ z‬هﻨﺪﺳﻴﺔ ﻣﺤﺪدا ﻋﻨﺎﺻﺮهﺎ اﻷﺳﺎﺳﻴﺔ‬

‫‪ -3‬ﻣﺎهﻲ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻷﻋﺪاد ‪ p‬ﺑﺤﻴﺚ ‪ z p‬ﺑﺤﻴﺚ ﻳﻜﻮن ﻋﺪدا ﺣﻘﻴﻘﻴﺎ‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‪8‬‬

‫‪ θ‬ﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ ﺣﻴﺚ ‪. 0 ≺ θ ≺ 2π‬ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻌﺪدﻳﻦ اﻟﻌﻘﺪﻳﻴﻦ‬
‫‪ (a -1‬ﻣﺎهﻲ ﻗﻴﻢ‬
‫‪ (b‬ﺑﻴﻦ أن ‪:‬‬

‫‪ θ‬اﻟﺘﻲ ﻣﻦ أﺟﻠﻬﺎ‬

‫‪θ‬‬

‫‪2‬‬

‫‪θ‬‬

‫‪cos‬‬

‫‪1+ z‬‬
‫‪ z = cos θ + i sin θ‬و‬
‫‪1− z‬‬

‫= ‪ Z‬ﺣﻴﺚ ‪z ≠ 1‬‬

‫‪ Z‬ﻣﻌﺮﻓﺔ‬

‫‪Z =i‬‬

‫‪sin‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ (c‬ﻣﺎهﻲ ﻗﻴﻢ ‪ θ‬اﻟﺘﻲ ﻣﻦ أﺟﻠﻬﺎ ﻳﻤﻜﻦ ﺣﺴﺎب ﻋﻤﺪة ‪ arg Z ، Z‬وﻣﺎ هﻮ اﻟﻌﻤﺪة ﻣﻦ هﺬﻩ اﻟﺤﺎ ﻟﺔ‬
‫‪ -2‬أﺣﺴﺐ ﻣﻌﻴﺎر ‪ Z‬ﺑﺪﻻﻟﺔ ‪θ‬‬


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