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Étude des options à barrière partielle early-ending dans
un modèle Black-Scholes
Victor PEOC’H

125

120

115

110

105

100

95

90
0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

1

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Sommaire
Introduction

3

1 Évaluation des options à barrière early-ending
1.1 Équations X et Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Équation A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Équations B à H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Application : pricing d’un call down and out early-ending

.
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4
4
5
7
9

2 Étude numérique
11
2.1 Résultats préalables sur N2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Calcul du delta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3 Autres relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3 Implémentation VBA

14

Annexe 1

16

Annexe 2

17

Bibliographie

18

2

Introduction
Dans ce mémoire, nous allons étudier une catégorie d’options path-dependant que les investisseurs peuvent parfois échanger sur les marchés, les options à barrière dites early-ending. Ce
sont des produits dérivés procurant pour leur détenteur une couverture vis à vis de la hausse ou
de la baisse du prix d’un actif sous-jacent à une date finale. La garantie de l’obtention de cette
couverture est conditionnée par le franchissement ou le non franchissement de la barrière notée
H > 0 par le cours de cet actif durant la seule première partie de leur vie, à différentier donc des
options à barrière standard dont la barrière dure jusqu’à la fin. Ainsi il nous faudra distinguer
deux étapes de la vie de ces produits : la date d’expiration de la barrière et la date d’expiration
de l’option. Nous noterons la première t1 , à partir de cette date la barrière n’est plus active.
La deuxième date, ultérieure, sera notée t2 , c’est à cette date que le payoff de l’option sera
finalement délivré (à moins qu’il ne soit nul). Ainsi, on a 0 < t1 < t2 .
Il existe huit versions d’options à barrière early-ending : il y a les options d’achat (call) et
de vente (put), qui existent pour chacune en barrière haute ou basse (up ou down) et activante
ou désactivante (in ou out). Le caractère up ou down dépend de la position de la barrière à
la date de signature de l’option : c’est à dire si elle est au dessus ou en dessous du prix de
l’actif sous-jacent à cette date. Le caractère in ou out dépend lui du comportement de l’option
en cas de franchissement de cette barrière : si l’option est "in" la barrière est activante et il
est nécessaire qu’elle soit franchie par le cours de l’actif durant la première période -autrement
l’option ne rapporterait rien- et si l’option est "out" la barrière est désactivante il est nécessaire
que la barrière ne soit pas franchie.
Nous nous placerons dans le cadre du modèle Black-Scholes, nous considérerons donc que
le prix de l’actif sous-jacent de ces options suis un mouvement brownien géométrique dans
l’univers neutre au risque. En premier lieu nous évaluerons analytiquement les options, puis
nous calculerons le Delta d’une des option et nous implémenterons ces formules sur Excel avec
VBA.

3

1

Évaluation des options à barrière early-ending

Nous allons nous placer dans le cadre du modèle Black-Scholes, avec un actif sous-jacent S,
dont le cours suis un processus stochastique en temps continu qui est le mouvement brownien
géométrique. Le prix de S à la date t ≥ 0 est St . L’équation différentielle stochastique à laquelle
obéit ce cours est :
dSt = rSt dt + σSt dBt ,
r>0, σ>0
Nous allons prendre l’exemple d’un call down and out early-ending pour commencer. Dans ce
cas, la barrière partielle notée H devra être inférieure au prix initial S0 . Il s’agira d’une limite
à ne pas franchir durant toute la première partie, entre les temps 0 et t1 . Si le cours descend
sous H, l’option ne rapportera plus rien, et ceci prématurément, avant le temps t2 . De plus le
cours à la date finale St2 doit être supérieur au prix d’exercice K, et rapporte St2 − K qui est
alors positif. Si ce cours est inférieur à K l’option ne rapporte rien non plus. Le payoff est donc
défini par :
Payoff(CDO) : (St2 − K)1{ inf St ≥ H, St2 ≥ K}
0≤t≤t1

avec 1 la fonction indicatrice. Il s’agit d’une variable aléatoire qui dépend du chemin parcouru
par l’actif S (à noter qu’elle ne dépend pas du chemin parcouru entre t1 et t2 strictement). Dans
l’univers neutre au risque, la prime d’une option early-ending est égale à l’espérance actualisée
de son payoff.
Prime(CDO) : E[e−rt2 (St2 − K)1{ inf St ≥ H, St2 ≥ K}]
0≤t≤t1

où 0 < H < S0 et K > 0.
Par le même principe, la prime d’un put up and in early-ending sera :
Prime(PUI) : E[e−rt2 (K − St2 )1{ sup St ≥ H, St2 ≤ K}]
0≤t≤t1

où 0 < S0 < H et K > 0.
Pour calculer de telles primes, il nous faut montrer plusieurs résultats.

1.1

Équations X et Y

Pour évaluer les early-ending, nous seront confrontés à calculer des intégrales de cette forme :
Z +∞
(αx + β)2
1
√ exp(−
)N (x)dx , α > 0 , β ∈ R et γ ∈ R
(X) :
2

γ
Rx
2
où N (x) = −∞ √12π exp(− x2 )dx est la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite.
L’expression (X) doit au final amener à une fonction de la cumulative de la loi normale
Ra Rb
2
2
−2ρxy
bivariée N2 avec N2 (a, b, ρ) = −∞ −∞ √1 2 exp(− x +y
2(1−ρ2 ) )dydx. Nous allons la résoudre


1−ρ

grâce à plusieurs changements de variable :
Z +∞ Z x
1
(αx + β)2
y2
(X) :
exp(−
) exp(− )dydx
2
2
γ
−∞ 2π
4

X=−x

−γ

Z

−x

Z

=

−∞ −∞
−γ Z 0

1
(αx − β)2
y2
exp(−
) exp(− )dydx

2
2

1
(αx − β)2
(y − x)2
exp(−
) exp(−
)dydx
2
2
−∞ −∞ 2π
Z −αγ−β Z 0
2
(y − x+β
1
x2
X=αx−β 1
α )
=
exp(− ) exp(−
)dydx
α −∞
2
2
−∞ 2π
Z β
Z
β
(y − αx )2
Y =y− α
1 −αγ−β − α 1
x2
=
exp(− ) exp(−
)dydx
α −∞
2
2
−∞ 2π
!
Z β
Z
2
1+α2 2
2
1 −αγ−β − α 1
α2 x + y − α xy
dydx
=
exp −
α −∞
2
−∞ 2π
Y =y+x

Z

=

q
α2
Y = 1+α
2y

=

1
α

Z

En posant ρˆ =

−αγ−β

Z

−∞

q

q

α2
1+α2

−∞

1
1+α2 ,

1
=
α
=

β
−α

Z

r


1+α2 2
1 + α2
α2 x +
exp −
2
α

1+α2 2
α2 y



2
α

q

1+α2
α2 xy

2


 dydx

nous obtenons alors :

−αγ−β

−∞

1
N2
α

1


Z

−β

q

1
1+α2

−∞

−αγ − β ; −β

1


r

p

exp(−

1 − ρˆ2
r

1
;
1 + α2

Au final nous avons :
Z +∞
(αx + β)2
1
1
√ exp(−
)N (x)dx = N2
(X) :
2
α

γ

x2 + y 2 − 2ˆ
ρxy
dydx
2(1 − ρˆ2 )
!

1
1 + α2

r
−αγ − β ; −β

1
;
1 + α2

r

1
1 + α2

!

De même, en suivant ce même schéma de changement de variable, on obtient pour un domaine
d’intégration de moins l’infini à γ :
!
r
r
Z γ
1
(αx + β)2
1
1
1
√ exp(−
(Y) :
)N (x)dx = N2 αγ + β ; −β
; −
2
α
1 + α2
1 + α2

−∞

1.2

Équation A

Nous devons aussi calculer cette probabilité :
(A) : P[ inf Xt ≥ H, Xt2 ≥ K], H < 0, K ∈ R
0≤t≤t1

lorsque Xt = αt + βWt , avec β > 0, α un réel quelconque et Wt un mouvement brownien centré.
Ici Xt est en fait un mouvement brownien arithmétique avec un coefficient de diffusion positif.
Cette probabilité va nous être utile notamment pour l’évaluation des calls down and out, par
5

passage au logarithme. L’équation (A) se présente en huit versions, jusqu’à (H), avec un inf
ou un sup, plus grand ou plus petit que H et un Xt2 supérieur ou inférieur à K. L’annexe
1 récapitule ces équations avec leur solution. Elles serviront toutes pour évaluer les huit type
d’options.
Notons que l’évènement {inf 0≤t≤t1 Xt ≥ H, Xt2 ≥ K} est inclus dans {Xt1 ≥ H}. Si bien
que :
{ inf Xt ≥ H, Xt2 ≥ K} = { inf Xt ≥ H, Xt1 ≥ H, Xt2 ≥ K}
0≤t≤t1

0≤t≤t1

Cette nouvelle expression va nous permettre de "partitionner" l’évènement :
[
{ inf Xt ≥ H, Xt1 ≥ H, Xt2 ≥ K} =
{ inf Xt ≥ H, Xt1 = x, Xt2 ≥ K}
0≤t≤t1

x≥H

0≤t≤t1

Pour chaque x,
{ inf Xt ≥ H, Xt1 = x, Xt2 ≥ K}
0≤t≤t1

={ inf Xt ≥ H, Xt1 = x, Xt1 + α(t2 − t1 ) + β(Wt2 − Wt1 ) ≥ K}
0≤t≤t1

={ inf Xt ≥ H, Xt1 = x, Wt2 − Wt1 ≥
0≤t≤t1

K − α(t2 − t1 ) − x
}
β

Et nous voyons que ce dernier évènement est l’intersection de deux évènements indépendants
car tous deux fonctions d’acroissements disjoints du brownien W .
Ainsi donc nous réécrivons sous forme d’intégrale la probabilité (A) :
(A) : P[ inf Xt ≥ H, Xt2 ≥ K]
0≤t≤t1
Z +∞
K − α(t2 − t1 ) − x
=
]
P[ inf Xt ≥ H, Xt1 ∈ dx] × P[Wt2 − Wt1 ≥
0≤t≤t
β
1
H
A partir de là il nous est possible de trouver une expression analytique dans l’intégrande.
Tout d’abord pour le terme de droite il faut remarquer que Wt2 − Wt1 suit une loi normale
d’espérance nulle et de variance t2 − t1 , on trouve alors :
P[Wt2 − Wt1 ≥

K − α(t2 − t1 ) − x
x + α(t2 − t1 ) − K

] = N(
)
β
β t2 − t1

Pour le terme de gauche, on note pour K ≥ H :
F (K) = P[ inf Xt ≥ H, Xt1 ≥ K]
0≤t≤t1

Nous admettrons admise l’égalité suivante :
F (K) = N (

2αH
−K + αt1
−K + 2H + αt1


) − exp( 2 )N (
)
β
β t1
β t1

Ainsi pour x ≥ H,
P[ inf Xt ≥ H, Xt1 ∈ dx] = −
0≤t≤t1

6

∂F
(x)
∂K

1


1

=
β t1 2π



1 −x + 2H + αt1 2
1 −x + αt1 2
2αH


exp(− (
) ) − exp( 2 ) exp(− (
) )
2
β
2
β t1
β t1

∂F
En remplacant − ∂K
(x) dans l’intégrale, nous avons :

Z

+∞

1


1

β t1 2π

(A) :
H

2αH
− exp( 2 )
β

+∞

Z




1 −x + αt1 2
x + α(t2 − t1 ) − K


exp(− (
) N(
)dx
2
β t1
β t2 − t1



1
1 −x + 2H + αt1 2
x + α(t2 − t1 ) − K


√ exp − (
) N(
)dx
2
β t1 2π
β t1
β t2 − t1
1


H

−t )−K
√2 1
On voit qu’avec le changement de variable linéaire y = x+α(t
dans ces deux intégrales,
β t2 −t1
on peut se ramener à une forme similaire à ce qu’il y a dans l’équation (X). Sans détailler le
changement de variable puis l’application de (X), nous obtenons le résultat (A) suivant :
r 

αt1 − H αt2 − K
t1


(A) : P[ inf Xt ≥ H, Xt2 ≥ K] = N2
,
;
0≤t≤t1
t2
β t1
β t2
r 

2αH
t1
αt1 + H αt2 − K + 2H


− exp( 2 )N2
,
;
β
t2
β t1
β t2

On peut d’une manière similaire calculer le résultat P[inf t1 ≤t≤t2 Xt ≥ H, Xt2 ≥ K] qui sert
à évaluer une option à barrière forward-start. Le détail de ce calcul est présenté en annexe 2.

1.3

Équations B à H

Les probabilités (B) à (H) peuvent se résoudre de la même manière que pour (A), mais on
peut aussi les déduire de la première en utilisant plusieurs relations.
Tout d’abord on montre que la formule (B) s’obtient facilement à partir de (A) :
P[ sup Xt ≤ H, Xt2 ≤ K] = P[ inf −Xt ≥ −H, −Xt2 ≥ −K]
0≤t≤t1

0≤t≤t1

Et il suffit alors de remarquer que le processus −Xt = −αt−βWt suit la même loi que −αt+βWt ,
en effet un mouvement brownien Wt suit la même loi que son opposé −Wt . On n’a plus qu’à
appliquer (A) avec un α, un H et un K du signe opposé.
Pour les suivantes on doit démontrer un résultat sur la fonction de répartition de la loi
normale bivariée centrée réduite, qui est N2 (a, b, ρ) + N2 (a, −b, −ρ) = N (a) ∀a, b, ∀ρ ∈] − 1, 1[.
N2 (a, b, ρ) + N2 (a, −b, −ρ)
=

Z

1


p

1 − ρ2

a

−∞

=

+

b

x2 + y 2 − 2ρxy
exp(−
)dydx +
2(1 − ρ2 )
−∞

Z

1


p

Z

1 x2 − ρ2 x2
)
2 1 − ρ2

Z

1 x2 − ρ2 x2
)
2 1 − ρ2

Z

exp(−

1 − ρ2

1
p
2π 1 − ρ2

a

−∞

Z

a

exp(−
−∞

7

Z

a

−∞

!
x2 + y 2 + 2ρxy
exp(−
)dydx
2(1 − ρ2 )
−∞

Z

−b

b

exp(−
−∞
−b

exp(−
−∞

1 (y − ρx)2
)dydx
2 1 − ρ2

1 (y + ρx)2
)dydx
2 1 − ρ2

=

+

1
p
2π 1 − ρ2

Z

1

Z



p

1 − ρ2

a

x2
)
2

Z

x2
)
2

Z

exp(−
−∞
a

exp(−
−∞

En faisant le changement de variable Y =

b

exp(−
−∞

√y−ρx2
1−ρ

−b

exp(−
−∞

1 (y − ρx)2
)dydx
2 1 − ρ2

1 (y + ρx)2
)dydx
2 1 − ρ2

dans la première intégrale et Y = √y+ρx2 dans
1−ρ

la deuxième on arrive à :
Z a
Z a
1
x2
x2
1
b − ρx
−b + ρx

exp(− )N ( p
exp(− )N ( p
)dx + √
)dx
2
2
2
2π −∞
2π −∞
1−ρ
1 − ρ2
!
Z a
1
−b + ρx
x2
b − ρx
=√
) + N(p
) dx = N (a)
exp(− ) N ( p
2
2π −∞
1 − ρ2
1 − ρ2
De plus on a N2 (a, b, ρ) = N2 (b, a, ρ) pour tous a, b et ρ, on en déduit donc aussi que N2 (a, b, ρ)+
N2 (−a, b, −ρ) = N (b)
Pour la (C) on va décomposer la probabilité en deux autres connues :
P[ inf Xt ≥ H, Xt2 ≤ K] = P[ inf Xt ≥ H] − P[ inf Xt ≥ H, Xt2 ≥ K]
0≤t≤t1

0≤t≤t1

0≤t≤t1

= P[ inf Xt ≥ H, Xt1 ≥ H] − P[ inf Xt ≥ H, Xt2 ≥ K]
0≤t≤t1

0≤t≤t1

r 

H + αt1
t1
2αH
αt1 − H αt2 − K
−H + αt1




) − exp( 2 )N (
) − N2
,
;
= N(
β
t2
β t1
β t1
β t1
β t2
r 

2αH
αt1 + H αt2 − K + 2H
t1


+ exp( 2 )N2
,
;
β
t2
β t1
β t2
On peut alors appliquer N (a) − N2 (a, b, ρ) = N2 (a, −b, −ρ) et on obtient :


αt1 − H −αt2 + K


(C) : P[ inf Xt ≥ H, Xt2 ≤ K] = N2
,
;−
0≤t≤t1
β t1
β t2
r 

2αH
t1
αt1 + H −αt2 + K − 2H


− exp( 2 )N2
,
;−
β
t2
β t1
β t2

r

t1
t2



Le résultat (D) s’obtient à partir de (C) en passant par l’opposé de Xt , comme nous avons
fait pour (B).
Les résultats (E) à (H) s’obtiennent grâce à une nouvelle décomposition faisant intervenir
(A) à (D), on ne montrera que la (E) :
P[ inf Xt ≤ H, Xt2 ≥ K] = P[Xt2 ≥ K] − P[ inf Xt ≥ H, Xt2 ≥ K]
0≤t≤t1

0≤t≤t1

= N(

αt2 − K

) − N2
β t2



αt1 − H αt2 − K


,
;
β t1
β t2

8

r

t1
t2



r 

2αH
αt1 + H αt2 − K + 2H
t1


+ exp( 2 )N2
,
;
β
t2
β t1
β t2
r 
r 


αt1 + H αt2 − K + 2H
t1
2αH
t1
−αt1 + H αt2 − K




+ exp( 2 )N2
= N2
,
;−
,
;
t2
β
t2
β t1
β t2
β t1
β t2
De même, la (F) se trouve grâce à la (B) de cette façon, ... Toutes ces formules sont résumées
en annexe 1.

1.4

Application : pricing d’un call down and out early-ending

En reprenant l’exemple du CDO, il faut donc trouver :
E[e−rt2 (St2 − K)1{ inf St ≥ H, St2 ≥ K}]
0≤t≤t1

=e

−rt2

=e

−rt2




E[St2 1{ inf St ≥ H, St2 ≥ K}] − KE[1{ inf St ≥ H, St2 ≥ K}]
0≤t≤t1

0≤t≤t1

(E1 − KE2 )

L’espérance E2 est l’espérance d’une fonction indicatrice d’un évènement, et est donc aussi égale
σ2
à la probabilité de cet évènement. De plus St = S0 e(r− 2 )t+σBt , en passant au logarithme on a :
E2 = P[ inf S0 e(r−

σ2
2

)t+σBt

0≤t≤t1

= P[ inf (r −
0≤t≤t1

≥ H, S0 e(r−

σ2
2

)t2 +σBt2

≥ K]

σ2
H
σ2
K
)t + σBt ≥ ln ( ), (r −
)t2 + σBt2 ≥ ln ( )]
2
S0
2
S0

On peut alors directement trouver E2 en appliquant (A) car ici on a un brownien arithmétique
et on a bien supposé que σ, le coefficient de diffusion, est strictement positif. De plus ln( SH0 ) < 0.
Pour E1 , nous nous retrouvons dans le cas d’une application directe du théorème de Girsanov,
en effet :


Z
Z t2
1 t2 2
rt2
E1 = e S0 E[exp −
σ dt +
σdBt 1{ inf St ≥ H, St2 ≥ K}]
0≤t≤t1
2 0
0
On définit un nouveau brownien Wt = Bt − σt ⇔ Bt = Wt + σt,
E1 = ert2 S0 P[ inf (r +
0≤t≤t1

σ2
H
σ2
K
)t + σWt ≥ ln ( ), (r +
)t2 + σWt2 ≥ ln ( )]
2
S0
2
S0

Et là encore il nous suffit d’appliquer (A). Au final e−rt2 (E1 − KE2 ) est égal à :
r !
2
2
(r + σ2 )t1 + ln SH0 (r + σ2 )t2 + ln SK0
t1


(CDO) : S0 N2
,
,
t2
σ t1
σ t2
H 2r
−S0 ( ) σ2 +1 N2
S0

(r +

σ2
2 )t1

+ ln SH0 (r +

,
σ t1
9

σ2
2 )t2

+ ln SK0 + 2 ln SH0

,
σ t2

r

t1
t2

!

−Ke−rt2 N2

+Ke

−rt2

H 2r
( ) σ2 −1 N2
S0

(r −

σ2
2 )t1

(r −

σ2
2 )t1

2

+ ln SH0 (r − σ2 )t2 + ln SK0


,
,
σ t1
σ t2
+ ln SH0 (r −

,
σ t1

σ2
2 )t2

r

t1
t2

!

+ ln SK0 + 2 ln SH0

,
σ t2

r

t1
t2

!

Selon ce même principe, il est possible de pricer les sept autres options early-ending, en
appliquant les formules (B) à (H) et en utilisant le théorème de Girsanov.

10

2
2.1

Étude numérique
Résultats préalables sur N2

Pour une option dont la prime est P , le delta ∆ est donné par la dérivée partielle de P par
S0 . Cela donne une idée du sens de variation de cette prime au prix actuel du sous-jacent.
Au vu de la formule que nous avons obenu, on voit que le delta ne sera pas facile à calculer.
Nous n’allons montrer que le delta du call down and out. Pour cela il nous faut savoir les dérivées
∂N2
2
partielles de N2 que l’on notera ∂N
∂x1 et ∂x2 :
∂N2

(a, b, ρ) =
∂x1
∂a

Z

a

−∞

Z

b

!
x2 + y 2 − 2ρxy
p
exp(−
)dydx
2(1 − ρ2 )
2π 1 − ρ2
1

−∞
b

a2 + y 2 − 2ρay
)dy
2(1 − ρ2 )
2π 1 − ρ2 −∞
Z b
1 (y − ρa)2
1 a2 − ρ2 a2
1
p
)
exp(−
)dy
exp(−
=
2 1 − ρ2
2 1 − ρ2
2π 1 − ρ2
−∞
1

=

p

Y = √y−ρa2
1−ρ

=

Z

exp(−

b − ρa
1
a2
√ exp(− )N ( p
)
2

1 − ρ2

De plus on sait que N2 (a, b, ρ) = N2 (b, a, ρ), d’où :
b2
a − ρb
∂N2
1
∂N2
(a, b, ρ) =
(b, a, ρ) = √ exp(− )N ( p
)
∂x2
∂x1
2

1 − ρ2
Une application du théorème de dérivation en chaîne sur N2 donne : Soit f et g : R → R deux
fonctions dérivables alors :
Si F (x) = N2 (f (x), g(x), ρ)
alors F est dérivable et
F 0 (x) = f 0 (x)

2.2

∂N2
∂N2
(f (x), g(x), ρ) + g 0 (x)
(f (x), g(x), ρ)
∂x1
∂x2

Calcul du delta

Nous ne calculerons que le delta du call à barrière early-ending down and out.
∂P
. Après application des résultats précédents, nous obtenons cette longue expression,
On a ∆ = ∂S
0
pour S0 > H :
r
r
t1
2r 2r2 +1 − σ2r2 −1
t1
∆(CDO) = N2 (a1 , c1 ,
) + 2Hσ
S0
N2 (b1 , d1 ,
)
t2
σ
t2
r
2r
− σ2r2
2r
t1
−1
−rt2
2
+e
K(1 − 2 )H σ
S0 N2 (b2 , d2 ,
)
σ
t2

11

r
r
1 ∂N2
t1
t1
1 ∂N2
+ √
(a1 , c1 ,
)+ √
(a1 , c1 ,
)
t2
t2
σ t1 ∂x1
σ t2 ∂x2
r
r 

1 ∂N2
1 ∂N2
t1
t1
H 2r2 +1

(b1 , d1 ,
)+ √
(b1 , d1 ,
)
+( ) σ
S0
t2
t2
σ t1 ∂x1
σ t2 ∂x2
r
r 

e−rt2
1 ∂N2
1 ∂N2
t1
t1

−K
(a2 , c2 ,
)+ √
(a2 , c2 ,
)
S0
t2
t2
σ t1 ∂x1
σ t2 ∂x2
r
r 

2r
− σ2r2
1 ∂N2
1 ∂N2
t1
t1
−1
−rt2
2


−Ke
S0
(b2 , d2 ,
)+ √
(b2 , d2 ,
)
t2
t2
σ t1 ∂x1
σ t2 ∂x2
Avec :
a1 =

b1 =
c1 =

d1 =

(r +

(r +

σ2
2 )t1



+ ln SH0

σ t1
(r +

σ2
2 )t1



+ ln SH0

σ t1
(r +


, a2 = a1 − σ t1

, b2 = b1 − σ t1

2


)t2 + ln SK0

, c2 = c1 − σ t2
σ t2

σ
2

σ2
2 )t2

+ ln SK0 + 2 ln SH0


, d2 = d1 − σ t2
σ t2

On peut aussi obtenir une estimation numérique correcte du delta en calculant l’accroisse(S0 )
ment P (S0 +h)−P
pour de petites valeurs de h, avec un priceur.
h

2.3

Autres relations

Homogénéité de la prime Il ne s’agit pas d’une vraie homogénéité, mais la prime des options
à barrière early-ending vérifie la relation suivante :
1
1
Prime(aS0 , r, √ σ, at1 , at2 , aH, aK)
a
a
= a × Prime(S0 , r, σ, t1 , t2 , H, K), ∀a > 0
Parité In/Out Les options à barrière early-ending vérifient la relation In/Out qui est qu’une
option early-ending dont la barrière est désactivante peut être répliquée grâce à une early-ending
à barrière activante et une option vanille, et réciproquement.
Autrement dit le payoff d’une option early-ending "in" plus le payoff d’une "out" donne le
payoff d’une vanille. Il faut toutefois choisir deux calls (ou deux puts), avoir la même barrière
H, avoir le même strike K et naturellement elles doivent être sur le même actif, qui a donc
nécessairement le même prix de départ S0 , et sur les mêmes temps. La barrière est alors ignorée
puisque dans tout les cas, le cours du sous-jacent aura ou non dépassé la barrière. Ainsi l’une
des deux options early-ending sera annulée, alors que l’autre non.

12

Par exemple pour un call down and out et un call down and in :
Payoff(CDO) + Payoff(CDI)
= (St2 − K)1{ inf St ≥ H, St2 ≥ K} + (St2 − K)1{ inf St ≤ H, St2 ≥ K}
0≤t≤t1
0≤t≤t1


= (St2 − K) 1{ inf St ≥ H, St2 ≥ K} + 1{ inf St ≤ H, St2 ≥ K}
0≤t≤t1

0≤t≤t1

Les deux évènements dans les deux dernières indicatrices étant presque sûrement disjoints,
on peut simplifier cette expression en notant que 1{A} + 1{B} = 1{A ∪ B} lorsque A et B sont
presque sûrement disjoints. Donc on se ramène à :
[
= (St2 − K)1{ inf St ≥ H, St2 ≥ K
inf St ≤ H, St2 ≥ K}
0≤t≤t1

0≤t≤t1

= (St2 − K)1{St2 ≥ K}
Ce qui est donc égal au payoff d’un call vanille de strike K et d’échéance t2 , sur le même actif
S. Un portefeuille avec deux early-ending in et out de paramètres identiques dupliquera une
option vanille. De même une vanille accompagnée d’une out en position courte dupliquera une
in en position longue.
Comparaison avec d’autres options Les options early-ending sont moins chères que les
options vanille de mêmes paramètres, mais plus chères que les options à barrière permanente.
Cela est dû à la condition plus ou moins restrictive dans l’indicatrice de leur payoff. On va le
montrer pour le call down and out. Si A ⊂ B alors 1{A} ≤ 1{B} ce qui justifie les inégalités
suivantes :
1{ inf St ≥ H} ≤ 1{ inf St ≥ H} ≤ 1{Ω}
0≤t≤t2

0≤t≤t1

Puis on multiplie par (St2 − K)1{St2 ≥ K} et on simplifie car 1{A}1{B} = 1{A ∩ B}
(St2 −K)1{ inf St ≥ H, St2 ≥ K} ≤ (St2 −K)1{ inf St ≥ H, St2 ≥ K} ≤ (St2 −K)1{St2 ≥ K}
0≤t≤t2

0≤t≤t1

Cette relation est vraie pour les call down and out, elle est vraie aussi pour les huit autres types
d’options à condition d’avoir une barrière cohérente avec le strike, par exemple on ne pourra
pas comparer un put down and out early-ending si K < H, car il n’existe pas d’équivalent à
barrière permanente.

13

3

Implémentation VBA

Sous un angle pratique, le but de l’évaluation analytique des options est de pouvoir fixer
automatiquement le prix d’une option sur les marchés, ou bien de faire des études statistiques
sur des données, grâce à une implémentation des formules sur ordinateur qui se chargeront
alors de réaliser rapidement les calculs. Dans ce mémoire nous utiliserons l’environnemnent de
développement VBA d’Excel, qui possède une interface simple afin qu’il soit facile de rentrer
des valeurs. Chaque variable d’entrée doit être rentrée dans la case bleue prévue à cet effet. Il
est nécessaire de rentrer des valeurs adéquates, par exemple choisir une volatilité strictement
positive, des barrières/strikes au dessus de zéro... Le priceur devine automatiquement si l’option
est up ou down, simplement en comparant S0 à H. Mais il faut indiquer si c’est un put ou un
call que l’on évalue, et dire s’il est in ou out, en tapant la lettre correspondante.

Pour obtenir ce priceur, il fallait trouver un moyen pour Excel d’obtenir une valeur très
précise de N2 (a, b, ρ) pour n’importe quel a, b, et ρ, en effet les évaluations ne dépendent presque
que de ça ! Nous avons donc implémenté l’algorithme de Drezner et Wesolowski qui offre une
très bonne précision, il se présente sous la fonction n2dw.
Les fonctions xta à xth ont été implémentées, correspondant aux huit formules (A) à (H),
donnant une probabilité en fonction de α, β, t1 , t2 , H et K. La moitié de ces fonctions sont
calculées à partir de l’autre moitié, puisqu’elle ne diffèrent parfois que d’un signe moins. Par
exemple, la fonction xta est codée comme suit :
Function xta(a As Double, b As Double, t1 As Double, _
t2 As Double, h As Double, k As Double) As Double
xta = n2dw((a * t1 - h) / (b * Sqr(t1)), (a * t2 - k) / (b * Sqr(t2)), Sqr(t1 / t2))
xta = xta - Exp((2 * a * h) / (b * b)) * _
n2dw((a * t1 + h) / (b * Sqr(t1)), (a * t2 - k + 2 * h) / (b * Sqr(t2)), Sqr(t1 / t2))
End Function

Et la fonction xtb comme suit :
Function xtb(a As Double, b As Double, t1 As Double, _
t2 As Double, h As Double, k As Double) As Double
xtb = xta(-a, b, t1, t2, -h, -k)
End Function

14

Ensuite on a crée les fonctions cdo à cui, qui sont les formules des primes. Elles utilisent elles
mêmes ces huit dernières fonctions deux fois chacunes, avec seul le coefficient de dérive qui change
à chaque appel. Cela est dû au changement de probabilité utilisé lors de la démonstration de la
prime.
Function cdo(s0 As Double, r As Double, s As Double, t1 As Double, _
t2 As Double, h As Double, k As Double) As Double
cdo = s0 * Exp(r * t2) * xta(r + (s * s) / 2, s, t1, t2, Log(h / s0), Log(k / s0))
cdo = cdo - k * xta(r - (s * s) / 2, s, t1, t2, Log(h / s0), Log(k / s0))
cdo = Exp(-r * t2) * cdo
End Function

Enfin, la fonction price, la dernière fonction, est utilisée pour vérifier les valeurs de l’utilisateur
sur le tableur, déterminer quelle est parmi les huit options celle qui va être prise en compte et
renvoyer la prime de l’option correspondante.

15

Annexe 1
Cette annexe récapitule les huit formules principales abordées dans les parties 1.2 et 1.3.
Soit Xt = αt + βWt un mouvement brownien arithmétique, avec β > 0 et Wt un mouvement
brownien centré. Soit K ∈ R, et H > 0 dans le cas d’un sup et H < 0 dans le cas d’un inf.
r 

t1
αt1 − H αt2 − K


,
;
(A) : P[ inf Xt ≥ H, Xt2 ≥ K] = N2
0≤t≤t1
t2
β t1
β t2
r 

αt1 + H αt2 − K + 2H
2αH
t1


,
;
− exp( 2 )N2
β
t2
β t1
β t2
r 

−αt1 + H −αt2 + K
t1


(B) : P[ sup Xt ≤ H, Xt2 ≤ K] = N2
,
;
t2
β
t
β
t
0≤t≤t1
1
2
r 

−αt1 − H −αt2 + K − 2H
t1
2αH


− exp( 2 )N2
,
;
β
t2
β t1
β t2
r 

t1
αt1 − H −αt2 + K


,
;−
(C) : P[ inf Xt ≥ H, Xt2 ≤ K] = N2
0≤t≤t1
t2
β t1
β t2
r 

2αH
t1
αt1 + H −αt2 + K − 2H


− exp( 2 )N2
,
;−
β
t2
β t1
β t2
r 

t1
−αt1 + H αt2 − K


,
;−
(D) : P[ sup Xt ≤ H, Xt2 ≥ K] = N2
t2
β t1
β t2
0≤t≤t1
r 

2αH
t1
−αt1 − H αt2 − K + 2H


− exp( 2 )N2
,
;−
β
t2
β t1
β t2
r 

t1
−αt1 + H αt2 − K


(E) : P[ inf Xt ≤ H, Xt2 ≥ K] = N2
,
;−
0≤t≤t1
t2
β t1
β t2
r 

αt1 + H αt2 − K + 2H
t1
2αH


,
;
+ exp( 2 )N2
β
t2
β t1
β t2
r 

t1
αt1 − H −αt2 + K


(F) : P[ sup Xt ≥ H, Xt2 ≤ K] = N2
,
;−
t2
β
t
β
t
0≤t≤t1
1
2
r 

2αH
t1
−αt1 − H −αt2 + K − 2H


+ exp( 2 )N2
,
;
β
t2
β t1
β t2
r 

−αt1 + H −αt2 + K
t1


(G) : P[ inf Xt ≤ H, Xt2 ≤ K] = N2
,
;
0≤t≤t1
t2
β t1
β t2
r 

2αH
αt1 + H −αt2 + K − 2H
t1


+ exp( 2 )N2
,
;−
β
t2
β t1
β t2
r 

αt1 − H αt2 − K
t1


(H) : P[ sup Xt ≥ H, Xt2 ≥ K] = N2
,
;
t2
β t1
β t2
0≤t≤t1
r 

2αH
−αt1 − H αt2 − K + 2H
t1


+ exp( 2 )N2
,
;−
β
t2
β t1
β t2

16

Annexe 2
Évaluer des options à barrière early-ending nous amène à s’intéresser à d’autres types d’options assez similaire : les options à barrière forward-start. Le payoff de ces options est, comme
les early-ending, similaire à des options vanille mais avec une condition qui est que le cours de
l’actif sous-jacent doit ou ne doit pas franchir un limite durant la deuxième partie de la vie de
l’option, autrement l’option ne rapporte rien. Au lieu de [t0 , t1 ], c’est l’intervalle de temps [t1 , t2 ]
qui compte. Ce sont donc également des options path-dependant et elles se déclinent aussi en
huit possibilités. Par exemple le payoff d’un call forward-start down and out est le suivant :
(St2 − K)1{ inf

t1 ≤t≤t2

St ≥ H, St2 ≥ K} , K ≥ H

La probabilité que nous voudrions savoir est alors celle ci :
P[ inf

t1 ≤t≤t2

Xt ≥ H, Xt2 ≥ K]

A titre d’exemple nous ne montrerons qu’elle :
Z +∞
P[ inf Xt ≥ H, Xt2 ≥ K] =
P[Xt1 ∈ dx]P[ inf
t1 ≤t≤t2

Z

t1 ≤t≤t2

H

Xt2 − Xt1 ≥ H − x, Xt2 ≥ K − x]

+∞

=

P[
H
Z +∞

inf

0≤t≤t2 −t1

Xt2 −t1 ≥ H − x, Xt2 −t1 ≥ K − x]P[Xt1 ∈ dx]

∂P[Xt1 ≤ x]
dx
Xt2 −t1 ≥ H − x, Xt2 −t1 ≥ K − x]
P[ inf
0≤t≤t2 −t1
∂x
H

Z +∞ 
2α(H − x)
x − K + α(t2 − t1 )
x − K + 2H − 2x + α(t2 − t1 )


=
) − exp(
)
N(
)N
(
β2
β t2 − t1
β t2 − t1
H

=

×

∂N x − αt1
( √ )dx
∂x β t1

Une fois que nous en sommes là, il suffira de développer l’intégrale, et après simplification et un
changement de variable nous nous retrouverons avec une intégrale de type (X). Le résultat final
donne :
r 

αt1 − H αt2 − K
t1


P[ inf Xt ≥ H, Xt2 ≥ K] = N2
,
;
t1 ≤t≤t2
t2
β t1
β t2
r 

2αH
−αt1 − H αt2 − K + 2H
t1


− exp( 2 )N2
,
;−
β
t2
β t1
β t2
Par suite, on pourra déterminer la prime de l’option forward-start en utilisant ce résultat
avec le théorème de Girsanov.

17

Bibliographie
Jakub Stoklosa, Studies of Barrier Options and their Sensitivities, December 10, 2007
http ://www.ms.unimelb.edu.au/publications/StoklosaJakub.pdf
Graeme West, Better Approximations to Cumulative Normal Functions, Wilmott Magazine,
p 70-76, May 2005
http ://finmod.co.za/
Peter Carr and Andrew Chou, Hedging Complex Barrier Options, April 1, 1997
http ://www.math.nyu.edu/research/carrp/papers/pdf/multipl3.pdf

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