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CORRIGE EX3. MATH 2015. .pdf


Nom original: CORRIGE EX3. MATH 2015..pdf
Auteur: Boubaker

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Exercice 3 :

( E ) : 47 x  53 y  1.
1.a. 47x(9)  53x 8  423  424  1 alors (-9,8) est solution de ( E ).
b. 47 x  53 y  1 et 47x(9) + 53x8 = 1 donnent,en soustrayant membre à membre 47( x  9)  53(y 8)  0
alors 47( x  9)  53( y  8) (*) ,par suite 47 divise 53( y  8) et comme PGCD(47,-53)=PGCD(47,53)=1
il s’ensuit d’après le lemme de Gauss que 47 divise y – 8 ; soit y  8  47k ; k  Z .
(*) donne 47(x+9)= -53x47k c-à-d x  9  53k.
Vérification : 47x(9  53k )  53x(8  47 k)  423  424  1 .
D’où l’ensemble des solutions de ( E ) sont  x, y    9  53k ,8  47k  ; k  Z.
c.Soit a un entier.
a est un inverse de 47 modulo 53 si et seulement si 47a  1(mod53) ce qui signifie qu’il existe un entier n tel
que 47a  53n  1 équivaut 47a  53x(n)  1 équivaut (a,-n) est solution de ( E)
ce qui donne a  9  53k ; k  Z .
Réciproquement si a  9  53k ; k  Z . alors 47a  47(9  53k ) = 423  53x47k ,par suite

47a  423(mod 53)
 423  8x53(mod53)
 1(mod53)
D’où l’ensemble des inverses de 47 modulo 53 sont les entiers 9  53k ; k  Z .
d.Un inverse positif de 47 modulo 53 vérifie 9  53k  0  53k  9  k 1, 2,... .
Le plus petit de ces inverse est obtenu pour k  1 qui est 9  53  44 .
2.a. 53 est un nombre premier qui ne divise pas 45 alors d’après le théorème de Fermat on a :
45531  1(mod 53) d’où 4552  1(mod 53) .

b. 45106   4552  x452 .Or 4552  1(mod 53) alors  4552   1(mod 53) et par suite
2

 45 

52 2

2

x452  452 (mod 53) ce qui donne 45106  452 (mod 53) c-à-d

45106  2025(mod 53)  45106  11  53x38(mod 53)  45106  11(mod 53)

et comme 0  11  53 alors le reste de 45106 modulo 53 est 11.
3. N 

k 105

 45
k 0

k

a.N est la somme des 106 premiers termes de la suite géométrique u de terme général uk  45k et comme 45
est la raison de u alors N 

45106  1
45106  1
x1=
.On aura donc 44 N  45106  1 .
45  1
44

Or 45106  11(mod 53) alors 45106  1  10(mod 53) soit 44 N  10(mod 53) .
b.D’après 1.d. on a 47 est un inverse de 44 modulo 53 alors 47x44  1(mod53) ,
et en multipliant chacun des deux membres par N, obtient 47x44N  N(mod53) (*) .
Or on a 44 N  10(mod 53) ce qui donne 47x44N  470(mod53) (**)
(*) et (**) donnent N  470(mod 53)  N  46(mod53) .Puisque 0  46  53 alors le reste de N modulo
53 est 46.


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