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Université Mohammed V – Agdal
Faculté des Sciences Juridiques,
Economiques et sociales
RABAT

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http://www.fsjesr.ac.ma

Filière de Sciences Économiques et de Gestion
Semestre
Module
Matière

:
:
:

S3
M 12 (Méthodes Quantitatives III)
Algèbre I

Syllabus
Objectif du cours
Introduire l’étudiant à l’algèbre linéaire par des notions sur les espaces vectoriels et les
applications linéaires ainsi que sur le calcul matriciel.

Pré-reqcuis recommandé

Mode d’évaluation

Calcul dans
Notions élémentaires sur les ensembles

Contrôle final (2h)
contrôle de rattrapage (1h30)

Déroulement du cours

Support du cours

Cours magistraux (26h)
Travaux dirigés (14h)

Polycopié du cours
Séries d’exercices corrigés

Contenu du cours
Chapitre 1 : Espaces vectoriels réels
I- Structure d’espace vectoriel réel
II- Sous espaces vectoriels
III- Combinaison linéaire - Système générateur
IV- Système libre - système lié
V- Ordre et rang d’un système de vecteurs
VI- Base d’un espace vectoriel
VII- Espace vectoriel de dimension fini

Chapitre 3 : Matrices
I- Généralités (définition, matrices particulières)
II- Matrices carrées
III- Opérations sur les matrices
IV- Matrice inverse : Méthode de Gauss-Jordan
V- Matrice associée à un système de vecteurs
VI- Matrice d’une application linéaire
VII- Changement de base

Chapitre 2 : Applications linéaires
I- Définitions et généralités
II- Opérations sur les applications linéaires
III- Image et image réciproque
IV- Noyau et image d’une application linéaire
V- Applications linéaires injectives et surjectives
VI- Rang d’une application linéaire

Chapitre 4 : Calcul de déterminants
I- Calcul d’un déterminant d’ordre n
II- Propriétés des déterminants
III- Inversion d’une matrice par la méthode des
cofacteurs
IV- Rang d’une matrice, Rang d’une application
linéaire

Professeure Salma DASSER

Session Automne-hiver

1

[S3, Module M12, Matière : Mathématiques II]

Chapitre 1 : espace vectoriel réel

CHAPITRE 1 : ESPACE VECTORIEL RÉEL

I- Structure d’espace vectoriel réel .............................................................................................................. 2
I-1 L’espace vectoriel IRn...................................................................................................................................... 2
I-2 Espace vectoriel réel ........................................................................................................................................ 2
I-3 Propriétés ......................................................................................................................................................... 3

II- Sous espaces vectoriels ............................................................................................................................ 4
II-1 Définition et propriétés .................................................................................................................................. 4
II-1-1 Définition ......................................................................................................................................................................... 4
II-1-2 Propriétés : ....................................................................................................................................................................... 4

II-2 Intersection de sous espaces vectoriels ......................................................................................................... 4
II-3 Somme de sous espaces vectoriels ................................................................................................................. 5

III- Combinaison linéaire - système générateur ......................................................................................... 7
III-1 Combinaison linéaire.................................................................................................................................... 7
III-2 Système générateur ...................................................................................................................................... 7

IV- Système libre - système lié...................................................................................................................... 8
V- Ordre et rang d’un système de vecteurs .................................................................................................. 9
VI- Base d’un espace vectoriel ................................................................................................................... 10
VII- Espace vectoriel de dimension fini..................................................................................................... 11

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1

[S3, Module M12, Matière : Mathématiques II]

Chapitre 1 : espace vectoriel réel

I- Structure d’espace vectoriel réel
I-1 L’espace vectoriel IRn
Définition :
Les éléments de

Définition :
On peut définir sur
,

sont des suites finies de n termes réels :
, ,…,
,
, ,…,

une loi de composition interne, l'addition, notée + par :
, ,…,
, ,…,
,
,…,

Propriétés de l'addition :
Elle est associative :
, ,
,
Elle est commutative :
,
,
Elle a un élément neutre : 0
0,0, … ,0 ,
Tout élément X a un opposé noté

,

/
,…,

0
/

0
0

Définition :
On peut aussi définir sur
une loi de composition externe, multiplication par un réel,
noté "." ou parfois sans signe, par :
,
.
, ,…,
,
,…,
Propriétés de la multiplication par un réel :
1.
,
,
.
.
, ,
.
.
,
,
.
. .
L'ensemble

.
.

, muni de ces deux lois est un espace vectoriel sur . On le note (

,+,.).

I-2 Espace vectoriel réel
Définition :
Un ensemble E, muni d'une loi de composition interne "+" (qui a deux éléments de E fait
correspondre un élément de E) et d'une loi de composition externe "." (qui à un élément de
et à un élément de E fait correspondre un élément de E) ayant les huit propriétés
énoncées précédemment est appelé espace vectoriel réel.
Ses éléments sont appelés vecteurs. On le note (E,+,.).

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2

[S3, Module M12, Matière : Mathématiques II]

Chapitre 1 : espace vectoriel réel

Exemples :
1) ( IR 3 ,+,.) est un e.v.r., où les lois " + " et " . " sont définies dans IR3 par :
∀x = ( x1 , x2 x3 ), ∀y = ( y1 , y2 , y3 ) ∈ IR 3 , ∀α ∈ IR :

 x + y = x1 , x2 x3 ) + ( y1 , y2 , y3 ) = ( x1 + y1 , x2 + y2 , x3 + y3 )
α .x = α .( x , x , x ) = (αx ,αx , αx )

1
2
3
1
2
3
2) ( IF ( IR ),+,.) est un e.v.r., où les lois " + " et " . " sont définies dans IF (IR ) par :
∀f , g ∈ F ( IR ), ∀α ∈ IR, on a :

( f + g )( x ) = f ( x ) + g ( x )

(α . f )( x ) = αf ( x )

∀x ∈ IR
∀x ∈ IR

I-3 Propriétés
Si ( E ,+ ,.)
1)
2)
3)
4)
5)
6)

un espace vectoriel réel, alors ∀α , β ∈ IR , ∀x, y ∈ E , on a :
α .0E = 0E
0 IR. x = 0 E
α . x = 0E ⇒ α = 0 ou x = 0E
( −α ). x = −(α . x )
(α − β ). x = (α . x ) − ( β . x )
α .( x − y ) = (α . x ) − (α . y )

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[S3, Module M12, Matière : Mathématiques II]

Chapitre 1 : espace vectoriel réel

II- Sous espaces vectoriels
II-1 Définition et propriétés
II-1-1 Définition
Définition :
Un sous ensemble F d’un espace vectoriel E est dit sous espace vectoriel (s.e.v.) de E ssi :
1) F ≠ φ
2) F est stable pour " + " : (∀x , y ∈ F
x + y ∈ F)
3) F est stable pour " . " :
(∀(α , x ) ∈ IR × F
α.x ∈ F )
ssi :
1) F ≠ φ
2) ∀( x, y ) ∈ F 2 , ∀(α , β ) ∈ IR 2 α . x + β . y ∈ F
Exemples :
1) ( P ( IR ),+,.) (l’ensemble des polynômes de degré ≤ n ) est un s.e.v. de ( F ( IR ),+,.) .
2) ( IR × {0},+,.) et ({0}× IR,+,.) sont des s.e.v. de ( IR 2 ,+,.) .

II-1-2 Propriétés :
Si E est un espace vectoriel, alors :
1) Tout sous espace vectoriel de E est un espace vectoriel.
2) L’intersection de n sous espaces vectoriels de E est un espace vectoriel.
3) ({0 E },+,.) est un sous espace vectoriel de E .
4) 0 E appartient à tous les sous espaces vectoriels de E .

II-2 Intersection de sous espaces vectoriels
Théorème :
L'intersection de deux sous espaces vectoriels d'un espace vectoriel réel E est un sous
espace vectoriel de E .
Remarque :
La réunion de deux sous espaces vectoriels n'est en général pas un sous espace vectoriel.
Théorème :
L'intersection de plusieurs sous espaces vectoriels d'un espace vectoriel réel E est un
sous espace vectoriel de E .

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4

[S3, Module M12, Matière : Mathématiques II]

Chapitre 1 : espace vectoriel réel

II-3 Somme de sous espaces vectoriels
Définition :
Soit E un espace vectoriel et soient E1 et E2 deux sous espaces vectoriels de E .




La somme des sous espaces vectoriels E1 et E2 , notée par E1 + E2 , est égale à :
E1 + E2 = {x ∈ E / ∃ ( x1 , x2 ) ∈ E1 × E2 / x = x1 + x2 }
La somme directe des sous espaces vectoriels E1 et E2 , notée par E1 ⊕ E2 , est égale à :
E1 ⊕ E2 = {x ∈ E / ∃! ( x1 , x2 ) ∈ E1 × E2 / x = x1 + x2 }
Si E = E1 ⊕ E2 , alors les sous espaces vectoriels E1 et E2 sont dits sous espaces
supplémentaires de E .

Théorème :
Si E1 et E2 sont deux sous espaces vectoriels d’un espace vectoriel E alors E1 + E2 et
E1 ⊕ E2 sont aussi des sous espaces vectoriels de E .
Théorème :
Si E1 et E2 sont deux sous espaces vectoriels d’un espace vectoriel E , alors les
propositions suivantes sont équivalentes :
1) E = E1 ⊕ E2
2) E = E1 + E2 et E1 ∩ E2 = {0E }
Exemple :
E = F (IR ) : E = E1 ⊕ E2 , avec
o E1 = { f ∈ E / f ( x ) = f ( − x ) ∀x ∈ IR}
o E2 = { f ∈ E / f ( x ) = − f ( − x ) ∀x ∈ IR}

(ensemble des fonctions paires)
(ensemble des fonctions impaires)

Pour montrer que E = E1 ⊕ E2 , il suffit de vérifier que E = E1 + E2 et E1 ∩ E2 = {0 E } .
En effet :
1) E = E1 + E2 :
1

 f1 ( x ) = 2 ( f ( x ) + f ( − x ))
• Soit f ∈ E . On pose 
1
 f 2 ( x ) = ( f ( x ) − f ( − x ))

2
1

⇒ f1 ∈ E1
 f1 ( − x ) = 2 ( f ( − x ) + f ( x )) = f1 ( x )

• On a :
 f ( − x ) = 1 ( f ( − x ) − f ( x )) = − f ( x ) ⇒ f ∈ E
2
2
2
 2
2
et f ( x ) = f ( x ) + f ( x )

1
2

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5

[S3, Module M12, Matière : Mathématiques II]

Chapitre 1 : espace vectoriel réel



Donc :

∀f ∈ E ∃ ( f1 , f 2 ) ∈ E1 × E2 / f = f1 + f 2



D’où :

E = E1 + E2

2) E1 ∩ E2 = {0E } :


Si f 0 ∈ E1 ∩ E2 , alors :



Donc : f 0 = OE ,



D’où : E1 ∩ E2 = {0E }

 f 0 ( x ) = f 0 ( − x ) ∀x ∈ IR

 f 0 ( x ) = − f 0 ( − x ) ∀x ∈ IR

( f0 ( x) = 0

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( f 0 ∈ E1 )
( f 0 ∈ E2 )

∀x ∈ IR )

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6

[S3, Module M12, Matière : Mathématiques II]

Chapitre 1 : espace vectoriel réel

III- Combinaison linéaire - système générateur
III-1 Combinaison linéaire
Définition :
Dans un espace vectoriel E , on appelle une combinaison linéaire de n vecteurs
u1 ,L, un , tout vecteur u de E qui peut s’écrire sous la forme :
n

u = α1u1 + L + α nun = ∑ α i ui ,

avec (α1 ,L, α n ) ∈ IR n

i =1

Théorème :
L’ensemble des combinaisons linéaires de n vecteurs d’un espace vectoriel E est un sous
espace vectoriel de E .

III-2 Système générateur
Définition :
Dans un espace vectoriel E , on dit qu’un système de n vecteurs {u1 , L , un } est un
système générateur de E (ou que les vecteurs u1 ,L, un sont des vecteurs générateurs
de E ) si tout vecteur u de E peut s’écrire comme une combinaison linéaire des
n

vecteurs u1 ,L, un :

(∀u ∈ E ) (∃α1 ,L, α n ∈ IR ) / u = α1u1 + L + α n un = ∑α i ui
i =1

Le système {u1 , L , un } s’appelle aussi partie ou famille génératrice de E .
On dit aussi que le système {u1 , L , un } engendre E ou que E est engendré par le
système {u1 , L , un }.
On note E =< u1 , L , un > ou E = Vect {u1 ,L, un }
Remarque :
Le sous espace vectoriel des combinaisons linéaires des vecteurs u1 ,L, un est engendré par les
vecteurs u1 ,L, un :

n

En = ∑α i ui , α i ∈ IR, ui ∈ E  =< u1 ,L, un >
 i=1


Exemple :

IR × {0} =< u1 , u2 > , avec u1 = (1,0) et u2 = ( −1,0) :
∀( x,0) ∈ IR × {0}, ∃α , β ∈ IR /( x,0) = α .(1,0) + β .( −1,0) = (α − β ,0)
il suffit de prendre par exemple α = x et β = 0

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7

[S3, Module M12, Matière : Mathématiques II]

Chapitre 1 : espace vectoriel réel

IV- Système libre - système lié
Définition :
n vecteurs u1 ,L, un d’un espace vectoriel E sont linéairement indépendants (le

système {u1 , L , un } est un système libre) si : α1u1 + L + α n un = 0 E ⇒ α1 = L = α n = 0
n vecteurs u1 ,L, un d’un espace vectoriel E sont linéairement dépendants (ole système
{u1 ,L , un } est un système lié) s’ils ne sont pas linéairement indépendants :
∃ (α1 ,L, α n ) ≠ (0,L,0) / α1u1 + L + α n un = 0 E
Exemples :
Les vecteurs u1 = (1,0,1) , u2 = ( −1,1,1) et u3 = ( 0,1,0) de IR3 sont linéairement indépendants.
Les vecteurs u1 = (1,0,1) , u2 = ( −1,1,1) et u3 = ( 0,1,2) de IR3 sont linéairement dépendants.
Théorème :
Un système de vecteurs est lié ssi un des vecteurs du système est combinaison linéaire
des autres vecteurs du système.
Si un des vecteurs d’un système est combinaison linéaire des autres vecteurs du système
alors tout vecteur de ce système est combinaison linéaire des autres vecteurs du
système.
Propriétés :
1) Le vecteur 0 E n’appartient à aucun système libre de E .
2) ∀u ∈ E / u ≠ 0 E , le système {u} est libre.
3) Tout système de vecteurs extrait d’un système libre est libre.
4) Tout système de vecteurs contenant un système lié est lié.

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8

[S3, Module M12, Matière : Mathématiques II]

Chapitre 1 : espace vectoriel réel

V- Ordre et rang d’un système de vecteurs
Définition :
L’ordre d’un système est le nombre de vecteurs du système.
Le rang d’un système est égal au plus grand nombre de vecteurs linéairement
indépendants que l’on peut extraire de ce système.
Exemples :
S1 = {( 2,1), (1,1), (0,−1)}
L’ordre de S1 est égal à 3 .
Le rang de S1 est égal à 2 car :
o Les vecteurs ( 2,1), (1,1) et (0,−1) sont linéairement dépendants (( 2,1) = 2.(1,1) + (0,−1)) , ce
qui implique que rang( S1 ) < 3 .
o Les vecteurs ( 2,1) et (1,1) sont linéairement indépendants, ce qui implique que rang( S1 ) = 2 .
Propriétés :
1) Un système de vecteurs est libre ssi son rang est égal à son ordre.
2) Dans un système lié de rang r , les vecteurs libres extraits en nombre r sont dits
vecteurs principaux, les autres sont dits non principaux et sont combinaison linéaire des
premiers.
3) Le rang d’un système de vecteurs est égal à la dimension de l’espace engendré par ces
vecteurs.

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9

[S3, Module M12, Matière : Mathématiques II]

Chapitre 1 : espace vectoriel réel

VI- Base d’un espace vectoriel
Définition :
Une base d’un espace vectoriel E c’est tout système libre de vecteurs générateurs de E .
Exemples :
1) {(1,0), (0,1)} est une base de IR 2
2)
3)
4)

{1,0), (0,1), (1,1)} n’est pas une base de IR2 .
{(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} est une base de IR3 : on l'appelle la base canonique de IR3 .
En général, {(1,0,L0),L, (0,L,1,L,0),L, (0,L,0,1)} est la base canonique de IR n .

Théorème :
Un système de vecteurs {u1 , L , un } est une base de E ssi tout vecteur de E s’écrit de
manière unique comme combinaison linéaire des vecteurs u1 ,L, un :
n

(∀u ∈ E ) (∃!α1 ,L, α n ∈ IR ) / u = α1u1 + L + α n un = ∑α i ui
i =1

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[S3, Module M12, Matière : Mathématiques II]

Chapitre 1 : espace vectoriel réel

VII- Espace vectoriel de dimension fini
Définition :
Un espace vectoriel réel est dit de dimension finie s’il admet une base constituée d’un
nombre fini n de vecteurs.
Ce nombre n s’appelle la dimension de l’espace. On note dim E = n .
Exemple :

IR n est un espace vectoriel réel de dimension n .
Propriétés :
Si E est un espace vectoriel réel de dimension n , alors :
1)
2)
3)
4)

Toutes les bases de E ont le même ordre égal à n .
L’ordre de tout système générateur de E est supérieur à n .
L’ordre de tout système libre de E est inférieur à n .
Si l’ordre d’un système libre ou générateur de E est égal à n , alors ce système est une base
de E .
5) Si F est un sous espace vectoriel de E , alors F est un espace vectoriel réel de dimension
fini m , avec m ≤ n . Si de plus m = n , alors F ≡ E .
6) Si E1 et E2 sont deux sous espaces vectoriels de E , alors :
• dim( E1 + E2 ) = dim E1 + dim E2 − dim( E1 ∩ E2 )
• dim(E1 ⊕ E2 ) = dim E1 + dim E2

Théorème :
Soit E un espace vectoriel réel de dimension fini.
Si E1 et E2 sont deux sous espaces vectoriels supplémentaires de E , E = E1 ⊕ E2 , alors
dim E = dim E1 + dim E2 .
Si B1 = {u1 ,L, u p } et B2 = {v1 ,L, vq } sont deux bases respectives de E1 et E2 , alors

B = {u1 ,L, u p , v1 ,L, vq } est une base de E .

Théorème :
Soit E un espace vectoriel réel de dimension fini. Soient E1 et E2 deux sous espaces
vectoriels de E , de bases respectives B1 = {u1 ,L, u p } et B2 = {v1 ,L, vq }.
Si B = {u1 ,L, u p , v1 ,L, vq } est une base de E alors E = E1 ⊕ E2 .

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Session Automne-hiver

11

[S3, Module M10, Matière : Mathématiques II]

Chapitre 2 : applications linéaires

CHAPITRE 2 : APPLICATIONS LINÉAIRES

I- Définitions et généralités ............................................................................................................... 13
I-1 Définitions ............................................................................................................................................ 13
I-2 Propriétés ............................................................................................................................................. 13

II- Opérations sur les applications linéaires ....................................................................................... 15
II-1 Addition .............................................................................................................................................. 15
II-2 Multiplication par un scalaire ............................................................................................................... 15
II-3 Composition de deux applications linéaires .......................................................................................... 15

III- Image et image réciproque par une application linéaire ............................................................... 16
IV- Noyau et image d’une application linéaire ................................................................................... 17
V- Applications linéaires injectives et surjectives ............................................................................... 18
VI- Rang d’une application linéaire ................................................................................................... 19

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Session Automne-hiver

12

[S3, Module M10, Matière : Mathématiques II]

Chapitre 2 : applications linéaires

I- Définitions et généralités
I-1 Définitions
Définition :
Soient E et F deux espaces vectoriels réels. On dit qu’une application f de E vers
F est une application linéaire ssi :
i) ∀( x, y ) ∈ E 2 : f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y )
ii) ∀(α , y ) ∈ IR × E : f (α . x ) = α . f ( x )
ssi ∀(α , β ) ∈ IR 2 , ∀( x, y ) ∈ E 2 : f (α . x + β . y ) = α . f ( x ) + β . f ( y )
Définition :
Soient E et F
• On dit que
• On dit que
• On dit que

deux espaces vectoriels réels, et f une application linéaire de E vers F .
f est un endomorphisme ssi E = F .
f est un isomorphisme ssi f est bijective.
f est un automorphisme ssi E = F et f est bijective.

Exemples :
1) L’application f définie de IR 2 vers IR par f (( x , y )) = x + y est une application linéaire.
2) L’application f définie de IR 2 vers IR 2 par f (( x , y )) = ( y , x ) est un automorphisme.
Définition : (égalité)
Deux applications linéaires f et g définies de E vers F sont égales, f ≡ g , ssi
∀x ∈ E : f ( x ) = g ( x )

I-2 Propriétés
I-2-1 Expression analytique d’une application linéaire
Théorème :
Soient ( E ,+ ,.) et ( F ,+,.) deux espaces vectoriels réels de dimensions finis. Toute
application linéaire de ( E ,+ ,.) vers ( F ,+,.) est complètement déterminée par la donnée
de l’image d’une base B = {u1 ,L, u p } de ( E ,+ ,.) : Si x = ∑ xi ui alors f ( x ) = ∑ xi f (ui ) .

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p

p

i =1

i =1

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13

[S3, Module M10, Matière : Mathématiques II]
Définition :

Chapitre 2 : applications linéaires

(expression analytique)
p

L’écriture f ( x ) = ∑ ai xi , où ai xi f (ui ) , s’appelle l’expression analytique de f
i =1

relativement à la base B .

I-2-2 Autres propriétés
Soient E et F deux espaces vectoriels réels. Si f est une application linéaire de E vers F , alors :
1) f (0E ) = 0F :
∀x ∈ E , f (0 E ) = f ( x − x ) = f ( x ) − f ( x ) = 0 F
2) ∀x ∈ E , f ( − x ) = − f ( x ) :
f ( − x ) = f (0 E − x ) = f (0 E ) − f ( x ) = 0 F − f ( x ) = − f ( x )
3) ∀(α1 ,L, α n ) ∈ IR n , ∀( x1 ,L , xn ) ∈ E n :

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f (α1. x1 + L + α n . xn ) = α1. f ( x1 ) + L + α n . f ( xn )

Session Automne-hiver

14

[S3, Module M10, Matière : Mathématiques II]

Chapitre 2 : applications linéaires

II- Opérations sur les applications linéaires
Théorème :
L’ensemble L( E , F ) des applications linéaires définies de E vers F , muni de l’addition
et de la multiplication par un scalaire est un espace vectoriel réel.

II-1 Addition
Si f et g sont deux applications linéaires, définies de E vers F , alors l’application f + g ,
définie de E vers F par ( f + g )( x ) = f ( x ) + g ( x ) , est une application linéaire.

II-2 Multiplication par un scalaire
Si f est une application linéaire définie de E vers F et α un réel, alors l’application (α . f )
définie de E vers F par (α . f )( x ) = α . f ( x ) est une application linéaire.

II-3 Composition de deux applications linéaires
Soient E , F et G trois espaces vectoriels réels.


Si f est une application linéaire de E vers F et g une application linéaire de F vers G ,
alors l’application g o f est une application linéaire de E vers G .

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Session Automne-hiver

15

[S3, Module M10, Matière : Mathématiques II]

Chapitre 2 : applications linéaires

III- Image et image réciproque par une application linéaire
Soient E et F deux espaces vectoriels réels et f est une application linéaire de E vers F .
Définition :
• Soit A un sous ensemble de E . On appelle l’image de A par f , et on note f ( A)
l’ensemble :
f ( A) = { f ( x ) / x ∈ A} = {y ∈ F / ∃ x ∈ A : f ( x ) = y}
• Soit B un sous ensemble de F . On appelle l’image réciproque de B par f , et on
note f −1 ( B ) l’ensemble :
f −1 ( B ) = {x ∈ E / f ( x ) ∈ B}
Théorème :
Si A est un sous espace vectoriel de E , alors f ( A) est un sous espace vectoriel de F .
Si B est un sous espace vectoriel de F , alors f −1 ( B ) est un sous espace vectoriel de E .
Théorème :
L’image d’un système générateur d’un sous espace vectoriel A de E est un système
générateur du sous espace vectoriel f ( A) de F .
L’image par f d’un système lié est un système lié.
Si l’image par f d’un système est libre alors ce système est libre.

Professeure Salma DASSER

Session Automne-hiver

16

[S3, Module M10, Matière : Mathématiques II]

Chapitre 2 : applications linéaires

IV- Noyau et image d’une application linéaire
Soient E et F deux espaces vectoriels réels et f est une application linéaire de E vers F .
Définition :
• On appelle l’image de f , et on note Im( f ) , l’image de E par f :
Im( f ) = f ( E ) = { f ( x ) / x ∈ E} = {y ∈ F / ∃ x ∈ E : f ( x ) = y}
• On appelle le noyau de f et on note Ker ( f ) , l’image réciproque de {0F } par f :
Ker ( f ) = f −1 ({0 F }) = {x ∈ E / f ( x ) = 0 F }
Théorème :
Im( f ) est un sous espace vectoriel de F .
Ker ( f ) est un sous espace vectoriel de E .
Théorème :
Im( f ) est le sous espace vectoriel de F engendré par l’image d’une base quelconque de E

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17

[S3, Module M10, Matière : Mathématiques II]

Chapitre 2 : applications linéaires

V- Applications linéaires injectives et surjectives
E un espace vectoriel réel de dimension n et F un espace vectoriel réel de dimension p .
f une application linéaire de E vers F .
Théorème :
ssi
f est injective
ssi
f est surjective
f est bijective, dim E = dim F ssi

Ker( f ) = {0E }
Im( f ) = F
f est injective

ssi

f est surjective

Corollaire :
Si l’application linéaire f est injective alors dim E ≤ dim F .
Si l’application linéaire f est surjective alors dim E ≥ dim F .
Si l’application linéaire f est bijective alors dim E = dim F .

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[S3, Module M10, Matière : Mathématiques II]

Chapitre 2 : applications linéaires

VI- Rang d’une application linéaire
Définition :
Soit E et F deux espaces vectoriels réels de dimension fini et soit f une application
linéaire de E vers F .
On appelle le rang de l’application linéaire f , et on note rg ( f ) , la dimension de
l’image de f :
rg ( f ) = dim Im( f )
Théorème :
Soit E et F deux espaces vectoriels réels de dimension fini.
Si f est une application linéaire de E vers F , alors :
dim E = dim Ker ( f ) + dim Im( f ) = dim Ker ( f ) + rg ( f ) .
Théorème :
Soit E et F deux espaces vectoriels réels de dimension fini. Si f est une application
linéaire de E vers F , alors :
f est injective ssi
rg ( f ) = dim E
f est surjective ssi
rg ( f ) = dim F
f est bijective ssi
rg ( f ) = dim E = dim F

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19

[S3, Module M10, Matière : Mathématiques II]

Chapitre 3 : matrices

CHAPITRE 3 : MATRICES

I- Généralités .................................................................................................................................... 21
I-1 Définition ............................................................................................................................................. 21
I-2 Matrices particulières ........................................................................................................................... 22

II- Matrices carrées ........................................................................................................................... 23
II-1 Diagonale d’une matrice carrée ............................................................................................................ 23
II-2 Matrice diagonale ................................................................................................................................ 23
II-3 Matrice triangulaire ............................................................................................................................. 24
II-4 Matrice symétrique.............................................................................................................................. 25
II-5 Matrice antisymétrique........................................................................................................................ 25

III- Opérations sur les matrices .......................................................................................................... 26
III-1 Egalité ................................................................................................................................................ 26
III-2 Addition ............................................................................................................................................. 26
III-3 Multiplication par un scalaire .............................................................................................................. 26
III-4 Produit de deux matrices .................................................................................................................... 27
III-5 Puissance d’une matrice...................................................................................................................... 29
III-6 Propriétés de l’ensemble des matrices................................................................................................. 31

IV- Matrice inversible........................................................................................................................ 32
V- Matrice inverse : Méthode de Gauss-Jordan ................................................................................. 33
V-1 Principe de la méthode ........................................................................................................................ 33
V-2 Exemples ............................................................................................................................................. 33

VI- Matrice associée à un système de vecteurs .................................................................................. 36
VII- Matrice d’une application linéaire .............................................................................................. 37
VIII- Changement de base ................................................................................................................. 39
VIII-1 Matrice de passage ........................................................................................................................... 39
VIII-2 Coordonnés d’un vecteur .................................................................................................................. 40
VIII-3 Application linéaire........................................................................................................................... 41

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[S3, Module M10, Matière : Mathématiques II]

Chapitre 3 : matrices

I- Généralités
I-1 Définition
Définition :
• On appelle une matrice A , de type ( n, p ) ( n, p ∈ IN * ) à coefficients réels, un tableau
de n lignes et p colonnes constituées de nombres réels, dits coefficients de la
matrice A . On note par :
a11 L a1 j L a1 p 


M M
M M 
M
A = ai1 L aij L aip  ← ligne i


M M
M M 
M
a
L anj L anp 
 n1


colonne j


On appelle le coefficient aij ,1≤i≤n ,1≤ j ≤ p de la matrice A , l’élément d’intersection de la



ligne i et la colonne j .
On note aussi la matrice A par :



i désigne l' indice de la ligne

 j désigne l' indice de la colonne
On note M ( n, p ) l’ensemble des matrices de type ( n, p ) .
A = ( aij ),1≤i≤n ,≤ j ≤ p ,

Exemples :

1 2 3 
 ∈ M ( 2,3)
♦ A = 
 4 5 6
1
♦ C =   ∈ M (2,1)
 2

1 4 


B =  2 5  ∈ M (3,2)
3 6



D = (1 2 ) ∈ M (1,2)

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E = (1) ∈ M (1,1)

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[S3, Module M10, Matière : Mathématiques II]

Chapitre 3 : matrices

I-2 Matrices particulières
I-2-1 Matrice ligne
( A ∈ M (1, p ))

C’est toute matrice A de type (1, p ) ,

I-2-2 Matrice colonne
( A ∈ M ( n,1))

C’est toute matrice A de type (n,1) ,

I-2-3 Matrice nulle
C’est la matrice de M ( n, p ) dont tous les coefficients aij son nuls. On note 0n, p .

I-2-4 Matrice unité ou identité
aii = 1
C’est la matrice de M ( n, n ) dont les coefficients aij vérifient 
. On note I n .
aij = 0 si i ≠ j

I-2-5 Matrice opposée
La matrice opposée d’une matrice A de M ( n, p ) c’est la matrice B de M ( n, p ) dont les
coefficients sont les opposés de ceux de la matrice A .
On note B = ( − A) : bij = − aij ,

1≤ i ≤ n
1≤ j ≤ p

,

B = ( − A) ssi A = (− B )

I-2-6 Matrice transposée
La matrice transposée d’une matrice A de M ( n, p ) c’est la matrice B de M ( p, n ) dont les
lignes sont les colonnes de la matrice A et les colonnes sont les lignes de la matrice A .
On note B=t A :

bij = a ji ,

1≤ j ≤ n
1≤ i ≤ p

,

B=t A ssi A=t B

Exemples
♦ D et E sont des matrices lignes
♦ C et E sont des matrices colonnes
♦ A = (1 2 3) ∈ M (1,3) : (− A) = (− 1 − 2 − 3) ∈ M (1,3)

1 2
 ∈ M ( 2,2) :
♦ A = 
 3 4

 −1 − 2
( − A) = 
 ∈ M (2,2)
 − 3 − 4

t

1
 
A =  2  ∈ M (3,1)
 3
 

1
A = 
2
1

1 3 5 
 − 1 − 3 − 5
t
 ∈ M ( 2,3) : ( − A) = 
 ∈ M ( 2,3) A =  3
♦ A = 
 2 4 6
 − 2 − 4 − 6
5


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t

3
 ∈ M ( 2,2)
4 
2

4  ∈ M (3,2)
6 

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[S3, Module M10, Matière : Mathématiques II]

Chapitre 3 : matrices

II- Matrices carrées
Définition :
• On appelle matrice carrée d’ordre n toute matrice de type
• On note M (n ) l’ensemble des matrices de type ( n , n ) .

(n, n )

.

II-1 Diagonale d’une matrice carrée
Définition :
Soit

A une matrice carrée d’ordre n :

A = ( aij )1 ≤ i, j ≤ n . Les coefficients

( aii )1 ≤ i ≤ n sont dits éléments ou coefficients diagonaux de la matrice A et constitue la
diagonale principale de la matrice A .

Exemple :

1 2
 . Les éléments diagonaux de la matrice A sont a11 = 1 et a22 = 4 .
♦ A = 
 3 4

II-2 Matrice diagonale
Définition :
Soit A une matrice carrée d’ordre n : A = ( aij )1 ≤ i, j ≤ n .
On dit que la matrice A est une matrice diagonale si tous les éléments non diagonaux
( aij = 0 si i ≠ j )
de la matrice sont nuls :
Exemples :

1 0

♦ A = 
 0 2
♦ Matrice scalaire

a 0 L 0


0 O O M 
A=
, ( a ∈ IR )
M O O 0


0 L 0 a

 1 0 L 0


0 O O M 
♦ Matrice unité ou matrice identité (matrice scalaire avec a = 1 ) : I n = 
M O O 0


 0 L 0 1

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[S3, Module M10, Matière : Mathématiques II]

Chapitre 3 : matrices

II-3 Matrice triangulaire
Définition :
Soit A une matrice carrée d’ordre n : A = ( aij )1 ≤ i, j ≤ n .


On dit que A est une matrice triangulaire inférieure si tous ses éléments au dessus de
la diagonale principale sont nuls ( aij = 0 si i < j ) :

 a11

 a 21
A=
M

a
 n1


0
O
O
L

L
0 

O
M 
, (( aij )1≤i , j≤n ∈ IR )
O
0 

an ( n −1) ann 

On dit que A est une matrice triangulaire supérieure si tous ses éléments au dessous
de la diagonale principale sont nuls ( aij = 0 si i > j ) :

 a11

0
A=
M

0

a12 L a1n 

O O M

, (( aij )1≤i , j≤n ∈ IR )
O O a( n−1) n 

L 0 a nn 

Exemples :

 0 0 0


1
♦  0 − 1 0  et 
3
 1 0 2


1 2
0


1
♦  0 − 1 3 et 
0
0 0 2



0
 sont des matrices triangulaires inférieures.
2 
3
 sont des matrices triangulaires supérieures.
2 

Remarque :
♦ Si une matrice A est triangulaire supérieure alors sa matrice transposée t A est
triangulaire inférieure et inversement.

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[S3, Module M10, Matière : Mathématiques II]

Chapitre 3 : matrices

II-4 Matrice symétrique
Définition :
Soit A une matrice carrée d’ordre n : A = ( aij )1 ≤ i, j ≤ n .


On dit que la matrice A est une matrice symétrique si elle est égale à sa matrice
( a ji = aij ∀ 1 ≤ i, j ≤ n )
transposée :
A=tA

Exemples :
2
4 − 2
 1


5
3
 2 −3
♦ A=
4
5 −1
2


3 2
1
− 2

1 2
0


A =  1 − 1 3
2
3 2 


 1 3
A = 

 3 2

II-5 Matrice antisymétrique
Définition :
Soit A une matrice carrée d’ordre n : A = ( aij )1 ≤ i, j ≤ n .


On dit que la matrice A est une matrice antisymétrique si sa matrice transposée est
t
( a ji = −aij ∀ 1 ≤ i, j ≤ n )
égale à sa matrice opposée :
A = ( − A)

Exemples :
4
2
 0 −2


0 −5
3
 2
♦ A=
−4
5
0 − 2


2
0 
− 2 − 3

2
 0 −1


A =  1 0 − 3
− 2
3
0 


 0 − 3
A = 

3 0 

Remarque :
♦ Tous les éléments diagonaux d’une matrice antisymétrique sont nuls :
( a ji = −aij ∀ 1 ≤ i, j ≤ n ) ⇒ ( aii = 0 ∀ 1 ≤ i ≤ n )

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[S3, Module M10, Matière : Mathématiques II]

Chapitre 3 : matrices

III- Opérations sur les matrices
III-1 Egalité
Définition :
Deux matrices A et B de M ( n, p ) sont égales si elles ont les mêmes coefficients :
• A ≡ B ssi aij = bij , ∀1 ≤ i ≤ n, ∀1 ≤ j ≤ p ,
avec A = ( aij ) et B = (bij )
Propriété :
♦ t A≡ t B ssi

A≡ B

III-2 Addition
Définition :
• Soient A et B deux matrices de M ( n, p ) . La matrice C de M ( n, p ) définie par :
cij = aij + bij (∀1 ≤ i ≤ n, ∀1 ≤ j ≤ p ) s’appelle la matrice somme des matrices A et


B.
On note C = A + B .

Propriétés :
♦ ∀A, B, C ∈ M ( n, p ) :
( A + B) + C = A + (B + C )
♦ ∀A, B ∈ M ( n, p ) : A + B = B + A
♦ ∀A, B ∈ M ( n, p ) : t ( A + B ) = t A+ t B
Exemple :

2
1
 1 2 3
 3
 1 + 3 2 + 2 3 + 1  4 4 4 
A = 
 et B = 
 ⇒ A + B = 
 = 

 4 5 6
 − 1 − 2 − 3
 4 − 1 5 − 2 6 − 3   3 3 3

III-3 Multiplication par un scalaire
Définition :
• Soient A une matrice de M ( n, p ) et α un réel (α ∈ IR ) . La matrice C de M ( n, p )
définie par : cij = αaij (∀1 ≤ i ≤ n, ∀1 ≤ j ≤ p ) s’appelle la matrice produit externe de


la matrice A par le scalaire α .
On note C = α . A .

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[S3, Module M10, Matière : Mathématiques II]

Chapitre 3 : matrices

Propriétés :
♦ ∀A ∈ M ( n, p ) , ∀α , β ∈ IR :
♦ ∀A, B ∈ M ( n, p ) , ∀α ∈ IR :

(α + β ). A = α . A + β . A
α .( A + B ) = α . A + α . B

Exemples :
♦ A ∈ M ( n, p ) et α = 1
♦ A ∈ M ( n, p ) et α = 0

⇒ 1. A = A
⇒ 0. A = 0n , p

 1 2 − 1
 et α = −3 :
♦ A = 
 2 1 − 2
 ( −3) × 1 ( −3) × 2 ( −3) × ( −1)   − 3 − 6 3
( −3). A = 
 = 

 ( −3) × 2 ( −3) × 1 ( −3) × ( −2)   − 6 − 3 6 

III-4 Produit de deux matrices
III-4-1 Définition et propriétés
Définition :
• Soient A une matrice de M ( n, m ) et B une matrice de M ( m, p ) . La matrice C de
m

M ( n, p ) définie par :

cij = ∑ aik bkj

(∀1 ≤ i ≤ n, ∀1 ≤ j ≤ p ) s’appelle la matrice

k =1




produit de la matrice A par la matrice B .
On note C = A × B .
On ne peut effectuer la multiplication de deux matrices A et B que si le nombre des
colonnes de la matrice A est égal au nombre de lignes de la matrice B (ici m ).

Propriétés :
♦ ∀A ∈ M ( n, m ) , B ∈ M ( m, p ) , C ∈ M ( p, q ) :
( A × B ) × C = A × ( B × C ) ∈ M ( n, q )
♦ ∀A ∈ M ( n, m ) , ∀B , C ∈ M ( m, p ) :
A × ( B + C ) = ( A × B ) + ( A × C ) ∈ M (n, p )
t
♦ ∀A ∈ M ( n, m ) et ∀B ∈ M ( m, p ) :
( A × B ) = t B×t A ∈ M ( p, n )

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[S3, Module M10, Matière : Mathématiques II]

Chapitre 3 : matrices

III-4-2 Produit d’une matrice ligne par une matrice colonne :
 b1 j 
 
M 
Soient A = ( ai1 ,L, aik ,L, aim ) une matrice ligne ( A ∈ M (1, m )) et B =  bkj  une matrice
 
M 
b 
 mj 

colonne ( B ∈ M ( m,1)) . La matrice C = A × B est alors égale au scalaire défini par :

C = ai1b1 j + L + aik bkj + L + aim bmj , ( A ∈ M (1,1))
 − 2
 
 0
Exemple :
A = (1,2,−1,0,−2) et B =  2  :
 
 1
 − 1
 
A × B = 1 × ( −2) + 2 × 0 + ( −1) × 2 + 0 × 1 + ( −2) × ( −1) = −2

III-4-3 Calcul pratique du produit matriciel :
Soient A une matrice de M ( n, m ) et B une matrice de M ( m, p ) :
a11
M

A =  a i1

M
a n1

L a1m 
M M 

L aim  ← ligne Li

M M 
L a nm 

L a1k
M M
L aik
M M
L ank

,

b11

M
B = bk 1

M
b
 m1

L b1 j
M

M

L bkj
M

M

L bmj

L b1 p 

M M 
L bkp 

M M 
L bmp 



colonne C j

Pour obtenir le coefficient Pij de la matrice produit P = A × B ,on fait le produit de la ligne Li
de la matrice A ( Li : matrice ligne) par la colonne C j de la matrice B ( C j : matrice colonne) :
 L1C1

M
P =  LiC1

M
L C
 n 1

L L1C j
M M
L Li C j
M

M
L LnC j

L L1C p 

M M

L LiC p  , P ∈ M ( n, p )

M M

L LnC p 


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28

[S3, Module M10, Matière : Mathématiques II]

Chapitre 3 : matrices

Exemples :

 1 2 − 1

♦ A = 
 2 1 − 2

et

 1 0


B =  0 − 1 :
 1 0



A ∈ M ( 2,3) et B ∈ M (3,2) ⇒ ( A × B ) ∈ M ( 2,2) et ( B × A) ∈ M (3,3)

 L ×C
A × B =  1 1
 L2 × C1

L1 × C2   0 − 2 
=

L2 × C2   0 − 1

 L1 × C1

B × A =  L2 × C1
 L ×C
 3 1

L1 × C2

 1 2 − 1

♦ A = 
2
1

2



L2 × C2
L2 × C3

et

L1 × C3   1 2 − 1
 

L2 × C3  =  − 2 − 1 2 
L3 × C3   1 2 − 1
0 1
 1 0


B= 0 1
1 0
 − 1 0 − 1 0



A ∈ M ( 2,3) et B ∈ M (3,4) ⇒ ( A × B ) ∈ M ( 2,4)

 L × C1
A × B =  1
 L2 × C1

L1 × C2
L2 × C2

L1 × C3
L2 × C3

L1 × C4   2 2 3 1
=

L2 × C4   4 1 3 2 

On ne peut pas effectuer la multiplication B × A .

III-5 Puissance d’une matrice
Définition :
• Soit A une matrice carrée d’ordre n ( A ∈ M ( n )) . On définit les puissances de la
matrice A par :

Ap = 1
A4
×L
×3
A (∀p ∈ IN * ), ∀A ∈ M ( n ) ,
24

avec A0 = I n

p fois

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29

[S3, Module M10, Matière : Mathématiques II]

Chapitre 3 : matrices

Théorème :
Soient A et B deux matrices carrées d’ordre n ( A, B ∈ M ( n )) .
Si les matrices A et B commutent ( A × B = B × A) , alors :
p

p

( A + B ) p = ∑C p Ak .B p − k = ∑ C p A p − k .B k
k

k =0

k

k =0

Cette formule s’appelle la formule de Newton.

Exemple :

 2 0
A = 

1
2



et

 1 0
B = 


1
1



♦ Les matrices A et B commutent :

 2 0
A × B = 

 −1 2

et

 2 0
B × A = 

 −1 2

♦ Le calcul direct de ( A + B ) 2 :

 3 0
A + B = 

 0 3

et ( A + B ) 2 = ( A + B ) × ( A + B )

 9 0
⇒ ( A + B ) 2 = 

 0 9

♦ La formule de Newton pour le calcul de ( A + B ) 2 :
( A + B ) 2 = A2 + 2. A × B + B 2

 4 0 2
 1 0
 2 0
A2 = A × A = 
 , B = B × B = 
 et A × B = 

 4 4
 − 2 1
 −1 2
 9 0
⇒ ( A + B ) 2 = 

 0 9

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[S3, Module M10, Matière : Mathématiques II]

Chapitre 3 : matrices

III-6 Propriétés de l’ensemble des matrices
♦ M (n ) est un espace vectoriel réel de dimension n 2 :
La matrice nulle est l’élément neutre pour la loi " + ".
Le symétrique de la matrice A pour la loi " + " est égal à sa matrice opposée.

B = {Eij , 1 ≤ i, j ≤ n } est une base de M (n ) ,

1
( Eij ) mn = 
0

0
M

si ( m, n ) = (i, j )
: Eij = 0
sinon

M
0

L 0 L 0
M M M M

L 1 L 0 ← ligne i

M M M M
L 0 L 0

colonne j

La base B s’appelle la base canonique de M (n ) .
♦ La matrice identité est l’élément neutre pour la loi " × ".
1 0   0 1  0 1 1 0 

 × 
 ≠ 
 × 

♦ En général A × B ≠ B × A :
1 0   0 1  0 1 1 0 
 1 0  0 0  0 0

 × 
 = 

♦ En général A × B = 0n ⇒
/ A = 0n ou B = 0n :
 0 0  0 1  0 0

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31

[S3, Module M10, Matière : Mathématiques II]

Chapitre 3 : matrices

IV- Matrice inversible
Définition :
• Une matrice carrée A d’ordre n ( A ∈ M ( n )) est dite inversible s’il existe une matrice
carrée B d’ordre n ( B ∈ M ( n )) telle que :
A × B = B × A = In



On note B = A−1
La matrice B = A−1 s’appelle la matrice inverse de la matrice A .

Exemples :

1 2 
 3 − 2
 1 0
A × B = B × A = 
B = 
 ,
 :
 = I 2
♦ A = 
1
1 3 
 −1
 0 1
La matrice A est alors inversible et A−1 = B .
 0 1
 a b
∀ B = 
 ,
 :
♦ A = 
 0 0
c d
La matrice A est alors non inversible.

c d 
0 a
A × B = 
 ≠ I 2 & B × A = 
 ≠ I 2
0 0 
0 c 

Théorème :
Si deux matrices A et B de M ( n ) sont inversibles alors la matrice A × B est
inversible et ( A × B ) −1 = B −1 × A−1 .
En particulier si une matrice A de M (n ) est inversible alors la matrice ( A) p , p ∈ IN *
est inversible et ( A p ) −1 = ( A−1 ) p .

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32

[S3, Module M10, Matière : Mathématiques II]

Chapitre 3 : matrices

V- Matrice inverse : Méthode de Gauss-Jordan
V-1 Principe de la méthode
La majorité des méthodes de calcul de l’inverse d’une matrice font appel à la notion de
déterminant qu’on étudiera au chapitre suivant.
Dans ce paragraphe, on exposera une méthode ne faisant pas appel à cette notion. Cette
méthode, dite méthode de Gauss-Jordan, consiste à transformer la matrice A en I n et par la même
occasion la matrice I n en A−1 en utilisant des opérations élémentaires sur les lignes de la matrice, type
addition à chaque ligne d’une combinaison linéaire des autres lignes, multiplication d’une ligne par un
scalaire ou permutation des lignes.
Si au bout d’un certain nombre de transformations, on voit apparaître à la place de la matrice A ,
une matrice avec une ligne identiquement nulle, il devient alors impossible de faire apparaître les
coefficients de la matrice I n dans la matrice A . On en conclut que la matrice A est non inversible.

V-2 Exemples

V-2-1 Matrice inversible :

3 − 1
 2


A =  −1 − 2
1
 2
4 − 1


Exposé de la méthode :
♦ On écrit la matrice A dans la colonne gauche et la matrice I 3 dans la colonne droite, et on
effectue les transformations adéquates sur les lignes de la matrice A et de la matrice I 3
pour faire apparaître au fur et à mesure les coefficients de la matrice I 3 à gauche et les
coefficients de la matrice A−1 apparaîtront ainsi à droite:
♦ On écrit A à gauche et I 3 à droite :

3 − 1 1 0 0 
 2



1 0 1 0 
−1 − 2
 2
4 − 1 0 0 1


L1 → (1 / 2).L1 :
 1 3 / 2 − 1 / 2  1 / 2 0 0 



1  0 1 0 
−1 − 2
 2
4
− 1 0 0 1


♦ On multiplie la 1ère ligne par (1 / 2 ) :

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33

[S3, Module M10, Matière : Mathématiques II]

Chapitre 3 : matrices

L2 → L2 + L1

♦ On ajoute à la 2ème ligne la 1ère ligne :

♦ On ajoute à la 3ème ligne la 1ère ligne multipliée par (−2) :

L3 → L3 − 2L1

 1 3 / 2 − 1 / 2  1 / 2 0 0 



1 / 2  1 / 2 1 0 
 0 − 1/ 2
0
1
0  − 1 0 1

♦ On échange la 2ème ligne et la 3ème ligne :

L2 ↔ L3

 1 3 / 2 − 1 / 2  1 / 2 0 0 



1
0  − 1 0 1
0
 0 − 1/ 2
1 / 2 1 / 2 1 0 

♦ On ajoute à la 1ère ligne la 2ème ligne multipliée par (−3 / 2) : L1 → L1 − (3 / 2) L2
♦ On ajoute à la 3ème ligne la 2ème ligne multipliée par (1 / 2) :

L3 → L3 + (1 / 2) L2

 1 0 − 1 / 2  2 0 − 3 / 2 



0  − 1 0
1
0 1
0 0
1 / 2  0 1
1 / 2 

♦ On ajoute à la 1ère ligne la 3ème ligne :

L1 → L1 + L3

0  2 1 − 1
1 0



0  − 1 0
1
0 1
 0 0 1 / 2  0 1 1 / 2 



♦ On multiplie la 3ème ligne par ( 2) :

L3 → 2.L3

 1 0 0  2 1 − 1



1
 0 1 0  − 1 0
 0 0 1 0 2
1


♦ On voit ainsi apparaître à la place de la matrice A la matrice identité I 3 . La matrice qui
apparaît simultanément à la place de la matrice identité I 3 n’est autre que la matrice A−1 .

3 − 1  1 0 0 
3 − 1 2 1 − 1  2 1 − 1 2
 2


 

 

1 − 1 − 2
1 =  0 1 0 
1 − 1 0
1 =  − 1 0
♦ En effet :  − 1 − 2
 2
4 − 1 0 2
1  0 2
1 2
4 − 1  0 0 1


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34

[S3, Module M10, Matière : Mathématiques II]

V-2-2 Matrice non inversible :

Chapitre 3 : matrices

1 0 1


A =  0 1 0
1 1 1



Exposé de la méthode :
♦ On écrit la matrice A dans la colonne gauche et la matrice I 3 dans la colonne droite, et on
effectue les transformations adéquates sur les lignes de la matrice A et de la matrice I 3
pour faire apparaître au fur et à mesure les coefficients de la matrice I 3 à gauche et les
coefficients de la matrice A−1 apparaîtront ainsi à droite:
♦ On écrit A à gauche et I 3 à droite :

 1 0 1 1 0 0 



 0 1 0  0 1 0 
 1 1 1 0 0 1



♦ On ajoute à la 3ème ligne la 1ère ligne multipliée par (−1) :

L3 → L3 − L1

 1 0 1 1 0 0 



 0 1 0  0 1 0 
 0 1 0  − 1 0 1



♦ On ajoute à la 3ème ligne la 2ème ligne multipliée par ( −1) :

L3 → L3 − L2

 1 0 1 1 0 0 



1 0
 0 1 0  0
 0 0 0  − 1 − 1 1



♦ On voit apparaître à la place de la matrice A , une matrice avec une ligne identiquement
nulle ( L3 ), la matrice A est alors non inversible.

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35

[S3, Module M10, Matière : Mathématiques II]

Chapitre 3 : matrices

VI- Matrice associée à un système de vecteurs
Définition :
Soit ( E ,+ ,.) un espace vectoriel réel de dimension n , muni d’une base B = {e1 , L , en }.
Soit un système de p vecteurs de E , S = {u1 , L, u p }.


On appelle la matrice du système S = {u1 , L, u p }, relativement à la base B = {e1 , L , en }
, la matrice suivante :
a11

M
A =  ai 1

M
a
 n1

u1

L a1 j L a1 p  ← e1

M M
M M 
L aij L aip  ← ei

M M
M M 
L anj L anp  ← en


uj


up

où la colonne j de la matrice A est formée des coordonnées du vecteur u j du système

S = {u1 , L, u p } dans la base B = {e1 , L , en }: u j = ∑ aij ei , j = 1, p
n

i =1



On note A = M ( S / B ) : ( A ∈ M ( n, p ))

Remarque :
♦ La matrice A dépend de la base B choisie.
Exemple :
♦ E = IR3
♦ B = {e1 , e2 , e3 } la base canonique de IR3 : e1 = (1,0,0) , e2 = (0,1,0) et e3 = (0,0,1) .
♦ S = {u1 , u2 , u3 } : u1 = (2,0,−2) , u2 = (1,−2,1) et u3 = (0,−2,3) :

u1 = ( 2,0,−2) = 2.(1,0,0) + 0.(0,1,0) + ( −2).(0,0,1)

u2 = (1,−2,1) = 1.(1,0,0) + ( −2).(0,1,0) + 1.(0,0,1) ⇒

u3 = (0,−2,3) = 0.(1,0,0) + ( −2).(0,1,0) + 3.(0,0,1)

1
0 ← e1
 2


A =  0 − 2 − 2 ← e2
− 2
1
3 ← e3


u1

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u2


u3

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36

[S3, Module M10, Matière : Mathématiques II]

Chapitre 3 : matrices

VII- Matrice d’une application linéaire
Définition :
Soient ( E ,+ ,.) un espace vectoriel réel de dimension p , muni d’une base
B = {u1 ,L, u p } et ( F ,+,.) un espace vectoriel réel de dimension n , muni d’une base
B ' = {v1 ,L, vn }. Soit f une application linéaire de ( E ,+,.) vers ( F ,+,.) .



La matrice de f relativement aux bases B et B ' , notée par M ( f / B, B ' ) c’est la
matrice du système S = {f (u1 ),L, f (u p )}, relativement à la base B' = {v1 , L , vn }.

Remarques :
♦ Si B = {u1 ,L, u p } et B ' = {v1 ,L, vn } alors :
L a1 j L a1 p  ← v1

M M
M M 
L aij L aip  ← vi

M M
M M 
,

L anj L anp ← vn




f
(
u
)
f
(
up )
f (u1 )
j

a11

M
M ( f / B , B ' ) =  a i1

M
a
 n1

( M ( f / B, B ' ) ∈ M ( n, p ))

♦ La colonne j de la matrice M ( f / B, B ' ) représente les coordonnées du vecteur
 f (u1 ) = a11v1 + L + ai1vi + L + an1vn

M
 f (u ) = a v + L + a v + L + a v
j
1j 1
ij i
nj n
f (u j ) dans la base B ' :

M

 f (u p ) = a1 p v1 + L + aip vi + L + anp vn
♦ La matrice M ( f / B, B ' ) dépend des bases choisies B et B ' .

Exemple :

E = IR 2 ,

F = IR3 :

f ( x, y ) = ( x − y , x + y , y − x )

♦ B = {u1 ,u2 } la base canonique de IR 2 :

♦ B ' = {v1 , v2 , v3 } la base canonique de IR3 :

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u1 = (1,0) et u2 = (0,1) .
v1 = (1,0,0) , v2 = (0,1,0) et v3 = ( 0,0,1) .

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37

[S3, Module M10, Matière : Mathématiques II]



Chapitre 3 : matrices

 1 − 1


⇒ M ( f / B, B ' ) =  1
1
− 1
1


 f (u1 ) = (1,1,−1) = v1 + v2 − v3

 f (u2 ) = ( −1,1,1) = − v1 + v2 + v3

♦ B = {u1 , u2 } une base de IR 2 :

u1 = (1,1) et u2 = ( −1,1)
v1 = (1,1,1) ,

♦ B ' = {v1 , v2 , v3 } une base de IR :
3

v2 = (0,1,0)

et

v3 = ( −1,−1,1)



 0 0


⇒ M ( f / B , B ' ) = 2 2
 0 2



 f (u1 ) = (0,2,0) = 2v2

 f (u2 ) = ( −2,0,2) = 2v2 + 2v3

♦ M ( f / B , B ' ) ≠ M ( f / B, B ' )

Théorème : (matrice de la composée)
Soient E , F et G trois espaces vectoriels réels, muni des bases respectives B , B ' et
B ' ' . Si f : E a F et g : F a G sont deux applications linéaires alors :
M ( g o f / B , B " ) = M ( g / B ' , B" ) × M ( f / B , B ' )
Exemple :

E = IR 3 , F = IR 2 et G = IR 2 :

f ( x, y , z ) = ( x + y , y + z ) et g ( x , y ) = ( y , x )

♦ B = {e1 , e2 , e3 } la base canonique de IR 3 :

♦ B' = B" = {ε1 , ε 2 } la base canonique de IR 2 :

e1 = (1,0,0) , e2 = (0,1,0) et e3 = (0,0,1)

ε1 = (1,0) et ε 2 = (0,1) .

 1 1 0
f ( x, y, z ) = ( x + y, y + z ) ⇒ M ( f / B, B' ) = 

 0 1 1
 0 1

♦ g ( x, y ) = ( y , x ) ⇒ M ( g / B' , B" ) = 
 1 0


 0 1 1

♦ ( g o f )( x, y , z ) = ( y + z, x + y ) ⇒ M ( g o f / B, B" ) = 
 1 1 0
♦ M ( f o g / B , B " ) = M ( g / B ' , B" ) × M ( f / B , B ' ) :

 0 1   1 1 0   0 1 1
M ( g / B' , B" ) × M ( f / B, B' ) = 
 × 
 = 
 = M ( g o f / B, B" )
 1 0   0 1 1  1 1 0 

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38

[S3, Module M10, Matière : Mathématiques II]

Chapitre 3 : matrices

VIII- Changement de base
VIII-1 Matrice de passage
Définition :
Soient B = {u1 , L , un } et B ' = {v1 ,L, vn } deux bases d’un espace vectoriel réel E . On
appelle la matrice de passage de la base B à la base B ' et on note PBB' , la matrice du
système B' = {v1 , L , vn } relativement à la base B = {u1 , L , un } .
Remarques :
♦ Si B = {u1 ,L, u p } et B ' = {v1 ,L, vn } alors :

PBB '

a11

M
=  a i1

M
a
 n1

v1

L a1 j L a1n  ← u1

M M
M M 
L aij L ain  ← ui

M M
M M 
,

L a nj L ann ← un


vj

( PBB ' ∈ M ( n ))


vn

♦ La colonne j de la matrice de passage PBB' représente les coordonnées du vecteur v j

dans la base B :

v1 = a11u1 + L + ai1ui + L + an1un

M
v = a u + L + a u + L + a u
1j 1
ij i
nj n
 j
M

vn = a1n u1 + L + ain ui + L + annun

♦ Si B et B ' sont deux bases d’un espace vectoriel réel E , alors :
• PBB = I n , où Id est l’application identité de E .


PBB ' = M ( Id / B' , B ) , où Id est l’application identité de E .

Théorème :
Si B = {u1 , L , un } et B ' = {v1 ,L, vn } sont deux bases d’un espace vectoriel réel E , alors
la matrice de passage de B à B ' , est inversible et ( PBB ' ) −1 = PB ' B .

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Session Automne-hiver

39

[S3, Module M10, Matière : Mathématiques II]

Exemple :

Chapitre 3 : matrices

 B = {e1 , e2 }: e1 = (1,0), e2 = (0,1)
Dans IR2 , on considère les bases B et B ' : 
 B' = {e'1 , e'2 }: e'1 = (1,1), e'2 = ( −1,1)
e'1 = (1,1) = e1 + e2
1 − 1
⇒ PBB ' = 


e'2 = ( −1,1) = −e1 + e2
1
1
1
1

e1 = (1,0) = 2 e'1 − 2 e' 2
 1 / 2 1 / 2
⇒ PB ' B = 


1
1
 − 1 / 2 1 / 2
e1 = (0,1) = e'1 + e' 2

2
2

VIII-2 Coordonnés d’un vecteur
Théorème :
Soient B = {u1 , L , un } et B ' = {v1 ,L, vn } sont deux bases d’un espace vectoriel réel E .
Soit un x vecteur de E .
n

x
=
x
u
+
L
+
x
u
=
xi ui

1
1
n
n

i =1
Si 
alors :
X = PBB ' . X ' et X ' = PB ' B . X ,
n
 x = x '1 v1 + L + x 'n vn = ∑ x ' j v j

j =1
 x1 
 x '1 
 
 
avec X =  M  et X ' =  M 
x 
 x' 
 n
 n

 B = {e1 , e2 }: e1 = (1,0), e2 = (0,1)
E = IR 2 et 
deux bases de E = IR 2
 B' = {e'1 , e'2 }: e'1 = (1,1), e'2 = ( −1,1)
 x = 2e1 − e2
 x' 
 2
♦ x = ( 2,−1) ∈ IR 2 :
⇒ X =   et X ' =  1 

 x = x '1 e'1 + x '2 e'2
 − 1
 x'2 
 x' 
♦ Calcul direct de X ' =  1  :
x = x'1 e'1 + x'2 e'2 ⇒ ( 2,−1) = x'1 (1,1) + x' 2 ( −1,1)
 x '2 

Exemple :

 x' − x' = 2
 x' = 1 / 2
⇒ 1 2
⇒ 1
 x '1 + x '2 = −1  x '2 = −3 / 2

 1/ 2 
⇒ X ' = 

 − 3/ 2

 x' 
♦ Calcul de X ' =  1  par la formule de changement de base X ' = PB ' B . X :
 x '2 
 1/ 2 
 1 / 2 1 / 2
 1 / 2 1 / 2  2 
PB ' B = 
. − 1 ⇒ X ' =  − 3 / 2 
 ⇒ X ' = PB ' B . X = 
 − 1 / 2 1 / 2
 − 1 / 2 1 / 2  



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Session Automne-hiver

40

[S3, Module M10, Matière : Mathématiques II]

Chapitre 3 : matrices

VIII-3 Application linéaire
Théorème :
Soient ( E ,+ ,.) et ( F ,+,.) deux espaces vectoriels réels munis respectivement des
bases B = {u1 ,L, u p } et B ' = {v1 ,L, vn }. Soient f une application linéaire de E vers F et
x vecteur de E .
p

 x = x1u1 + L + x p u p = ∑ xi ui

i =1
Si 
n
 f ( x ) = y1v1 + L + yn vn = ∑ y j v j

j =1
 x1 
 y1 
 
 
où :
X =  M  et Y =  M  .
x 
y 
 n
 p

Exemple :

alors

Y = M ( f / B, B ' ). X ,

E = IR 2 et F = IR3 : f ( x , y ) = ( x − y , x + y , y − x )

♦ B = {u1 ,u2 } la base canonique de IR2 : u1 = (1,0) et u2 = (0,1) .

♦ B ' = {v1 , v2 , v3 } la base canonique de IR3 : v1 = (1,0,0) , v2 = (0,1,0) et v3 = ( 0,0,1) .
 1 − 1


⇒ M ( f / B, B ' ) =  1
1
− 1
1

x 
x = x1u1 + x2u2 ⇒ X =  1 
 x2 

 f (u1 ) = (1,1,−1) = v1 + v2 − v3
♦ 
 f (u2 ) = ( −1,1,1) = − v1 + v2 + v3
♦ Soit x = ( x1 , x2 ) ∈ IR 2 :

 1 − 1
 y1 
 x1 − x2 
 

 x1  
  x1  
♦ Y = M ( f / B, B ' ). X
⇒  y2  = M ( f / B, B ' ).  =  1
1.  =  x1 + x2 
x
 x2  
y 
  2   x2 − x1 

1
1
 3


 y1   1 − 1
 3
  
 2
  2  
2
♦ Si x = ( 2,−1) ∈ IR , alors X =   et  y2  =  1
1.  =  1
 − 1
 − 1  − 3 
y  
1
 3  − 1
 

Théorème :
Soient E et F deux espaces vectoriels réels et f une application linéaire de E vers
F . Si B1 et B '1 sont deux bases de E , B2 et B'2 deux bases de F alors :
M ( f / B '1 , B ' 2 ) = PB '2 B2 . M ( f / B1 , B2 ). PB1B '1 = ( PB2 B '2 ) −1 . M ( f / B1 , B2 ). PB1B '1

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Session Automne-hiver

41

[S3, Module M10, Matière : Mathématiques II]

Chapitre 3 : matrices

E = IR 2 et F = IR3 : f ( x , y ) = ( x − y , x + y , y − x )

Exemple :

♦ Dans IR2 , on considère les bases
o B1 = {u1 , u2 } : u1 = (1,0) et u2 = (0,1)
o B1 = {u1 , u2 } : u1 = (1,1) et u2 = ( −1,1)
♦ Dans IR3 , on considère les bases
o B2 = {v1 , v2 , v3 } : v1 = (1,0,0) , v2 = (0,1,0) et v3 = ( 0,0,1)
o

B2 = {v1 , v2 , v3 } : v1 = (1,1,1) , v2 = (0,1,0) et v3 = ( −1,−1,1)

 1 − 1


1
♦ M ( f / B1 , B2 ) =  1
− 1
1


et


1
1
v1 = v1 − v2 − v3
2
2


♦ v 2 = v 2

1
1
v3 = v1 + v3
2
2


 1 / 2 0 1 / 2
0
=  −1 1


 − 1 / 2 0 1 / 2

⇒ PB2 B2

1 − 1
PB1B1 = 

1
1

♦ M ( f / B1 , B2 ) = PB2 B2 . M ( f / B1 , B2 ). PB1 B1
 0 0
 1 / 2 0 1 / 2  1 − 1
1

1






⇒ M ( f / B1 , B2 ) =  − 1 1
0. 1
1.
=  2 2



1
1 

1
 − 1 / 2 0 1 / 2 − 1
 0 2
♦ Calcul direct de M ( f / B1 , B2 ) :
 f (u1 ) = f ((1,1)) = (0,2,0) = 2v2
 f (u ) = f (( −1,1)) = ( −2,0,2) = 2v + 2v
2
2
3


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 0 0


⇒ M ( f / B1 , B2 ) = 2 2
 0 2



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42

[S3, Module M10, Matière : Mathématiques II]

Chapitre 4 : déterminant d’une matrice carrée

CHAPITRE 4 : DÉTERMINANT D’UNE MATRICE CARRÉE
I- Calcul d’un déterminant d’ordre n .................................................................................................. 44
I-1 Déterminant d’ordre 1 .......................................................................................................................... 44
I-2 Déterminant d’ordre 2 .......................................................................................................................... 44
I-3 Déterminant d’ordre n .......................................................................................................................... 44

II- Propriétés des déterminants ......................................................................................................... 48
III- Inversion d’une matrice par la méthode des cofacteurs ................................................................ 49
IV- Rang d’une matrice ..................................................................................................................... 51
IV-1 Calcul du rang d’une matrice ............................................................................................................... 51
IV-2 Rang d’une application linéaire ........................................................................................................... 53

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[S3, Module M10, Matière : Mathématiques II]

Chapitre 4 : déterminant d’une matrice carrée

I- Calcul d’un déterminant d’ordre n
I-1 Déterminant d’ordre 1
Soit A = ( a11 ) une matrice carrée d’ordre 1 ( A ∈ M (1)) . Le déterminant d’ordre 1 de la matrice
A , noté det A , est défini par : det A = a11 .

I-2 Déterminant d’ordre 2
 a11 a12 
Soit A = 
 une matrice carrée d’ordre 2 ( A ∈ M ( 2)) . Le déterminant d’ordre 2 de la
a21 a22 
matrice A , noté det A , est défini par : det A = a11 × a22 − a12 × a21 .
On note aussi det A =

a11 a12
= a11 × a22 − a12 × a21
a21 a22

I-3 Déterminant d’ordre n
Définition :
Soit A = ( aij )1≤i , j ≤ n une matrice carrée d’ordre n ( A ∈ M ( n )) .


On appelle le mineur de l’élément aij , le déterminant de la matrice carrée Aij d’ordre



n − 1 , obtenue en supprimant dans la matrice A la ligne i et la colonne j .
On note det Aij ou ∆ ij .

Exemples :

a12 
a
1) Soit A =  11
 :
a21 a22 

 a11 a12
2) Soit A = a21 a22

a31 a32

Le mineur de a11 est égal à : det A11 = a22

a13 
a23  :

a33 



Le mineur de a33 est égal à : det A33 =

a11 a12
= a11 × a22 − a12 × a21
a21 a22



Le mineur de a32 est égal à : det A32 =

a11 a13
= a11 × a23 − a13 × a21
a21 a23

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[S3, Module M10, Matière : Mathématiques II]

Chapitre 4 : déterminant d’une matrice carrée

Théorème :
Si A = ( aij )1≤i , j ≤ n est une matrice carrée d’ordre n , alors :
∀1 ≤ i, j ≤ n :

n

n

k =1

k =1

∑ ( −1)i + k aik det Aik = ∑ ( −1)k + j akj det Akj

Définition :
Soit A = ( aij )1≤i , j ≤ n une matrice carrée d’ordre n . Le déterminant d’ordre n de la
matrice A est défini par :


La formule du développement du déterminant de la matrice A suivant la ligne i :
n

det A = ∑ ( −1)i + k aik det Aik

∀1 ≤ i ≤ n :

k =1



La formule du développement du déterminant de la matrice A suivant la colonne j :
∀1 ≤ j ≤ n :

n

det A = ∑ ( −1) k + j akj det Akj
k =1

Exemples :

 1 2
1) A = 

− 2 1
♦ Développement
du
déterminant

suivant

la

colonne

2 :

2

det A

= ∑ (−1) k + 2 ak 2 det Ak 2
k =1

= (−1)1+ 2 a12 det A12 + (−1) 2 + 2 a22 det A22
= (−1)a12 a21 + (1)a22 a11
⇒ det A = 5
♦ Développement du déterminant suivant la ligne 1 :
2

det A

= ∑ ( −1)1+ k a1k det A1k
k =1

= ( −1)1+1 a11 det A11 + ( −1)1+ 2 a12 det A12
= (1)a11a22 + ( −1)a12 a21
⇒ det A = 5

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[S3, Module M10, Matière : Mathématiques II]

Chapitre 4 : déterminant d’une matrice carrée

1 2 3
2) A =  3 1 2


2 3 1
♦ Développement du déterminant suivant la 1ère colonne ( j = 1) :
3

= ∑ ( −1) k +1 ak 1 det Ak 1

det A

k =1

= ( −1)1+1 a11 det A11 + ( −1) 2 +1 a21 det A21 + ( −1)3+1 a31 det A31
a23
a
a13
a
a13
+ ( −1)a21 12
+ (1)a31 12
a33
a32 a33
a22 a23
1 2
2 3
2 3
⇒ det A = (1) × (1) ×
+ ( −1) × (3) ×
+ (1) × (2) ×
= 18
3 1
3 1
1 2
= (1)a11

♦ Développement

a22
a32

du

déterminant

suivant

la

2ème

ligne

i=2 :

3

= ∑ ( −1) 2 + k a2 k det A2 k

det A

k =1

= ( −1) 2 +1 a21 det A21 + ( −1) 2 + 2 a22 det A22 + ( −1) 2 + 3 a23 det A23
a13
a
a
a
a
+ (1)a22 11 13 + ( −1)a23 11 12
a33
a31 a33
a31 a32
2 3
1 3
1 2
⇒ det A = ( −1) × (3) ×
+ (1) × (1) ×
+ ( −1) × ( 2) ×
= 18
3 1
2 1
2 3
= ( −1)a21

a12
a32

Remarque :
♦ En pratique, pour le développement d’un déterminant, on affecte à chaque élément
un signe, en commençant par le signe + et en respectant une alternance entre les
deux signes, par exemple :
+ −
• Déterminant d’ordre 2 :
− +

+ − +




Déterminant d’ordre 3 :

Déterminant d’ordre 4 :

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− + −
+ − +
+ − + −
− + − +
+ − + −
− + − +

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[S3, Module M10, Matière : Mathématiques II]

Chapitre 4 : déterminant d’une matrice carrée

Exemple :

3
 1 −2

A = −3
1 2 :


3 − 1
 2

( + )3
 ( + )1 ( −) − 2
( − ) − 3
( + )1
( − )2


( −)3 ( + ) − 1
 ( + )2

♦ Développé suivant la 1ère ligne, on a :
1 2
−3 2
−3 1
det A = (1) ×
− ( −2) ×
+ (3) ×
= −42
3 −1
2 −1
2 3

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[S3, Module M10, Matière : Mathématiques II]

Chapitre 4 : déterminant d’une matrice carrée

II- Propriétés des déterminants
1) Un déterminant est nul si :
a. L’une des colonnes ou l’une des lignes est nulle.
b. Deux colonnes ou deux lignes sont égales ou proportionnelles
c. Une ligne ou une colonne est une combinaison linéaire des autres lignes ou colonnes.
2) Un déterminant change de signe si l’on effectue un nombre impair de permutations (si par
exemple, on permute deux lignes uniquement ou deux colonnes uniquement).
3) Un déterminant est linéaire par rapport à chaque ligne et à chaque colonne (si l’on multiplie
tous les éléments d’une ligne ou d’une colonne par le même scalaire, le déterminant est
multiplié par ce scalaire).
4) Un déterminant ne change pas si :
a. On permute simultanément deux lignes et deux colonnes
b. On échange les lignes et les colonnes det( t A) = det A
c. On ajoute à une ligne (respectivement une colonne), une combinaison linéaire des
autres lignes (respectivement colonnes).
5) Une matrice carrée est inversible ssi son déterminant est non nul.
6) Le déterminant du produit de deux matrices est égal au produit des déterminants des deux
matrices.
7) Le déterminant de l’inverse d’une matrice inversible est égal à l’inverse du déterminant de
cette matrice.
8) Un système de vecteurs est libre ssi le déterminant de la matrice de ce système dans une
base donnée est non nul.
9) Le déterminant d’une matrice triangulaire est égal au produit de ces éléments diagonaux.

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[S3, Module M10, Matière : Mathématiques II]

Chapitre 4 : déterminant d’une matrice carrée

III- Inversion d’une matrice par la méthode des cofacteurs
Définition :
Soit A = ( aij )1≤i , j ≤ n une matrice carrée d’ordre n . Soit Aij la matrice carrée d’ordre

n − 1 obtenue en supprimant dans la matrice A la ligne i et la colonne j .
• On appelle cofacteur du coefficient aij le nombre ( −1)i + j det( Aij ) .


On appelle comatrice ou matrice des cofacteurs de la matrice A la matrice
cij = ( −1) i + j det( Aij ), 1 ≤ i, j ≤ n
C ( A) = ( cij )1≤i , j ≤ n définie par :

Etapes de l’inversion :
1) On vérifie si la matrice A est inversible. Pour cela, on calcule son déterminant:
a. Si det A = 0 alors A n’est pas inversible.
b. Si det A ≠ 0 alors A est inversible, et on passe aux étapes suivantes
2) On détermine la comatrice de la matrice A :

C ( A)

3) On détermine la transposée de la comatrice de la matrice A :
4) On en déduit l’inverse de la matrice A :

A−1 =

t

C ( A)

1 t
( C ( A))
det A

1 3 2
A = 2 1 3


3 2 1 

Exemple :

1) Calcul du déterminant de la matrice A :
1 3
3 2
3 2
det A = (1) ×
− ( 2) ×
+ (3) ×
= 18
2 1
2 1
1 3
det A ≠ 0 alors A est inversible, et on passe aux étapes suivantes
2) La comatrice de la matrice A :
 1
+
 2
 3
C ( A) = −
2

 3
+ 1


3
1
2
1
2
3


+


2 3
3 1
1 2
3 1
1 2
2 3

+

+

2
3
1
3
1
2

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1

2
7
1
− 5
3 
= 1 −5
7

2 
  7
1 − 5
3
1 

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