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S3 2015 .pdf



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Lycée Tahar Sfar
SOUSSE

Synthèse N°3

4ème M1 +

MATHEMATIQUES

Mai 2015
Durée = 4h

2

Exercice N°1 ( 4 points)
Le tableau suivant donne la population d’une ville nouvelle entre les années 1980 et 2010.
Année
1980 1985 1990 1995 2000 2005 2010
Rang de l’année x
0
5
10
15
20
25
30
Population en milliers habitants y 18
21
25
30
36
42
50
1. a) Représenter le nuage de points de cette série statistique (x,y).
b) Calculer les coordonnée du points moyen G et placer le sur ce nuage.
c) Calculer le coefficient de corrélation r de cette série. Interpreter.
2. a) Déterminer une équation de la droite de régression de y en x par la méthode des moindres carrés
(les coefficients seront arrondis au millième).
b) Déduire de cet ajustement une estimation de la population en 2008, à un millier près.
3. L’allure du nuage de la série double (x, y) incite à chercher un ajustement par une
fonction définie sur [0 ; +∞ [ solution de l’équation différentielle y’= 0,039 y tels que f (0) = 18
a) Montrer que ( ) = 18 ,
.
b) Déduire de cet ajustement une estimation de la population en 2008, à un millier près.
c) La population en 2008 était de 55 milliers. Lequel des deux ajustements vous semble le plus
pertinent? Justifier votre choix.
d) Calculer la valeur moyenne de la fonction sur [0 ; 30] ; on donnera le résultat arrondi au dixième.
e) Déterminer l’année au cours de laquelle la population atteint cette valeur moyenne?
1 b
(NB : la valeur moyenne de f sur [a,b] est f 
f (t )dt )
b  a a

Exercice N°2 ( 4 points)
Une urne contient 4 jetons blancs numérotés 1 ; 1 ; 2 ; 2 et trois jetons noirs numérotés 1 ; 2 ; 2 et deux
jetons rouges numérotés 1 ; 2.
1. On tire simultanément et au hasard deux jetons de l’urne calculer la probabilité des événement suivants :
A : « avoir deux jetons de même couleur ».
B : « avoir moins un jetons noir ».
C : « avoir deux jetons de même couleur Sachant qu’il sut de même numéros ».
2. Une épreuve consiste à tirer successivement deux jetons de la manière suivante :
- si le premier jeton rouge on le remet dans l’urne et on tire 2éme jeton.
- si non on le garde à l’extérieur et on tire un 2éme jeton.
a) Montrer que la probabilité d'avoir deux jetons blancs est

1
6

b) On désigne par X l’aléa numérique qui tout résultat associe le nombre de jetons blancs obtenus.
c) Déterminer la loi de probabilité de X.
d) Définir et construire sa fonction de répartition.
3. On répète l’épreuve précédente 4 fois de suite en remettant à chaque fois les jetons tirés dans l’urne.
Soit Y l’aléa qui prend pour valeur le nombre le nombre de fois oùl'on obtient deux jetons blancs.
a) Déterminer la loi de probabilité de Y.
b) Déterminer l’écart type de Y.
c) Calculer la probabilité de l’événement : « obtenir au moins une fois deux jetons blancs ».

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Exercice N°3 (3 points)
1. Soit n  et on considère les entiers naturels a = 7n +9 et b = 12n + 15.
a) On note d = ab. Montrer que d {1,3}.
b) Déterminer n pour que d = 3.
2. On donne dans x l’équation (E) : 12x – 7y = 3.
a) Montrer que si (x , y) est solution de (E) alors y 0 (mod 3).
b) Déterminer une solution particulière de (E). Résoudre (E).
3. Un astronome a observé en l’an 2000 un corps céleste A qui apparait périodiquement tous les 24
ans , 6ans plus tard il observe un corps B dont la période d’apparition est 14 ans. On appelle J
l’an de la prochaine apparition simultané des deux corps.
a) Soient x et y le nombre de périodes effectués respectivement par les corps A et B entre
l’an 2000 et l’an J. Montrer que (x , y) est solution de (E).
b) Déterminer J.
Exercice N°4 ( 5 points)
Partie A
1. a) Résoudre l’équation différentielle (E0) : y '  2 y  2 .
b) Soit l’équation (E) : y '  y + 2e  x .
Montrer que f est solution de (E) si, et seulement si, g définie par g(x) = exf (x) est solution de (E0) .
c) Déterminer alors les solutions de (E) .
2. a) Montrer que f (x) = ex – e-x est solution de (E) qui s’annule en 0.
b) Dresser le tableau de variation de f .

 
c) Construire sa courbe (C f ) dans un repère O.N (O, i , j ) .

d) Montrer que f admet une bijection réciproque f -1 définie sur  et expliciter f -1(x).
3. Soit la fonction H définie sur  par H(x) =



f ( x)

0

4  t 2 dt

a) Montrer que H est dérivable sur  et calculer H’(x) pour x   .
1
b) En déduire que pour tout x   on a : H(x) = (e2 x  e2 x )  2 x .
2
c) En intégrant par parties calculer en fonction de x la fonction



f ( x)

0

t2
4  t2

dt .

Partie B
Pour tout n * on considère la fonction Fn définie sur * par Fn(x) =



e

1
f ( x)

(1 - ln t ) n dt

1. Calculer F1(x) et lim F1(x).
x

1
n 1
1 ln f ( x)  (n 1)Fn ( x) .
f ( x)
1
n 1
b) En utilisant la formule de binôme de newton , montrer que : lim
1  ln f ( x)  0 .
x  f ( x)

2. a) Montrer a l’aide d’une intégration par parties que Fn+1(x) =

c) Montrer par récurrence que Fn admet une limite finie non nulle ln lorsque x tend vers + ∞
d) Montrer que pour tout n * :

ln =

- e n!.

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Exercice N°5 ( 4 points)

  
L’espace est muni d’un repère orthonormé direct ( o , i , j , k )
On considère les points A(6,0,0) ; B(0,6,0) ; C(0,0,6) et D(-2,-2,-2)
 
1. a) Déterminer les composantes du vecteur AB  AC
b) En déduire que A,B et C ne sont pas alignés et ils déterminent un plan (P) : x + y + z - 6 = 0
c) Vérifier que D n’appartient pas à (P) et calculer le volume du tétraèdre ABCD.
2. a) Vérifier que la droite (OD) est perpendiculaire au plan (P).
b) Montrer que la droite (OD) est l’axe du cercle C circonscrit au triangle ABC.
c) Donner une représentation paramétrique de la droite (OD).
d) Soit H le projet é orthogonal de O sur (P), vérifier que H a pur coordonnées (2,2,2).
3. Soit Q le plan médiateur du segment [CD].
a) Montrer que qu’une équation cartésienne de Q est x + y + 4z – 6 = 0.
b) Déterminer les coordonnées du point  intersection de (OD) avec Q.

c) Soit S la sphère de centre  et de rayon 3 3 .
Vérifier que S est la sphère circonscrit au tétraèdre ABCD et déterminer
l’intersection de S et P.
1

x '  2 x 1

4. Soit l’application h : E
E.
1

M(x’,y’, z') telle que  y '  y  1
M(x,y,
z)
M(x,y,z)
2

a) Montrer que h est une homothétie dont on précisera le centre
1

et le rapport.
z '  2 z 1

b) Déterminer la sphère S’ image de S par h et puis déterminer S’ P

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