Croissant de Lune .pdf



Nom original: Croissant de Lune.pdf
Auteur: Gaynor Duprat

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Croissant de Lune
I-

Description du phénomène

La Lune tourne autour de la Terre qui elle-même tourne autour du Soleil. Les différentes
configurations de ces trois astres nous permettent d'observer une ombre formée par la Terre sur la
Lune sous l'action des rayons du Soleil.
Notre objectif est d'étudier cette ombre et plus particulièrement la courbe ombre/lumière qui se
forme. Nous allons essayer de déterminer l'équation de cette courbe à partir de l'image fournie dans le
sujet.

II-

Etude théorique

A l’échelle de la distance entre la Terre et la Lune, le Soleil peut être considéré à une distance
infinie. Les rayons incidents sont donc parallèles entre eux et à la direction Terre Soleil. Ainsi avec les
simplifications précédentes, l’ombre de la Terre peut être assimilée à un cercle Γ de centre O et de
rayon RT (rayon terrestre). Ce cercle sera placé dans un plan P tangent à la Terre et orthogonal aux
rayons incidents du Soleil.
Notre objectif est de déterminer la projection de cette ombre sur la Lune. La photo de la Lune est
en deux dimensions donc la projection de Γ se fait dans un plan P’ tangent à la Lune et orthogonal à la
direction observateur-Lune. On appellera Γ’ l’ensemble des points formés par les projetés de Γ dans le
plan P’. P’ est l’image de P par deux rotations et une translation.
Pour déterminer Γ’ il faut donc faire la projection selon ⃗ dans le repère (O, ⃗, ⃗, ⃗) du cercle Γ
sur le plan P’ orthogonal à ⃗⃗⃗ , image de ⃗ par les rotations précédentes. En effet les translations et
rotations conservent les angles.

Voici un schéma de la situation :

Pour passer du plan P au plan P’ il faut effectuer deux rotations, une rotation θ autour de l’axe (Ox) et
une rotation φ autour de l’axe (Oy).

Il s’agit à présent d’exprimer les vecteurs ⃗⃗⃗⃗, ⃗⃗⃗⃗et ⃗⃗⃗ en fonction de ⃗, ⃗ et ⃗ à l’aide des figures
précédentes.
⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗

et

⃗⃗⃗⃗⃗ = cos(θ) ⃗ + sin(θ) ⃗

⃗⃗⃗⃗ = cos(φ) ⃗⃗⃗⃗⃗ – sin(φ) ⃗⃗⃗⃗

et

⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗

A partir de ces équations on obtient :
⃗⃗⃗⃗ =

(φ) ⃗ –

(φ) (

⃗=

(φ) ⃗⃗⃗⃗ +

(φ) ⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗ =

(θ) ⃗ +

(θ) ⃗

( ) ⃗-

(θ) ⃗)

et

⃗⃗⃗⃗

( )⃗

( )⃗

et

⃗⃗⃗

( ) ⃗⃗⃗⃗

( ) ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗=
⃗⃗⃗
⃗=

(θ) ⃗⃗⃗⃗ -

(θ) (

( )(

( ) ⃗

(θ) ⃗⃗⃗⃗ +

( )(

(φ) ⃗⃗⃗ -

(φ) ⃗⃗⃗)

( ) ⃗)
(φ) ⃗⃗⃗ -

( )⃗
(φ) ⃗⃗⃗)

Ainsi dans le repère (O, ⃗, ⃗, ⃗) l’équation du plan P’ formé par les vecteurs ⃗⃗⃗⃗ et ⃗⃗⃗⃗ est par définition :
(P’) :

( )

( )

( )

( )

( )

, avec d constante.

Le point d’intersection de P’ et de la surface de la lune est sur l’axe (O, ⃗⃗⃗) à une distance notée D
Ainsi, d = D (

( )

( )

( )

( )

( )) = D, car sin²(t) + cos²(t) = 1

La projection de A (x, y, z) un point de Γ selon ⃗ sur P’ est le point A’(x’, y’, z’) tel que :
x’ = x
y’ = y
( )

( ) z’ = D +

( )

( )

( )x

ou encore dans le repère (O’, ⃗⃗⃗⃗, ⃗⃗⃗⃗, ⃗⃗⃗) :
A’ (x,

( )

( )

( ) , 0)

( )

( ) xA’

L’équation théorique de la courbe est donc :
yA ‘ =

III-

( )

Etude expérimentale

Nous avons utilisé le logiciel Octave pour déterminer les coordonnées de la courbe observable sur
la photo de la Lune. Les résultats sont répertoriés dans le tableau suivant :
X

Y

125.25

294.64

121.75

308.14

123.50

325.61

123.50

343.09

129.00

352.62

134.50

362.34

143.75

372.07

151.00

387.56

163.75

393.32

176.50

401.06

187.50

408.80

207.75

410.79

224.00

414.56

237.00

412.77

248.00

412.77

260.75

405.03

271.75

401.06

279.00

397.29

291.75

385.57

Une fois les coordonnées de la courbe connues, le logiciel Matlab nous permet de tracer la courbe
ombre lumière à l'aide de la commande : plot(X,Y).

Pour déterminer son équation nous allons approximer la courbe à des courbes connues. Nous
allons utiliser Matlab pour tracer les courbes des équations trouvées.
1) Approximation de la courbe obtenue à une parabole :
En observant la courbe obtenue, l’allure semble être celle d’une parabole. Autrement dit elle est de
la forme : y = ax² + bx + c. Pour déterminer les inconnues a, b et c il suffit d'utiliser les coordonnées
précédemment citées.
Pour une équation à trois inconnues, nous auront besoin de trois couples (X ; Y) de coordonnées.
Prenons par exemple, (125,25 ; 294,64) , (129,00 ; 352,62) et (260,75 ; 405,03)
Il ne reste plus qu'à résoudre un système de trois équations
a = -0.000012

294,64 = a*125,25² + b*125,25 + c
352,62 = a*129,00² + b*129,00 + c
405,03 = a*260,75² + b*260,75 + c

nous obtenons ainsi,

b = 15.4644
c = -1642.09

équation d'une parabole
3500
3000

2500
2000
1500
1000
500
0
0

50

100

150

200

250

300

350

Nous pouvons donc affirmer que la courbe théorique de la Lune n’est pas une parabole.
2) Approximation de la courbe à une ellipse :
Nous allons maintenant essayer de faire une approximation à une ellipse. Nous connaissons le
diamètre de la Lune qui correspond ici à la valeur a du grand axe de l'ellipse, il nous reste à déterminer
la valeur b du petit axe.
En se plaçant dans la figure, le théorème de Pythagore nous donne les valeurs de a et b.
Ces valeurs sont déterminées à partir de l’image fournie dans le sujet et à l’aide du logiciel Matlab.
Elles sont sans unité car l’échelle est inconnue.
Rayon de la Lune : a = 102.5951
Demi-petit axe : b = 99.9536
L'équation d'une ellipse étant : ( )
√(

( ) )

( )

, nous étudions donc une équation de la forme :
√(

Soit :

(

) )

équation d'une ellipse
300
250
200
150

Y

100
50
0
0

50

100

150

200

250

300

350

Finalement, la courbe à la surface de la lune ne semble pas non plus être celle d’une ellipse.




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