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Sujet de révision n°3 .pdf


Nom original: Sujet de révision n°3.pdf
Auteur: AmouLa

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Prof : Mr Khammour.K

Sujet de révision n°3

4ème Math

Mai 2015

Exercice n°1 :
On considère dans IN l’équation (E) : x35  297 .
1) Soit x solution de (E).
a) Vérifier que 97 est premier.
b) Montrer que x et 97 sont premier entre eux.
c) Justifier que x96  197 .
d) En déduire que x  211 97

2) Soit un entier x tel que x  211 97 .Montrer que x est solution de (E).
3) Déduire alors l’ensemble des solutions de l’équation (E).
Exercice n°2 :
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct

O, u, v  .

A tout point M du plan d’affixe z  0 , on associe les points M’ et M’’ d’affixes respectives z’ et z’’ définies
par : z’ = iz et z’’ = z2.
1) Soit A le point d’affixe a  2  i et B le point d’affixe b  2  i .On appelle A’ et A’’ les points associés à A.
On appelle B’ et B’’ les points associées à B.
a) Déterminer sous forme algébrique, les affixes a’ et a’’ des points A’ et A’’. Prouver A est le milieu de
[A’A ‘’].
b) Déterminer sous forme algébrique, les affixes b’ et b’’ des points B’ et B’’.
b  b"
c) Calculer sous forme algébrique ,
.
b b'
d) En déduire la nature du triangle BB’B’’.
2) M est un point quelconque d’affixe z  0 . N le point d’affixe z .N’ et N’’ sont les points associées au point N.
On pose z  x  iy .
 z 1 
a) Prouver que si z  1, MM ', MM ''  arg 
  2 
 i 1 
b) Montrer alors que M, M’ et M’’ sont alignés si y = - x + 1.





Exercice n°3 :

 O,i, j est un repère orthonormé direct du plan. Soit E la courbe d’équation : 12 x

2

 16 y 2  12 x  9  0 .

1) a) Montrer que E est une ellipse. Préciser son excentricité, son centre et ses sommets principaux.
b) Montrer que O est un foyer de E.
c) Tracer E.
2) Soit M un point de E d’abscisse x. On pose i, OM    2  où    ,   .



a) Montrer que OM =

3  2x
.
4

3
.
2  2  cos  
1) La droite (OM) recoupe E en un point N.

b) En déduire que OM =



6
.
4  cos 2 
b) Déterminer les valeurs de  pour lesquelles MN est minimale.

a) Montrer que MN =

Exercice n°4 :
Le plan est orienté dans le sens direct.







 2  . Soit I le milieu de segment [AB]. On
2
désigne par C et D les symétriques respectifs du point I par rapport à O et à B. Soit f la similitude directe qui
envoie A sur D et O sur C.
OAB est un triangle rectangle et isocèle en O et tel que OA, OB 


.
2
2) a) Montrer que O est l’orthocentre du triangle ACD.
b) Soit J le projeté orthogonal du point O sur (AC).
c) Déterminer les images des droites (OJ) et (AJ) par f et en déduire que J est le centre de similitude f.
3) Soit g la similitude indirecte de centre I qui envoie A sur D.
a) Vérifier que g est de rapport 2 et d’axe (IC) , en déduire g(O).
b) Déterminer les images de C et D par gof-1. En déduire la nature de gof-1.
4) Soit I’ = f(I) et J’ = g(J).
a) Déterminer les images des points J et I’ par gof-1 .
b) Montrer que les droites (IJ) , (I’J’) et (CD) sont contractantes.
1) Montrer que f a pour rapport 2 et d’angle

Exercice n°5 :
1
 
, x   0,  , on désigne par C sa courbe représentative.
sin x
 2
1) Etudier f et construire sa courbe représentative C.
1 1  tan 2 x
 
 
2) Vérifier que x   0,  , f  x  
puis déduire une primitive de f sur  0,  .
2
 x
 2
 2
tan  
2
3) Calculer la mesure de l’aire de la partie du plan limitée par la courbe C et les droites d’équations y=0 ,

A) Soit f  x  

x=



et x =
.
3
2

 
4) a) Montrer que f réalise une bijection de  0,  sur 1,  .
 2

b) Soit g = f 1 , Calculer g 1 , g

 2  et g  2 .

C) Montrer que g dérivable sur 1,  et que g'  x  

B) 1) Soit F  x  

ln x



ln 2

dt
e2t  1

1
x x2 1

.

, x  1,  . Montrer que F dérivable sur 1,  et calculer F’(x).

2) En déduire que pour tout x de 1,  on a : F  x  


4

 g ( x) . Trouver lim F  x  et lim F  x  .
x 

x 1


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