SERIE COMPLEMENTAIRES

MP 13 / MP 14

Déterminant de Gram
Soit E un R -espace vectoriel muni d’un produit scalaire noté < ; > :

Partie I:
Soit x1 ; x2 ; ::::::; xn n vecteurs de E .
On note : Gram(x1 ; x2 ; ::::::; xn ) la matrice carrée d’ordre n dont le coe¢ cient
d’indice (i; j) est < xi ; xj >
et par : G(x1 ; x2 ; ::::::; xn ) = det(Gram(x1 ; x2 ; ::::::; xn ))
0
1
< x1 ; x1 >
< x1 ; x1 > :: :: < x1 ; xn >
B
C
:
:
:
B
C
Gram(x1 ; x2 ; ::::::; xn ) = B
C et G(x1 ; x2 ; ::::::; xn ) =
@
A
:
:
:
< xn ; x1 >
< xn ; x1 > :: :: < xn ; xn >
1. On suppose la famille fx1 ; x2 ; ::::::; xn g est liée. Montrer que G(x1 ; x2 ; ::::::; xn ) = 0
2. On suppose la famille fx1 ; x2 ; ::::::; xn g est libre.
Soient (e1 ; e2 ; ::::::; en ) une base orthonormée de l’espace vectoriel engendré par (x1 ; x2 ; ::::::; xn )
et A = (ai;j )1

i;j n

la matrice de passage de la base (e1 ; e2 ; ::::::; en ) à la base (x1 ; x2 ; ::::::; xn ):

a) Exprimer < xi ; xj > à l’aide des coe¢ cients de la matrice A .
b) Montrer que Gram(x1 ; x2 ; ::::::; xn ) = (At )A.
En déduire que G(x1 ; x2 ; ::::::; xn ) > 0
3. Soit F un sous-espace vectoriel de E de dimension p
et (e1 ; e2 ; ::::::; ep ) une base de F .
On appelle distance de x vecteur de E au sous-espace vectoriel F le réel :
d(x; F ) = inf kx
y2F

yk

Soit pF la projection orthogonal sur F
a)Démontrer que d(x; F ) = kx

pF (x)k

b) Etablir que:
p
G(e1 ; ::::::; ep ; x)
d(x; F ) = p
G(e1 ; ::::::; ep )
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1

2014/2015

::

::

::

::

< x1 ; xn >
:
:
< xn ; xn >

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Partie II:(Déterminant de CAUCHY)
Soit p un entier naturel non nul et a1 ; :::; ap ; b1 ; :::; bp des réels tels que pour tout i; j 2
f1; : : : ; pg ,ai + bj 6= 0
Le but de cette partie est de calculer le déterminant de la matrice :

1
ai + bj

0

1 i;j n

1
B a1 + b1
B 1
B
B
= B a2 + b1
B
:
B
@ 1
an + b1

1
a1 + b2
1
a2 + b2

1
1
a1 + bn C
C
C
:
C
C
C
:
C
A
1

:::

:::

:::

an + bn

Ce déterminant sera noté Cp (a1 ; :::; ap ; b1 ; :::; bp ):
1)Soit
F (X) =

(X a1 ):::(X ap 1 )
(X + b1 )::::::(X + bp )

Réaliser la décomposition en éléments simples de F.
2)Montrer que:

F (ap )Cp

1 (a1 ; :::; ap 1 ; b1 ; :::; bp 1 )

=

pY1

(ai + bp )

i=1
pY1

Cp (a1 ; :::; ap ; b1 ; :::; bp )
(bp

bi )

i=1

1
a1 + b1
1
Indication: calculer de deux façons a2 + b1
:
1
ap + b1

:::

1
a1 + bp
1
a2 + bp

F (a1 )
1

F (a2 )
1

:
:::

1
ap + bp

F (ap )
1

3)En déduire

Cp (a1 ; :::; ap ; b1 ; :::; bp ) =

Y

(bj

1 i<j p

bi )
Y

Y

(aj

ai )

1 i<j p

(ai + bp )

1 i;j p

4)En déduire la valeur de:(déterminant de HILBERT)

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2014/2015

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MP 13 / MP 14

1
2
1
3
:
1
n+1
et de :

p

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1
1
1
= 2
:
1
n

1
3
1
4

:::

::: :::

1
2
1
3

1
n+1
:
:
1
2n
1
n
:

:::

::: :::

3

:
1
2n

1

2014/2015