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SERIE COMPLEMENTAIRES
MP 13 / MP 14
Déterminant de Gram
Soit E un R -espace vectoriel muni d’un produit scalaire noté < ; > :
Partie I:
Soit x1 ; x2 ; ::::::; xn n vecteurs de E .
On note : Gram(x1 ; x2 ; ::::::; xn ) la matrice carrée d’ordre n dont le coe¢ cient
d’indice (i; j) est < xi ; xj >
et par : G(x1 ; x2 ; ::::::; xn ) = det(Gram(x1 ; x2 ; ::::::; xn ))
0
1
< x1 ; x1 >
< x1 ; x1 > :: :: < x1 ; xn >
B
C
:
:
:
B
C
Gram(x1 ; x2 ; ::::::; xn ) = B
C et G(x1 ; x2 ; ::::::; xn ) =
@
A
:
:
:
< xn ; x1 >
< xn ; x1 > :: :: < xn ; xn >
1. On suppose la famille fx1 ; x2 ; ::::::; xn g est liée. Montrer que G(x1 ; x2 ; ::::::; xn ) = 0
2. On suppose la famille fx1 ; x2 ; ::::::; xn g est libre.
Soient (e1 ; e2 ; ::::::; en ) une base orthonormée de l’espace vectoriel engendré par (x1 ; x2 ; ::::::; xn )
et A = (ai;j )1
i;j n
la matrice de passage de la base (e1 ; e2 ; ::::::; en ) à la base (x1 ; x2 ; ::::::; xn ):
a) Exprimer < xi ; xj > à l’aide des coe¢ cients de la matrice A .
b) Montrer que Gram(x1 ; x2 ; ::::::; xn ) = (At )A.
En déduire que G(x1 ; x2 ; ::::::; xn ) > 0
3. Soit F un sous-espace vectoriel de E de dimension p
et (e1 ; e2 ; ::::::; ep ) une base de F .
On appelle distance de x vecteur de E au sous-espace vectoriel F le réel :
d(x; F ) = inf kx
y2F
yk
Soit pF la projection orthogonal sur F
a)Démontrer que d(x; F ) = kx
pF (x)k
b) Etablir que:
p
G(e1 ; ::::::; ep ; x)
d(x; F ) = p
G(e1 ; ::::::; ep )
e-mail: hafsi.hamza1@gmail.com
1
2014/2015
::
::
::
::
< x1 ; xn >
:
:
< xn ; xn >
SERIE COMPLEMENTAIRES
MP 13 / MP 14
Partie II:(Déterminant de CAUCHY)
Soit p un entier naturel non nul et a1 ; :::; ap ; b1 ; :::; bp des réels tels que pour tout i; j 2
f1; : : : ; pg ,ai + bj 6= 0
Le but de cette partie est de calculer le déterminant de la matrice :
1
ai + bj
0
1 i;j n
1
B a1 + b1
B 1
B
B
= B a2 + b1
B
:
B
@ 1
an + b1
1
a1 + b2
1
a2 + b2
1
1
a1 + bn C
C
C
:
C
C
C
:
C
A
1
:::
:::
:::
an + bn
Ce déterminant sera noté Cp (a1 ; :::; ap ; b1 ; :::; bp ):
1)Soit
F (X) =
(X a1 ):::(X ap 1 )
(X + b1 )::::::(X + bp )
Réaliser la décomposition en éléments simples de F.
2)Montrer que:
F (ap )Cp
1 (a1 ; :::; ap 1 ; b1 ; :::; bp 1 )
=
pY1
(ai + bp )
i=1
pY1
Cp (a1 ; :::; ap ; b1 ; :::; bp )
(bp
bi )
i=1
1
a1 + b1
1
Indication: calculer de deux façons a2 + b1
:
1
ap + b1
:::
1
a1 + bp
1
a2 + bp
F (a1 )
1
F (a2 )
1
:
:::
1
ap + bp
F (ap )
1
3)En déduire
Cp (a1 ; :::; ap ; b1 ; :::; bp ) =
Y
(bj
1 i<j p
bi )
Y
Y
(aj
ai )
1 i<j p
(ai + bp )
1 i;j p
4)En déduire la valeur de:(déterminant de HILBERT)
e-mail: hafsi.hamza1@gmail.com
2
2014/2015
SERIE COMPLEMENTAIRES
MP 13 / MP 14
1
2
1
3
:
1
n+1
et de :
p
e-mail: hafsi.hamza1@gmail.com
1
1
1
= 2
:
1
n
1
3
1
4
:::
::: :::
1
2
1
3
1
n+1
:
:
1
2n
1
n
:
:::
::: :::
3
:
1
2n
1
2014/2015



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