Algebre1 CF Correction 2012 .pdf


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Université Mohammed V – Agdal
Faculté des Sciences Juridiques,
Économiques et sociales
RABAT

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http://www.fsjesr.ac.ma

Filière de Sciences Économiques et de Gestion
Semestre
Module
Matière
Session
Sections
Responsable de la matière

:
:
:
:
:
:

S3
M 12 (Méthodes Quantitatives III)
ALGEBRE I
Automne-hiver, 2012-2013
C et D
Salma DASSER

Contrôle final
Durée : 2h
Les documents et les portables ne sont pas autorisés.
La calculatrice est à usage strictement personnel.

Toute réponse doit être justifiée.
La présentation de la copie est notée sur 2 points.

2 qui sont de la forme :

Exercice 1 (6 points)
♦ Soit

l’ensemble des matrices

1) Montrer que toute matrice
sont à déterminer.

de

de

peut s’écrire sous la forme

2) En déduire que

est un sous espace vectoriel de

1
0

3) Les matrices

1 0
,!
0 1

"1
et $
0

#

1 0
% : 0 0 ' 1;
0 1
0 "1
(
1
1 0

,

1
1

0
1

, ,

0 1
, #
"1 0
"1 ;

0
1

!
$

4) Les matrices ! et # forment-elles une base de ?

1
;
1

5) Les matrices ! et $ forment-elles une base de ?

Professeure Salma DASSER

2 ( :!

;$

1/4

1
0

1 0
1 1

0 1
"1 0
2 1
1 2

2
1

(

0 1
"1 0

(

,

, où les matrices et
1 pt

2 dont on donnera une base.

!, # est lié, ce n'est donc pas une base: !

!, $ est libre donc une base dim

;

1
1

1
sont-elles dans ?
2
1

"

"1
0
1

1

"1
0

2;
: ;
00
<=
>
": ; 2;
00

1 pt

2 pts

1

"#

1 pt

1 pt

00
<:
00

;

0

Session automne-hiver 2013

[Semestre : S3, Module M12, Matière : Algèbre I]

Correction du Contrôle final

Exercice 2 (14 points) (Les parties I, II et III peuvent être traitées indépendamment)
I.

Dans

?

muni de sa base canonique #@
1,1,0 ;
A

1) Vérifier que #

A,

#

A,

B,

B,

?

?

B

A, B, ?

est une base de

?

, on considère les vecteurs :
1, "1,1 ; ?
0,1,1

.

0,5 pt

1 1 0
#/#@ ' 0 ( D1 "1 1D ' 0
0 1 1

est une base car det

2) Ecrire la matrice de passage EFGF et déterminer la matrice de passage EFFG .
EFGF

II.

Dans

#/#@

1
H1
0

3 , on donne la matrice !N

1) Calculer le rang des matrices !B O
!B

1 0
"1 1I et EFFG
1 1

"1 1 "1
H 1 "1 1 I : PQ !B
"1 1 "1
2 1
H1 2
"1 1

"1
1 I : PQ !LA
2

1

1"O
H 1
"1

1
1"O
1

2 et !LA O

puisque :

JEFGF K

"1 .

det !B
SPQ !B
PQ U

LA

"1
1 I,
1"O

1,5 pts

1 "1
1 2
H 1 "1 1 I
3
"1 1
2

m ∈ IR

0 $A $B < PQ !B T 2
PQ U , V W U
$A , $B , $? X
1 ( $A $? "$B
$?

$B < PQ !LA T 2
X

2) Montrer que la matrice !N est inversible si et seulement si O % "1,2 .

2 pts

!LA

1"O
D 1
"1

1"O
D 1
0

1
1"O
1

1
1"O
2"O

Professeure Salma DASSER

2

det !LA 0 $A
puisque : Y
2 1
et Z
Z'0
1 2

2 pts

!N est inversible ssi det !N ' 0 ssi O ' 2 et O ' "1 :

"1
1"O
\? ] \? \B D 1
1 D ^^^^^^^^^^^^^^^^^
1"O
0

"2
OD
0

1"O
" 2"O Z
1

"2
Z
O

1
1"O
2"O

"1
1"O
$? ] $? " $B D 1
1 D ^^^^^^^^^^^^^^^^^
2"O
0

" 2"O O 1"O

2/4

2

1
1"O
2"O

" O"2

B

O

"2
OD
0
1

Session automne-hiver 2013

[Semestre : S3, Module M12, Matière : Algèbre I]

Correction du Contrôle final

Soit _ l'endomorphisme de ? défini par :
?
` a, b, c
: _N a, b, c
J 1"O a

III.

b " c, a

1"O b

_N / #@ , #@ , #@ étant la base canonique de

1) Ecrire la matrice

1"O
H 1
"1

_N / #@ , #@

1
1"O
1

?

c, "a

.

"1
1 I
1"O

S

_N
1,1,0
X
1, "1,1 : e_N
0,1,1
_N

B
?

J 1"O

A

1,1

1 " O , "1

J 1 " O " 1 " 1,1 " 1 " O

B

J1 " 1, 1 " O 1

?

< $N

_N / #, #

1K

1 " O cK

1 pt

!N

2) Déterminer la matrice $N
_N / #, # par un calcul direct.
#
;
;
étant
la
base
donnée
en I : A
1,1,0 ; B
1, "1,1 ;
A
B
?
A

b

?

2"O

1, "1 " 1

A

0,1,1

1"O K

1,1
1"O K
2"O ?
2"O
0
0
H 0
"1 " O
0 I
0
0
2"O

1 pt
" 1

O

3) Pour quelles valeurs du paramètre O, l’endomorphisme _N est-il bijectif ?

1 pt

4) Pour O

1,5 pt

_N est bijectif ssi !N
_N est bijectif ssi $N

B

X

_N / #@ , #@ est inversible ssi det !N ' 0 ssi O ' 2 O ' "1 voir II‐2
_N / #, # est inversible ssi det $N ' 0 ssi O ' 2 O ' "1 voir III‐2

"1, déterminer une base de
_LA a, b, c

P _LA et en déduire PQ _LA .

b 2c :
2a b " c 0
a, b, c
P _LA ssi _LA a, b, c
0,0,0 ssi Ya 2b c 0X
"a b 2c
1 2a b " c 0
1
2
3a 3b 0
b "a
a
X j Yb "aX
c a
2 Y a 2b c 0 X j
2
Y c "a " 2b X j k
"a " a 2a 0
"a b 2c 0
3 "a b 2c 0
3
c a
P _LA
1, "1,1

5) Pour O
O _B

PQ _LA

2a

b " c, a

2 ( PQ _LA

2b

dim

c, "a

P _LA

2, déterminer une base de O _B et en déduire PQ _B .

_B

PQ VA , VB , V?

Professeure Salma DASSER

A

, _B

_B a, b, c

B

1 ( VA

, _B

?

V?

"a
VA
V
( S B
V?
"VB <

PQ _B

dim

?

1,5 pt

b " c, a " b c, "a b " c :
_B A
"1,1, "1
_B B
1, "1,1 X
dim O _B
PQ VA , VB , V?
_B ?
"1,1, "1
dim O _B
1
VA est une base de O _B
VA

1 ( PQ _LA l dim O _B

3/4

Session automne-hiver 2013

[Semestre : S3, Module M12, Matière : Algèbre I]
6) Pour O

1 et #

A;

B;

a. Déterminer la matrice
S

A

B
?

_A
1,1,0
X
1, "1,1 ( S_A
0,1,1
_A

b. Retrouver
_A / #@ , #@

_A / #, #

Professeure Salma DASSER

Correction du Contrôle final

?

la base donnée en I :

A

1,1,0 ;

_A / #, # par un calcul direct.

B

_A a, b, c
b " c, a c, "a b :
1,1,0
A
A
"2,
2,
"2
"2 B X <
_A / #, #
B
0,1,1
?
?

1, "1,1 ;

_A / #, # en utilisant la formule de changement de bases.
_A a, b, c
b " c, a c, "a b :
0 1 "1
1 1 0
H 1 0 1 I , EFGF H1 "1 1I et EFFG
"1 1 0
0 1 1

EFFG m

après calcul

_A / #@ , #@ m EFGF oppppppq

4/4

1
H0
0

0,1,1

?

1 pt

0 0
"2 0I
0 1
1 pt

1 "1
1 2
H 1 "1 1 I
3
"1 1
2
1 0 0
_A / #, #
H0 "2 0I
0 0 1

Session automne-hiver 2013


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